bài giảng sự đồng biến, nghịch biến của hàm số giáo viên kim ngọc

GIÁO ÁN LỚP 12 MÔN TOÁN GIẢI TÍCH
_____________________________________
Chương1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM
BÀI 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Tiết 1: Đ1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ngày dạy:
A -Mục tiêu:
- Nắm vững định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của Hàm số.
- Nắm được nội dung của định lý La - grăng và hệ quả cùng ý nghĩa hình học của định lý.
- Áp dụng được định lý La - grăng để chứng minh được hệ quả của định lý.
B - Nội dung và mức độ:
- Nắm vững định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của Hàm số.
- Nắm được nội dung của định lý La - grăng và hệ quả cùng ý nghĩa hình học của định lý.
- Áp dụng được định lý La - grăng để chứng minh được hệ quả của định lý.
C - Chuẩn bị của thầy và trò: Sách giáo khoa và bảng minh hoạ đồ thị.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh.
• Bài mới:
I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1 - Nhắc lại định nghĩa:
Hoạt động 1:
- Nêu lại định nghĩa về sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng K (K ⊆ R) ?
- Từ đồ thị ( Hình 1) trang 4 (SGK) hãy chỉ rõ các khoảng đơn điệu của hàm số y = sinx trên
[ ]
, π0 2
. Trong khoảng
[ ]
,−π 0
hàm số tăng, giảm như thế nào ?

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nêu lại định nghĩa về sự đơn điệu của hàm số
trên một khoảng K (K ⊆ R).
- Nói được: Hàm y = sinx đơn điệu tăng trên
từng khoảng
,
π
 
 
 
0
2
;
,
π
 
π
 
 
3
2
2
, đơn điệu
giảm trên
,
π π
 
 
 
3

2 2
. Trên
,
π
 
−π −
 
 
2
hàm số
đơn điệu giảm, trên
,
π
 
−
 
 
0
2
hàm số đơn điệu
tăng nên trên
[ ]
,−π 0
hàm số y = sinx không
đơn điệu.
- Nghiên cứu phần định nghĩa về tính đơn điệu
của SGK (trang 4).
- Uốn nắn cách biểu đạt cho học sinh.
- Chú ý cho học sinh phần nhận xét:
+ Hàm f(x) đồng biến trên K ⇔

tỉ số biến thiên:
2 1
1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
0 x ,x K(x x )
x x
−
> ∀ ∈ ≠
−
+ Hàm f(x) nghịch biến trên K ⇔
tỉ số biến thiên:
2 1
1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
0 x ,x K(x x )
x x
−
< ∀ ∈ ≠
−
Hoạt động 2: (Củng cố)
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) = 2x
2
- 4x + 7 trên tập R ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Trình bày kết quả trên bảng.
- Thảo luận về kết quả tìm được.
- Phân nhóm ( thành 10 nhóm) và giao
nhiệm vụ cho các nhóm: Nhóm 1, 3, 5,

7, 9 dùng đồ thị. Nhóm 2, 4, 6, 8, 10
dùng định nghĩa.
- Gọi đại diện của hai nhóm 1, 2 lên
trình bày kết quả.
2 - Định lí La - grăng
Hoạt động 3: (Dẫn dắt khái niệm)
Dùng hoạt động 2 của SGK (trang 5)
1) Xét xem có thể vẽ những tiếp tuyến với đồ thị mà song song với dây cung AB được
không ?
2) Nếu có, hãy tính hệ số góc của các tiếp tuyến đó theo các toạ độ của A(-3,-2), B( 1,2).


B


A
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nhận xét được bằng cảm tính: Có tiếp tuyến với đồ
thị mà song song với AB.
- Tính được hệ số góc của các tiếp tuyến đó là:
a
tt
=
B A
B A
y y 2 2
1
x x 1 3
− +
= =

− +
- Gọi một học sinh lên bảng nhận xét
và tính a
tt
.
- Thuyết trình, dẫn dắt đến định lí La
grăng.
- Nêu ý nghĩa hình học của định lí.
Hoạt động 4: (Dẫn dắt củng cố)
Chứng minh hệ quả:
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
Nếu F’(x) = 0
( )
x a,b∀ ∈
thì F(x) có giá trị không đổi trên khoảng đó.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Hoạt động theo nhóm được phân công.
- Nghiên cứu sách giáo khoa phần chứng minh hệ
quả của định lí La - grăng.
- Trình bày kết quả thu được.
- Phân nhóm, giao nhiệm vụ cho học
sinh nghiên cứu, tìm tòi cách chứng
minh hệ quả.

- Định hướng: Dùng định lí La - grăng
chứng minh F(x) = F(x
0
)
( )
x a,b∀ ∈
Bài tập về nhà: Dùng định nghĩa tìm các khoảng đơn điệu của cac hàm số nêu trong bài tập
1 trang 11 (sgk).
Tiết 2: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ngày dạy:
A -Mục tiêu:
- Nắm được mối liên hệ của khái niệm này với đạo hàm.
- Hình thành kĩ năng giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm.
B - Nội dung và mức độ:
- Mối liên hệ của tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.(Cả định lí mở rộng)
- Các ví dụ 1, 2, 3.
- Lập bảng biến thiên của Hàm số. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo
hàm.
- Bài tập: 1, 2, 3, 4 - Trang 11 ( SGK).
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa và bảng minh hoạ đồ thị.
- Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh.
• Bài mới:
II - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ DẤU CỦA ĐẠO HÀM.
Hoạt động 1:
Cho hàm số y = f(x) = x

2
. Hãy xét dấu của đạo hàm f’(x) và điền vào bảng sau:

x
- ∞ 0 +∞
y’ 0
y
+∞ +Ơ
0
Nêu nhận xét về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Xét dấu của y’ = f’(x) = 2x và ghi vào bảng.
- Nhận xét về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số
và dấu của đạo hàm.
- Thực hiện hoạt động 4 của Sgk (trang 6).
- Gọi một học sinh lên thực hiện bài
tập và nêu nhận xét về quan hệ giữa
tính đơn điệu của hàm số và dấu của
đạo hàm.
- Hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt
động 4 của Sgk (trang 6).
1 - Điều kiện để hàm số đơn điệu.
Hoạt động 2: (Dẫn dắt khái niệm)
Phát biểu và chứng minh định lí:
+ f’(x) > 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f(x) đồng biến trên (a, b).
+ f’(x) < 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f(x) nghịch biến trên (a, b).

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Hoạt động theo nhóm.
- Trả lời được các câu hỏi:

+ Tại sao hàm số thoả mãn các điều kiện của định lí
La - grăng ?
+ Để chứng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến) ta
phải chứng minh điều gì ? Tại sao ?
- Phân nhóm và giao nhiệm vụ cho
các nhóm: Nghiên cứu phần chứng
minh định lí của SGK (trang 7).
- Kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh.
- Uốn nắn sự biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 2: (Củng cố)
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = 3x
2
+ 1 b) y = cosx trên
3
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Hàm số xác định trên tập R.
y’ = 6x. y’ = 0 khi x = 0 và ta có bảng:
x
- ∞ 0 +∞
y’ - 0 +
y

+∞ +Ơ

1Kết luận được: Hàm số nghịch biến trên (- ∞; 0)
và đồng biến trên (0; +∞).
b) Hàm số xác định trên tập
3
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
y’ = - sinx, y’ = 0 khi x = 0; x =
π
và ta có bảng:
x
2
π
−
0
π
3
2
π

y’ + 0 - 0 +
y 1 1
0 -1
Kết luận được:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng
;0
2
π
 
−
 ÷
 
,
3
;
2
π
 
π
 ÷
 
và nghịch biến trên
( )
0;π
.
- Gọi học sinh thực hiện bài tập theo
định hướng:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm và xét dấu của đạo
hàm. Lập bảng xét dấu của đạo hàm
+ Nêu kết luận về các khoảng đơn
điệu của hàm số.
- Chú ý cho học sinh:
+ f’(x) > 0 và f’(x) = 0 tại một số

điểm hữu hạn x ∈ (a, b) ⇒ f(x) đồng
biến trên (a, b).
+ f’(x) < 0 x ∈ (a, b) ⇒ f(x) nghịch
biến trên (a, b).
- Uốn nắn sự biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 3: (Củng cố)
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
y = 2x
3
+ 6x
2
+ 6x - 7
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Học sinh thực hiện độc lập, cá nhân. - Gọi học sinh thực hiện bài tập theo
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Thể hiện được tính chính xác về: Tính toán, cách
biểu đạt.
định hướng đã nêu ở hoạt động 2.
- Uốn nắn sự biểu đạt của học sinh.
Hoạt động 4: (Củng cố)
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
y = 3x +
3
x
+ 5
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Hàm số xác định với ∀x ≠ 0.
b) Ta có y’ = 3 -
2
3

x
=
( )
2
2
3 x 1
x
−
, y’ = 0 ⇔ x = ± 1
và y’ không xác định khi x = 0.
c) Ta có bảng xét dấu của đạo hàm và các khoảng
đơn điệu của hàm số đã cho:
x
- ∞ -1 0 1 + ∞
y’ + 0 - || - 0 +
y
-1
11
d) Kết luận được: Hàm số đồng biến trên từng
khoảng (- ∞; -1); (1; + ∞). Hàm số nghịch biến trên
từng khoảng (- 1; 0); (0; 1).
- Gọi học sinh thực hiện bài tập theo
định hướng đã nêu ở hoạt động 2.
- Chú ý những điểm làm cho hàm số
không xác định. Những sai sót
thường gặp khi lập bảng.
- Uốn nắn sự biểu đạt của học sinh.
- Phát vấn:
Nêu các bước xét tính đơn điệu của
hàm số bằng đạo hàm ?

2 - Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm.
Hoạt động 5: (Củng cố)
- Đọc phần quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm SGK (trang 8)
- Chứng minh bất đẳng thức x > sinx với x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc và phát biểu phần quy tắc xét tính đơn điệu
của hàm số bằng đạo hàm SGK (trang 8).
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x - sinx
trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
- Từ kết quả thu được kết luận về bất đẳng thức đã
cho.
- Tổ chức cho học sinh đọc và kiểm
tra sự đọc hiểu của học sinh.
- Hướng dẫn học sinh lập bảng khảo
sát tính đơn điệu của hàm số:
f(x) = x - sinx trên khoảng
0;

2
π
 
 ÷
 

và đọc kết quả từ bảng để đưa ra kết
luận về bất đẳng thức đã cho.
- Hình thành phương pháp chứng
minh bất đẳng thức bằng xét tính đơn
điệu của hàm số.
Bài tập về nhà: các bài tập 2, 3, 4, 5 trang 11 (SGK)
Tiết 3: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ngày dạy:
A - Mục tiêu:
- Có kỹ năng thành thạo giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm.
- Áp dụng được đạo hàm để giải các bài toán đơn giản.
B - Nội dung và mức độ:
- Luyện kĩ năng giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm.
- Chứng minh Bất đẳng thức đơn giản bằng đạo hàm.
- Chữa các bài tập cho ở tiết 2.
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa và bài tập đã được chuẩn bị ở nhà.
- Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS.
D - Tiến trình tổ chức bài học:
• Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học
sinh.
• Bài mới:

Hoạt động 1: (Kiểm tra bài cũ)
Chữa bài tập 2 trang 11:
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y =
3x 1
1 x
+
−
b) y =
2
x 2x
1 x
−
−
c) y =
2
3x x−
d) y =
2
2
x 7x 12
x 2x 3
− +
− −
e) y =
2
x x 20− −
g) y = x + sinx

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên

- Trình bày bài giải.
- Nhận xét bài giải của bạn.
- Gọi học sinh lên bảng trình bày bài
giải đã chuẩn bị ở nhà.
- Gọi một số học sinh nhận xét bài giải
của bạn theo định hướng 4 bước đã biết
ở tiết 2.
- Uốn nắn sự biểu đạt của học sinh về
tính toán, cách trình bày bài giải
Hoạt động 2: (Kiểm tra bài cũ)
Chữa bài tập 5 trang 11
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) cosx > 1 -
2
x
2
(x > 0) b) tgx > x +
3
x
2
( 0 < x <
2
π
)
c) sinx + tgx > 2x ( 0 < x <
2
π
)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Hàm số f(x) = cosx - 1 +

2
x
2
xác định (0 ;+ ∞)
và có đạo hàm f’(x) = x - sinx > 0 ∀x ∈ (0 ;+ ∞)
nên f(x) đồng biến trên (x ;+ ∞).
Ngoài ra f(0) = 0 nên f(x) > f(0) = 0 ∀x∈(0;+ ∞)
suy ra cosx > 1 -
2
x
2
(x > 0).
b) Hàm số g(x) = tgx - x +
3
x
2
xác định với các
giá trị x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
và có:
- Hướng dẫn học sinh thực hiện phần a)
theo định hướng giải:
+ Thiết lập hàm số đặc trưng cho bất
đẳng thức cần chứng minh.
+ Khảo sát về tính đơn điệu của hàm số

đã lập ( nên lập bảng).
+ Từ kết quả thu được đưa ra kết luận về
bất đẳng thức cần chứng minh.
- Gọi học sinh lên bảng thực hiện theo
hướng dẫn mẫu.
- Giới thiệu thêm bài toán chứng minh bất
đẳng thức bằng tính đơn điệu của hàm có
tính phức tạp hơn cho các học sinh khá:
g’(x) =
2 2 2
2
1
1 x tg x x
cos x
− − = −

= (tgx - x)(tgx + x)
Do x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
⇒ tgx > x, tgx + x > 0 nên suy
ra được g’(x) > 0 ∀ x ∈
0;
2
π
 

 ÷
 
⇒ g(x) đồng
biến trên
0;
2
π
 
 ÷
 
. Lại có g(0) = 0 ⇒ g(x) > g(0)
= 0 ∀ x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
⇒ tgx > x +
3
x
2
( 0 < x
<
2
π
).
c) h(x) = sinx + tgx - 2x xác định với các giá trị
x ∈
0;

2
π
 
 ÷
 
và có: h’(x) = cosx +
2
1
cos x
- 2 >
0 ∀ x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
⇒ suy ra đpcm.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) x -
3 3 5
x x x
x sin x x
3! 3! 5!
− < < − +
với
các giá trị x > 0.
b) sinx >
2x

π
với x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
c) 2
sinx
+ 2
tgx
> 2
x+1
với x ∈
0;
2
π
 
 ÷
 
d) 1 < cos
2
x <
2
4
π +
với x ∈
0;
4

π
 
 
 
.
Bài tập về nhà: 1) Hoàn thiện các bài tập còn lại ở trang 11 (SGK)
2) Chọn thêm bài tập trong các đề tuyển sinh hàng năm.