Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ QUỲNH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2024i, 2024


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ QUỲNH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành:
Mã số:

Phương trình vi phân và tích phân
9 46 01 03

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS Nguyễn Như Thắng


LỜI CAM ĐOANI CAM ĐOAN
Lu n án này là công trình nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn củau của tôi dưới sự hướng dẫn củaa tôi d ưới sự hướng dẫn củai s ự hướng dẫn của h ưới sự hướng dẫn củang d ẫn củan c ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaa
PGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãng kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã được đưa vào luận án đều đãc đưa vào lu n án đ ều đãu đã
được đưa vào luận án đều đãc các đồng tác giả đồng ng tác giả được đưa vào luận án đều đã đồng tác giả đồng ng ý. Các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã trong lu n án là mới sự hướng dẫn củai và chưa t ừngng
được đưa vào luận án đều đãc cơng bố trong cơng trình của ai khác. trong cơng trình của tơi dưới sự hướng dẫn củaa ai khác. Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệmu trách nhiệmm
nết quả được đưa vào luận án đều đãu có sự hướng dẫn của không trung thự hướng dẫn củac trong cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn củau này.
Nghiên cứu sinhu sinh

Nguyễn Thị Quỳnhn Thị Quỳnh Quỳnh

1


LỜI CAM ĐOANI CẢM ƠNM ƠNN
Lu n án được đưa vào luận án đều đãc thự hướng dẫn củac hiệmn tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i Bộ mơn Giải tích, Khoa mơn Giả được đưa vào luận án đều đãi tích, Khoa Tốn - Tin, Trường ng Đại Bộ mơn Giải tích, Khoa i
h c Sư phại Bộ mơn Giải tích, Khoa m Hà Nộ mơn Giải tích, Khoa i, dưới sự hướng dẫn củai sự hướng dẫn của hưới sự hướng dẫn củang dẫn củan của tôi dưới sự hướng dẫn củaa PGS. TS. Nguyễn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãn Như Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãng. Tác
giả được đưa vào luận án đều đã xin bày tỏ lịng kính tr ng và biết quả được đưa vào luận án đều đãt ơnn sâu sắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãc đết quả được đưa vào luận án đều đãn Thầy.y.
Tác giả được đưa vào luận án đều đã xin trân tr ng cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn các thầy.y trong Ban Giám hiệmu, Phòng Sau Đại Bộ mơn Giải tích, Khoa i
h c và Ban Chủa tơi dưới sự hướng dẫn của nhiệmm Khoa Tốn-Tin, Trường ng Đại Bộ mơn Giải tích, Khoa i h c Sư phại Bộ mơn Giải tích, Khoa m Hà Nộ mơn Giải tích, Khoa i. Tác
giả được đưa vào luận án đều đã xin cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn các thầy.y cô trong Bộ môn Giải tích, Khoa mơn Giả được đưa vào luận án đều đãi tích đã ln giúp đ ỡ và động viên và độ mơn Giải tích, Khoa ng viên
trong trong suố trong cơng trình của ai khác. t q trình h c t p.
Tác giả được đưa vào luận án đều đã xin được đưa vào luận án đều đãc bày tỏ sự hướng dẫn của cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn đết quả được đưa vào luận án đều đãn Ban Giám hiệmu trường ng Đại Bộ mơn Giải tích, Khoa i h c Cơng
nghiệmp Hà Nộ mơn Giải tích, Khoa i, các đồng tác giả đồng ng nghiệmp cơng tác tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i Khoa Khoa h c c ơn b ả được đưa vào luận án đều đãn đã luôn
ủa tôi dưới sự hướng dẫn củang hộ mơn Giải tích, Khoa , độ mơn Giải tích, Khoa ng viên và tại Bộ mơn Giải tích, Khoa o điều đãu kiệmn thu n lợc đưa vào luận án đều đãi cho tác giả được đưa vào luận án đều đã trong su ố trong cơng trình của ai khác. t th ờng i gian
h c t p và nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau.
Tác giả được đưa vào luận án đều đã xin trân tr ng cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn Quỹ Đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàii mới sự hướng dẫn củai sáng tại Bộ mơn Giải tích, Khoa o Vingroup (VinIF) đã tài

trợc đưa vào luận án đều đã đ tác giả được đưa vào luận án đều đã có th t p trung h c t p, nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn củau và hồn thành lu n án m ộ mơn Giải tích, Khoa t
cách tố trong cơng trình của ai khác. t nhất.t.
Tác giả được đưa vào luận án đều đã xin trân tr ng cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn những kết quả được đưa vào luận án đều đãng ngường i bại Bộ mơn Giải tích, Khoa n nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau sinh c ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaa B ộ môn Giải tích, Khoa
mơn Giả được đưa vào luận án đều đãi tích đã đồng tác giả đồng ng hành, chia sẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em và giúp đỡ và động viên tác giả được đưa vào luận án đều đã, đ ặc biệt là chị Chi, emc bi ệmt là ch ịu trách nhiệm Chi, em
Hiều đãn Anh, anh Thắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãng ....
Lờng i cả được đưa vào luận án đều đãm ơnn sau cùng, tác giả được đưa vào luận án đều đã xin dành cho gia đình, những kết quả được đưa vào luận án đều đãng ng ường i đã luôn
yêu thươnng, chia sẻ và giúp đỡ tác giả, đặc biệt là chị Chi, em, độ mơn Giải tích, Khoa ng viên tác giả được đưa vào luận án đều đã vược đưa vào luận án đều đãt qua khó khăn đ hoàn thành lu n
án.


Mục lụcc lục lụcc
LỜI CAM ĐOANI CAM ĐOAN........................................................................................................................ 1
LỜI CAM ĐOANI CẢM ƠNM ƠNN............................................................................................................................. 2

MỤCC LỤCC........................................................................................................... 3
MỘTT SỐ KÍ HIỆUU THƯỜI CAM ĐOANNG DÙNG TRONG LUẬNN ÁN.............................................. 6

MỞ ĐẦUU.....................................................................................................................7
1. Tổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàing quan vất.n đều đã nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau..................................................................................... 7
2. Mục đíchc đích nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn củau........................................................................................................ 14
3. Đố trong cơng trình của ai khác. i tược đưa vào luận án đều đãng và phại Bộ mơn Giải tích, Khoa m vi nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau.............................................................................. 14
4. Phươnng pháp nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau....................................................................................................... 15
5. Cất.u trúc và các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã của tôi dưới sự hướng dẫn củaa lu n án.............................................................................. 15

Chươngng 1. Kiến thứcn thứcc chuẩnn bị Quỳnh.................................................................................. 17
1.1.

Mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. bất.t đẳngng thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac............................................................................................... 17

1.2.

Toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của........................................................................................ 18

1.3.

Mộ môn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. tính chất.t.......................................................................................................... 19

1.4.

Nghiệmm trên của tơi dưới sự hướng dẫn củaa hệm Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của...................................................22

Chươngng 2. Tính chất nghiệm của phương trình Lichnerowiczt nghiệm của phương trình Lichnerowiczm của phương trình Lichnerowicza phươngng trình Lichnerowicz phân thức 25
2.1.

Phát bi u bài toán và các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã chính..........................................................25

2.1.1. Phát bi u bài tốn............................................................................................ 25
2.1.2. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã c n dưới sự hướng dẫn củai đều đãu và sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i nghiệmm dươnng

khơng tầy.m thường ng........................................................................................................ 26


2.2.

Chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh vều đã c n dưới sự hướng dẫn củai đều đãu và sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm d ươnng

không tầy.m thường ng................................................................................................................... 28
2.2.1. C n dưới sự hướng dẫn củai đều đãu của tôi dưới sự hướng dẫn củaa nghiệmm........................................................................... 28
2.2.2. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm dươnng không tầy.m thường ng...................... 30
Chươngng 3. Sự không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ khơng tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hện tại nghiệm trên dương của phương trình và hệi nghiệm của phương trình Lichnerowiczm trên dươngng của phương trình Lichnerowicza phươngng trình và hệm của phương trình Lichnerowicz

phươngng trình Lane-Emden phân thức.........................................................................37
3.1.

Phát bi u bài toán và các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã chính..........................................................37

3.1.1. Phát bi u bài toán............................................................................................ 37
3.1.2. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng

trình và hệm phươnng trình........................................................................................... 38
3.2.

Chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củang minh sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình

và hệm phươnng trình................................................................................................................. 41
3.2.1. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình với sự hướng dẫn củai s ố trong cơng trình của ai khác.

mũ p ≤ 1.............................................................................. 41
3.2.2. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa hệm phươnng trình........45
Chươngng 4. Sự khơng tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ khơng tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hện tại nghiệm trên dương của phương trình và hệi nghiệm của phương trình Lichnerowiczm trên dươngng của phương trình Lichnerowicza phươngng trình và hệm của phương trình Lichnerowicz
phươngng trình chứca tốn tử Laplace phân thức và số hại nghiệm trên dương của phương trình và hệng gradient...............50
4.1.

Phát bi u bài tốn và các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã chính..........................................................50

4.1.1. Phát bi u bài toán............................................................................................ 50
4.1.2. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng

trình 51
4.1.3. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa hệm phươnng

trình 53


4.2.

Chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình

và hệm phươnng trình................................................................................................................. 56
4.2.1. Sự hướng dẫn của khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình trong

trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp dưới sự hướng dẫn củai tuyết quả được đưa vào luận án đều đãn tính...................................................................................... 56
4.2.2. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình trong

trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp dưới sự hướng dẫn củai tới sự hướng dẫn củai hại Bộ mơn Giải tích, Khoa n hoặc biệt là chị Chi, emc tới sự hướng dẫn củai hại Bộ mơn Giải tích, Khoa n................................................................ 57
4.2.3. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa hệm phươnng trình trong

trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp dưới sự hướng dẫn củai tới sự hướng dẫn củai hại Bộ mơn Giải tích, Khoa n............................................................................................ 61
4.2.4. Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa hệm phươnng trình trong

trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp tới sự hướng dẫn củai hại Bộ mơn Giải tích, Khoa n....................................................................................................... 64

KẾT T LUẬNN CỦAA LUẬNN ÁN............................................................................ 67
NGHIÊN CỨUU TIẾT P THEO............................................................................. 68
DANH MỤCC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦAA LUẬNN ÁN..........69


MỘTT SỐ KÍ HIỆUU THƯỜI CAM ĐOANNG DÙNG TRONG LUẬNN ÁN
RN

Không gian vectơn thự hướng dẫn củac N chiều đãu với sự hướng dẫn củai chuẩnn Euclid;

|x |

Chuẩnn Euclide của tôi dưới sự hướng dẫn củaa x trong không gian R ;

BR

Hình cầy.u tâm tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i gố trong cơng trình của ai khác. c t a độ mơn Giải tích, Khoa và bán kính R trong RN ;

BR(x )

Hình cầy.u tâm x và bán kính R trong RN ;

C k (Ω)

Khơng gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã vi liên tục đíchc đết quả được đưa vào luận án đều đãn cất.p k trong Ω;

C kc(Ω)

Không gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã vi liên tục đíchc đết quả được đưa vào luận án đều đãn cất.p k có giá compact

N

trong Ω;
∇

Tốn tử Laplace phân gradient;

∆

Toán tử Laplace phân Laplace;

(−∆)s
N

Toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của;

L (R )

Không gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã tích b c p trên RN ;

N
p
L loc (R )
B (RN )
L1s
Ỉ (RN )

Khơng gian các hàm khả được đưa vào luận án đều đã tích địu trách nhiệma phươnng b c p trên RN ;
Σ
N
= .u ∈
(R
); N |u(x)|
,
dx<∞ ;
R (1+|x
N

C α (RN )

Không gian các hàm liờn tc ớchc Hoălder ct.p , 0 < < 1, trên

p

lo
c

|)N+2s

Không gian Schwartz các hàm giả được đưa vào luận án đều đãm nhanh trên R ;
RN ;


MỞ ĐẦUU
1. Tổng ng quan vất nghiệm của phương trình Lichnerowiczn đề nghiên nghiên cứcu
Trong những kết quả được đưa vào luận án đều đãng năm gầy.n đây, các nhà toán h c trên thết quả được đưa vào luận án đều đã giới sự hướng dẫn củai dành sự hướng dẫn của quan
tâm đết quả được đưa vào luận án đều đãn các phươnng trình đại Bộ mơn Giải tích, Khoa o hàm riêng loại Bộ mơn Giải tích, Khoa i elliptic và parabolic không đ ịu trách nhiệma
phươnng, mà mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. phươnng trình tiêu bi u chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn t ử Laplace phân Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của, hay
p-Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của,... nhờng những kết quả được đưa vào luận án đều đãng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang dục đíchng trong v t lí, sinh h c, tài
chính....
Tính khơng địu trách nhiệma phươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình có th tới sự hướng dẫn củai từng số trong công trình của ai khác. hại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng khơng gian như
tốn tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của, hoặc biệt là chị Chi, emc đại Bộ mơn Giải tích, Khoa o hàm không đ ịu trách nhiệma ph ươnng theo bi ết quả được đưa vào luận án đều đãn th ờng i gian
(đại Bộ mơn Giải tích, Khoa o hàm phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của, đại Bộ mơn Giải tích, Khoa o hàm khơng địu trách nhiệma phươnng,.

đố trong cơng trình của ai khác. i với sự hướng dẫn củai phươnng trình

ki u
parabolic). Hơnn nững kết quả được đưa vào luận án đều đãa, toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của còn đ ược đưa vào luận án đều đãc xem nh ư toán t ử Laplace phân sinh
của tơi dưới sự hướng dẫn củaa q trình khuết quả được đưa vào luận án đều đãch tán Lévy [4].

Ta biết quả được đưa vào luận án đều đãt rằng toán tử Laplace phân thứ ng toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (−∆)s, 0 < s < 1, được đưa vào luận án đều đãc địu trách nhiệmnh nghĩa
như mộ môn Giải tích, Khoa t tốn tử Laplace phân khơng địu trách nhiệma phươnng trên không gian các hàm giả được đưa vào luận án đều đãm nhanh
bởii
,
(−∆)su(x ) =
c

N,
s

u ( x ) − u(ξ)
P.V.
|x − ξ|N +2s dξ
R
,N

= cN,s lim
ϵ→0
RN \Bϵ (x
)

u ( x ) − u(ξ)
|x − ξ|N +2s dξ,

ởi đây cN,s là hằng toán tử Laplace phân thứ ng số trong cơng trình của ai khác. chuẩnn hố và P.V. là giá trịu trách nhiệm chính Cauchy. Mặc biệt là chị Chi, emt khác,
toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của còn được đưa vào luận án đều đãc địu trách nhiệmnh nghĩa thông qua biết quả được đưa vào luận án đều đãn đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàii Fourier
s
ª ((−∆) u)
(ξ) = |ξ| ª u(ξ),

với sự hướng dẫn củai ª u là biết quả được đưa vào luận án đều đãn đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàii Fourier của tôi dưới sự hướng dẫn củaa hàm u, xem [55]. Hơnn nững kết quả được đưa vào luận án đều đãa, ta có th mởi rộ mơn Giải tích, Khoa ng
địu trách nhiệmnh nghĩa của tơi dưới sự hướng dẫn củaa toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của theo nghĩa phân phố trong cơng trình của ai khác. i trên không
gian
RN

(|x | + 1)N
+2s


N

Bs (R ) = .u ∈ L lo
1

c

(RN ); ,

|u (x)|

Σ
dx< ∞ .

Ngoài ra, nết quả được đưa vào luận án đều đãu u ∈ C2σ(RN ) ∩ Bs(RN ) với sự hướng dẫn củai σ > s, thì (−∆)su(x ) xác địu trách nhiệmnh tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i m i
x ∈ RN , xem [55].


Cho đết quả được đưa vào luận án đều đãn nay, đã có nhiều đãu kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã tính chất.t địu trách nhiệmnh tính cho nghiệmm của tôi dưới sự hướng dẫn củaa
các phươnng trình đại Bộ mơn Giải tích, Khoa o hàm riêng chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn tử Laplace phân Laplace nh ư s ự hướng dẫn của t ồng tác giả đồng n t ại Bộ môn Giải tích, Khoa i duy nh ất.t
nghiệmm, tính chính qui, tính ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàin địu trách nhiệmnh.... Tuy nhiên, các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã tươnng tự hướng dẫn của cho

các phươnng trình không địu trách nhiệma phươnng chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaa toán tử Laplace phân Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của, p-Laplace
phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của vẫn củan cịn rất.t hại Bộ mơn Giải tích, Khoa n chết quả được đưa vào luận án đều đã bởii các khó khăn khi phả được đưa vào luận án đều đãi làm vi ệmc v ới sự hướng dẫn củai toán t ử Laplace phân
khơng địu trách nhiệma phươnng. Khó khăn này đòi hỏi cách tiết quả được đưa vào luận án đều đãp c n m ới sự hướng dẫn củai cho các bài tốn
khơng địu trách nhiệma phươnng và các phươnng trình chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa toán t ử Laplace phân Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của tr ởi
thành mộ mơn Giải tích, Khoa t trong những kết quả được đưa vào luận án đều đãng chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã quan tr ng trong chuyên ngành.
Chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của nhất.t được đưa vào luận án đều đãc nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong lu n án là phươnng trình
Lichnerow- icz phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của
vt + (−∆)s v = v−p−2 − v p trong RN × R

(0.1)

và phươnng trình elliptic tươnng ứu của tơi dưới sự hướng dẫn củang
(−∆)su = u−p−2 − up trong RN ,

(0.2)

ởi đó p > 0 và 0 < s < 1.
Nhắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãc lại Bộ mơn Giải tích, Khoa i rằng toán tử Laplace phân thứ ng, trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp s = 1, (0.1) và (0.2) trởi thành
vt − ∆v = v−p−2 − v p trong RN × R

(0.3)

và phươnng trình elliptic tươnng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang
−∆u = u−p−2 − up trong RN .

(0.4)

Các phươnng trình này được đưa vào luận án đều đãc biết quả được đưa vào luận án đều đãt đết quả được đưa vào luận án đều đãn với sự hướng dẫn củai tên g i phươnng trình Lichnerowicz,
xem [20, 21, 47] và các tài liệmu tham khả được đưa vào luận án đều đão trong đó. Gầy.n đây, phươnng trình
ki u Lichnerowicz nh n được đưa vào luận án đều đãc nhiều đãu sự hướng dẫn của quan tâm của tôi dưới sự hướng dẫn củaa các nhà khoa h c trong

và ngoài nưới sự hướng dẫn củac, xem [12, 52, 53] cho phươnng trình elliptic và [29, 70, 71] cho
phươnng trình parabolic.
Trong [52, 53], ngường i ta chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh rằng toán tử Laplace phân thứ ng nết quả được đưa vào luận án đều đãu p > 1 thì phươnng trình
(0.4) chỉ có nghiệmm dươnng tầy.m thường ng u = 1. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã này sau đó được đưa vào luận án đều đãc
chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh lại Bộ mơn Giải tích, Khoa i bởii [12] bằng tốn tử Laplace phân thứ ng cách sử Laplace phân dục đíchng mộ mơn Giải tích, Khoa t ki u ngun lí cự hướng dẫn củac tr ịu trách nhiệm và lí
thuyết quả được đưa vào luận án đều đãt Keller- Osserman. Hơnn nững kết quả được đưa vào luận án đều đãa, trong [12] ngường i ta còn chỉ ra rằng toán tử Laplace phân thứ ng
nết quả được đưa vào luận án đều đãu 0 < p ≤ 1 thì


(0.4) có nghiệmm dươnng khơng tầy.m thường ng. Dự hướng dẫn củaa vào kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã trong [12] cho
(0.4), chúng tôi đặc biệt là chị Chi, emt câu hỏi tươnng tự hướng dẫn của cho trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp phươnng trình ch ứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn
tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của.
Chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của hai trong lu n án là nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau phươnng trình Lane-Emden phân
thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của
(−∆)su = up trong RN .

(0.5)

và hệm Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

 (−∆)s s u = vqp trong

(−∆) v = u trong RN

(0.6)

,

N
ởi đó p, q ∈ R và 0 < s

Xét phươnng trình (0.5) với sự hướng dẫn củai s = 1, tứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac là phươnng trình Lane-Emden
−∆u = up trong R .

(0.7)

Trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp này, sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.7) đã
được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh trong bài báo nổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàii tiết quả được đưa vào luận án đều đãng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa Gidas và Spruck [44, 45]. Đố trong công trình của ai khác. i
với sự hướng dẫn củai lới sự hướng dẫn củap nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình (0.7), địu trách nhiệmnh lí ki u Liouville tố trong cơng trình của ai khác. i ưu
cũng đã được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh hoàn toàn, xem [5].
Xét hệm (0.6) với sự hướng dẫn củai s = 1, tứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac là hệm Lane-Emden
 −∆u = v p trong

 N−∆v = uq trong RN
R

(0.8)

,

Giả được đưa vào luận án đều đã thuyết quả được đưa vào luận án đều đãt Lane-Emden phát bi u rằng toán tử Laplace phân thứ ng hệm (0.8) có nghiệmm dươnng nết quả được đưa vào luận án đều đãu và chỉ
nết quả được đưa vào luận án đều đãu
p, q > 0 và

1

+

1

≤1−

2

.
p+
q+
N
1
1
Giả được đưa vào luận án đều đã thuyết quả được đưa vào luận án đều đãt này đã được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh cho lới sự hướng dẫn củap nghiệmm radial với sự hướng dẫn củai s ố trong cơng trình của ai khác. chi ều đãu tùy ý
[54, 61, 62]. Trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp nghiệmm không radial, giả được đưa vào luận án đều đã thuyết quả được đưa vào luận án đều đãt Lane-Emden
chỉ được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh với sự hướng dẫn củai số trong cơng trình của ai khác. chiều đãu N ≤ 4, xem [62, 64] và còn bỏ ngỏ với sự hướng dẫn củai số trong cơng trình của ai khác.
chiều đãu N ≥ 5.


Đố trong cơng trình của ai khác. i với sự hướng dẫn củai lới sự hướng dẫn củap nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.8), địu trách nhiệmnh lí ki u Liouville tố trong cơng trình của ai khác. i ưu cũng
đã được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh hoàn toàn, xem [5]. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã dưới sự hướng dẫn củai đây đã được đưa vào luận án đều đãc chỉ ra trong
[5].
Đị Quỳnhnh lí A. ([5]) Hệ phươngng trình (0.8) khơng có nghiệm trên dươngng nếuu và
chỉ nếuu (p, q)

THỎAA

mãn mộtt trong các điềuu kiện SAU

(i) p ≤ 0 hoặc q c q ≤ 0.
(ii) p, q > 0 và pq ≤ 1.
2( p+1)

(iii) p, q > 0, pq > 1 và max .
Thêm vào đó, khi p, q > 0,

pq−
1 >
pq

,

2(q +1)

Σ ≥ N − 2.

pq−
2( p+1)
1 1và max .
pq−
Σ1− p+1

trình (0.8) có nghiệmm trên dươnng dại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng
pq−1
1
q+1

 u(x ) = k ..(1 + |x Σ− pq−
1

2
v(x ) = 2| (1 + |x

,

2(q +1)

Σ < N −2, hệm phươnng

pq−
1

,

k
|2
ởi đó k1 và k2 là các hằng toán tử Laplace phân thứ ng số trong cơng trình của ai khác. dươnng đủa tơi dưới sự hướng dẫn của nhỏ.
Bây giờng , chúng ta xét trường ng h ợc đưa vào luận án đều đãp phươnng trình Lane-Emden (0.5) và hệm
phươnng trình Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của (0.6) với sự hướng dẫn củai 0 < s < 1. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n
tại Bộ môn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm dươnng c ủa tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình Lane-Emden trong
[44] đã được đưa vào luận án đều đãc mởi rộ mơn Giải tích, Khoa ng cho phươnng trình Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của trong [18,
51], ởi đó số trong cơng trình của ai khác. mũ tới sự hướng dẫn củai hại Bộ môn Giải tích, Khoa n được đưa vào luận án đều đã(c )cho
=c bởii p s
nghiệmm

N+ 2 s

. Sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i

N −2s

trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.5) đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong [38]. Cục đích th , các tác giả được đưa vào luận án đều đã đã thu
được đưa vào luận án đều đãc kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã sau đây vều đã sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng.

Đị Quỳnhnh lí B. ([38]) "Giả sử rằng sử rằng rằngng
0 < s < 1 và N > 2s.
Khi đó, phươngng trình (0.5) khơng có nghiệm trên dươngng với điều kiệni điềuu kiện
N
1.
≤
N − 2s
Hơngn NỮAA, khi p

N

>

N −2
s

, phươngng trình (0.5) có nghiệm trên dươngng dạngng
ϵ
u(x ) =

(0.9)


(1 + |x
|)2sk
với điều kiệni k là số THỎAA mãn

1

−1
p

< k<

N−2s

2
s

và ϵ > 0 đủ nhỏ." nhỏ."."

Tươnng tự hướng dẫn của như trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn tử Laplace phân Laplace, mộ mơn Giải tích, Khoa t câu h ỏi t ự hướng dẫn của nhiên là
phươnng trình (0.5) có nghiệmm trên dươnng hay khơng khi −∞ < p ≤ 1. Lu n
án sẽ đưa ra câu trả được đưa vào luận án đều đã lờng i cho câu hỏi này.
Liên quan đết quả được đưa vào luận án đều đãn hệm (0.6), cho đết quả được đưa vào luận án đều đãn nay cũng đã có mộ mơn Giải tích, Khoa t vài kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã ki u Liouville trong các cơng trình [27, 56, 58]. Ngồi ra, tính đố trong cơng trình của ai khác. i xứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang của tôi dưới sự hướng dẫn củaa các thành
phầy.n đã được đưa vào luận án đều đãc thiết quả được đưa vào luận án đều đãt l p trong [69]. Mặc biệt là chị Chi, emt khác, việmc phân loại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên
dươnng cũng đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong [11, 49]. Nhắng. Những kết quả được đưa vào luận án đều đãc lại Bộ mơn Giải tích, Khoa i rằng tốn tử Laplace phân thứ ng, nghiệmm trên
dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa (0.6) là mộ môn Giải tích, Khoa t cặc biệt là chị Chi, emp hàm dươnng (u, v), u, v ∈ C2σ(RN ) ∩ Bs(RN ), thỏa
mãn

 (−∆)s u ≥ v p trong

RN
 (−∆)s v ≥ uq trong RN

.

Bằng toán tử Laplace phân thứ ng cách mởi rộ mơn Giải tích, Khoa ng kĩ thu t của tôi dưới sự hướng dẫn củaa [5], các tác giả được đưa vào luận án đều đã trong [49] đã thu được đưa vào luận án đều đãc
kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã sau.

Đị Quỳnhnh lí C. "Giả sử rằng sử rằng rằngng 0 < s < 1, N > 2s và p, q > 0, pq > 1. Khi đó, hệ (0.6)
khơng có nghiệm trên dươngng khi
.
Σ
2s( p + 1) 2s(q + 1)
max pq −
, pq − 1
≥N−
1
2s.”
Trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp
.
Σ
2s( p + 1) 2s(q + 1)
max pq − 1 , pq − 1
nghiệmm trên dươnng t2s,
ường ng minh của tôi dưới sự hướng dẫn củaa hệm Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của cũng đã được đưa vào luận án đều đãc
chỉ ra trong [49] dại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng
u(x ) =
và

A
(1 + | |x )2sk1

B
v(x ) =
,
(1 + |x |)2sk2

ởi đó A, B > 0 sẽ là các hằng tốn tử Laplace phân thứ ng số trong cơng trình của ai khác. thích hợc đưa vào luận án đều đãp và
p+ 1
k=
and k
pq − 1
q+ 1
1
2=
.
pq − 1
Gầy.n đây, Biswas [11] đã chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh rằng toán tử Laplace phân thứ ng, hệm (0.6) khơng có nghiệmm trên
dươnng trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp p, q > 0 và pq ≤ 1 bằng toán tử Laplace phân thứ ng cách sử Laplace phân dục đíchng kĩ thu t xác
suất.t. Tuy nhiên, theo hi u biết quả được đưa vào luận án đều đãt của tôi dưới sự hướng dẫn củaa chúng tôi, cho đết quả được đưa vào luận án đều đãn nay vẫn củan chưa có k ết quả được đưa vào luận án đều đãt
quả được đưa vào luận án đều đã nào vều đã sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.6) khi p
≤0
hoặc biệt là chị Chi, emc q ≤ 0. Do đó, dự hướng dẫn củaa vào kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã đã có cho tốn tử Laplace phân Laplace (Địu trách nhiệmnh lí A),
chúng tơi sẽ chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh rằng tốn tử Laplace phân thứ ng hệm (0.6) khơng có nghiệmm trên dươnng khi p ≤
0 hoặc biệt là chị Chi, emc q ≤ 0. Ngồi ra, chúng tơi cũng đưa ra m ộ mơn Giải tích, Khoa t ch ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh đ ơnn gi ả được đưa vào luận án đều đãn v ều đã
sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa hệm (0.6) khi p > 0, q > 0 và pq 1
≤
hoặc biệt là chị Chi, emc
2s( p+1)

p > 0, q > 0, pq > 1 và max .
, 2s(q+1) Σ > N − 2s.
Chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của ba trong lu n ánpq−
là mộ mơn Giải tích, Khoa tpq−
nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau tiết quả được đưa vào luận án đều đãp theo của tôi dưới sự hướng dẫn củaa chủa tôi dưới sự hướng dẫn của đều đã thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
1

hai. Xét phươnng trình

1

(−∆)su + b · ∇u = up trong RN

(0.10)

và hệm
N
( −∆)su + b · ∇ u = v p trong R

,

(0.11)

 (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN
trong đó các số trong cơng trình của ai khác. mũ p và q là các số trong cơng trình của ai khác. thự hướng dẫn củac, (−∆)s là toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
với sự hướng dẫn củai 0 < s < 1, N > 2s và b là trường ng vectơn khả được đưa vào luận án đều đã vi liên tục đíchc thỏa mãn điều đãu
kiệmn tăng trưởing ởi vơ cùng

C

|b(x )| ≤

, với sự hướng dẫn củai θ ≥ 0.
(0.12)
|x |θ
Khi s = 1 và b = 0, phươnng trình (0.10) và hệm (0.11) lầy.n lược đưa vào luận án đều đãt trởi

thành phươnng trình Lane-Emden và hệm Lane-Emden. Các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã liên quan
đết quả được đưa vào luận án đều đãn phươnng trình và hệm phươnng trình này đã được đưa vào luận án đều đãc nói đết quả được đưa vào luận án đều đãn ởi trên. Tiết quả được đưa vào luận án đều đãp
theo chúng ta xét trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp 0 < s < 1 và b = 0, phươnng trình (0.10) và
hệm (0.11) lầy.n lược đưa vào luận án đều đãt trởi thành phươnng trình Lane-Emden phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của và hệm
Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của. Mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã đã có cho phươnng trình và hệm
phươnng trình này cũng đã được đưa vào luận án đều đãc đều đã c p ởi trên.


Bây giờng chúng ta chuy n sang trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp khi b ̸= 0. Đầy.u tiên, nết quả được đưa vào luận án đều đãu s = 1,
phươnng trình (0.10) và hệm (0.11) trởi thành
−∆u + b · ∇u = u p
và


p
 −∆u + b · ∇u = v
 −∆v + b · ∇v = uq.

(0.13)

(0.14)

Phươnng trình và hệm phươnng trình này đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau nhiều đãu trong những kết quả được đưa vào luận án đều đãng
năm gầy.n đây [ 1 – 3 , 8 , 9 , 1 6 , 2 3 , 3 0 , 3 1 , 4 6 , 4 8 ] . Sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i
nghiệmm trên
dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa (0.13) trên các miều đãn ngoài đã được đưa vào luận án đều đãc thiết quả được đưa vào luận án đều đãt l p trong [8, 9, 31, 46].
Điều đãu kiệmn cho sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ môn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp này
là
1 < p ≤ N . Trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp tuyết quả được đưa vào luận án đều đãn tính, tứu của tơi dưới sự hướng dẫn củac là p
1, sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i

N −2
nghiệmm=trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.13) đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong [1, 8, 9]. Sự hướng dẫn của không
tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa (0.14) trên tồn không gian đã được đưa vào luận án đều đãc nghiên
cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong [31], trong đó p và q khơng nhất.t thiết quả được đưa vào luận án đều đãt phả được đưa vào luận án đều đãi lới sự hướng dẫn củan hơnn mộ mơn Giải tích, Khoa t. Với sự hướng dẫn củai lới sự hướng dẫn củap
nghiệmm ổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàin địu trách nhiệmnh, mộ môn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. địu trách nhiệmnh lí ki u Liouville cho (0.14) đã được đưa vào luận án đều đãc thiết quả được đưa vào luận án đều đãt l p
trong [ 3 0 , 48].
Trong trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp tổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàing qt, các bài tốn chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa toán t ử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
và số trong cơng trình của ai khác. hại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng gradient đã thu hút nhiều đãu sự hướng dẫn của chú ý trong nh ững kết quả được đưa vào luận án đều đãng năm g ầy.n đây
[6, 7, 19, 36, 39, 43, 57, 68]. Trong [57], tác giả được đưa vào luận án đều đã đã nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i, tính
duy nhất.t và tính chính qui tố trong cơng trình của ai khác. i ưu của tôi dưới sự hướng dẫn củaa nghiệmm của tôi dưới sự hướng dẫn củaa bài tốn chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa toán tử Laplace phân
Lu = (−∆)s + b · ∇u + cu.
Ưới sự hướng dẫn củac lược đưa vào luận án đều đãng nhân nhiệmt cho toán tử Laplace phân (−∆)s + b · ∇ đã được đưa vào luận án đều đãc đưa ra trong [17, 19].
Trong [7], sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên bịu trách nhiệm chặc biệt là chị Chi, emn của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình
(−∆)su + |∇u|q = λf (u)
đã được đưa vào luận án đều đãc chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh trong mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. điều đãu kiệmn của tôi dưới sự hướng dẫn củaa tham số trong công trình của ai khác. .
Theo hi u biết quả được đưa vào luận án đều đãt của tôi dưới sự hướng dẫn củaa chúng tôi, cho đết quả được đưa vào luận án đều đãn nay chưa có k ết quả được đưa vào luận án đều đãt qu ả được đưa vào luận án đều đã nào v ều đã s ự hướng dẫn của t ồng tác giả đồng n
tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa (0.10) và (0.11). Trong lu n án
này, chúng tôi thiết quả được đưa vào luận án đều đãt l p được đưa vào luận án đều đãc điều đãu kiệmn cho sự hướng dẫn của không t ồng tác giả đồng n t ại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên
dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình và hệm phươnng trình chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa số trong cơng trình của ai khác. hại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng gradient.


2. Mục lụcc đích nghiên cứcu
Lu n án t p trung nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau tính chất.t địu trách nhiệmnh tính của tơi dưới sự hướng dẫn củaa nghiệmm d ươnng c ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaa
phươnng trình Lichnerowicz phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của, sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và không t ồng tác giả đồng n t ại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghi ệmm trên
dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình và hệm phươnng trình Lane-Emden phân th ứu của tơi dưới sự hướng dẫn của. Ngoài ra,
lu n án cũng t p trung chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang minh sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n t ại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên d ươnng c ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaa
lới sự hướng dẫn củap phươnng trình và hệm phươnng trình elliptic phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của chứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaa số trong cơng trình của ai khác. hại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng gradient.

3. Đối tượngng và phại nghiệm trên dương của phương trình và hệm vi nghiên cứcu
•

Đối tượng nghiên cứung nghiên cứu sinhu: Chúng tôi nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau trong lu n án này

mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. phươnng trình và hệm phươnng trình elliptic phi tuyết quả được đưa vào luận án đều đãn ch ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củaa tốn t ử Laplace phân
Laplace phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của.
• Phạngm vi nghiên cứu sinhu: Phại Bộ mơn Giải tích, Khoa m vi nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn củau chính trong lu n án bao gồng tác giả đồng m:
Nội, 2024i dung 1: Nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau c n dưới sự hướng dẫn củai đều đãu, sự hướng dẫn của tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i và khơng tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm
dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình Lichnerowicz parabolic chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn t ử Laplace phân Laplace phân
thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
vt + (−∆)s v = v−p−2 − vp trong RN × R
và phươnng trình elliptic tươnng ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củang
(−∆)su = u−p−2 − up trong RN ,
ởi đó p > 0 và 0 < s < 1.
Nội, 2024i dung 2: Nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng
trình Lane-Emden phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của
(−∆)su = up trong RN .
và hệm Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
 (−∆)s u = v p trong
N

s
q
RN(−∆) v = u trong R

,


ởi đó p, q ∈ R và 0 < s < 1.
Nội, 2024i dung 3: Nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tôi dưới sự hướng dẫn củaa
phươnng trình elliptic phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của

(−∆)su + b · ∇u = up trong RN
và hệm phươnng trình elliptic phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của
 (−∆)su + b · ∇u = v p trong R

N


 (−∆)s v + b · ∇v = uq trong RN

,

trong đó các số trong cơng trình của ai khác. mũ p và q là các số trong cơng trình của ai khác. thự hướng dẫn củac, (−∆)s là toán tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của
với sự hướng dẫn củai 0 < s < 1, N > 2s và b là trường ng vectơn khả được đưa vào luận án đều đã vi liên tục đíchc thỏa mãn mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác.
điều đãu kiệmn tăng trưởing ởi vô cùng.

4. Phươngng pháp nghiên cứcu
Các phươnng pháp nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn củau được đưa vào luận án đều đãc sử Laplace phân dục đíchng trong lu n án như sau:
• Phươnng pháp hàm thử Laplace phân.
• Xây dự hướng dẫn củang hàm phục đích và sử Laplace phân dục đíchng nguyên lí cự hướng dẫn củac trịu trách nhiệm
• Phươnng pháp đổi mới sáng tạo Vingroup (VinIF) đã tàii biết quả được đưa vào luận án đều đãn đ đưa hệm bất.t đẳngng thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac vều đã mộ mơn Giải tích, Khoa t bất.t đẳngng thứu của tơi dưới sự hướng dẫn củac.
• Đánh giá bất.t đẳngng thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac và ưới sự hướng dẫn củac lược đưa vào luận án đều đãng tích phân phi tuyết quả được đưa vào luận án đều đãn.

5. Cất nghiệm của phương trình Lichnerowiczu trúc và các kến thứct quả của phương trình Lichnerowicza luậnn án
Ngoài phầy.n mởi đầy.u, kết quả được đưa vào luận án đều đãt lu n, danh mục đíchc các cơng trình đã cơng bố trong cơng trình của ai khác. và
danh mục đíchc tài liệmu tham khả được đưa vào luận án đều đão, lu n án gồng tác giả đồng m 4 chươnng như sau:
•

Chươngng 1 trình bày mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. kiết quả được đưa vào luận án đều đãn thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac cầy.n dùng cho các chươnng

sau như: các bất.t đẳngng thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac sơn cất.p, toán tử Laplace phân Laplace phân th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn của và m ộ mơn Giải tích, Khoa t s ố trong cơng trình của ai khác.

tính chất.t cơn bả được đưa vào luận án đều đãn, mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. bất.t đẳngng thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac liên quan đết quả được đưa vào luận án đều đãn toán tử Laplace phân Laplace
phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của.


• Chươngng 2 trình bày kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã c n dưới sự hướng dẫn củai đều đãu cho nghiệmm của tôi dưới sự hướng dẫn củaa
phươnng trình Lichnerowicz phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của và sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm
dươnng không tầy.m thường ng
của tôi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình này.
•

Chươngng 3 trình bày sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa

phươnng trình và hệm phươnng trình Lane-Emden phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của trong m ộ mơn Giải tích, Khoa t s ố trong cơng trình của ai khác.
trường ng hợc đưa vào luận án đều đãp của tôi dưới sự hướng dẫn củaa số trong cơng trình của ai khác. mũ p, q.
•

Chươngng 4 trình bày mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã vều đã sự hướng dẫn của không tồng tác giả đồng n tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i nghiệmm

trên dươnng của tơi dưới sự hướng dẫn củaa phươnng trình và hệm phươnng trình elliptic chứu của tơi dưới sự hướng dẫn củaa tốn t ử Laplace phân
Laplace phân thứu của tơi dưới sự hướng dẫn của và số trong cơng trình của ai khác. hại Bộ mơn Giải tích, Khoa ng gradient.
Các kết quả được đưa vào luận án đều đãt quả được đưa vào luận án đều đã chính của tôi dưới sự hướng dẫn củaa lu n án đã được đưa vào luận án đều đãc công bố trong cơng trình của ai khác. trong 03 bài báo trên
các tại Bộ mơn Giải tích, Khoa p chí quố trong cơng trình của ai khác. c tết quả được đưa vào luận án đều đã trong danh mục đíchc SCIE. Kết quả được đưa vào luận án đều đãt qu ả được đưa vào luận án đều đã c ủa tôi dưới sự hướng dẫn củaa lu n án cũng đã
được đưa vào luận án đều đãc trình bày tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i Seminar của tơi dưới sự hướng dẫn củaa Bộ mơn Giải tích, Khoa môn Giả được đưa vào luận án đều đãi tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ng
Đại Bộ mơn Giải tích, Khoa i h c Sư phại Bộ mơn Giải tích, Khoa m Hà Nộ mơn Giải tích, Khoa i và tại Bộ mơn Giải tích, Khoa i Hộ mơn Giải tích, Khoa i nghịu trách nhiệm Tốn h c tồn quố trong cơng trình của ai khác. c lầy.n thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của X
năm 2023.


Chươngng 1
Kiến thứcn thứcc chuẩnn
bị Quỳnh

Trong chươnng này, chúng tôi trình bày mộ mơn Giải tích, Khoa t số trong cơng trình của ai khác. kiết quả được đưa vào luận án đều đãn thứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac chuẩnn bịu trách nhiệm gồng tác giả đồng m: m ộ mơn Giải tích, Khoa t
số trong cơng trình của ai khác. bất.t đẳngng thứu của tơi dưới sự hướng dẫn củac thường ng dùng, tốn tử Laplace phân Laplace phân thứu của tôi dưới sự hướng dẫn của và m ộ mơn Giải tích, Khoa t s ố trong cơng trình của ai khác. tính chất.t.
Chươnng này được đưa vào luận án đều đãc viết quả được đưa vào luận án đều đãt dự hướng dẫn củaa trên tài liệmu [25, 35, 55, 66, 69].

1.1. Mội, 2024t số bất nghiệm của phương trình Lichnerowiczt đẳngng thứcc
Trong mục đíchc này, chúng tơi trình bày mộ mơn Giải tích, Khoa t s ố trong cơng trình của ai khác. b ất.t đ ẳngng th ứu của tôi dưới sự hướng dẫn củac c ầy.n dùng cho các
chươnng sau.

Bất nghiệm của phương trình Lichnerowiczt đẳngng thứcc Young
Cho p và q là hai số trong công trình của ai khác. dươnng thỏa mãn
b > 0, ta
có

ab

A

1

+

p

p

1

q

= 1. Khi đó, với sự hướng dẫn củai m i

A

> 0 và

bq

Bất nghiệm của phương trình Lichnerowiczt đẳngng thứcc Hoălder
Cho p v q l hai s trong cụng trỡnh của ai khác. dươnng thỏa mãn 1 +
f ∈ Lp(Ω) và g ∈ Lq(Ω), Ω ⊂ RN , ta có

,
,

Ω
Ω

| f (x )g(x )| d x ≤


1

= 1. Khi đó, với sự hướng dẫn củai m i hàm
p

q

1

1

,

p

q

| f (x ) |p d x   

|g(x ))| d x   .

q