Bài tập các mô hình ngẫu nhiên

BÀI TẬP
Bài 1.
Một cuộc khảo sát ý kiến cử tri về cuộc bầu cử tổng thống sắp tới cho kết quả như sau:
 Có 60% số người đã bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Dân chủ ở lần bầu cử
trước sẽ tiếp tục bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Dân chủ và 40% còn lại sẽ bỏ
phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa ở lần bầu cử này.
 Có 80% số người đã bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa ở lần bầu cử
trước sẽ tiếp tục bỏ phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa và 20% còn lại sẽ bỏ
phiếu cho ứng cử viên đảng Cộng hòa ở lần bầu cử này.
Nếu ở lần bầu cử trước, đảng Dân chủ chiến thắng với 55% phiếu bầu so với 45%
phiếu bầu của đảng Cộng hịa thì trong lần bầu cử này ứng cử viên của đảng nào sẽ chiến
thắng và tỉ lệ phiếu bầu của hai ứng cử viên sẽ là bao nhiêu?
Bài 2.
Một nhân viên chuyên bán hàng tại nhà nhận thấy rằng:
 Có 35% khách hàng đã mua sản phẩm tại lần chào hàng trước sẽ tiếp tục mua
sản phẩm ở lần chào hàng tiếp theo.
 Có 55% khách hàng khơng mua sản phẩm nào tại lần chào hàng trước sẽ mua
sản phẩm ở lần chào hàng tiếp theo.
Trong lần chào hàng trước, nhân viên đó đã bán được sản phẩm cho 40% khách hàng
mà người này chào hàng. Hỏi trong lần chào hàng này, nhân viên đó sẽ bán được sản
phẩm cho bao nhiêu phần trăm khách hàng?
Bài 3.
Thời tiết tại một thành phố A vào tháng 9 hàng năm được phân loại như sau: đẹp trời;
nhiều mây (khơng có mưa); có mưa. Dữ liệu thống kê trong quá khứ cho biết rằng:
 Nếu một ngày đẹp trời thì xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có
mưa lần lượt là 60%; 25%; 15%.


 Nếu một ngày nhiều mây thì xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có
mưa lần lượt là 30%; 40%; 30%.
 Nếu một ngày có mưa thì xác suất ngày hơm sau đẹp trời, nhiều mây, có mưa

lần lượt là 50%; 20%; 30%.
a) Cơ quan dự báo thời tiết cho rằng ngày mai trời nhiều mây và khả năng có mưa là
50%. Hãy dự báo thời tiết của ngày tiếp theo?
b) Nếu ngày hơm nay trời mưa thì xác suất sau 3 ngày nữa trời mưa là bao nhiêu?
Bài 4.
Một cuộc khảo sát tại một trường đại học X cho biết một sinh viên năm thứ nhất được
xếp loại A; B; C; D có thể sẽ được xếp loại A; B; C; D với xác suất cho trong bảng sau:
Cuối năm hai
Xếp loại A Xếp loại B Xếp loại C Xếp loại D
Xếp loại A
0,80
0,15
0,05
0
Xếp loại B
0,40
0,40
0,15
0,05
Cuối năm nhất
Xếp loại C
0,20
0,30
0,30
0,20
Xếp loại D
0,05
0,10
0,40
0,45

Trong khóa học này, có 20% đã được xếp loại A; 40% được xếp loại B; 35% được xếp
loại C và 5% xếp loại D ở năm thứ nhất. Hãy dự đoán tỉ lệ SV được xếp loại A; B; C; D ở
cuối năm thứ hai của khóa học này?
Bài 5.
Tại một trang trại, người ta phân loại đất thành bốn loại như sau: loại 1 (đất nghèo dinh
dưỡng); loại 2 (đất đủ dinh dưỡng); loại 3 (đất dinh dưỡng tốt) và loại 4 (đất dinh dưỡng
rất tốt). Một loại cây trồng được thử nghiệm để cải tạo đất. Kết quả thử nghiệm như sau:

Trước thử
nghiệm

Xếp loại 1
Xếp loại 2
Xếp loại 3
Xếp loại 4

Xếp loại 1
0,50
0,05
0
0

Sau thử nghiệm
Xếp loại 2
Xếp loại 3
0,40
0,10
0,45
0,40
0,05

0,55
0
0,05

Xếp loại 4
0
0,10
0,40
0,95


Nếu tại thời điểm hiện tại, có 15% đất loại 1; 30% đất loại 2; 40% đất loại 3 và 15%
đất loại 4 thì sau khi cải tạo đất bằng loại cây trồng trên sẽ có bao nhiêu phần trăm đất
được xếp loại 1; 2; 3; 4?
Bài 6.
Cho các xích Markov có khơng gian trạng thái S = {1;2;3} với ma trận xác suất
chuyển và phân phối ban đầu như sau, hãy tính phân phối xác suất của xích tại chu kỳ thứ
nhất, thứ hai và thứ ba:
 0 0, 2 0,8 
P  0,1 0 0,9  ;   0,1 0,8 0,1
 0, 6 0 0, 4 


a)
;
 0, 2 0, 2 0, 6 
P  0 0, 4 0, 6  ;   0 1 0 
 0, 4 0, 2 0, 4 



b)
;
0
0 
 1

P  0, 7 0,1 0, 2  ;   0,3 0,3 0, 4 
 0
0
1 

c)
;
 0 0,5 0,5 
P  0 0,8 0, 2  ;   0,1 0, 2 0, 7 
 0,3 0, 7 0 


d)

Bài 7.
Các ma trận sau có phải ma trận chính quy không? Tại sao?
 0 0,1 0,9 
 0, 2 0 0,8 


 0 0,3 0, 7 

;
a)

0 0,5 
 0,5 0


 0,1 0 0,9 0 
 0 0, 2 0 0,8 


0 0,1 0,9 
b)  0

Bài 8.
Chứng minh rằng các xích Markov có ma trận xác suất chuyển và phân phối ban đầu
như sau sẽ đạt trạng thái cân bằng (equilibrium), (làm tròn xác suất đến chữ số thập phân
thứ hai)


 0,15 0,85 
P 
 ;   1 0 
0,
2
0,8


a)
;
 0,1 0 0,9 
P  0,3 0, 2 0,5  ;   0,33 0,34 0,33 

 0, 7 0 0,3 


b)
;

Bài 9.
Với a; b là các số dương, hãy cho biết ma trận nào sau đây là chính quy:
 0 1
 a b;



 a b
 0 1;



 a b
 1 0



Bài 10.
Một cuộc khảo sát người tiêu dùng về thói quen sử dụng càfe thương hiệu T cho kết
quả như sau: có 70% khách hàng đã mua càfe thương hiệu T sẽ tiếp tục mua càfe của
thương hiệu T ở lần tiếp theo (1 tháng); còn lại chuyển sang mua càfe của thương hiệu
khác. Trong khi đó, có 10% khách hàng đã mua càfe của thương hiệu khác sẽ chuyển
sang mua càfe thương hiệu T ở tháng tiếp theo.
Tại thời điểm khảo sát ban đầu, có 34% người dùng càfe lựa chọn thương hiệu T. Hãy

tính thị phần của thương hiệu T sau 6 tháng nữa?
Bài 11.
Tìm phân phối cân bằng của các xích Markov có ma trận xác suất chuyển sau đây:
 0,6 0, 4 
P 

 0, 4 0, 6  ;
a)

 0,35 0, 65 
P 

 0,95 0, 05 
b)

 0, 2 0,8 0 
P  0,8 0 0, 2 
 0, 4 0, 2 0, 4 

;
c)

 0,1 0 0,9 
P  0,1 0,5 0, 4 
 0, 7 0, 2 0,1 


d)

Bài 12.

Trong một khu vực dân cư, có ba loại ngành nghề dành cho nam giới: nông nghiệp;
công nghiệp; dịch vụ. Một cuộc khảo sát về việc lựa chọn ngành nghề của nam giới phụ
thuộc vào ngành nghề của bố với kết quả cho trong bảng sau:
Ngành nghề của con trai


Nông nghiệp
Công nghiệp
Dịch vụ
Nông nghiệp
0,9
0,1
0
Ngành nghề
Công nghiệp
0,7
0,2
0,1
của bố
Dịch vụ
0,3
0,2
0,5
Giả định rằng, tỉ lệ nam giới trong các ngành nghề nói trên khơng thay đổi qua nhiều
thế hệ. Hãy tính các tỉ lệ đó.
Bài 13.
Một cuộc khảo sát người tiêu dùng về thói quen sử dụng càfe cho kết quả như sau:
Tại thời điểm kế tiếp
Thương hiệu A Thương hiệu B Thương hiệu C
Thương

hiệu
A
0,75
0,05
0,2
Tại thời điểm
Thương hiệu B
0,1
0,65
0,25
hiện tại
Thương hiệu C
0,1
0,05
0,85
Nếu bảng trên khơng thay đổi theo thời gian (có nghĩa thị trường càfe trở nên ổ định)
thì thị phần của từng thương hiệu sẽ là bao nhiêu?
Bài 14.
Biến đổi các ma trận sau về dạng R – Q và tìm số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho
ma trận R trong Pm không chứa phần tử 0:
 0,3 0, 2 0,5 
P  0
1
0 
 0, 6 0,3 0,1 

;
a)

 0, 2 0, 7 0,1

P  0
1
0 
 0
0
1 

b)

0
0
0 
 1


0, 6 0,1 0, 2 0, 2 
P 
 0
0
1
0 


0
0
0
1

;
c)

 0, 7 0,1 0,1 00,1


0 0, 2 0, 6 0, 2 
P 
 0
0
1
0 


0,5
0
0
0,5


d)

Bài 15.
Cho ma trận xác suất chuyển của xích Markov hấp thụ:
0
0 
 1

P  0
1
0 
 0,1 0,5 0, 4 




a) Tính số chu kỳ trung bình để trạng thái 3 rơi vào trạng thái hấp thụ?
b) Tính xác suất để trạng thái 3 cuối cùng bị hấp thụ bởi trạng thái 1?


Bài 16.
Cho ma trận xác suất chuyển của xích Markov hấp thụ:
 0,5 0 0, 2 0,3 


0
1
0
0 
P 
 0
0
1
0 


 0 0,3 0, 2 0,5 

a) Tính số chu kỳ trung bình để trạng thái 1 rơi vào trạng thái hấp thụ?
b) Tính xác suất để trạng thái 4 cuối cùng bị hấp thụ bởi trạng thái 3?
Bài 17.
Một ngân hàng phân loại các tài khoản nợ ngắn hạn làm ba loại như sau: tài khoản nợ
đã trả (1); tài khoản nợ sẽ trả đúng hạn (2); tài khoản nợ quá hạn (3). Ma trận xác suất

chuyển của xích Markov cho mơ hình này có dạng:
0
0 
 1

P  0,13 0,85 0, 02 
 0
0
1 


Xác suất một khoản nợ ngắn hạn cuối cùng sẽ được trả là bao nhiêu?
Bài 18.
Một công ty phân loại nhân viên của họ hàng năm như sau: công nhân (1); nhân viên
văn phịng (2); nghỉ hưu (3); nhảy việc (do khơng đáp ứng yêu cầu hoặc tìm chổ làm
khác) (4). Ma trận xác suất chuyển của xích Markov mơ phỏng q trình trên có dạng:
 0,85 0, 04 0,1 0, 01 


0
0,955 0,04 0, 005 

P
 0
0
1
0 


0

0
1 
 0

a) Tính số năm trung bình phục vụ tại cơng ty của một nhân viên văn phịng?
b) Tính xác suất một cơng nhân của công ty cuối cùng sẽ nhảy việc?
Bài 19.
Các sinh viên tại một trường Đại học được phân loại hàng năm như sau: loại trung
bình và chưa tốt nghiệp (1); loại khá giỏi và chưa tốt nghiệp (2); loại được tốt nghiệp (3);


loại kém và bị buộc thôi học (4). Ma trận xác suất chuyển của xích Markov cho mơ hình
trên có dạng:
0
0,1 
 0,5 0, 4


0 0,5 0, 45 0, 05 
P 
 0
0
1
0 


0
0
1 
 0

Xác suất một sinh viên xếp loại trung bình và chưa tốt nghiệp cuối cùng sẽ được tốt
nghiệp là bao nhiêu?
Bài 20.
Chất dinh dưỡng (phù sa) tại một dịng sơng có thể định vị hàng năm như sau: bám
trong sỏi, đá tại đáy sông (1); bám trên các loại thực vật sống trên sông (2); bám trên các
sinh vật sống trên sông (3); bám trên các vật thể và bị cuốn trôi ra biển (4). Ma trận xác
suất chuyển của xích Markov cho mơ hình trên có dạng:
 0, 6 0,3 0 0,1


0, 2 0, 6 0, 2 0 
P 
 0,3 0 0, 7 0 


0
0
1 
 0

a) Chứng minh rằng ma trận trên là ma trận xác suất chuyển của xích Markov hấp thụ.
b) Nếu một đơn vị chất dinh dưỡng bám trong sỏi, đá tại đáy sơng thì trung bình sau
bao lâu nó sẽ bị cuốn trơi ra biển?
Bài 21.
Quản lý của một công ty sản xuất nước giải khát tin rằng xác suất khách hàng mua sản
phẩm của công ty Red Pop hoặc Super Cola phụ thuộc vào việc mua hàng gần nhất của
họ. Giả sử rằng, các xác suất chuyển trạng thái được xấp xỉ như sau:
Lần mua hàng kế tiếp
Red Pop

Super Cola

Lần mua hàng

Red Pop

0,9

0,1

trước

Super Cola

0,1

0,9


a) Hãy mô tả sơ đồ cây nhị phân cho trường hợp một khách hàng đã mua sản phẩm
của Red Pop trong thời gian vừa qua. Tính xác suất để khách hàng này sẽ mua sản phẩm
của Red Pop trong chu kỳ thời gian tiếp theo.
b) Thị phần của từng loại sản phẩm trên trong một thời gian dài là bao nhiêu?
c) Công ty Red Pop đã mở chiến dịch quảng cáo để thu hút các khách hàng của Super
Cola. Nhà quản lý tin rằng, chiến dịch này sẽ tăng 15% khả năng một khách hàng chuyển
từ mua Super Cola sang Red Pop. Hỏi rằng, dự án quảng cáo trên có tác động như thế nào
đến sự phân chia thị phần?
Bài 22.
Một trung tâm máy tính của trường Đại học M đã có kinh nghiệm về các sự cố của

máy tính. Giả sử rằng, chu kỳ trong các phép thử của quá trình Markov là 1 giờ và xác
suất hệ thống máy tính ở trạng thái tốt hoặc bị hỏng phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống
ở chu kỳ trước đó. Dữ liệu thống kê trong quá khứ cho biết các xác suất chuyển trạng thái
như sau:
Trạng thái của hệ thống
máy tính ở chu kỳ tiếp theo
Tốt
Hỏng
Trạng thái của hệ thống máy

Tốt

0,9

0,1

Hỏng
0,3
0,7
tính ở chu kỳ hiện tại
a) Nếu ban đầu hệ thống ở trạng thái tốt thì khả năng hệ thống sẽ bị hỏng sau 3 giờ
tiếp theo là bao nhiêu?
b) Xác suất để hệ thống ổn định ở trạng thái tốt là bao nhiêu và ở trạng thái hỏng là
bao nhiêu?
Bài 23.
Một nguyên nhân gây ra việc hỏng hóc của hệ thống là do lỗi phần cứng. Người quản
lý tin rằng nếu thay thế bộ phận bị hỏng này thì các xác suất chuyển trạng thái sẽ như sau:
Trạng thái của hệ thống
máy tính ở chu kỳ tiếp theo
Tốt

Hỏng


Trạng thái của hệ thống máy
tính ở chu kỳ hiện tại

Tốt

0,95

0,05

Hỏng

0,6

0,4

a) Khi đó, xác suất để hệ thống ổn định ở trạng thái tốt là bao nhiêu và ở trạng thái
hỏng là bao nhiêu?
b) Nếu chi phí cho việc hệ thống bị hỏng trong khoảng thời gian bất kỳ là 500$ thì chi
phí cần thiết để thay thế bộ phận bị hỏng là bao nhiêu?
Bài 24.
Một vấn đề giao thong lớn tại một cung đường A tại thành phố X là tình trạng ùn tắc
giao thơng. Giả sử rằng, nếu khơng có ùn tắc giao thơng tại cung đường A trong một chu
kỳ thời gian thì xác suất sẽ khơng có ùn tắc giao thơng tại cung đường A trong chu kỳ
thời gian tiếp theo là 0,85; tương tự nếu có ùn tắc giao thơng trong một chu kỳ thời gian
thì xác suất sẽ có ùn tắc giao thơng trong chu kỳ thời gian tiếp theo là 0,75. Các trạng thái
giao thơng chỉ gồm có ùn tắc hoặc khơng ùn tắc và được phân loại theo chu kỳ mỗi 30
phút.

a) Giả sử rằng bạn đang tham gia giao thông tại cung đường A và nghe thơng báo trên
radio là có tình trạng ùn tắc giao thơng. Tính xác suất trong 60 phút tới (2 chu kỳ) tại
cung đường A sẽ cịn ùn tắc giao thơng.
b) Về lâu dài, xác suất hệ thống giao thông trên không bị ùn tắc là bao nhiêu?
Bài 25.
Số liệu thống kê tại một thành phố ở Mỹ cho biết : trong chu kỳ thời gian 1 năm có
2% dân số sống ở nội ơ sẽ chuyển ra sống ở ngoại ô và 1% dân số sống ở ngoại ô chuyển
sang sống ở nội ô. Hãy trả lời các câu hỏi sau với giả định là quá trình này là quá trình
Markov với hai trạng thái : nội ơ và ngoại ơ.
a) Hãy tìm ma trận xác suất chuyển.
b) Tính các xác suất ổn định.
c) Nếu muốn quy hoạch thành phố có 40% sống ở nội ô và 60% sống ở ngoại ô thì các
sự thay đổi dân cư tương ứng với các xác suất chuyển là bao nhiêu?
Bài 26.


Giả sử rằng có 3 cửa hàng tạp hóa trong một khu vực là Murphy’s; Ashley’s và Quick
Stop với ma trận xác suất chuyển trạng thái như sau:
Cửa hàng được khách lựa chọn tại chu kỳ
Murphy’s

tiếp theo
Ashley’s

Quick Stop

Cửa hàng được

Murphy’s

0,85

0,10

0,05

khách lựa chọn tại

Ashley’s

0,20

0,75

0,05

0,10

0,75

Quick Stop
0,15
chu kỳ hiện tại
a) Tính các xác suất ổn định của quá trình Markov này.

b) Thị phần mà cửa hàng Quick Stop thu được trong tương lai sẽ là bao nhiêu?
c) Trước đây, chỉ có 2 cửa hàng Murphy’s và Ashley’s thì hàng tuần trong số 1000
khách hàng sẽ có khoảng 667 khách hàng của Murphy’s và 333 khách hàng của Ashley’s.
Hãy đánh giá tác động của Quick Stop đối với các khách hàng của 2 cửa hàng nói trên?
Giải thích?

Bài 27.
Mơ hình phân chia thị phần đối với 2 nhãn hiệu kem đánh răng A và B xem như là
một quá trình Markov với xác suất chuyển trạng thái là :
Nhãn hiệu được khách lựa chọn
tại chu kỳ tiếp theo
Nhãn hiệu A
Nhãn hiệu B
Nhãn hiệu được khách lựa

Nhãn hiệu A

0,9

0,1

Nhãn hiệu B
0,05
chọn tại chu kỳ hiện tại
a) Nhãn hiệu nào sẽ có lượng khách hàng trung thành nhiều hơn? Tại sao?

0,95

b) Sự phân chia thị phần của 2 nhãn hiệu trên trong tương lai như thế nào?
Bài 28.
Giả sử rằng có một nhãn hiệu mới tham gia thị trường với ma trận xác suất chuyển
mới như sau :
Nhãn hiệu được khách lựa chọn tại chu kỳ
tiếp theo
Nhãn hiệu A Nhãn hiệu B

Nhãn hiệu mới


Nhãn hiệu được

Nhãn hiệu A

0,8

0,10

0,1

khách lựa chọn tại

Nhãn hiệu B

0,05

0,75

0,2

Nhãn hiệu mới
0,4
0,30
chu kỳ hiện tại
a) Sự phân chia thị phần trong tương lai sẽ như thế nào?

0,3

b) Nhãn hiệu nào sẽ chịu sự tác động nhiều nhất do sự xuất hiện của nhãn hiệu mới?
Bài 29.
Một công ty phân loại các khoản nợ trong tài khoản phải thu của họ như sau:
• Trạng thái 1: Loại đã được trả.
• Trạng thái 2: Loại nợ khó địi.
• Trạng thái 3: Loại nợ trong 0 – 30 ngày .
• Trạng thái 4: Loại nợ trong 31 – 90 ngày .
Giả sử sự luân chuyển 1$ trong tài khoản sau chu kỳ 1 tuần là xích Markov với ma trận
xác suất chuyển là:
0
0
0 
 1


0
1
0
0 

P
 0,5 0 0, 25 0, 25 


 0,5 0, 2 0, 05 0, 25 

Trong các khoản nợ của cơng ty có 4000$ loại nợ trong 0 – 30 ngày và 5000$ loại nợ
trong 31 – 90 ngày. Hãy tính nợ xấu của cơng ty trong tương lai.
Bài 30.

Một công ty chuyên trồng và bán cây thông giáng sinh. Mỗi năm, công ty phân loại
cây đang trồng thành 4 loại sau:
• Cây loại 1: Loại được cắt bán.
• Cây loại 2: Loại bị đốn bỏ vì sâu bệnh.
• Cây loại 3: Loại cịn q nhỏ khơng thể cắt.
• Cây loại 4: Loại sẵn sàng cắt nhưng chưa thể bán và được giữ lại.
Ma trận xác suất chuyển có dạng như sau:


0
0
0 
 1


0
1
0
0 
P 
 0,1 0, 2 0,5 0, 2 


 0, 4 0,1 0 0,5 

Hiện tại công ty có 1500 cây loại 3 và 3500 cây loại 4. Hãy tính xem cuối cùng cơng ty
sẽ bán được bao nhiêu cây và bị mất do sâu bệnh bao nhiêu cây?
Bài 31.
Một tập đoàn đa quốc gia phân loại nhân viên quản lý của họ hàng năm như sau: nghỉ
hưu (1); nhảy việc (2); quản lý cấp trung (3); quản lý cấp cao (4). Ma trận xác suất

chuyển của xích Markov mơ phỏng q trình trên có dạng:
0
0
0 
 1


0
1
0
0 

P
 0, 03 0, 07 0,8 0,1 


 0, 08 0, 01 0, 03 0,88 

Tập đồn hiện có 920 quản lý, bao gồm 640 quản lý cấp trung và 280 quản lý cấp cao.
Hỏi trong số những người đó, cuối cùng sẽ có bao nhiêu người nhảy việc? bao nhiêu
người làm việc cho tập đoàn đến khi về hưu?
Bài 32.
Sinh viên tại một trường Đại học được phân loại như sau: sinh viên đủ điều kiện tốt
nghiệp (1); sinh viên bị buộc thôi học (2); sinh viên năm nhất (3); sinh viên năm hai (4);
sinh viên năm ba (5);sinh viên năm tư (6).
Ma trận xác suất chuyển của xích Markov cho mơ hình trên có dạng:
0
0
0
0

0 
 1


1
0
0
0
0 
 0
 0
0, 2 0,15 0, 65
0
0 
P 

0
0,1 0, 75
0 
 0 0,15
 0
0,1
0
0
0, 05 0,85 


0
0
0

0, 05 
 0,9 0, 05

Hiện nay, nhà trường đang có 600 sinh viên năm nhất; 520 sinh viên năm hai; 460 sinh
viên năm ba và 420 sinh viên năm tư. Tính xem trong số đó có khoảng bao nhiêu sinh
viên cuối cùng sẽ được tốt nghiệp? (lưu ý sinh viên không bị giới hạn về số lần học lại)