Khóa luận hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

HỆ THỐNG HĨA CÁC BÀI TỐN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Khóa luận giáo dục học

ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU

SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ
GVHD: TS. Lƣơng Lê Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Phần mở đầu

3

I

6

Cơ sở của phương pháp NikiforovUvarov

Kt lun chng I

10

II Gii phng trỡnh Schră
odinger cho cỏc hố thế năng khác nhau

11

1

Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2

Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3

Dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4

Thế năng Woods–Saxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5

Thế năng Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

6

Th nng PăoschlTeller

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

7

Thế năng Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

8

Thế năng Hulthen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

9

Thế năng Kratzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

10

Dao động giả điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Khóa luận giáo dục học

Kết luận chương II

73

III Kết luận

74

IV Tài liệu tham khảo

76

Phụ chú

77


Lời cảm ơn
Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cơ, gia đình và bạn bè.
Với tấm lịng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lịng biết ơn của mình đến:

Trước hết là thầy, TS. Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốt
quá trình thực hiện luận văn. Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềm
đam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu.

Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM
đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng cho
tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt, TS. Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn.

Bên cạnh, là những người quan tâm em, ln giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốn

Khóa luận giáo dục học

năm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận.

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn.

Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018

Huỳnh Trúc Như


Phn m u
1. Lý do chn ti

Phng trỡnh Schrăodinger là phương trình động lực học cơ bản dùng để mơ tả các
tính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newton
trong cơ học cổ điển. Đối với một hệ cổ điển, thơng qua việc giải phương trình II Newton
ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì. Tuy
nhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mơ tả chuyển động
của những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô). Do vậy, khi nghiên
cứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mơ, điển hình là nghiên cứu chuyển
động của hạt electron (các hạt cơ bản), ta khơng thể dùng phương trình II Newton để
mô tả mà phải thông qua việc giải phng trỡnh Schrăodinger tỡm c hm súng
(nghim ca phng trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảo
được các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới. Chính vỡ vy m
vic gii phng trỡnh Schrăodinger cho n nay là điều cần thiết và quan trọng [1].

Khóa
luận
giáo
dục
học
Dựa trên những kin thc c bn trong vic gii phng trỡnh Schrăodinger với các

hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào th
m ta cú th xõy dng phng trỡnh Schrăodinger cho những hố thế phức tạp hơn. Ví
dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tương
tác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử...

Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với các
dạng hố thế này. Do đó, đề tài luận văn mục đích l h thng li vic gii phng trỡnh
Schrăodinger cho cỏc hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trình
đại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse
[6], [12], Pă
oschlTeller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] v dao động giả điều

hịa [10]. Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinh
viên, như một tài liệu tham khảo bổ ích.


Mặt khác, một vấn đề luôn được quan tâm trong vic gii phng trỡnh Schrăodinger
chớnh l phng phỏp gii. chương trình đại học, đối với hố thế sâu vơ hạn và hàng
rào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai. Riêng đối
với mơ hình dao động tử điều hịa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và áp
dụng tốn tử sinh hủy. Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hố
thế khác lại gặp khó khăn trong việc tính tốn, hoặc một số phương pháp khác thì chỉ
cho nghiệm gần đúng. Do đó, việc lựa chọn phương phỏp phự hp gii phng trỡnh
Schrăodinger cho cỏc h thế khác nhau là điều cần thiết. Có nhiều phương pháp giải khác
nhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác. Trong số đó, phương pháp
Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có
hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ cho
nghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản. Nhưng nhìn chung, phương pháp này lại
đơn giản hóa trong vic tớnh toỏn v gii phng trỡnh Schrăodinger i vi nhiều hố
thế phức tạp. Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiện
tuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số
từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng.

Khóa luận giáo dục học

Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài tốn phức tạp.
Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệ
thống lại các bài toán cơ học lượng tử trong vic gii phng trỡnh Schrăodinger ng vi
cỏc h th khỏc nhau. Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng năng
lượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽ
minh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple.

2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác nng khỏc nhau thụng qua
vic gii phng trỡnh Schrăodinger bng phương pháp Nikiforov–Uvarov. Các bài toán
được sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó,
luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ.


3. Cấu trúc luận văn

Phần mở đầu:
Chương I: Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov.
Chương II: Hệ thống một số bài toỏn c hc lng t trong vic gii phng trỡnh
Schrăodinger ứng với các hố thế năng khác nhau.
Kết luận – Hướng phát triển.
Tài liệu tham khảo.
Phụ chú.

Khóa luận giáo dục học


Chương I

I

Luận văn tốt nghiệp

Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov
Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] được xây dựng bởi hai nhà vật lí người Nga,

Nikiforov và Uvarov. Cơ sở chính của phương pháp là dựa trên việc giải phương trình
vi phân bậc hai. Bng cỏch rỳt phng trỡnh Schrăodinger v phng trỡnh vi phân bậc
hai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàm
sóng tương ứng.
Ta xét phương trình vi phân bậc hai dưới dạng:

ψ 00 (s) +

τ˜(s) 0
σ
˜ (s)
ψ (s) + 2 ψ(s) = 0,
σ(s)
σ (s)

(I.1)

trong đó, τ˜(s) là đa thức bậc nhất, σ(s) và σ˜ (s) là những đa thức bậc hai, ψ(s) là hàm
số có dạng của hàm hàm siêu việt.
Đưa phương trình (I.1) về dạng đơn giản hơn bằng cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), trong
đó hàm ψ(s) được chọn sao cho thích hợp.

Khóa luận giáo dục học

Ta có:

ψ 0 (s) = φ0 (s)y(s) + φ(s)y 0 (s),
ψ 00 (s) = φ00 (s)y(s) + 2φ0 (s)y 0 (s) + φ(s)y 00 (s).

Khi đó phương trình (I.1) được viết lại:

00

y (s) +



φ0 (s) τ˜(s)
2
+
φ(s)
σ(s)



0



y (s) +

φ00 (s) φ0 (s) τ˜(s)
σ

˜ (s)
+
+ 2
φ(s)
φ(s) σ(s) σ (s)


y(s) = 0.

(I.2)

Đặt hệ số đứng trước y 0 (s) bằng τ (s)/σ(s), với τ (s) là đa thức có bậc đồng nhất, ta được:

2

φ0 (s) τ˜(s)
τ (s)
+
=
,
φ(s)
σ(s)
σ(s)

(I.3)

φ0 (s)
π(s)
=
,

φ(s)
σ(s)

(I.4)

trong đó:

Trang 6


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

với π(s) là đa thức có bậc được đồng nhất.
Từ biểu thức (I.3) và (I.4), ta biểu diễn τ (s) dưới dạng:
(I.5)

τ (s) = τ˜(s) + 2π(s).

Biểu thức φ00 (s)/φ(s) xuất hiện trong hệ số đứng trước y(s). Biểu diễn φ00 (s)/φ(s) theo
biểu thức (I.4):

φ00 (s)
=
φ(s)



φ0 (s)

φ(s)

0


+

φ0 (s)
φ(s)

2


=

π(s)
σ(s)

0


+

π(s)
σ(s)

2
(I.6)

và hệ số đứng trước y(s) cũng được viết lại:

φ00 (s) φ0 (s) τ˜(s)
τ˜(s)
σ(s)
+
+ 2
= 2 ,
φ(s)
φ(s) σ(s) σ (s)
σ (s)

(I.7)

với

Khóa luận giáo dục học
σ(s) = σ
˜ (s) + π 2 (s) + π(s)[˜
τ (s) − σ 0 (s)] + π 0 (s)σ(s).

(I.8)

So sánh các vế của phương trình (I.2), (I.3) và (I.7), ta được:

y 00 (s) +

σ(s)
τ (s) 0
y (s) + 2 y(s) = 0.
σ(s)

σ (s)

(I.9)

Từ phương trình (I.7), ta thấy rằng σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt:
σ(s) = λσ(s),

(I.10)

trong đó λ là một hằng số.
Khi đó phương trình (I.9) được đưa về dưới dạng:
σ(s)y 00 (s) + τ (s)y 0 (s) + λy(s) = 0.

(I.11)

Phương trình (I.11) cũng là phương trình có dạng của hàm siêu việt, và nghiệm của nó
cũng được biểu diễn dưới dạng hàm siêu việt.
Trang 7


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm π(s) và hằng số λ bằng cách viết lại phương trình (I.8) dưới
dạng biểu thức bậc hai theo π(s):
π 2 (s) + π(s)[˜
τ (s) − σ 0 (s)] + σ
˜ (s) − λ + π 0 (s) = 0.

(I.12)

Nghiệm của phương trình bậc hai (I.12):

π(s) =

σ 0 (s) − τ˜(s)
2

s
±

σ 0 (s) − τ˜(s)
2

2
−σ
˜ (s) + kσ(s),

(I.13)

với
k = λ − π 0 (s).

(I.14)

Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức dưới dấu căn của phương trình (I.13) phải có dạng
bình phương của một đa thức. Do đó, ∆s = 0. Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm
được các giá trị của k , và từ đó ta sẽ tìm được các hàm π(s) tương ứng từ phương trình
(I.13). Các biểu thức τ (s), λ và φ(s) cũng được xác định bởi phương trình (I.5), (I.14)

và (I.4).

Khóa luận giáo dục học

Vì đạo hàm của hàm siêu việt cũng là một hàm siêu việt. Do đó, khi lấy đạo hàm bậc
một phương trình (I.11) và đặt υ1 (s) = y 0 (s), ta thu được:
συ100 (s) + τ1 (s)υ10 (s) + µ1 υ1 (s) = 0,

(I.15)

τ1 (s) = τ (s) + σ 0 (s)

(I.16)

µ1 = λ + τ 0 (s)

(I.17)

với

và

là các đa thức có bậc được đồng nhất, µ1 là tham số phụ thuộc vào biến số s.
Tương tự, đạo hàm bậc hai của phương trình (I.11), với υ2 (s) = y 00 (s):
σ(s)υ200 (s) + τ2 (s)υ20 (s) + µ2 υ2 (s) = 0,

(I.18)

τ2 (s) = τ1 (s) + σ 0 (s) = τ (s) + 2σ 0 (s)

(I.19)

với

Trang 8


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

và
µ2 = µ1 + τ10 (s) = λ + 2τ 0 (s) + σ 00 (s).

(I.20)

Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn (s) = y (n) (s), ta được:
σ(s)υn00 (s) + τn (n)υn0 (s) + µn υn (n) = 0,

(I.21)

τn (s) = τ (s) + nσ 0 (s)

(I.22)

với

và
µn = λ + nτ 0 (s) +

n(n − 1) 00
σ (s).
2

(I.23)

Tất cả các nghiệm của phương trình (I.21) được biểu diễn dưới dạng υn (s) = y (n) (s), với
y(s) là nghiệm của phương trình (I.11). Khi µn = 0, phương trình (I.21) sẽ có nghiệm

đặc biệt υn (s) = const, do đó phương trình (I.23) trở thành:

Khóa luận giáo dục học
λn = −nτ 0 (s) −

n(n − 1) 00
σ (s), n = 0, 1, 2...
2

(I.24)

yn (s) là hàm có dạng hàm siêu việt:

yn (s) =

Bn dn n
[σ (s)ρ(s)] ,
ρ(s) dsn

(I.25)

với Bn là hằng số chuẩn hóa và ρ(s) phải thỏa điều kiện:
[σ(s)ρ(s)]0 = τ (s)ρ(s).

Trang 9

(I.26)


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

Kết luận chương I
• Ta thấy vic gii phng trỡnh Schră
odinger bng phng phỏp NikiforovUvarov

s cho nghiệm (hàm sóng) chính xác. Việc tính tốn cũng sẽ đơn giản hóa hơn khi
ta đưa phương trình về dạng phương trình siêu việt, sau đó áp dụng các tính chất
đặc biệt của hàm này để giải tìm nghiệm.
• Một lu ý khi gii phng trỡnh Schră
odinger bng phng phỏp Nikiforov–Uvarov

là cần đổi biến số mới phù hợp để rút về dưới dạng phương trình (I.1). Thứ hai,
cần chọn giá trị của k và hàm π(s) thích hợp sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm
τ (s) khi đó phải mang giá trị âm (τ 0 (s) < 0).
• Tuy nhiên, phương pháp này cũng có hạn chế khi khơng áp dụng được cho các hố

thế như: hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn hay hiệu ứng đường ngầm.

Khóa luận giáo dục học

Trang 10


Chng II

II

Lun vn tt nghip

Gii phng trỡnh Schră
odinger cho cỏc hố thế
năng khác nhau
Trong chương II, đề tài khóa luận s h thng li vic gii phng trỡnh Schrăodinger

cho 10 hố thế năng khác nhau, đó là các hố thế: hố thế sâu vô hạn, hàng rào thế, dao
động tử iu hũa, WoodsSaxon, Morse, PăoschlTeller, Coulomb, Hulthen, Kratze v
dao ng giả điều hịa. Trong đó, với hố thế sâu vơ hạn và hàng rào thế, đề tài khóa luận
sẽ giải phng trỡnh Schrăodinger bng cỏch gii phng trỡnh vi phõn cấp hai cơ bản.
Riêng đối với tám hố thế năng còn lại, đề tài sẽ áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov
như đã trình bày ở chương I.

1

Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn
Hố thế năng sâu vô hạn [1],[2] là một mơ hình đơn giản mơ tả chuyển động và tính

chất lượng tử của một hạt vi mơ. Ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong

Khóa luận giáo dục học

hố thế có thành cao vơ hạn, bề rộng a và biểu thức hàm thế năng được xác định bởi:

Hình II.1: Hố thế năng sâu vơ hạn
(

0,

0≤x≤a

(II.1a)

+∞,

x < 0, x > a

(II.1b)

V (x) =

Trang 11


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Xét thấy hàm thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta có thể viết phương trỡnh
Schrăodinger di dng dng:




~2 d2



2m dx2

+ V (x) (x) = Eψ(x).

(II.2)

Ta viết lại phương trình (II.2) dưới dạng phương trình vi phân:

ψ 00 (s) −

2m

~2

[V (x) − E] ψ(x) = 0.

(II.3)

• Xét trong hai miền x < 0 và x > a: V (x) = +∞

Nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm khi ψ(x) = 0 (nghiệm tầm thường), nên ta khơng

Khóa luận giáo dục học

nhận trường hợp này.

• Xét cho miền 0 ≤ x ≤ a: V=0

Phương trình (II.2) khi đó được viết lại dưới dạng:

với k =

√

ψ 00 (x) + k 2 ψ(x) = 0,

(II.4)

ψ(x) = A cos kx + B sin kx.

(II.5)

2mE/~, (E ≥ 0).

Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị và hữu hạn nên ta đặt điều kiện liên tục tại hai biên:
ψ(0) = 0, ψ(a) = 0. Vì vậy, hàm sóng phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình:



A cos k0 + B sin k0 = 0

(II.6)


A cos ka + B sin ka = 0
Giải hệ phương trình ta tìm được:
k=

nπ
, n = 1, 2, 3, ...
a
Trang 12

(II.7)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Vì thế, hàm sóng có dạng:
ψ(x) = B sin

 nπ 
a

(II.8)

x .

Bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, ta tìm được hệ số B như sau:
Z +∞
|ψ(x)|2 dx = 1

(II.9)

−∞

r
⇒B=

2
.
a

(II.10)

Vậy, hàm sóng khi hạt chuyển động trong hố thế sâu vơ hạn có dạng:

r
ψ(x) =

với số sóng: k =

nπx
2
sin
, n = 1, 2, 3...
a
a





nπ
~nπ
, xung lượng: p = ~k =
, và biểu thức năng lượng:
a
a
p2
(~k)2
n2 π 2 ~2
En =
=
=
.
2m
2m
2ma2

Nhận xét:

(II.11)

Khóa luận giáo dục học

(II.12)

• Bằng cách giải phương trình vi phân bậc hai cho hố thế sâu vơ hạn, ta đã tìm

được nghiệm chính xác của hàm sóng và giá trị năng lượng ứng với các mức lượng

tử khác nhau.
• Với biểu thức năng lượng vừa tìm được, ta nhận thấy rằng năng lượng của hạt khi

chuyển động trong thế giới vi mô không thể nhận giá trị liên tục tùy ý như khi
chuyển động trong thế giới vĩ mơ mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn theo
từng mức năng lượng.
• Khi hạt chuyển động ở mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1, E1 =

π 2 ~2
> 0,
2ma2

ta thấy năng lượng ln lớn hơn khơng. Điều này có nghĩa là, trong thế giới vi mô
không tồn tại một hạt ở trạng thái đứng yên, mà các hạt luôn luôn ở trạng thái
chuyển động.
Những tính chất này khơng thể gặp trong cơ học cổ điển.

Trang 13


Chương II

2

Luận văn tốt nghiệp

Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm
Trong cơ học lượng tử, hàng rào thế là bài tốn một chiều phổ biến mơ tả hiện tượng

truyền qua và phản xạ của các hạt khi chuyển động qua những rào thế khác nhau [1],[2].

Ở bài toán này, chỳng ta s gii phng trỡnh Schrăodinger dng cho mt hạt tự do để
khảo sát những hiệu ứng lượng tử tương ứng của nó.
Trong trường hợp hàng rào thế năng, ta sẽ xét hai dạng hàng rào thế đơn giản là rào
thế bậc thang và rào thế chữ nhật.

a) Rào thế bậc thang
Xét một hạt chuyển động một chiều trong hố thế năng dạng bậc thang vng góc với
hàm thế năng có dạng:

Khóa luận giáo dục học

Hình II.2: Rào thế bậc thang
(

0,

x<0

(II.13a)

V0 ,

x≥0

(II.13b)

V (x) =

Vì hàm thế năng khơng phụ thuc vo thi gian nờn phng trỡnh Schrăodinger khi ú
c viết dưới dạng dừng:


−

~2 d2
2m d2 x


+ V (x) ψ(x) = Eψ(x),
Trang 14

(II.14)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

hay dưới dạng vi phân:
ψ 00 (x) −

2m

~2

[V (x) − E(x)]ψ(x) = 0.

(II.15)

Để giải tìm hàm sóng cho hố thế dạng này, ta chia khơng gian thnh hai min v gii
phng trỡnh Scgrăodinger ng vi hai trường hợp của năng lượng so với hàng rào thế:

E > V0 và E ≤ V0 .

 Trước hết, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào th:
E > V0
ã Min I: (x < 0)

Phng trỡnh Schrăodinger cho miền I sẽ là:
ψ 00 (x) + k12 ψ(x) = 0,

với k1 =

(II.16)

√
2mE/~.

Giải phương trình vi phân (II.16), ta tìm được nghiệm cho miền I dưới dạng:

Khóa luận giáo dục học
ψI (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x .

(II.17)

• Min II: (x 0)

Phng trỡnh Schrăodinger cho min II:
00 (x) + k22 ψ(x) = 0,

với: k2 =

p

(II.18)

2m(E − V0 )/~

Giải phương trình vi phân (II.18), ta tìm được nghiệm cho miền II dưới dạng:
ψII (x) = Ceik2 x + De−ik2 x .

(II.19)

Xét thấy miền II chỉ có sóng truyền qua nên D = 0. Đồng thời, dựa vào điều kiện chuẩn
hóa ta sẽ chọn: A = 1.
Khi đó, nghim ca ca phng trỡnh Schrăodinger cho min I v miền II lần lượt là:
ψI (x) = eik1 x + Be−ik1 x ,

(II.20)

ψII (x) = Ceik2 x .

(II.21)

Trang 15


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng: ψI (0) = ψII (0), ψ˙I (0) = ψ˙II (0), ta có hệ phương

trình:


1 + B = C

1 − B = k2 C

(II.22)

k1

(II.23)
Giải hệ phương trình (II.22), ta tính được các hệ số B và C như sau:



C =

2
1 + k2 /k1
1 − k2 /k1


B =
1 + k2 /k1

(II.24)

Do đó, ta cũng tìm được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T dưới dạng:

2






1
−
k
/k
2
1

,
R = |B|2 =


1 + k2 /k1


Khóa luận giáo dục học
T = |C|2

4k2 /k1
k2
=
.
k1
(1 + k2 /k1 )2

(II.25)

(II.26)

Nhận xét [1]:
• Từ các biểu thức (II.25) và (II.26) tương ứng xác định hệ số phản xạ R và hệ số

truyền qua T như trên, ta nhận thấy rằng: R + T = 1 với mọi giá trị k1 và k2 , điều
này cho thấy số hạt trung bình ln được bảo tồn.
• Tiếp theo, ta xét các giá trị giới hạn khi E → ∞ và E → V0 :

Xét tỉ số:
k2
=
k1

r
1−

V0
,
E

nên hệ số phản xạ được viết lại như sau: