khóa luận tốt nghiệp các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ trước đến nay kết quả học tập đạt được không chỉ phụ thuộc vào
những nỗ lực của bản thân mỗi chúng ta mà còn phụ thuộc vào phương pháp
truyền đạt của mỗi giáo viên. Xã hội ngày càng phát triển, tri thức ngày một
tăng lên v
ì t
hế để đạt được hiệu quả cao trong học tập và l
ĩnh h
ội tốt tri thức
của nhân loại thì không chỉ đ
òi h
ỏi ý thức tự học của mỗi cá nhân phát triển
cao hơn mà mỗi giáo viên cần phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp.
Với phân phối chương tr
ình
ở nhà trường phổ thông thì không thể thâu
tóm hết kho tàng nội dung kiến thức phong phú của nhân loại, không thể l
ĩnh
hội hết mọi kiến thức mà mình mong muốn. Vì thế chúng ta phải đặt ra
phương pháp dạy học phù hợp, phát huy được ý thức của người học. Do vậy
đ
òi h
ỏi người giáo viên phải biết cách tự tìm tòi, nghiên cứu các phương pháp
dạy học phù hợp, đó là kim chỉ nam, là nền tảng quan trọng xây dựng nên bề
dày tri thức cho học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu tri thức của nhân loại.
Ở trường THPT các bài toán hình học không gian từ xưa tới nay là phần
khó đối với học sinh bởi hình học không gian có tính chất trừu tượng cao.
Đứng trước một bài toán hình học không gian ta có thể đưa ra được nhiều
cách giải khác nhau trong đó có thể sử dụng phương pháp tọa độ. Sử dụng

phương pháp tọa độ trong không gian giúp các em giải toán một cách dễ dàng
hơn v
ì th
ế mỗi giáo viên cần có một phương pháp cụ thể để tạo cho các em
hứng thú với chủ đề này, có kiến thức vững chắc học lên cao hơn
Tọa độ là một khái niệm mới của toán học được đưa vào chương tr
ình
Toán THPT. Bằng cách đưa vào một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm đều
được xác định bởi tọa độ của nó. Việc nắm vững các nội dung toạ độ giúp học
sinh có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại.
Nếu chúng ta sử dụng công cụ toạ độ để giải thì bài toán trở nên đơn giản hơn
lời giải ngắn gọn hơn và cho ta một cái nhìn tổng quát hơn về bài toán. Dạy
học nội dung “toạ độ trong không gian” giúp cho học sinh có thêm một công
2
cụ mới để làm toán và để suy ngh
ĩ v
ề toán theo một phương pháp khác với
các phương pháp quen thuộc từ trước đến nay.
Xuất phát từ những lí do trên, là một giáo viên tương lai với mong muốn
góp một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc tìm tòi, vận dụng, nâng
cao chất lượng dạy học bằng phương pháp mới, rèn luyện k
ĩ năng mà ngư
ời
học trong thời đại mới cần có, tạo tiền đề cho sự phát triển năng lực ở các bậc
học cao hơn và có thể vận dụng vào quá trình giảng dạy sau này, tôi quyết
định dành tâm huyết của mình với đề tài: “Các bài toán hình học không gian
giải bằng phương pháp tọa độ ”
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nay nhằm mục đích hệ thống phương pháp, thủ thuật và phân dạng
bài tập chủ đề “ phương pháp tọa độ ” trong không gian ở chương tr

ình môn
toán trường THPT. Thông qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp từ đó giúp
học sinh hình thành
đ
ịnh hướng, k
ĩ năng gi
ải toán. Từ đó góp phần nâng cao
chất lượng học của học sinh nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục Toán học
nói chung.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là : “Các bài toán hình học không gian giải bằng
phương pháp tọa độ ”
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đưa ra các phương pháp, thủ thuật và phân dạng bài tập phù hợp sẽ
giải quyết được một số khó khăn mà học sinh thường mắc phải và giúp các
em đạt kết quả cao trong học tập.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết
Phân tích lí thuyết là thao tác phân tài liệu lí thuyết thành các đơn vị kiến
thức, cho phép ta tìm những dấu hiệu đặc thù, bản chất, cấu trúc bên trong của
lí thuyết. Từ đó nắm vững bản chất của từng đơn vị kiến thức và toàn bộ vấn
3
đề ta nghiên cứu. Con đường phân tích – tổng hợp cho phép ta nhận thức
được nội dung, xu hướng phát triển khách quan của lí thuyết và từ đây tiến
hành suy diễn hình thành khái niệm, tạo ra hệ thống các phạm trù, lí thuyết
khoa học mới.
5.2. Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục
Sự nghiệp giáo dục của chúng ta phát triển hết sức mạnh mẽ và đem lại
những thành tựu to lớn. Các nhà giáo dục trong công tác của mình đã tích lũy
được nhiều kinh nghiệm… Những kinh nghiệm này cần phải được nghiên

cứu, tổng kết và đây chính là một phương pháp cho ta những thông tin thực
tiễn có giá trị.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đây là phương pháp thu nhận thông tin thông qua môi trường sư phạm
nhằm kiểm tra khả năng thực thi và tính hiệu quả của các vấn đề nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp của khóa luận
- Xây dựng được một số phương pháp giải toán, giúp học sinh nắm bắt
được yêu cầu, vai trò và tầm quan trọng trong việc sử phương pháp tọa độ.
- Phân tích và tổng hợp được một số dạng toán và các phương pháp thủ
thuật giải toán bằng phương pháp tọa độ.
7. Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, kí hiệu viết tắt, đề tài
gồm 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí thuyết.
Chương 2: Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
4
Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Sơ lược về sự học tập của học sinh THPT
1.1.1. Điểm học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT
Nội dung và tính chất của hoạt động học tập của thanh niên học sinh đ
òi
hỏi tính năng động và tính độc lập ở mức độ cao hơn nhiều, đồng thời muốn
nắm được chương tr
ình m
ột cách sâu sắc thì cần phát triển tư duy l
ý lu
ận.
* Hoạt động học tập của học sinh THPT có tính chất độc đáo về mục
đích và kết quả hoạt động. Học sinh học tập để tiếp thu các tri thức khoa học,

cung cấp và trang bị kiến thức hình thành thế giới quan và nhân sinh quan.
* Hoạt động học tập diễn ra trong điều kiện có kế hoạch vì nó phụ thuộc
vào nội dung, chương tr
ình,
mục tiêu, phương thức và thời gian học tập.
Ở tuổi thanh niên mới lớn những đặc điểm chung của con người về mặt
trí tuệ thông thường đã được hình thành và chúng vẫn còn tiếp tục hoàn thiện.
Hoạt động tư duy của học sinh THPT phát triển mạnh, khả năng tư duy trừu
tượng, tư duy lí luận độc lập, sáng tạo cao. Năng lực phân tích tổng hợp phát
triển, học sinh thích khái quát, tìm hiểu quy luật, các vấn đề triết lý…
1.1.2. Tác động của phương pháp dạy học đối với sự phát triển trí tuệ
1.1.2.1. Khái niệm phương pháp dạy học
Phương pháp thường được hiểu là con đường, là cách thức để đạt được
những mục tiêu nhất định. Phương pháp dạy học liên hệ với quá trình dạy
học, trong đó việc dạy điều khiển việc học.
1.1.2.2. Mối quan hệ giữa dạy học và sự phát triển trí tuệ
Trong điều kiện hiện nay, sự tiến bộ của k
ĩ thu
ật và nhịp độ phát triển
của khoa học đề ra những yêu cầu ngày càng cao đối với trình
đ
ộ văn hóa
chung của thế hệ trẻ. Nếu như thời văn minh nông nghiệp, mục đích của học
để biết thì ngày nay, thời văn minh tin học, người ta học để sống.
5
Dạy học và phát triển trí tuệ có quan hệ chặt chẽ với nhau. Trong quá
trình dạy học có sự biến đổi thường xuyên vốn kinh nghiệm của học sinh,
biến đổi cả về số lượng và chất lượng của hệ thống tri thức. Cùng với sự biến
đổi đó, quá trình dạy học và những năng lực trí tuệ của học sinh c
ũng đư

ợc
phát triển. Có thể nói, dạy học là một trong những con đường cơ bản để phát
triển trí tuệ một cách toàn diện. Dạy học không chỉ ảnh hưởng đến sự phát
triển năng lực trí tuệ, mà còn ảnh hưởng đến các mặt khác của nhân cách như
nhu cầu nhận thức, hứng thú học tập, động cơ học tập, lòng ham hiểu biết, …
1.2. Một số khái niệm
1.2.1. Khái niệm hoạt động học
Trước hết theo Tâm lý học thì hoạt động là sự tác động của con người
vào thế giới khách quan tạo ra sự thay đổi cả về con người và thế giới khách
quan, trong đó con người là chủ thể còn thế giới khách quan là khách thể, hay
nói cách khác là đối tượng của hoạt động. Theo Triết học hoạt động là quá
trình diễn ra giữa con người với giới tự nhiên, một quá trình trong
đó b
ằng
hoạt động của mình con ng
ư
ời làm trung gian điều tiết kiểm tra sự trao đổi
chất giữa họ và tự nhiên. Như vậy, hoạt động học là hoạt động đặc thù của
con người được điều khiển bởi mục đích tự giác là l
ĩnh h
ội tri thức, kỹ năng,
kỹ xảo mới, những giá trị, những hình thức hành vi và những dạng hoạt động
nhất định đây là một hoạt động đặc thù của con người.
1.2.1. Bản chất của hoạt động học
Hoạt động học chính là sự lĩnh hội, biến đổi nền văn hoá của loài
người nhờ đó mà h
ình thành và
phát triển các năng lực c
ũng như nhu c
ầu

trong mỗi người.
Hoạt động học tập là hoạt động chuyển hướng vào sự tái tạo lại tri thức
ở người học, sự tái tạo ở đây hiểu theo ngh
ĩa là phát hi
ện lại. Để tái tạo lại,
người học không có cách gì khác
đó là ph
ải huy động nội lực của bản thân.
6
1.3. Cơ sở thực tiễn
Hiện nay học sinh THPT càng ngày càng trưởng thành, kinh nghiệm
sống ngày càng phong phú, các em càng ý thức được rằng mình
đang đ
ứng
trước ngưỡng cửa cuộc đời. Đại đa số học sinh đ
ã hình thành nh
ững hứng thú
học tập gắn liền với khuynh hướng nghề nghiệp, các em có thái độ học tập
được thúc đẩy bởi động cơ học tập, đó có thể là động cơ xuất phát từ gia
đ
ình, b
ạn bè …
Bên cạnh đó, thái độ học tập ở một số bộ phận học sinh còn mang các
nhược điểm như: Chưa xác định đúng định hướng nên các em chỉ tập trung
học một số môn, một số phần mà các em cho là quan trọng.
Hiện nay đại đa số các em đều tập trung vào việc học môn đại số và
dường như không quan tâm đến việc học môn hình học, nhất là hình trừu
tượng đòi hỏi người học có sự tư duy và logic cao.
1.4. Tiểu kết chương 1
Ở chương 1, chúng ta có thể đánh giá và nh

ìn nh
ận một cách khái quát về
tình hình học tập của học sinh THPT. Chúng ta nắm được một phần về
phương pháp dạy học: "Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao
lưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt
được mục tiêu dạy học". Từ đó rút ra mối quan hệ chặt chẽ giữa dạy học và sự
phát triển trí tuệ. Bởi vậy trong quá trình dạy học, việc nắm vững tri thức và
việc phát triển trí tuệ tác động qua lại hết sức chặt chẽ với nhau. Sự phát triển
trí tuệ vừa là kết quả, vừa là điều kiện của việc nắm vững tri thức, của hoạt
động học tập.
Như vậy, qua chương này chúng ta có thể có một cơ sở lí luận vững chắc
để từ đó xây dựng được cách nhìn thực tiễn phù hợp cho yêu cầu tìm hiểu của
bản thân.
7
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
2.1. Phân phối chương tr
ình ch
ủ đề "phương pháp tọa độ" trong
chương tr
ình SGK
* Chương tr
ình SGK trình bày ch
ủ đề " Phương pháp tọa độ ” ở Chương
III, SGK lớp 12. Phương pháp tọa độ trong không gian:
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian.
Bài 2: Phương trình mặt phẳng.
Bài 3: Phương tr
ình đư
ờng thẳng trong không gian.

2.2. Dạy học phân loại chủ đề “ Phương pháp tọa độ ”
2.2.1. Một số khái niệm
* Định ngh
ĩa h
ệ tọa độ
Trong không gian cho ba trục x
’
Ox, y
’
Oy, z
’
Oz vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi
, ,i j k
  
lần lượt là các vector đơn vị trên các trục x
’
Ox, y
’
Oy, z
’
Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz
trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz.
* Định ngh
ĩa t
ọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz , cho một điểm M tùy ý. Vì ba vector
, ,i j k
  

không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
OM xi y j zk= + +
   
. Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là tọa độ của điểm M đối với
hệ trục tọa độ Oxyz đ
ã cho và vi
ết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z)
* Định ngh
ĩa t
ọa độ của một vector
Trong không gian vector Oxyz cho vector
A

, khi đó luôn tồn tại duy nhất
bộ ba số (a
1
; a
2
; a
3
) sao cho
1 2 3
OA a i a j a k= + +
   
. Ta gọi bộ ba số (a
1
; a
2
; a
3

) đó
là tọa độ của vector
A

đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và
a

(a
1
; a
2
; a
3
).
8
2.2.2. Các định tính cần nhớ
* Định lí 1.(kiểm soát sự cùng phương) Cho
u

cùng phương với
v

khi đó
- Nếu
0v ≠
 
thì
k ∈R
,
u kv=

 
.
Chú ý: Ta có
u kv=
 
và dấu của k phụ thuộc vào sự cùng hướng hay
ngược hướng giữa hai vectơ
u

và
v

.
-
. 0u v =
  
* Định lý 2. (kiểm soát sự đồng phẳng) Cho
, ,wu v
  
đồng phẳng khi đó:
- Nếu
u

,
v

không cùng phương khi đó
!( , ) :wk l ku lv∃ ∈ = +
  
R

-
w( . ) 0u v =
  
* Định lí về quan hệ vuông góc: Cho
u

có phương vuông góc với phương
v

khi đó:
. 0u v =
 
2.2.3. Các định lượng cần nắm vững.
+) Các công thức về góc
Nếu
0, à 0u v v≠ ≠
   
* Góc giữa hai vectơ
os( , ) =

 
 
uv
c u v
u v
.
* Góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
1 2

os( , )
u u
c
u u
∆ ∆ =

 
.
* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1
sin( , )
u n
u n



∆
∆
∆ =

 
.
* Góc giữa hai mặt phẳng
os( , )
n n
c
n n
 
 
 

=

 
.
9
+) Các công thức về khoảng cách
* Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
( , )
∆ ∆
∆
∧
∆ =
 

M M u
d M
u
.
* Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
( , )
∧
=
 

M M n
d M
n
 



.
* Giữa hai đường thẳng chéo nhau:
1 2 1 2
1 2
1 2
( )
( , )
( )
∧
∆ ∆ =
∧
  
 
M M u u
d
u u
.
+). Các công thức về tính diện tích thể tích
* Diện tích tam giác:
2 2
∆
∧ ∧
= =
   
ABC
AB AC AB BC
S
.
* Diện tích tứ giác:
2

∧
=
 
ABCD
BD AC
S
(với
,AC BD
là hai đường chéo)
* Thể tích tứ diện:
( ) ( )
6 6
∧ ∧
= =
     
ABCD
AC AC AD AC AB CD
V
* Thể tích hình chóp tứ diện:
.
( )
6
∧
=
  
S ABCD
SA AC BD
V
(với
,AC BD

là
hai đường chéo tứ giác đáy).
+) Các công thức liên quan đến tọa độ
* Ba phép toán tuyến tính:
( )
, ,
u v u v u v
ku kv kx kx k y k y kz k z+ = + + +
       
.
* Tích vô hướng:
.
u v u v u v
u v x x y y z z= + +
 
.
* Tích có hướng:
, ; ;
u u u u u u
v v v v v v
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=
 
 
 
 

10
+) Các công thức liên quan đến điểm.
* Tọa độ vectơ theo tọa độ điểm mút
( )
; ;
A B A B A B
AB x x y y z z− − −

.
* Tọa độ các loại trọng tâm
- Trung điểm của đoạn thẳng AB là:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
 
 
- Trọng tâm
∆
ABC là:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 

 
 
.
- Trọng tâm tứ diện ABCD là:
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +
 
 
 
.
Chú ý: Nếu
AM k AB=
 
với
1k ≠
thì
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
− − −
 
 
− − −

 
.
2.3. Phương pháp giải chung
2.3.1 Phương pháp giải toán
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta
cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan
dựa vào hệ trục tọa độ đ
ã ch
ọn và độ dài cạnh của hình. Bài toán
đơn gi
ản hay
không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vị
trên các trục Dưới đây là nguyên tắc căn bản để lập hệ tọa độ giải toán.
2.3.2. Nguyên tắc lập hệ tọa độ
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt
đáy điều này có ngh
ĩa là xác đ
ịnh hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông
góc với nhau. Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn và
đồng thời hai trục kia chính là hai trục hoành và trục tung.
11
- Từ gốc (đ
ã xác đ
ịnh) ta dựng trục vuông góc vói mặt đáy để hoàn thành
việc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với đáy chính là trục cao.
- Nhìn vào hình vẽ khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán, để
ý rằng với một số điểm không sẵn khai tọa độ ta cần kiểm soát các quan hệ
cùng phương, đồng phẳng…để khai bằng được tọa độ các điểm liên can tới
yêu cầu bài toán.
- Xử lý các yêu cầu của bài toán.

2.4. Các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ
2.4.1. Hình chóp tam giác.
2.4.1.1 Phương pháp lập hệ tọa độ.
* Đối với tam diện vuông
- Chọn gốc của hệ trục trùng với đỉnh của
góc tam diện vuông.
- Ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh
góc tam diện vuông đó.
* Đối với hình chóp
đ
ều
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau
* Đối với hình chóp SABC có SA
vuông góc với đáy và
∆
ABC vuông
tại A
12
* Đối với hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC
vuông tại B, thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập theo hai dạng
* Đối với hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC
cân tại A, thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập theo hai dạng
2.4.1.2 Dạng bài tập định lượng.
* Phương pháp giải chung.
Các bước chọn hệ trục tọa độ
Bước 1 : Thiết lập hệ tọa độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra tọa độ
của các điểm cần thiết.
Bước 2 : Thiết lập biểu tích cho giá trị cần xác định.
13
* Một số bài tập.

Bài toán 1: (Khối D – 2002) Cho hình chóp ABCD có AB, AC, AD
đôi
một vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tính khoảng cách từ điểm a
tới mặt phẳng (BCD).
*) Giáo viên hướng dẫn.
Giáo viên vẽ hình.
Giáo viên gợi ý: để giải bài toán theo phương pháp tọa độ trước tiên ta
cần chọn hệ trục tọa độ.
Giáo viên: Hãy chọn hệ trục tọa độ cho thích hợp, và tìm tọa độ các điểm
cần thiết :
Trả lời: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
, , ,A O D Ox C Oy B Ozº Î Î Î
.
Khi đó A(0;0;0), B(0;0;3), C(0;4;0), D(4;0;0).
Giáo viên: Nêu công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Trả lời:
( , )
M M n
d M
n
 


∧
=
 

(1)
Giáo viên: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) (là mặt phẳng
( )a

trong công thức (1)).
Trả lời: Phương tr
ình t
ổng quát mặt phẳng (BCD) là:
1 3 3 4 12 0
4 4 3
x y z
x y z+ + = Û + + - =
Giáo viên: Từ đó yêu cầu học sinh tính khoảng cách từ điểm A tới (BCD)
Trả lời:
2 2 2
3.0 3.0 4.0 12
12 6 34
( , ( ))
17
34
3 3 4
d A mf BCD
+ + -
= = =
+ +
(đvđd).
14
*) Lời giải đầy đủ:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho:
, , ,A O D Ox C Oy B Ozº Î Î Î
( ) ( ) ( ) ( )
A 0;0;0 , B 0;0;3 , C 0;4;0 , D 4;0;0Þ
Phương tr
ình

đo
ạn chắn của mặt phẳng (BCD) là:
1 3 3 4 12 0
4 4 3
x y z
x y z+ + = Û + + - =
Khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (BCD) là:
2 2 2
3.0 3.0 4.0 12
12 6 34
( ,( ))
17
34
3 3 4
d A BCD
+ + -
= = =
+ +
(đvđd).
Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c
đôi m
ột
vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến
các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC
nhỏ nhất.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên: Hãy chọn hệ trục tọa độ cho
bài toán và suy ra các tọa độ cần thiết
Trả lời:
, , ,O OA x OB y OC zÎ Î Î

.
Khi đó O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
C(0; 0; c).
Giáo viên: Nêu tọa độ điểm M.
Do
[ ]
,( ) 3 3
M
d M OAB z= Þ =
[ ] [ ]
,( ) 2 2, ,( ) 1 1
M M
d M OCA y d M OBC x= Þ = = Þ =
Þ
M(1; 2; 3).
Giáo viên: Hãy viết phương tr
ình m
ặt phẳng (ABC)?
15
Trả lời phương trình mặt phẳng (ABC):
1
x y z
a b c
+ + =
Giáo viên: Do
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
Î Þ + + =
(1).

Giáo viên: Áp dụng tính thể tích hình chóp OABC?
Trả lời:
.
( ) ( )
1
6 6 6
O ABC ABCD
AC AC AD AC AB CD
V V abc
Ù Ù
= = = =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
(2).
Giáo viên: Từ
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³
3
6
1 3
abc
Û ³
1
27
6
abcÞ ³
.
Giáo viên: Kết hợp với (2) ta được gì?

Trả lời:
. min
1
27 27
6
O ABC
V abc V= ³ Þ ³
(nếu có).
Giáo viên: Vậy
min
27V ³
khi nào?
Trả lời:
min
3
1 2 3 1
27 6
3
9
a
V b
a b c
c
ì
=
ï
ï
ï
ï
= Û = = = Û =

í
ï
ï
=
ï
ï
î
*) Lời giải đầy đủ:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
C(0; 0; c).
[ ]
,( ) 3 3
M
d M OAB z= Þ =
. Tương tự
[ ] [ ]
,( ) 2 2, ,( ) 1 1
M M
d M OCA y d M OBC x= Þ = = Þ =
Þ
M(1; 2; 3).
Pt (ABC):
1
x y z
a b c
+ + =
,
1 2 3
( ) 1M ABC
a b c

Î Þ + + =
(1).
16
.
1
6
O ABC
V abc=
(2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³
1
27
6
abcÞ ³
.
(2)
min
1 2 3 1
27
3
V
a b c
Þ = Û = = =
Bài toán 3: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = b. Đường thẳng SC tạo với
mặt phẳng (ABC) góc 60

0
. Tính thể tích hình chóp và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên nhận xét: Theo giả thiết ta có
dữ kiện SA vuông góc với mặt (ABC) nhưng
ta không chọn A làm gốc tọa độ vì khi
đó vi
ệc
suy ra các tọa độ sẽ rất khó khăn. Ta để ý thấy
có tam giác ABC vuông tại B với AB = a, BC
= b ta có thể chọn đỉnh vuông B của tam giác
ABC làm gốc tọa độ, khi đó ta có hai trục Ox
và Oy chứa 2 cạnh xuất phát từ B. Trục còn lại được dựng vuông góc với mặt
(ABC) qua B.
Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, chỉ ra tọa độ các điểm
Trả lời: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;b;0).
Giáo viên: Giả sử SA = h,
Trả lời: Nếu SA= h thì S(a;b;h)
( , , )SC a b h⇒ = − −

.
Giáo viên: Viết phương tr
ình m
ặt phẳng (ABC)
Trả lời: Mặt phẳng (ABC) có phương tr
ình: z = 0 v
ới
( , , )n a b h=


là
vectơ pháp tuyến của phương trình của mặt phẳng (ABC).
17
Giáo viên: Do SC tạo với (ABC) góc 60
0
nên
0
.
sin60
n SC
n SC
=
 
 
.
2 2 2
3
2
h
a b h
⇔ =
+ +
.Tính h thông qua a, b
Trả lời:
2 2
3( )h a b= +
Giáo viên: Gọi
0 0 0
( , , )I x y z
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta có:
2 2 2 2
ISIA IB IC= = =
(1). Thay tọa độ vào (1) tìm tọa độ
0 0 0
( , , )I x y z
Trả lời: (1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) ( )x y z x a y z x y b z⇒ + + = − + + = + − +
2 2 2 2 2
0 0 0
( )x y z a b= + + − +
2 2
0 0 0
3( )
; ;
2 2 2
a b
a b
x y z
+
⇒ = = =
Giáo viên: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tính R?
Trả lời:
2 2 2 2 2
0 0 0
R IB x y z a b= = + + = +
Giáo viên: Gọi V là thể tích hình chóp, Tính V ?
Trả lời:

2 2
1 1 1
. . .
3 6 6
ABC
V SA S SA BC BA ab a b
∆
= = = +
(đvtt).
*) Lời giải đầy đủ:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như h
ình v
ẽ.
Giả sử SA = h, khi đó B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;b;0), S(a;b;h)
( , , )SC a b h⇒ = − −

.
Mặt phẳng (ABC) có phương tr
ình: z = 0 v
ới
( , , )n a b h=

là vectơ pháp
tuyến của phương tr
ình c
ủa mf (ABC).
Do SC tạo với (ABC) góc 60
0
18
nên:

0
2 2 2
.
3
sin60
2
n SC
h
n SC
a b h
= ⇔ =
+ +
 
 
2 2
3( )h a b⇒ = +
Giả sử
0 0 0
( , , )I x y z
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có:
2 2 2 2
ISIA IB IC= = =
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 2
0 0 0
( ) ( )x y z x a y z x y b z

x y z a b
+ + = − + + = + − +
= + + − +
( )
2 2
0 0 0
3
; ;
2 2 2
a b
a b
x y z
+
⇒ = = =
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có:
2 2 2 2 2
0 0 0
R IB x y z a b= = + + = +
Gọi V là thể tích hình chóp, ta có:
2 2
1 1 1
. . .
3 6 6
ABC
V SA S SA BC BA ab a b
∆
= = = +
(đvtt).
* Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và

ABCD
vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]?
Bài tập 2: ( ĐHSP I Khối A- 2000) Trong không gian cho các điểm A,
B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một
sao cho OA = a, OB = a
2
, OC = c( a, c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O
của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. (P) là mặt phẳng
đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với
AM
19
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài đoạn OE.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối
chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác
đ
ều SABC có độ dài cạnh đáy là a,
đường cao SH = h. Mặt phẳng
( )a
đi qua AB và vuông góc với SC.
a) Tìm điều kiện của h theo a để
( )a
cắt SC tại K.
b) Tính diện tích
D
ABK
2.4.1.3 Dạng bài toán định tính
* Phương pháp giải chung

Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1 : Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra tọa
độ của các điểm cần thiết.
Bước 2 : Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh. Cụ thể :
Để chứng minh một biểu thức vector, ta cần xác định tọa độ của các
vector trong biểu thức đó, từ đó thay vào biểu thức để đưa ra kết luận.
Chứng minh mối liên hệ đại số.
Mối liên hệ giữa vector chỉ phương với vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng và giữa đường thẳng với mặt phẳng.
* Một số bài tập
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của
tam giác BCD theo a, b, c. Chứng minh rằng:
2 ( )S abc a b c≥ + +
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm cần thiết
20
Trả lời: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
Giáo viên:
1
,
2
BCD
S BC BD
 
=
 
 
( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2
; ;0 , ;0; , , ; ;
1 1
, ( ) (1)
2 2
BCD
BC c b BD c a BC BD ab ac bc
S BC BD a b a c b c
đvdt
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
   
 
Giáo viên:
2 ( )S abc a b c≥ + +
hãy biến đổi tương đương theo (1).
Trả lời:
2 2 2 2 2 2
( )a b a c b c abc a b c+ + ≥ + +
2 2 2 2 2 2
( )a b a c b c abc a b c⇔ + + ≥ + +
Giáo viên: Theo bất đẳng thức Cauchy ta
được:
Trả lời:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2

2 2 2 2 2
a b +b c 2ab c
b c +c a 2bc
c a a b 2ca
a
b
≥


≥


+ ≥

Giáo viên: Cộng vế theo vế ta được gì?
Trả lời: Cộng vế:
2 2 2 2 2 2
( )a b a c b c abc a b c+ + ≥ + +
.
Giáo viên: Kết luận
Trả lời:
2 ( )S abc a b c≥ + +
*) Lời giải đầy đủ:
Chọn hệ trục tọa độ như h
ình v
ẽ, ta có tọa độ các điểm là:
A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
; ;0 , ;0; , , ; ;

1 1
, ( )
2 2
BCD
BC c b BD c a BC BD ab ac bc
S BC BD a b a c b c
đvdt
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
   
 
21
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
( )
a b a c b c abc a b c
a b a c b c abc a b c
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
a b +b c 2ab c
b c +c a 2bc ( )

c a a b 2ca
a a b a c b c abc a b c
b
≥


≥ ⇒ + + ≥ + +


+ ≥

2 ( )S abc a b c⇒ ≥ + +
.
Bài toán 2 : Cho tứ diện vuông OABC vuông tại O, biết rằng OA, OB,
OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc
, ,
  
. Chứng minh rằng:
2 2 2
os os os 2c c c
  
+ + =
*) Giáo viên hướng dẫn học sinh.
Giáo viên gởi mở hướng dẫn học sinh. Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
Học sinh: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với gốc O của
hình tam diện. Các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia OA, OB, OC.
- Xác định tọa độ các điểm cần thiết
Học sinh : Giả sử các cạnh OA, OB, OC lần lượt có độ dài a, b, c, khi đó:
A(a; 0 0 ), B(0; b; 0), C (0; 0; c)
Giáo viên : Viết phương tr

ình m
ặt phẳng (ABC) và tìm vector chỉ
phương của nó
Trả lời : Phương tr
ình m
ặt phẳng (ABC) là
1 ( ) 0
x y z
ABC bcx acy abz abc
a b c
+ + = ⇔ + + − =
Có vector pháp tuyến
( , , )n bc ac ab

Giáo viên : Tính sin các góc
, ,
  
Học sinh : Ta lần lượt có
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. .
sin ,sin
. .
.
sin
.
nOA nOB
bc ac
n OA n OB

b c a c a b b c a c a b
nOC
ab
n OC
b c a c a b
 

= = = =
+ + + +
= =
+ +
   
   
 
 
Giáo viên : Biến đổi
2 2 2
os os osc c c
  
+ +
thành công thức chứa sin
Học sinh :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
os os os 3 sin sin sin
3 2
c c c
b c a c a b
b c a c a b b c a c a b b c a c a b

     
+ + = − − −
= − − − =
+ + + + + +
Bài toán 3: Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SO
Chứng minh rằng
SA BC^
. Tính thể tích và diện tích toàn phần của
hình chóp SABC.
Gọi I là trung điểm của SO. Chứng minh rằng IA, IB, IC đôi một vuông
góc với nhau.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên: Gọi M là trung điểm BC.
Gọi SO là đường cao của tứ diện đều nên
SH là trục đường tròn (ABC). Tính AH?
Trả lời: Gọi M là trung điểm
BC
3
,
2
a
AM BC AMÞ ^ =
Þ
O là tâm đường tròn (ABC)
2 3
3 3
a
AH AMÞ = =
.
Giáo viên: Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc. Tìm

tọa độ các điểm.
23
Trả lời: O(0;0;0),
3
; ;0 ,
2 2
a a
B
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
3 3 6
; ;0 , 0; ;
2 2 3 3
a a a a
C S
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
-
ç ç
÷ ÷

ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Giáo viên: Chứng minh
SA BC^
Trả lời:
3 6
. 0( ) .0 .0 0
3 3
a a
SA BC a= - + + =
uur uuur
SA BCÞ ^
uur uuur
. Vậy
SA BC^
Giáo viên: Tính thể tích và diện tích toàn phân của hình chóp SABC?
Trả lời: Thể tích hình chóp:
2 3
1 1 6 3 3
. . .
3 3 3 4 12
ABC
a a a
V SO S= = =
(đvtt).
Diện tích toàn phân:
2
2

3
4 4 3
4
tp ABC
a
S S a= = =
(đvdt)
Giáo viên: Gọi I là trung điểm SO Tính tọa độ điểm I
Trả lời:
3 6
0, ;
3 6
a a
I
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Giáo viên: Để chứng minh IA, IB,IC đôi một vuông góc cần chứng minh:
. 0, . 0, . 0IA IB IB IC IC IA= = =
uur uur uur uur uur uur
Trả lời:
3 6 3 6 3 6

0; ; , ; ; , ; ;
3 6 2 3 6 2 3 6
a a a a a a a a
IA IB IC
æ ö æ ö æ ö
- -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= = - =
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
uur uur uur
3 6 6
. 0. . 0
2 6 6 6
a a a a
IA IB IA IBÞ = + - = Þ ^
uur uur uur uur
Tương tự ta có
;IB IC IC IA^ ^
. Vậy IA, IB,IC đôi một vuông góc
Vậy IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau.
24
*) Lời giải đầy đủ:
Gọi M là trung điểm BC

3
,
2
a
AM BC AMÞ ^ =
Gọi SO là đường cao của tứ diện đều nên SH là trục đường tròn (ABC)
Þ
O là tâm đường tròn (ABC)
2 3
3 3
a
AH AMÞ = =
Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc.
O(0;0;0),
3 3 3 6
; ;0 , ; ;0 , 0; ;
2 2 2 2 3 3
a a a a a a
B C S
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
-
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø

Ta có:
3 6
. 0( ) .0 .0 0
3 3
a a
SA BC a SA BC= - + + = Þ ^
uur uuur uur uuur
.
Vậy
SA BC^
Thể tích hình chóp:
2 3
1 1 6 3 3
. . .
3 3 3 4 12
ABC
a a a
V SO S= = =
(đvtt).
Diện tích toàn phân:
2
2
3
4 4 3
4
tp ABC
a
S S a= = =
(đvdt).
I là trung điểm SO suy ra tọa độ

3 6
0, ;
3 6
a a
I
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Ta có:
3 6 3 6 3 6
0; ; , 0; ; , 0; ;
3 6 3 6 3 6
a a a a a a
IA IA IA
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= = =
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç

÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
uur uur uur
3 6 6
. 0. . 0
2 6 6 6
a a a a
IA IB IA IBÞ = + - = Þ ^
uur uur uur uur
3 3 6 6
. . . . 0
2 2 6 6 6 6
a a a a a a
IB IC IB IC
- -
= - + - = Þ ^
uur uur uur uur
6 3 6 6
. .0 . . 0
2 6 6 6 6
a a a a a
IC IA IC IA= - + - = Þ ^
uur uur uur uur
Vậy IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau.
25
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông, ngoài
ra OC = OA + OB. Chứng minh rằng tổng các góc phẳng ở đỉnh C = 90
0

Bài tập 2: (ĐHGT- 2001). Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a,
M là trung điểm của cạnh BC. Trên các nửa đường thẳng AA
1
, MM
1
vuông
góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N,I sao
cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đương cao vuông góc hạ từ A xuống NB.
Chứng minh rằng AH
⊥
NI
2.4.1.4. Giải bài toán cực trị
* Phương pháp chung
Bước 1 : Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm
cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức điều kiện(nếu có ).
Bước 3: Lựa chọn phương pháp tìm cực trị (Phương pháp tam thức bậc
hai, sử dụng bất đẳng thức, sử dụng đạo hàm).
* Một số bài tập.
Bài toán 1: Cho điểm M nằm trong tam diện vuông Oxyz. Mặt phẳng
( )a
thay đổi đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm phân
biệt A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC.
*) Giáo viên gợi ý:
Giáo viên: Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp
Trả lời :
, ,OA x OB y OC zÎ Î Î
Giáo viên: Giả sử
0 0 0
( , , )M x y z=

và mặt
phẳng
( )a
cắt Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B,
C. Tìm tọa độ A, B, C.
Trả lời: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).