De thi hsg toan 8 cap huyen nam 2022 2023 phong gddt son dong bac giang

PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
Mơn: Tốn – Lớp 8
Ngày thi: 12/04/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề có 03 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)

Câu 1: Phân tích đa thức x3 − 9 x thành nhân tử ta được
A. x ( x − 9 ) .

(

)

C. x ( x − 3)( x + 3) .

B. x x 2 − 9 .

D. x ( x − 9 )( x + 9 ) .

Câu 2: Số dư của phép chia x 2023 + 2 cho x + 1 là
A. −1.

B. 1.

A. x ≠ 0.

B. x ≠ ±1.

C. 2.
2
xy
Câu 3: Điều kiện có nghĩa của biểu thức
là:
B
=
+ 2
3
x − x x +1
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực sao cho
3
A. − .
2
Câu 5: Cho C =

D. 3.

C. x ≠ 0; x ≠ ±1.

D. x ≠ 0; x ≠ −1.

ax + b
c
1
. Khi đó a + b + c bằng :

=
+
2
( x + 1) ( x − 1) x + 1 x − 1
2

1
B. − .
2

C.

1
.
2

D.

3
.
2

2a + 3
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó S có mấy
a −1

phần tử ?
B. 2.
C. 3.
D. 4.

A. 1.
=
=
cm, AC 36
cm, BC 26cm , trung tuyến AM , phân giác AD . Độ dài đoạn thẳng
Câu 6: Cho ∆ABC=
có: AB 16
DM bằng:

A. 5cm.

B. 8cm.

C. 9cm.

D. 13cm.

0

Câu 7: Hình thoi ABCD có góc A bằng 60 và AB = 6 3cm thì diện tích hình thoi đó là:
A. 54 3cm 2 .

B. 50cm 2 .

Câu 8: Gọi x0 là nghiệm của phương trình

1
P=
− x02 + 7 là:
2

A. −100.

B. −4993.

C. 60cm 2 .

D. 27 3cm 2 .

x + 43 x + 46 x + 49 x + 52
. Giá trị của biểu thức
+
=
+
57
54
51
48

C. 5007.

D. 4993.

Câu 9: Cho đa thức f ( x) = x 4 − 3 x3 + 3 x 2 + ax + b và đa thức g ( x) = x − 3 x + 2 . Biết f ( x) g ( x) . Khi đó
2

a + b bằng
B. −1.
C. 1.
A. −5.
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=
A x 2 + 5 x + 10 là
A.

15
.
4

B.

−5
.
2

C. −

15
.
4

D. −6.
D.

25
.
4


Câu 11: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết
=

SOAB 4=
cm 2 ; SOCD 9cm 2 . Diện tích ∆AOD bằng:
B. 4cm 2 .
C. 8cm 2 .
A. 6cm 2 .
Câu 12: Cho ∆ABC đồng dạng ∆MNP . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB. AC = MN .NP.

B. AC.NP = BC.MN .

C. AB.MP = MN . AC.

D. 18cm 2 .
D. AB.MP = MN .BC.

0. Chữ số tận cùng của ( 4 − x )
Câu 13: Cho số nguyên x thỏa mãn phương trình 2 x − 3 x − 2 =
2

2023

là chữ

số:
B. 4.
C. 6.
D. 8.
A. 2.
Câu 14: Năm nay, tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng. Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi Hoàng. Hỏi năm
nay Hoàng bao nhiêu tuổi ?

A. 10.

B. 15.

Câu 15: Các giá trị của x thỏa mãn
A. x ≠ 1; x <

−1
.
2

C. 5.

D. 12.

C. −2 < x < 1.

D. −2 ≤ x ≤ 1.

2x +1
< 1 là
x −1

B. x < −2.

Câu 16: Tổng các nghiệm của phương trình ( 2 x 2 − 3 x + 11) =

( 4x

2

A. 0.

B. 1.

2

− 9 x + 15 ) ( 3 x + 7 ) là:

C. 2.

D. 3.

C. −2a + 2023 < −2b + 2023.

D. −2a + 2023 > −2b + 2023.

C. 16m.

D. 18m.

Câu 17: Cho a < b . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2a > 2b.
Câu 18:

B. −2a < −2b.

Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc
vng để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích
thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc

cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí
chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm
là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo
được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến
mét).

A. 12m.

B. 14m.

3 . Giá trị của biểu thức A = x + 2 xy + y − 4 x − 4 y + 1 bằng:
Câu 19: Cho x + y =
2

A. −2.

B. 2.

2

C. 3.

D. −1.

3
C. .
4

D.

Câu 20: Tam giác ABC vng tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường cao AD ( D ∈ BC ) . Tỉ số diện tích của
tam giác ACD và tam giác ABD là:
A.

4
.
3

B.

16
.
9

9
.
16


II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm)
Bài 1: (4,0 điểm)

=
1) Cho biểu
thức P

 x +1
x2 + x
1
2 − x2 

+
+
:

 với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1
x − 1 x2 − x 
x2 − 2x + 1  x

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
2) Tìm số tự nhiên n để n 2 + 2n + 21 là số chính phương.
Bài 2: (5,0 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 − 2 x 2 + x − xy 2
2) Giải phương trình x ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) + 1 =
0

3) Đa thức f ( x) khi chia cho x + 1 dư 5 , khi chia cho x 2 + 1 dư 2 x + 3 . Tìm phần dư khi chia f ( x) cho
( x + 1)( x 2 + 1) .
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh a , một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AD tại F .
1) Chứng minh: BE.DF = BC.CD
BE AE 2
2) Chứng minh:
=
BF AF 2
3) Xác định vị trí của đường thẳng d để DF = 4.BE .
2

2

Bài 4: (1,0 điểm) Cho x, y > 0 thỏa mãn x + 2 y ≥ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của H = x + 2 y +

1
x

+

----------------Hết---------------Cán bộ coi kiểm tra khơng giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:............................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

24
y


PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG

HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
Mơn: Tốn – Lớp 8


PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)

Mỗi câu đúng được 0,3 điểm.

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

C

B

C

B

D

A

A

B

B

A

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp án

A

C

D

A

C

D

D

C

A

B

PHẦN II. TỰ LUẬN (14,0 điểm)
Bài
Bài 1: (4,0 điểm)

Hướng dẫn

Điểm

Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có:

 x +1
x2 + x
1
2 − x2 
=
P
+
+
:

x − 1 x2 − x 
x2 − 2x + 1  x
1.a
2,0 điểm

x( x + 1)  x 2 − 1
x
2 − x2 
=
P
+
+
:


( x − 1) 2  x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) 

0,25

x( x + 1) x + 1
:
( x − 1) 2 x( x − 1)
x( x + 1) x( x − 1)
P=
.
( x − 1) 2 x + 1

0,5

P=

x2
P=
x −1
Vậy P =

0,5
0,5

x2
( với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 )
x −1

0,25
0,25

1.b
1,0 điểm

x2
1
= x +1+
x −1
x −1
Để P nhận giá trị nguyên thì 1 x − 1 hay x − 1 là Ư(1) =

2
1,0 điểm

⇔ ( n + 1) + 20 = k 2 ⇔ k 2 − ( n + 1) = 20 ⇔ ( k − n − 1)( k + n + 1) = 20

Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: P =

{−1;1}

Giải được: x = 0 (loại); x = 2 (thỏa mãn).
Vậy x = 2
Đặt n 2 + 2n + 21= k 2 (k ∈ Z )
2

2

Ta thấy k − n − 1 + k + n + 1 =2k nên k − n − 1 và k + n + 1 cùng tính chẵn lẻ.
Với n ∈ N ; k ∈ Z thì k − n − 1 < k + n + 1
n −1 2

k −n 3 =
k −=
=
k 6
Mà 20 = 2.10 nên 
⇔
⇔
n + 1 10
k +n 9 =
k +=
=
n 3
Vậy n = 3 thỏa mãn bài

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Bài 2. ( 5,0 điểm)
x 3 − 2 x 2 + x − xy 2

1
2
2
1,0 điểm = x ( x − 2 x + 1 − y )

0,25
0,5

2
= x ( x − 1) − y 2 


= x ( x − 1 − y )( x − 1 + y )

0,25

x ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) + 1 = 0 ⇔ ( x 2 + 2 x )( x 2 + 2 x + 2 ) + 1 = 0
2
2,0 điểm

0,25

Đặt x 2 + 2 x =
t phương trình trở thành t ( t + 2 ) + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0
0 ⇔ t + 1 =0 ⇔ t =−1
⇔ ( t + 1) =

0,75

Trả lại ẩn cũ ta được:
2
x 2 + 2 x = −1 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1

0,75

2

Vậy phương trình có tập nghiệm S =

{−1}

0,25

Giả sử f ( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 1) .g ( x ) + ax 2 + bx + c
+ Vì f ( x ) chia cho x + 1 dư 5 nên f ( −1) = 5 ⇔ a − b + c = 5 (1)
3
2,0 điểm

0, 5

Mà

( x + 1) ( x 2 + 1) .g ( x ) + a ( x 2 + 1) + bx + c − a
( x 2 + 1) ( x + 1) .g ( x ) + a  + bx + c − a

f ( x) =
=

=
b 2=
b 2
+ Vì f ( x ) chia cho x 2 + 1 được dư là 2 x + 3 nên: 
(2)
⇔

c − a = 3 c = a + 3
Thay (2) vào (1) ta được: a − 2 + a + 3 = 5 ⇔ a = 2 ⇒ b = 2, c = 5
Vậy đa thức dư là: 2 x 2 + 2 x + 5
Bài 3. ( 4,0 điểm)

0,75
0,5
0,25

F

D

A

C

B

E
d

1
1,5 điểm

 = DFC
 (cùng phụ góc DCE
)
Ta có: BCE

Chứng minh được: ∆EBC  ∆CDF ( g .g )

⇒

BE BC
==
> BE.DF =
BC.CD
CD DF

0,25
0,75
0,5


2
1,5 điểm

EB BC
AE BE
Chứng minh được ∆EBC  ∆EAF ( g .g ) =
>
==
>
= (1)
EA FA
FA BC

0,5

FD DC
AE DC
∆FCD  ∆FEA ( g .g ) =
>
==
>
=
FA AE
FA FD

0,5

(2)

AE 2 BE DC BE
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
(Vì BC = DC )
=
=
.
FA2 BC DF DF
⇒ đpcm
BE 1 AE 2
AE 1
BE 1
a
Để
DF
=
4

BE
=
>
=
=2 =
>
=
=
>
=
=
> BE =
3
DF 4 FA
FA 2
BC 2
2
1,0 điểm
1
Vậy d đi qua C cắt AB tại E sao cho BE = .a
2
Bài 4. (0,5 điểm)
1 24
2
2
Ta có: M = x + 2 y + +
x
y

=

(x

2

) (

2

)

2

( x − 1)
+


1
  24
+ x − 2 + 
+ 6 y − 24  + ( x + 2 y ) + 17
x
  y


− 2x + 1 + 2 y − 8 y + 8 + 

= ( x − 1) + 2 ( y − 2 )
2

x

2

+

6 ( y − 2)
y

≥ 0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 17 =
22
Dấu

2

2

" = " xảy ra ⇔ ( x − 1) = 2 ( y − 2 ) =

2

+ ( x + 2 y ) + 17

( x − 1)

2

=

6 ( y − 2)

x
y
⇔x=
1 và y = 2. Vậy M nhỏ nhất là M = 22 ⇔ x = 1, y = 2

0,5

1,0

0,25

0,25
2

5
= 0 và x + 2 y =

0,25
0,25

Lưu ý khi chấm bài:
+ Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học
sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
+ Với bài 3 nếu học sinh vẽ hình sai hoặc khơng vẽ hình thì khơng chấm..