De thi HSG toan 8 cap huyen 2

Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Đề số 1

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b) A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
Câu 2.

 6−x 1
x 3+ x
−
1 −
÷.
a) Giải phương trình sau:
3  2

2
4
x−
= 3−
2
2
b) Tìm x; y biết:
x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dương.

Câu 3:

Cho abc = 2

A=

Rỳt gọn biểu thức:

a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

Câu 4: a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1

b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2
Câu 5:
Cho tam giác ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỳ sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng
song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của
M qua E F.
a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn
c) Tớnh : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC
để cho AEMF là hình vuông.

1

/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

Đề số 2

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x5 + x +1
c) x4 + 4
d) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0
Câu 2. Giải phương trình sau:
x − 17 x − 21 x + 1
+
+
=4
a)
1990
1986 1004
b) 4x – 12.2x + 32 = 0
1
1
1
1

c)
= +b+
a+b− x
a
x

(x là ẩn số)

Câu 3:

a) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008 cho đa thức
x 2 + 10 x + 21 .
b) Tìm các số nguyên a và b để biểu thức A(x) = x 4 − 3x3 + ax + b chia hết cho biểu thức
B( x) = x 2 − 3x + 4

Câu 4:
a)Cho

a b c
x y z
x2 y2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .

Câu 5:
Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh
O, C, I thẳng hàng.
2
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

Đề số 3

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: (3 điểm)
3   x2
1 
1

A
=
+
+

 : 
Cho biểu thức

2
2
x + 3 
 3 x − 3x   27 − 3x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
1
6y
2
= 2
+
3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y
2

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=

( x + 16)( x + 9)
x

Bài 3: (3 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6
giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách
đều xe đạp và xe máy.
Bài 4: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a − b + c)

3
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
b) Tìm số nguyên a và b để biểu thức A(x) = x 4 − 3x3 + ax + b chia hết cho biểu thức
B( x) = x 2 − 3x + 4

Bài 5: (6điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các
hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB.
CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. CMR:
HA' HB' HC '
+
+
AA' BB ' CC '

bằng một hằng số.

Đề số 4

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: (4đ)
x2 y 2
x y
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 + 2 − 3( + ) + 5 (với x, y khác 0)
y
x
y x
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A MB biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng
2( x − y)
x
y
− 3
+ 2 2
=0
y − 1 x −1 x y + 3
3

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

4x2 − 2x + 1
x2

Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
1

1

1

1

b) 8( x + x ) 2 + 4( x2 + x 2 ) 2 − 4( x 2 + x 2 )( x + x ) 2 = ( x + 4)2
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F
sao cho AE = CF
a) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh
O, C, I thẳng hàng.
4
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Đề số 5

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

2
 1

  4a + 2b 2 
a −1
− 3
:
− ÷
Bài 1. Cho biểu thức: A = 
2 ÷  3
2a
+
b
a
2a
−
b
+
2a
−
a
b
a
b
+
ab

 

a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0
Bài 2
a) Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)

b) Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
c) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A=
Bài 3

a
b
c
+
+
≥3
b+c−a a+c−b a+b−c

5
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ
với 4,7,5
a) Tớnh NC biết BC = 18 cm
b) Tớnh AC biết MC - MA = 3cm
c) Chứng minh

AP BN CM
.
.
=1
PB NC MA

Cõu 4 ( 3,5 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua A kẻ hai đường thẳng vuụng gúc với
nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh ∆ AQR và ∆ APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ
nhật.
3, Chứng minh P là trực tõm ∆ SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.

Đề số 6

Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: ( 6 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A =

( với mọi x ;y)

x−2
x − x2 − x − 2
3

6
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126

Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Bài 2. (8đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax
vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường
thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a) AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi .
b) ∆ AEF ~ ∆ CAF và AF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không
đổi .
Bài 3 (3điểm): Tỡm dư của phép chia đa thức
x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
Bài 4( 3điểm)
Trong hai số sau đây số nào lớn hơn:
a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970

NGUYễN LộC VĂN Hà
Đề số 7
đề chính thức

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: ( 6 điểm )
7
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

a, Chứng minh rằng
b, Cho

1 1 1
+ + = 0.
x y z

x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y ) − 3xy.( x + y ) + z 3
3

yz

xz

xy

Tớnh A = x 2 + y 2 + z 2

Bài 2 : (8đ). Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật
ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
1
a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: MO = IC
2
b) Tính số đo góc BMK?
c) Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để
chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
Bài 3 (3điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =

2x + 1

x2 + 2

Bài 4( 3điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

NGUYễN LộC VĂN Hà
Đề số 8
đề chính thức

yx2 +yx +y =1.

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

8
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Bài 1: ( 6 điểm )
a)Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

27 − 12 x
x2 + 9

1
1
1

+ 2
+ 2
2
2
2
2
b + c -a
c + a - b a + b2 - c2
Rỳt gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0.

b) Cho B =

2

Bài 2 : (6 điểm). Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ
ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC )
a. Chứng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 và chu vi tứ giỏc MEAF khụng phụ thuộc vào
vị trớ của M.
b. Tỡm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.
c. Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3 (5 điểm):
a) Cho a ≥ 4; ab ≥ 12. Chứng minh rằng C = a + b ≥ 7
b) Chứng minh rằng số:
a=

1
1
1
1
+

+
+ ... +
, n ∈ Z + không phải là một số nguyên.
1.2 2.3 3.4
n.(n+1)

Bài 4( 3điểm). Cho hai bất phương trình:
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0
(2)
Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm

NGUYễN LộC VĂN Hà
Đề số 9
đề chính thức

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2012-2013
9
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: ( 5 điểm )
a) Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (1+

1 2
1
) + (1+ )2
a
b

b) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c =
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ≥

3
.
2

3
.
4

Bài 2 : (8đ).
Cho hình chữ nhật ABCD . Trờn đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C
qua P. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Tứ giác AMDB là hỡnh gi?
b). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB.
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí
của điểm P.
PD
9
=
d) Giả sử CP ⊥ BD và CP = 2,4 cm,
. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

PB 16
Bài 3 (4điểm): Giải phương trình:
1)
(x+1)4 + (x+3)4 = 16
2)

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007
+
+
+
=4
1006
1004
1002
1000

Bài 4( 3 điểm).
a. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24

10
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

NGUYễN LộC VĂN Hà
Đề số 10

đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 2012-2013
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

đề chính thức

Bài 1: ( 4 điểm ). Chứng minh rằng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2 : (6 điểm). Cho hình vuông ABCD cú cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
1.Chứng minh CE vuông góc với DF.
2.Chứng minh ∆ MAD cân.
3.Tính diện tích ∆ MDC theo a
Bài 3 (5 điểm):
a) Rút gọn biểu thức:
1

1

1

x2 + x − 6
x 3 − 4 x 2 − 18 x + 9

yz

xz

xy

b) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) . Tính 2 + 2 + 2
x
y
z

Bài 4 (5 điểm).
a) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2
b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1
Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

11
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

Một số đáp án
3
4

1
4

Ta cú: C = a + b = ( a + b) + a ≥ 2
Ta cú:

3ab 1
3 ⋅ 12 1

+ a≥2
+ ⋅4 = 7
4
4
4
4

(ĐPCM)

19702 – 1 < 19702
⇔ 1969.1971 < 19702
⇔

2 1969.1971 < 2.1970 (*)

(0.25đ)

Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)
ta cú:
⇔ ( 1969 + 1971) 2 < (2 1970 ) 2

(0.25đ)
(0.25đ)

⇔ 1969 + 1971 < 2 1970

(0.25đ)

2.1970 + 2 1969.1971 < 4.1970

Vậy: 1969 + 1971 < 2 1970
Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
A=

27 − 12 x
x2 + 9

(

) (

)

2

2
2
x2 − 6
27 − 12 x x − 12 x + 36 − x + 9
A= 2
=
= 2
− 1 ≥ −1
x +9
x2 + 9
x +9

A

đạt

(

giá

trị

) (

nhỏ

nhất

là

-1

⇔ ( x − 6)

)

2

=0

hay

2
4 x 2 + 36 − 4 x 2 + 12 x + 9
2 x + 3)

(
27 − 12 x
=
= 4− 2
≤ 4 . A đạt GTLN là 4
x2 + 9
x2 + 9
x +9

x

=

( 2 x + 3)

2

A
=0⇒ x =−

=
3
2

Do a, b, c là các số dương nên ta có;
(a – 1)2 ≥ 0∀a > 0 ⇒ a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ a 2 + 2a + 1 = ( a 2 + 1) ≥ 4a (1) …………0,25đ
2

Tương tự (b + 1)2 ≥ 4b (2)………………0,25đ
(c + 1)2 ≥ 4c (3) …………0,25đ

Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta cú:
(b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 ≥ 64abc (vỡ abc = 1)
((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 ≥ 64
(b + 1)(a + 1)(c + 1) ≥ 8…..0,25đ
Bài IV: y x2 + y x + y = 1 . (1)
12
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8
Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0.
(1)
y(x2 + x +1) = 1
⇒
⇒ y = 1 ,x= 0
y= 1
x2 + x +1 =1
Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1).

(1đ)

Bài 1:(2 điểm)
Ta cú: a + b + c = 0 ⇔ b + c = - a.
Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2
⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc
Tương tự, ta có:
c2 + a2 - b2 = -2ca
a2 + b2 - c2 = -2ab
1
1

1 -(a+b+c)
⇒ A= =
=0 (vỡ a + b + c = 0)
2bc 2ca 2ab
2abc
Vậy A= 0.
1)

Đặt y = x + 2 ta được phương trình:
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16
⇔ y4 + 6y2 -7 = 0
Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là
z1 = 1 và z2 = -7.
 y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3.
 y2 = -7 không có nghiệm.

2)

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007
+
+
+
=4
1006
1004
1002
1000
x − 1001
x − 1003
x − 1005

x − 1007
⇔
−1+
−1+
−1+
−1 = 0
1006
1004
1002
1000
x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007
⇔
+
+
+
=0
1006
1004
1002
1000
1
1
1 
 1
⇔ ( x − 2007) 
+
+
+
÷ = 0 ⇔ ( x − 2007) = 0
 1006 1004 1002 1000 

 1

1

1

1 

+
+
+
Vỡ 
÷ ≠ 0 ⇒ x = 2007
 1006 1004 1002 1000 

Bài 3:(1,5 điểm)

Ta cú:
13
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8



1 1
 

1 1

 

1

1


1 


a = 1 − ÷+  − ÷+  − ÷+ ... +  −
÷
2
2 3
3 4
n n+1
= 1−



1
n
=
< 1;
n+1 n+1

Mặt khác a > 0. Do đó a không nguyên
Bài 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
Kết quả phân tích A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)
b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)
A là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A  24
Bài 4: Giải a. chứng minh được
F C . BA + CA. BE = AB2
(0,5 điểm )
+ Chứng minh được chu vi tứ giác
MEAF = 2 AB
( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm )
b. Chứng tỏ được M là trung điểm BC
Thỡ diện tớch tứ giỏc MEAF lớn nhất (1 điểm )
c. Chứng tỏ được đường thẳng
MH ⊥ EF luôn đi qua một điểm N cố định ( 1 điểm )
a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẻ.
Ta cú: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44.
1 1
1 1 1
1
+ + = 0 ⇒ = − + ÷
x y z
z
x y
3

1 1
 1
1

1
1 1
1 1
1 
⇒ 3 = −  + ÷ ⇒ 3 = −  3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3 ÷
z
z
x y
x y
y 
x y
x
⇒

1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
+ 3 + 3 = −3 . .  + ÷⇒ 3 + 3 + 3 = 3.
3
x
y
z
x y x y
x
y
z
xyz

Do đó : xyz(

1
xyz xyz xyz
yz zx xy
1
1
⇔ 3 + 3 + 3 =3⇔ 2 + 2 + 2 =3
3 + 3 + 3 )= 3
y
x
y
z
x
y
z
x
z

14
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126


Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp 8 – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 8

15
/>ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126