Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3.Một số quy luật phân phối xác
suất thông dụng
Quy luật 0-1: A(p)
Quy luật nhị thức: B(n,p)
Quy luật Poisson
Quy luật chuẩn
Quy luật khi bình phương
Quy luật Student
Quy luật Fisher-Snedeco


Bài tốn gốc. Giả sử trong bình có N quả cầu
trong đó có M quả cầu trắng và (N-M) quả
cầu đen. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên
từ bình ra một quả cầu.


3.1.Quy luật khơng-một: A(P)
Giả sử từ bình lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Gọi X là

biến cố lấy được quả cầu trắng. có 1 phép thử và chỉ có 2 th 0, 1
X

p

0
1-p

X~A(p)

E(X) =p; V(X) = pq (q= 1-p)

Ý nghĩa

1
p=

M
N


3.2.Quy luật Bernoulli~B(n,p)
Giả sử, từ lô cầu gồm M- cầu trắng, (N-M) cầu đen, lấy

lần lượt ra n quả theo phương thức hoàn lại. Gọi X biến cố
lấy được quả cầu trắng. Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
X ~ B(n,p), nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…,

n với xác suất tương ứng được xác định theo công thức
Bernoulli:

P (X = x) = C nx pxqn- x, x = 0,1,2,..., n,q = 1- p

Tính chất:

E(X)= np; V(X) = npq;
np-q ≤ m0 ≤ np+p;
P( x ≤ X ≤ x+h ) = px + px+1 +…+ px+h


Bài mẫu
Một phân xưởng có 5

máy hoạt động độc
lập. Xác suất để trong
một ngày mỗi máy bị
hỏng đều bằng 0,1.
 a. Tìm quy luật phân
phối của số máy hỏng
trong một ngày?
b. Tìm xác suất để
trong một ngày có hai
máy hỏng?
c.Tìm xác suất để
trong một ngày có
khơng q 2 máy hỏng
?


Bài mẫu

Hai xạ thủ A và B, mỗi người bắn 2 viên đạn
vào một tấm bia một cách độc lập. Xác suất
bắn trúng mục tiêu của A, B ở mỗi lần bắn
tương ứng là 0,6 và 0,7. Tính xác suất xạ thủ A
bắn trúng nhiều hơn xạ thủ B.


Bài tâp. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là

15%.
a. Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm. Tìm
xác suất để được khơng q 1 phế phẩm.

b. Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm. Tìm
xác suất để chính phẩm được sản xuất ra
sai lệch so với số chính phẩm trung bình
được sản xuất ra khơng vượt q 1?
c. Nếu mỗi đợt sản xuất trung bình muốn
có được 12 chính phẩm thì phải cho máy
sản bao nhiêu sản phẩm?


 Bài tập. Một vận động viên bắn súng tập bắn một mục tiêu cố định

trong phòng tập. Biết rằng xác suất để vận động viên này bắn trúng
mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,6.
 a. Tính xác suất trong 10 lần bắn có nhiều nhất 9 lần bắn trúng.
 b. Người này phải bắn tối thiểu bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất
một lần bắn trúng lớn hơn 90%. KẾT QUẢ: 0.2268


3.3.Quy luật Poisson ~P(λ))
Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có phân phối
Poisson với tham số λ, ký hiệu X ~ P(λ), nếu X
nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…, n với xác
suất tương ứng cho bởi công thức:
P(X = x) = e- l

lx
; x = 0,1,2,..., n, l = np > 0
x!

Các tham số đặc trưng:

e=2,71

E(X) = V(X) = λ,

P(x £ X £ x + h) = Px + Px+1 +... + Px+h

Tính chất: Px = l Px- 1
x


Bài mẫu.
Một máy dệt có 5000
ống sợi, xác suất để
trong một phút một
ống sợi bị đứt bằng
0,002.
a. Tìm quy luật phân
phối của số ống sợi bị
đứt trong một phút
b. Tìm xác suất để
trong một phút có
khơng q 2 ống sợi
bị đứt.


Bài tập 1. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 xe,
hàng ngày trạm phải nộp thuế 80
nghìn/xe/ngày. Mỗi chiếc xe được thuê với giá
200 nghìn/ngày. Giả sử yêu cầu thuê xe của
trạm là biến ngẫu nhiên X có phân phối

Poisson với tham số λ =3.
1. Tính xác suất để trong một ngày có 3
khách thuê xe (e ≈ 2,71)
2. Tính tiền lãi trung bình trạm thu được
trong một ngày.


Bài tập 2. Tại sân bay cứ 15 phút lại có 1 một chuyến xe loại 6 chỗ ngồi chở khách
vào trung tâm thành phố. Biết rằng số khách chờ đi xe có mật độ trung bình 8 người/
giờ. Giả sử, vừa có một chuyến xe rời bến. Tìm xác suất để trong chuyến tiếp theo:
1. Khơng có khách nào chờ xe đi?
2. Xe đã chật khách?
3. Người ta sẽ tăng them một xe chở khách nếu xác suất có hơn 1 khách phải chờ xe
sau lớn hơn 0,1. Vậy có nên tăng thêm một xe hay khơng?


3.4.Quy luật Siêu bội ~M(N,n)
Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra n quả theo phương

thức khơng hồn lại. Gọi X là số quả cầu trắng trong
n quả cầu lấy ra.
X ~ M(N, n) nếu X nhận một trong các giá trị
có thể X = 0,1,2,…,n với các xác suất tương
ứng cho bởi cơng thức:
x
n- x
Px =

Tính chất.

C M .C N- M
; x = 0,1,..., n
n
CN

M
= np
N
M N- M N- n
N- n
V(X) = n. .
.
= npq.
N N N- 1
N- 1
E(X) = n.


3.3.Quy luật chuẩn
X N ( , 2 )
Hàm mật độ:

(nguy, ..da2)

(x- m)2
2s 2

1
f (x) =
e

s 2p


Nếu X ~ N(μ, σ2 ) thì hàm phân phối của X có
dạng:

Cơng thức xác suất:

P(a < X < b) = F(b) - F(a)
Để tính xác suất P(a trị của hàm F(x) ?


Tính xác suất: P(a < X < b)


.


.


ổX - m b - mử
b- m 1
b- m
ữ
ỗ
P(X < b) = P ỗ
<
= P(U <

) = +F 0 (
)
ữ
ữ
ỗố s
s
2
s
Cơng thức tính xác suất cho s ø
biến X ~ N ( μ; σ2 )ỉX
là:- m a - mư ỉ a - mử 1
a- m
ữ
ữ
ỗ
ỗ
P(X > a) = P ỗ
>
= P ỗU >
= - F 0(
)
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗố s
ỗ
s ứ ố
s ứ 2
s

P (| X   |  ) P(      X     )
Đặc biệt, ta có:



 0 ( )   0 ( ) 2 0 ( )



Quy tắc 2 sigma, 3 sigma ???


Ví dụ. Năng suất của một loại cây ăn quả là một biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với năng suất
trung bình là 20kg/cây và độ lệch chuẩn là 2,5 kg.
a. Các giá trị 20 và 2,5 là giá trị của tham số nào trong phân phối chuẩn?
b. Cây đạt tiêu chuẩn hàng hố là cây có năng suất tối thiểu là 15 kg. Tính tỷ lệ cây đạt tiêu
chuẩn?
c. Nếu cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá sẽ lãi 500 ngàn đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ
làm lỗ 1 triệu đồng. Người ta thu hoạch ngẫu nhiên một lơ gồm 100 cây, hãy tính tiền lãi trung
bình cho lơ cây đó.