Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
X x1 x2……xk
P 1/k 1/k…….1/k
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1
P q p
Định lý 1.1: X có phân phối A(P) thì E(X) = P, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
Định nghĩa 1.2:
Định lý1.2:
⇔
( ) ( )
    
k k n k
n
n p k C p q k n
−
Χ Β ⇔ Ρ Χ = = =
:
( ) ( ) ( ) ( )

   n p X n p D n p q M o d k n p
Χ Β ⇒ Ε = Χ = Χ = = +
 
 
:
Khoa Khoa Học và Máy Tính 1Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
4. Phân phối siêu bội

Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là
đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn lại), n
không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối xác
suất của X là số bi trắng lấy được.
Giải:
Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
Định lý 1.3: Giả sử
( )

 
k n k
M N M
n
N
C C
k k n
C
−
−
ΡΧ= = =
( )
( )
    


H N M n np
N n M
D npq p
N N

Χ ⇒ΕΧ=
−
Χ= =
−
:
Khoa Khoa Học và Máy Tính 2Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức
lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội
5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
Định nghĩa 1.4:
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)
(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …)
Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch vụ
công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson
P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó.
( ) ( )
  

k
a
a
a k e k
k
−
Χ Ρ ⇔Ρ Χ= = =
:
( )

   x
Ρ ≤ ≤ =
∑
( ) ( ) ( )
     X X
Ρ ≤ ≤ = Ρ ≤ ≤ − Ρ ≤ Χ ≤
Khoa Khoa Học và Máy Tính
3Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện. Tính
xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì
X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
( )



 

e
−
Ρ Χ= =
Khoa Khoa Học và Máy Tính 4Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
§2: Các quy luật phân phối liên tục
1. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 2.1:
Định lý 2.1: X có phân phối thì E(X) = a, D(X) =

Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn
tắc N(0,1) nếu: (hàm mật độ Gauss).
Định lý 2.2:
U có phân phối N(0,1) thì
với là tích phân Laplace (hàm lẻ)
( )

  a
σ σ
Ν >
( )
( )
( )







x a
a f x e
σ
σ
σ π
− −
Χ Ν ⇔ =
:
( )


a
σ
Ν

σ
( )




u
f u e
π
−
=
( ) ( )

 


   

u
t
U
F u e d t U
π
−
= + = + Φ
∫

( )
UΦ
Khoa Khoa Học và Máy Tính 5Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:

Định lý 2.4: Giả sử
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
   
 
  
u U u u u
U
ε ε
Ρ < < = Φ − Φ
Ρ < = Φ
( )
( )

 
X a
a U
σ
σ
−
Χ Ν ⇒ = Ν
: :

Khoa Khoa Học và Máy Tính
6Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
Định lý 2.5: Giả sử .Khi ấy ta có:
Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn
N(165, ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.

( )

a
σ
Χ Ν
:
( ) ( )
( )
( )

 
a a
a
β α
α β
σ σ
ε
ε
σ
− −
   
Ρ < Χ < = Φ − Φ

   
   
 
Ρ Χ − < = Φ
 
 
( ) ( )
 


X
−
 
Ρ −∞ < < = Φ − Φ −∞
 
 
( ) ( )
  
=−Φ +Φ+∞ =− +


Khoa Khoa Học và Máy Tính 7Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
Ví dụ 2.2: Cho hãy tính kỳ vọng của
•
Giải:
nếu m lẻ vì cận đối xứng,
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
( )
U

Ν
:
m
U
( )

 

 

m m u
U u e du
π
+ ∞
−
− ∞
Ε = =
∫
∫
( )
( )
 
 
 
   
 
  
 

 

 
 
 
 


u u
u u
u u
U u e du u u e du
dv u e v e
U u e e du
π π
π π
π
π
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
− −
+∞
+∞
− −
−∞
−∞
Ε = =
= ⇒ =−
⇒Ε =− + =
∫ ∫
∫

Khoa Khoa Học và Máy Tính 8Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010