Bài tập chương 1 đại số tuyến tính

Bài tập chương 1

Bài 1.1. Cho A = 2 1 −1 , B = −2 1 0 . Tính 3A ± 2B; A A; A A .
0 1 −4 −3 2 2

Bài 1.2. Tìm x, y, z và w biết rằng

3 xy = x 6 + 4 x+y .
zw −1 2w z+w 3

Bài 1.3. Tính các tích

 1 −3 2   2 5 6 

a)  3 −4 1   1 2 5  ;

2 −5 3 132


6
 5 0 2 3  −2 

b)  4 1 5 3   7  ;
3 1 −1 2 4

Bài 1.4. Tính AB − BA nếu

a) A = 1 2 , B = 2 −3 ;
4 −1 −4 1

1 1 1 7 5 3

b) A =  0 1 1 , B =  0 7 5  .

001 007

Bài 1.5. Tính A A và AA với

(a) A = 1 2 1 3 ;
4 −1 5 −1

 −1 −2 3 1 
(b)A =  0 −1 −1 −2  ;

2 −1 3 −2

1

0 1 0
Bài 1.6. Cho A =  0 0 1 , tính A2 và A3.

000

Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với

A= 1 2 .
01

Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với

1 0 1

A =  0 1 −2  .

00 2

Bài 1.9. Hãy xác định f (A) trong các trường hợp sau:

a) A = 2 −1 ; f (x) = 2x3 + 3x2 − 7x + 5.
3 −2

b) A = 1 3 ; f (x) = 3x3 − 2x2 − x + 2.
24

0 1 1
c) A =  1 0 1  ; f (x) = 4x2 − 3x + 4.

110

 1 −1 0 
d) A =  0 1 −1  ; f (x) = x2 + 4x − 5.

−1 0 1

Bài 1.10. Tính Ak, k ∈ N biết rằng:

a) A = 2 −1 ; b) A = 1 α ;
3 −2 01

2

c) A = α β ; 1 1 1

0α d) A =  1 1 1  ;

1 1 1 111
e) A =  0 1 1  ;
1 1 0
001 f) A =  0 1 1  .

001

Bài 1.11. * Cho A ∈ Mn(R) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ R). Hãy tính
Ak, k ∈ N.

Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau:

3 5 7 1 1 3
a)  1 2 3  ; b)  2 1 4 ;

135 125

 1 1 −3  1 2 3 4
c)  −1 0 2  ; d)  2 4 6 8  ;

−3 5 0 3 6 9 12

4 3 2 2 1 2 3 6
e)  0 2 1 1  ; f)  2 3 1 6  ;

0033 3126

 1 −1 5 −1   1 3 −2 −1 

g)  3 −1 8  1 1 −2 1  3 ; h)  1  2 1 6 13  5 −2 1  .

1 3 −9 7 −2 −6 8 10

Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈ R:

 1 1 −3   m 5m −m 
a)  2 1 m  ; b)  2m m 10m ;

1m 3 −m −2m −3m

 3 1 1 4 m 0 0 n
c)  1 7 17 3   m 4 10 1 ; d*)  0 n m 0   n m 0 0  .

22 41 0 0 nm

Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình
sau:

3


 2x1 + x2 − 2x3 = 10;
a) 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1;
 5x1 + 4x2 + 3x3 = 4.


 x1 − 2x2 + x3 = 7;
b) 2x1 − x2 + 4x3 = 17;

 3x1 − 2x2 + 2x3 = 14.


 x1 + 2x2 − x3 = 3;
c) 2x1 + 5x2 − 4x3 = 5;
 3x1 + 4x2 + 2x3 = 12.


 2x1 + x2 − 3x3 = 1;
d) 5x1 + 2x2 − 6x3 = 5;
 3x1 − x2 − 4x3 = 7.


 2x1 + x2 − 2x3 = 8;
e) 3x1 + 2x2 − 4x3 = 15;
 5x1 + 4x2 − x3 = 1.


 x1 + 2x2 − 3x3 = 1;
f) 2x1 + 5x2 − 8x3 = 4;
 3x1 + 8x2 − 13x3 = 7.


 x1 + 2x2 − 2x3 = −1;
g) 3x1 − x2 + 2x3 = 7;
 5x1 + 3x2 − 4x3 = 2.


 2x1 − 5x2 + 3x3 + 2x4 = 4;
h) 3x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = 9;

 5x1 − 10x2 − 5x3 + 7x4 = 22.


 x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2;
i) 2x1 + 5x2 − 2x3 + x4 = 1;
 5x1 + 12x2 − 7x3 + 6x4 = 7.

 = 7;
 x1 + x2

 x2 − x3 + x4 = 5;


j)
 x1 − x2 + x3 + x4 = 6;

 x2 − x4 = 10.

4


 x1 + 2x2 + 3x3 = 14;
 3x1 + 2x2 + x3 = 10;

k) x1 + x2 + x3 = 6;

 2x1 + 3x2 − x3 = 5;



 x1 + x2 = 3.

Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:


 x1 + 2x2 + x3 = 0;
a) 2x1 + 5x2 − x3 = 0;
 3x1 − 2x2 − x3 = 0.


 x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0;
b) 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0;
 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 0.


 2x1 − 2x2 + x3 = 0;
c) 3x1 + x2 − x3 = 0;
 x1 − 3x2 + 2x3 = 0.


 3x1 − 2x2 − 5x3 + x4 = 0;

 d) 2x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 0;
 x1 + 2x2 − 4x4 = 0;

 x1 − x2 − 4x3 + 9x4 = 0.


 x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0;

 e) x1 − 2x2 − x4 = 0;
x2 + x3 + 3x4 = 0;


 2x1 − 3x2 − 2x3 = 0.


 x1 + 3x2 − 2x3 + x4 = 0;

 f) x1 − x2 + x3 + x4 = 0;
 4x1 − x2 − x3 − x4 = 0;

 4x1 + 3x2 − 4x3 − x4 = 0.


 6x1 − 5x2 + 7x3 + 8x4 = 0;

 g) 6x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 0;
 6x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0;

 x1 + x2 + x3 = 0.

5

 = 0;
 x1 + 2x2 + x3

 x2 + 3x3 + x4 = 0;
 + x3 + x4 = 0;

 h) 4x1

 x1 + x2 + 5x4 = 0.

Bài 1.16. Giải các phương trình sau:


 x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 1;
 a) 2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 2;
 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = −5;
 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = 11,


 x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 1;
 b) x1 + 4x2 − x3 − 2x4 = −2;
 x1 − 4x2 + 3x3 − 2x4 = −2;
 x1 − 8x2 + 5x3 − 2x4 = −2,


 2x1 − 5x2 + 3x3 + x4 = 5;
 c) 3x1 − 7x2 + 3x3 − x4 = −1;
 5x1 − 9x2 + 6x3 + 2x4 = 7;
 4x1 − 6x2 + 3x3 − x4 = 8,


 2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 1;
 d) x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1;
 4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5 = 1;
 2x1 − 14x2 + 7x3 − 7x4 + 11x5 = −1.

Bài 1.17. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R:


 x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = m;
a) x1 + x2 − x3 + x4 = 2m + 1;
 x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = −m,

 17x4 = 11m + 7;
 3x1 + 4x2 + 4x3 −

 b) 2x1 + 3x2 + 2x3 − 12x4 = 8m + 5;
 5x1 + 6x2 + 8x3 − 27x4 = 18m + 10;

 3x1 + 5x2 + 2x3 + (m − 20)x4 = 13m + 8,


 x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 1;
 c) 2x1 + 4x2 − 7x3 + 9x4 = 2;
 5x1 + 10x2 − 17x3 + 23x4 = 1;
 3x1 + 6x2 − 10x3 + mx4 = 13 − m,

6


 x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = m;
 d) 2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 2x5 = 3m;
 3x1 − 2x2 − x3 + x4 − x5 = m + 1;
 2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = m − 1.

Bài 1.18. Cho hệ phương trình


 x1 + x2 − x3 = 1;

2x1 + 3x2 + kx3 = 3;
 x1 + kx2 + 3x3 = 2.

Xác định trị số k ∈ R sao cho:
a) hệ có một nghiệm duy nhất;
b) hệ khơng có nghiệm;
c) hệ có vơ số nghiệm.

Bài 1.19. Cho hệ phương trình


 kx1 + x2 + x3 = 1;

x1 + kx2 + x3 = 1;
 x1 + x2 + kx3 = 1.

Xác định trị số k ∈ R sao cho:
a) hệ có một nghiệm duy nhất;
b) hệ không có nghiệm;
c) hệ có vơ số nghiệm.

Bài 1.20. Cho hệ phương trình

 4x4 = 3;
 5x1 − 3x2 + 2x3 + 7x4 = 1;
 4x1 − 2x2 + 3x3 +

 8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9;
 7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ.

Xác định tham số λ ∈ R sao cho:
a) hệ vô nghiệm;
b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm.

7

Bài 1.21. Cho hệ phương trình


 3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3;
 2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 5;
 x1 − 6x2 − 9x3 − 20x4 = −11;
 4x1 + x2 + 4x3 + λx4 = 2.

Xác định tham số λ ∈ R sao cho:
a) hệ vơ nghiệm;
b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm.

Bài 1.22. Bằng phương pháp Gauss-Jordan, hãy tìm ma trận nghịch đảo của các
ma trận sau (nếu có):

a) A = 3 5 ; 1 0 2
23 b) A =  2 −1 3  ;

4 18

 1 −2 2   1 2 −4 
c) B =  2 −3 6  ; d) A =  −1 −1 5  ;

1 17 2 7 −3

 1 3 −4  2 5 7
e) B =  1 5 −1  ; f) A =  6 3 4  ;

3 13 −6 5 −2 −3

3 2 2  5 3 −2 
g) A =  1 3 1  ; h) A =  −1 2 4  ;

534 73 6

 13 −8 −12   3 1 0
i) A =  12 −7 −12 ; j) A =  −1 −1 2  ;

6 −4 −5 1 11

 0 0 1 −1  1 1 1 1
k) A =  2 7 6 −1   0 3 1 4  ; l) A =  1 −1 0 0   1 1 −1 −1  ;

1 2 2 −1 0 0 1 −1

 0 0 1 −1  1 1 1 1

m) A =  0 3 1 1 −1 0 0  4 ; n) A =  1 −1 1 −1   1 1 −1 −1  ;

0 01 1 1 −1 −1 1

8

 1 1 1 −3  p) A = sin α cos α .
o) A =  1 1 2 −3   0 1 0 0  ; − cos α sin α

2 2 4 −5

Bài 1.23. Cho A = 1 1 , B = 2 1 . Hãy tính
01 32

(B−1AB)k, k ∈ N.

Bài 1.24. Cho A = 54 ∈ M2(R).
−4 −3

a) Chứng minh A2 − 2A + I2 = 0. Suy ra A khả nghịch và tìm A−1.
b) Với mỗi n ∈ N, đặt B = I2 + A + A2 + · · · + An. Tính An và B theo A; I2 và
n.

Bài 1.25. Giải các phương trình ma trận

a) 1 2 X = 3 5 ;
34 59

b) X 3 −2 = −1 2 ;
5 −4 −5 6

c) 3 −1 X 5 6 = 14 16 ;
5 −2 78 9 10

 1 2 −3   1 −3 0 

d)  3 2 −4  X =  10 2 7  ;

2 −1 0 10 7 8

 1 2 −2   7 3 0 

e)  3 2 −4  X =  6 8 4  ;

2 −1 0 105

 13 −8 −12   1 2 3 

f) X  12 −7 −12  =  4 5 6  ;

6 −4 −5 789

9

 3 1 0 1 1 1 0 0 1

g)  −1 −1 2  X  1 1 −1  =  1 1 0 .

1 11 1 −1 −1 0 1 −1

Bài 1.26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:



 x1 + x2 − 3x3 = −2;
a) x1 + 2x2 − 3x3 = 6;
 2x1 + 4x2 − 5x3 = −6.


 x1 + x2 + x3 + x4 = 1;

 b) x1 + x2 − x3 − x4 = 1;
 x1 − x2 = −1;

 x3 − x4 = −1.


 x1 + x2 + x3 + x4 = −1;
 c) x1 + x2 − x3 − x4 = 1;
 x1 − x2 + x3 − x4 = −1;
 x1 − x2 − x3 + x4 = 1.

10