Toán cao cấp 1

TOÁN CAO CẤP 1

TS. BÙI THANH DUY
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Trường Đại học Kiến trúc Tp. Hồ Chí Minh

THS. PHẠM MINH TRÍ

Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Vĩnh Long

Thành phố Hồ Chí Minh
Ngày 16 tháng 10 năm 2022

Mục lục

1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 1

1.1 ÁNH XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 Một số kết quả thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 Giới hạn một bên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.4 Các dạng vơ định khi tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 ĐẠO HÀM HÀM MỘT BIẾN 23

2.1 ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Đạo hàm bên trái và bên phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng và trên một đoạn . . . . . . . . . . . 24

2.2 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10 BÀI ĐỌC THÊM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 TÍCH PHÂN 46

3.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1 Nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.2 Cách tính nguyên hàm của một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.3 Tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ HỘI TỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.2 Thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 HÀM HAI BIẾN 75

4.1 TÍCH DESCARTES VÀ KHÔNG GIAN Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Tích Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.6 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7 SỰ KHẢ VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.2 Định lí liên quan giữa tính liên tục và khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.3 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8 ĐẠO HÀM HÀM HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9 ĐẠO HÀM HÀM ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.10.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.10.2 Thuật tốn tìm cực trị (tự do) của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.10.4 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.11 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 97

5.1 MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.2 Các loại ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.1 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2 Lũy thừa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.1 Ma trận bậc thang và phép khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.2 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính. . . . . . . . . . . 102

5.7 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Chương 1

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.1 ÁNH XẠ

Định nghĩa.
Cho hai tập hợp E và F, ta gọi một ánh xạ từ tập E vào tập F là một quy luật tương ứng f
sao cho với mỗi phần tử x ∈ E, có duy nhất một phần tử y ∈ F được xác định bởi y = f (x).
Ta thường ký hiệu ánh xạ đó là f : E → F.

Các loại ánh xạ.
Cho ánh xạ f : E → F. Ta nói
1. f là một đơn ánh nếu với mọi y ∈ F, có nhiều nhất một x ∈ E sao cho y = f (x).
2. f là một toàn ánh nếu với mọi y ∈ F, có ít nhất một x ∈ E sao cho y = f (x).

3. f là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
4. Cho ánh xạ f : E → F và ánh xạ g : F → G. Ta nói ánh xạ h = g ◦ f là ánh xạ hợp của g
và f nếu với mọi x ∈ E, tồn tại duy nhất z ∈ G được xác định bởi z = h(x) = (g ◦ f )(x) =
g( f (x)).
5. Cho ánh xạ f : E → F là một song ánh lúc này và ánh xạ g : F → E cũng là một song
ánh sao cho với mọi y ∈ F, tồn tại duy nhất x ∈ E được xác định bởi x = g(y) với y = f (x).
g được gọi là ánh xạ ngược của f ký hiệu là g = f −1.

1

TOÁN CAO CẤP 1

1.2 DÃY SỐ

Định nghĩa.

Cho ánh xạ f : N → R. Với n = 1, 2, 3, .... Ta có các giá trị f (1), f (2), f (3), ... lập thành
một dãy các số thực và ta nói đây là một dãy số thực. Nếu đặt xn = f (n), ta có dãy số
x1, x2, x3, ..., xn, ..., ký hiệu là (xn)n∈N hay {xn}n∈N.

Ví dụ. Cho dãy số (xn) với xn như sau

xn = 1, ta có dãy 1, 1, 1, ..., 1....

xn = (−1)n, ta có dãy −1, 1, −1, ..., (−1)n, ....
1 + (−1)n 1 1 + (−1)n
xn = n , ta có dãy 0, 1, 0, 2 , ..., n , ....

1.3 HÀM SỐ

Định nghĩa.
Một hàm số f là một ánh xạ đi từ một tập con D của R vào chính nó. D được gọi là miền
xác định của hàm số và tập f (D) = { f (x) : x ∈ D} gọi là miền giá trị của hàm số. Phần tử
x ∈ D gọi là biến số của hàm.

Các hàm sơ cấp cơ bản.
Hàm lũy thừa.
Là hàm số có dạng y = f (x) = xα trong đó α ∈ R. Hàm số này có miền xác định phụ thuộc
vào α.

Đồ thị hàm y = xα trong một số trường hợp.

TS. Bùi Thanh Duy 2

TOÁN CAO CẤP 1

Ta xét các trường hợp sau.

• Nếu α = 0, 1, 2, ... thì miền xác định là D = R.
• Nếu α = −1, −2, ... thì miền xác định là D = {x ∈ R : x = 0}.
• Nếu α = 1, 1, 1... thì miền xác định là D = [0, +∞).

248
• Nếu α = − 1, − 1, − 1... thì miền xác định là D = (0, +∞).

248
• Nếu α = 1, 1, 1... thì miền xác định là D = R.

357
• Nếu α = − 1, − 1, − 1... thì miền xác định là D = {x ∈ R : x = 0}.

357
• Nếu α là số vơ tỉ và α > 0 thì D = [0, +∞), α < 0 thì D = (0, +∞).
• Nếu α ∈ R thì D = (0, +∞).

Hàm mũ.
Là hàm số có dạng y = f (x) = ax trong đó 0 < a = 1. Hàm số này có miền xác định là
D = R và miền giá trị f (D) = (0, +∞). Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1).

Đồ thị hàm y = ax.

Hàm logarit.
Là hàm số có dạng y = f (x) = logax trong đó 0 < a = 1. Hàm số này có miền xác định là
D = (0, +∞) và miền giá trị f (D) = R. Hàm số tăng khi a > 1 và giảm khi a ∈ (0, 1).

Đồ thị hàm y = loga x.

TS. Bùi Thanh Duy 3

TOÁN CAO CẤP 1

Các hàm lượng giác
• Hàm số y = sin x. Tập xác định của hàm số này là D = R và tập giá trị là R = [−1, 1].
• Hàm số y = cos x. Tập xác định của hàm số này là D = R và tập giá trị là R = [−1, 1].
• Hàm số y = tan x. Tập xác định của hàm số D = {x ∈ R, cos x = 0} và tập giá trị là R.
• Hàm số y = cot x. Tập xác định của hàm số D = {x ∈ R, sin x = 0} và tập giá trị là R.

Đồ thị hàm sin, cos, tan, cot

1 1

y = cos(x) y = sin(x)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1234
−1 y = tan(x)
y = cot(x) −1

Các hàm lượng giác ngược.

1. Hàm số y = arcsin x. Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R =

− π , π . Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arcsin x) = √ 1 .
22 1 − x2

2. Hàm số y = arccos x. Hàm số này có miền xác định D = [−1, 1] và miền giá trị R =
[0, π]. Với mọi x ∈ (−1, 1), ta có (arccos x) = − √ 1 .
1 − x2

3. Hàm số y = arctan x. Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R =

ππ 1
− , . Với mọi x ∈ R, ta có (arctan x) = 2.
22 1+x

4. Hàm số y = arccotx. Hàm số này có miền xác định D = R và miền giá trị R = (0, π).
1

Với mọi x ∈ R, ta có (arccotx) = − 2 .
1+x

Chú ý:

TS. Bùi Thanh Duy 4

TỐN CAO CẤP 1

• y = arcsin x ⇔ x = sin y, • y = arctan x ⇔ x = tan y,
• y = arccos x ⇔ x = cos y, • y = arccot x ⇔ x = cot y.

Tính các giá trị sau. 1 6. arctan tan 3π . 8. tan arcsin 2 .
√ 3. arctan √ . 4 3

1. arcsin 3 . 3 7. cos arcsin 1 √
2 4. arctan 1. 2 . 9. sin 2 arctan 2 .
√
1
2. arccos 3 . 5. arcsin √ .
2
2

Đồ thị các hàm lượng giác ngược.

1.3.1 Hàm sơ cấp

Hàm sơ cấp là những hàm được tạo ra từ một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số.

1.4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1.4.1 Định nghĩa

Dãy số có giới hạn hữu hạn.

Cho dãy số (xn) : x1, x2, x3, ..., xn, .... Ta nói số L ∈ R là giới hạn của dãy số này nếu với mọi
số ε > 0 đủ bé cho trước, tồn tại số nε ∈ N sao cho với mọi chỉ số n nε, ta có |xn − L| < ε.
Lúc này ta ký hiệu L = lim xn. Nói một cách dễ hiểu hơn, số L ∈ R là giới hạn của dãy số
(xn) nếu |xn − L| tiến về 0 khi n tiến ra vô cùng.

TS. Bùi Thanh Duy 5

TỐN CAO CẤP 1

Ví dụ. Xét dãy số (xn), xn = 1 + 1 . Nhận xét rằng khi n càng lớn thì 1 càng nhỏ nên xn tiến gần
n n
về 1. Do vậy ta sẽ chứng minh giới hạn của dãy số trên là 1. Thật vậy, ta xét |xn − 1| = 1 . Với
n
mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý cho trước, theo định nghĩa, để |xn − 1| = 1 < ε thì n > 1. Như vậy chọn
n ε
nε = 1 + 1 (số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1 ) thì với mọi n nε, ta được |xn − 1| = 1 < ε.
ε ε n

Tóm lại, với mọi ε > 0 nhỏ tuỳ ý cho trước, tồn tại số nε = 1 + 1 sao cho với mọi n nε, ta có
ε

|xn − 1| = 1 < ε. Vậy lim xn = 1.
n

• Dãy số tiến ra dương vơ cùng.

Cho dãy số (xn), ta nói dãy số này có giới hạn là dương vô cùng hay dần tới dương vô
cùng nếu với mọi số M > 0 đủ lớn cho trước, tồn tại số nM ∈ N sao cho với mọi chỉ số

n nM, ta có xn M. Lúc này ta viết lim xn = +∞.

• Dãy số tiến ra âm vô cùng.

Cho dãy số (xn), ta nói dãy số này có giới hạn là âm vơ cùng hay dần tới âm vô cùng
nếu với mọi số M < 0 có |M| đủ lớn cho trước, tồn tại số nM ∈ N sao cho với mọi chỉ
số n nM, ta có xn M. Lúc này ta viết lim xn = −∞.

1.4.2 Các tính chất cơ bản

1. lim A = A, trong đó A là hằng số.

2. Cho lim xn = A, lim yn = B, với mọi α ∈ R, ta có

(a) lim(xn + αyn) = A + αB.
(b) lim xn lim yn = AB.
(c) lim xn = A với B = 0.

yn B
(d) Nếu lim xn = A, lim yn = ∞ thì lim xn = 0.

yn
(e) Nếu lim xn = A, lim yn = 0 thì lim xn = ∞.

yn
3. lim nk1 = 0, ∀k ∈ Z+.
4. Cho Pk(n) = aknk + ak−1nk−1 + ... + a1n + a0, ta có lim Pk(n) = lim aknk.
5. lim αn = 0 nếu |α| < 1.

TS. Bùi Thanh Duy 6

TOÁN CAO CẤP 1

1.4.3 Một số kết quả thông dụng

Định lý kẹp.
Cho dãy số (xn). Nếu tồn tại hai dãy số (yn), (zn) và số n0 ∈ N sao cho yn xn zn, ∀n n0
đồng thời lim yn = lim zn = L thì lim xn = L.

1. Nếu lim xn = L thì lim xn+k = L, ∀k ∈ Z.
2. lim √n n = 1,

1n
3. lim 1 + n = e,
4. Với p > 0, ta có lim √n p = 1,

5. Với p > 0, α ∈ R, ta có lim nα
n =0
(1 + p)

6. Với α ∈ R, ta có lim nα = 0,
n!

7. Với x ∈ R, ta có lim xn = 0.
n!

1.4.4 Tính giới hạn của một dãy số

Trong chương trình phổ thơng, khi tính giới hạn của một dãy số ta thường gặp hai dạng vô định

sau đây ∞, ∞ − ∞.
∞

Lúc này, ta không thể xác định được liệu là giới hạn đang xét có tồn tại hay khơng do đó phải tìm

cách khử các dạng vơ định này đi. Có nhiều phương pháp để khử các dạng vơ định như: Quy

đồng mẫu số, nhân lượng liên hợp, đặt thừa số chung, đặt ẩn phụ, dùng các tiêu chuẩn tồn tại

giới hạn, dùng các giới hạn cơ bản... Sau đây, ta nhắc lại một vài ví dụ cho hai dạng vô định này.

Dạng ∞
∞

Đây là dạng vô định thường gặp khi ta tính các giới hạn dạng phân thức, phương pháp
chung là rút số hạng có số mũ cao nhất nằm dưới mẫu ở trên tử lẫn dưới mẫu.

Ví dụ.

1. Tính L1 = lim 2n5 − 3n3 + n2 + 1 .

5n +1

TS. Bùi Thanh Duy 7

TOÁN CAO CẤP 1

n5 2 − 3n2 + 1n3 + 1n5 = lim 2 − 3n2 + 1n3 + 1n5 = 2.
L1 = lim n5 1 + 1n5 1 + 1n5

√ n3 + 2n + 1 + n2 − 2

2. Tính L2 = lim n + 2n + 32 .

n2 12 1 2 = lim 12 1 2 = 0.
L2 = lim
n + n3 + n4 − n4 n + n3 + n4 − n4
n2 1 + 2n + 3n2
23
1 + n + n2

n3
3. Tính L3 = lim 2 .
−n + 1
n3
L3 = lim = lim n 1 = −∞.

n2 −1 + n1 −1 + n2

2

Dạng ∞ − ∞
Để giải quyết dạng này ta thường đặt thừa số chung hoặc đưa về dạng ∞ bằng cách nhân

∞
lượng liên hợp.

Ví dụ.

1. Tính L4 = lim 4n2 + n + 1 − n .

L4 = lim n 4 + 1n + n21 − 1 = +∞.

2. Tính L5 = lim n2 + n + 1 − n .

L5 = lim n2 + n + 1 − n = lim n 11
1+ + 2 −1 =0

nn

Cách làm trên sai vì dấu bằng thứ 2, giới hạn cần tính có dạng 0.∞ và đây cũng là một dạng

vơ định. Do đó, ta phải làm lại như sau

(n2 + n + 1) − n2 n+1 1 + 1n = 1.
L5 = lim √ = lim √ = lim
n2 + n + 1 + n n2 + n + 1 + n 1 + 1n + 1n2 + 1 2

3. Tính L6 = lim 3 n3 + n2 + 1 − n .

L6 = lim n2 + 1

√
3 (n3 + n2 + 1)2 + n 3 n3 + n2 + 1 + n2

= lim 1 + 1n2

3 1+ 1 + 1 2 + 3 1+ 1 + 1 +1

nn 2 nn 2

= 1.
3

TS. Bùi Thanh Duy 8

TOÁN CAO CẤP 1

Một vài kết quả cần biết.

1. lim √n n = 1. (Đặt un = √n n − 1 và dùng Định lý kẹp.)

2. lim xn = 0 nếu |x| < 1. (Xét x = 0 sau đó xét x = 0, lúc này đặt y = 1 − 1 > 0 rồi
|x|

dùng bất đẳng thức Bernoulli.)
3. Với p > 0, ta có lim √n p = 1. (Xét p 1. Đặt xn = √n p − 1 và dùng Định lí kẹp.)

4. Với p > 0, α ∈ R, ta có lim nα n = 0. (Ta chỉ xét α > 0. Chọn k là số nguyên nhỏ

(1 + p)

nhất lớn hơn α. Xét (1 + p)n Ck pk. )

n

5. Với α ∈ R, ta có lim nα = 0. (Giả sử L = lim nα . Suy ra lim (n + 1)α = L.
n! n! (n + 1)!

Suy ra lim nα − (n + 1)α . Suy ra L = 0.)
n! (n + 1)!

6. Với x ∈ R, ta có lim xn = 0. (Tương tự câu trên.)
n!

7. lim(sin n) và lim(cos n) không tồn tại.

1.5 GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.5.1 Định nghĩa

Điểm tụ.
Cho hàm số f : D ⊂ R → R và điểm x0 ∈ R. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của hàm số nếu
với mọi h > 0 nhỏ tùy ý, ta có (x0 − h, x0 + h)\{x0} ∩ D = ∅.

Giới hạn của hàm số.
Giả sử x0 là một điểm tụ của D, hàm số f được gọi là có giới hạn hữu hạn L khi x tiến về x0
nếu với mọi số ε > 0 nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại số δ(x0, ε) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa
0 < |x − x0| < δ(x0, ε), ta có | f (x) − L| < ε. Lúc này ta viết lim f (x) = L.

x→x0

Nói một cách dễ hiểu hơn, hàm số f có giới hạn hữu hạn là L khi x tiến về x0 (x = x0) nếu
| f (x) − L| → 0 khi |x − x0| → 0.

Ví dụ. Ta xét hàm số f (x) = x2 − x + 2 và tính giá trị của hàm số này tại các điểm x gần 2 như
sau.

TS. Bùi Thanh Duy 9

TOÁN CAO CẤP 1

x f (x) x f (x)
1.5 2.750000 2.5 5.750000
1.8 3.440000 2.5 4.640000
1.9 3.710000 2.1 4.310000
1.95 3.852500 2.05 4.152500
1.99 3.970100 2.01 4.030100
1.995 3.985025 2.005 4.015025
1.999 3.997001 2.001 4.003001

Ta thấy khi x gần bằng 2 thì giá trị hàm f (x) gần bằng 4. Vậy ta có thể nói "4 là giới hạn hàm số
f (x) = x2 − x + 2 khi x tiến tới 2" và viết lim(x2 − x + 2) = 4.

x→2

x−1
Ta minh họa thêm bằng một ví dụ khác. Dự đốn giới hạn lim 2 . Ta có bảng giá trị sau

x→1 x − 1

x<1 f (x) x>1 f (x)
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

x−1
Hàm số f (x) = 2 không xác định tại x = 1, nhưng vẫn có giới hạn tại 1, cụ thể khi x ≈ 1 thì

x −1

x−1

f (x) ≈ 0.5 từ bảng giá trị ta đoán lim 2 = 0.5.
x→1 x − 1

Ví dụ. Tính giá trị hàm số tại các điểm đã cho (chính xác đến 6 chữ số thập phân), từ đó dự đốn

giá trị giới hạn.

1. lim 2x2 − 2x ; x = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999.

x→2 x − x − 2

2. lim 2 x2 − 2x ; x = 0, −0.5, −0.9, −0.95, −0.99, −0.999, −2, −1.5, −1.1, −1.01, −1.001.

x→−1 x − x − 2

3. lim e5t − 1 ; t = ±0.5, ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.0001.
t→0 t

4. lim (2 + h)5 − 32; h = ±0.5, ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.0001.
h→0 h

TS. Bùi Thanh Duy 10

TOÁN CAO CẤP 1

HÀm số dần về vơ cùng.

• Hàm số f dần về dương vô cùng khi x tiến về x0 nếu với mọi số M > 0 đủ lớn cho

trước, tồn tại số δ(x0, M) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < |x − x0| < δ(x0, M), ta có
f (x) > M. Lúc này ta viết lim f (x) = +∞.

x→x0

• Hàm số f dần về âm vô cùng khi x tiến về x0 nếu với mọi số M < 0 sao cho |M| đủ lớn,
tồn tại số δ(x0, M) > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa |x − x0| < δ(x0, M), ta có f (x) < M.
Lúc này ta viết lim f (x) = −∞.

x→x0

Giới hạn không tồn tại hữu hạn.

Một hàm số f khơng có giới hạn hữu hạn khi x tiến về x0 được hiểu theo hai nghĩa. Một là
giới hạn này bằng vô cùng. Hai là f (x) không tiến về một giá trị nào khi x tiến về x0.

Ngồi ra, người ta cịn định nghĩa giới hạn của một hàm số thông qua giới hạn của dãy số như
sau.

Mối liên hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy.

Cho hàm số f xác định trên D ⊂ R và x0 ∈ R. Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn là L tại x0
nếu với mọi dãy (xn) ⊂ D sao cho lim xn = x0 (xn → x0), ta có lim f (xn) = L ( f (xn) → L).
Lúc này, ta viết lim f (x) = L.

x→x0

Ví dụ. Dùng định nghĩa tính lim x2 − 1 . Giới hạn đang xét được viết lại như sau lim f (x), trong
x→2 x + 2 x→2
x2 − 1

đó f (x) = xác định với mọi x = −2. Với mọi dãy (xn) ⊂ R\{−2} thỏa lim xn = 2, ta có
x+2
f (x x n) = n2 − 1 và lim f (x 22 − 1 3 3 n) = = . Vậy lim f (x) = .
xn + 2 2+2 4 x→2 4

1.5.2 Các tính chất cơ bản
1. Tính duy nhất.
Giới hạn của một hàm số nếu có là duy nhất.

2. Tính giới hạn thơng qua tính liên tục của hàm số.
Giả sử f là một hàm sơ cấp có tập xác định là D ⊂ R và x0 ∈ D. Lúc này
lim f (x) = f (x0).

x→x0

TS. Bùi Thanh Duy 11

TOÁN CAO CẤP 1

Ví dụ. Tính giới hạn lim x2 − 1 như sau lim x2 − 1 = 22 − 1 = 3 .
x→2 x + 2 x→2 x + 2 2 + 2 4
Ví dụ. Tính các giới hạn sau.

(a) lim (2x + 7) (g) lim −1 (l) lim √ 3
x→1 3x − 1 h→0 3h + 1 + 1
x→−7
(h) lim 3x2 (m) lim √ 5
(b) lim (3x − 1) x→−1 2x − 1 h→0 5h + 4 + 2
y+2
x→ 1 (n) lim x sin x

(i) lim 2
3 y→2 y + 5x + 6 x→ π

(c) lim (−x2 + 5x − 2) 4 2

x→2 (j) lim (5 − y) 3 (o) lim cos x
x→π 1 − π
(d) lim 3x(2x − 1) y→−3

x→−1 1

(e) lim 3(2x − 1)2 (k) lim (2z − 8) 3

x→−1 z→0

(f) lim (x + 3)2022

x→−4

3. Cho C là một hằng số và n ∈ N. Ta có

• lim C = C, lim C = C.
x→x0 x→±∞

C C
• lim n = 0, lim n = ∞.
x→±∞ x x→0 x

4. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.
Định lý kẹp

Giả sử các hàm số f , g, w xác định trên một lân cận của x0 ngoại trừ x0 và thỏa g(x)

f (x) w(x). Nếu lim g(x) = lim w(x) = L thì lim f (x) = L.
x→x0 x→x0 x→x0

Ví dụ. Chứng minh lim sin α = 1. Ta có thể kiểm tra bằng máy tính tại x = 0.1, 0.001, 0.0001.
α→0 α

Suy ra lim sin x = 1.
x→0 x

Sau đó, ta tham khảo một phương pháp chứng minh bằng định lý kẹp như sau

TS. Bùi Thanh Duy 12

TOÁN CAO CẤP 1

5. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 2.
Sự tồn tại giới hạn của hàm đơn điệu và bị chặn.

Giả sử các hàm số f xác định trên [a, +∞). Hơn nữa f là hàm đơn điệu trên (a, +∞) và
tồn tại M sao cho f (x) M, ∀x > b a. Lúc này lim f (x) tồn tại.

x→+∞

6. Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, logarit và lũy thừa.
Giả sử các hàm số f và g đều có giới hạn trong cùng một quá trình (x → x0 hay x → ±∞).
Trong q trình đó, ta có

• lim[ f (x) + Cg(x)] = lim f (x) + C lim g(x), C ∈ R.

• lim[ f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x).

• lim f (x) = lim f (x) nếu lim g(x) = 0.
g(x) lim g(x)

• Nếu f (x) > 0 trên một lân cận của x0 hoặc của ∞ và lim f (x) = L > 0
thì lim ln [ f (x)] = ln (lim f (x)) = ln L.

• Nếu f (x) > 0 trên một lân cận của x0 hoặc của ∞ và lim f (x) = L > 0, lim g(x) =
K thì lim [ f (x)]g(x) = [lim f (x)]lim g(x) = LK.

Ví dụ. Tính các giới hạn sau. (d) lim u4 + 3u + 6.

(a) lim (3x4 + 2x2 − x + 1). u→−2

x→−2 (e) lim 2x2 + 1.
3x − 2
(b) lim (t2 + 1)3(t + 3)5. x→2

t→−1 (f) lim esin 2x.

(c) lim (1 + √3 x)(2 − 6x2 + x3). x→0

x→8

TS. Bùi Thanh Duy 13

TỐN CAO CẤP 1

7. Các giới hạn thường gặp.

• lim sin u = 1. • lim ln(1 + u) = 1.
u→0 u u→0 u

• lim tan u = 1. 1
u→0 u
• lim (1 + u) u = e.
• lim eu − 1 = 1.
u→0 u u→0

1u
• lim 1 + = e.
u→+∞ u

Ví dụ. Sử dụng giới hạn lim sin x = 1, tính các giới hạn sau.
x→0 x

(a) lim sin (kx) (g) lim sin (x2 − 4) (m) lim x + x cos x
x→0 x√ x→2 x − 2 x→0 sin x cos x

sin ( 2x) (h) lim sin (x2 − x − 2) (n) lim sin x
(b) lim √ x→0 sin (20x)
x→0 2x x→−1 x+1

sin (x2) sin x (o) lim sin (sin x)
(c) lim 2 (i) lim √ x→0 sin x

x→0 x x→0 sin x √

(j) lim sin (1 − x)
(d) lim sin (3y) (p) lim sin (1 − cos x)
y→0 4y x→1 x − 1 x→0 1 − cos x
√
(e) lim sin (x2) (q) lim sin (3x) cot (5y)
x→0 x (k) lim sin ( x − 3) x→0 y cot (4x)
x→0 x − 9

(f) lim sin (x2 + x) (l) lim 2t (r) lim x2 − x + sin x
x→0 x t→0 tan t x→0 2x

1.5.3 Giới hạn một bên

Cho hàm số f xác định trên D ⊂ R và x0 ∈ R.
Giới hạn trái.
Ta nói hàm số có giới hạn bên trái là L tại x0 nếu với mọi dãy (xn) ⊂ D sao cho xn < x0 và
xn → x0, ta có f (xn) → L. Lúc này, ta viết lim f (x) = L.

x→x0−

Giới hạn phải
Ta nói hàm số có giới hạn bên phải là L tại x0 nếu với mọi dãy (xn) ⊂ D sao cho xn > x0 và
xn → x0, ta có f (xn) → L. Lúc này, ta viết lim f (x) = L.

x→x0+

TS. Bùi Thanh Duy 14

TOÁN CAO CẤP 1

Từ định nghĩa ta suy ra

Định lý

lim f (x) tồn tại khi và chỉ khi lim f (x), lim f (x) tồn tại và bằng nhau. Khi đó
x→x0 x→x0− x→x0+

lim f (x)= lim f (x)= lim f (x).
x→x0 x→x0− x→x0+

Ví dụ.

1. Tính giới hạn sau: lim x2 − 3x + 1. Ta có lim (x2 − 3x + 1) = −1 < 0 và lim (x − 1) = 0.
x→1+ x − 1 x→1+ x→1+
Hơn nữa, do x → 1+ nên x − 1 > 0. Vậy lim x2 − 3x + 1 = −∞.
x→1+ x − 1

2. Xét sự tồn tại của giới hạn tại x0 của các hàm số sau

• f (x) = 2x + 1, x < 1, (x0 = 1). Ta có lim f (x) = lim (2x + 1) = 3. Mặt khác,

−x + 4, x 12 x→1− x→1−

lim f (x) = lim (−x2 + 4) = 3. Vậy lim f (x) = lim f (x) = 3 nên lim f (x) = 3.
x→1+ x→1+ x→1− x→1+ x→1

• f (x) = |x| (x0 = 0). Ta có lim f (x) = lim x = 1. Mặt khác, lim − x = −1. Vậy
x x→0+ x→0+ x x→0− x

lim f (x) = lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại.

x→0+ x→0− x→0

Ví dụ.Tính các giới hạn sau (nếu tồn tại)

1. lim x−1 4. lim (x + 3) |x + 2| √
x+2 x→−2+ x+2 7. lim 2x(x − 1)
x→1+
x→1+ |x − 1|

x+2 5. lim (x + 3) |x + 2| 3
2. lim x+1 8. lim 2 − 1/3
x→−2− x+2 t
x→−0.5− +
t→0
√
3. lim 2 + x 6. lim 2x(x − 1) 1
x→−3− x + 3 9. lim 7 + 1/5
x→1− |x − 1| t
+
t→0

Ví dụ. Tính các giới hạn sau (nếu khơng tồn tại hãy giải thích tại sao?)

1. lim |x| 3. lim 2x + 12 1 7. lim 1 − 1
x→−6 |x + 6| 5. lim 2 x→0− x |x|
x→0
4. lim 2 − |x| x→0 x
2. lim (2x + |x − 3|) x→−2 2 + x 6. lim |x|

x→3 x→0 x

Ví dụ. Tính giới hạn các hàm số sau tại các điểm x0

TS. Bùi Thanh Duy 15