Giải bài tập hàm biến phức nguyễn thủy thanh (2)

NGUYEN THUY THANH .

HƯỚNG DÂN GIẢI

BAI TAP HAM BIEN PHUC

(In lần thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỤC LỤC

$1. Khái niệm về hàm biến phức

1°. Hàm giá trị phức biến thực ....
2!. Hàm sơ cấp

3°. Hàm biến phức .

4’. Ham đơn diệp...

§2. Đạo hàm trong miền phức

§3. Tích phân trong miền phức ....

1°. Sự tồn tại và phương pháp tính tích phân

trong Mi€n Pht... 1... ......4.....
2°. Các cơng thức tích phân Cauchy...
§4. Chuỗi Taylor. Chuỗi Laurent

1°. Chuỗi Taylor
20. Chuỗi Laurent....

Chương II. ÁNH XẠ BẢO GIÁC.......................... .eeev 75

§1. Một số khái niệm chung ................¿.5.5.s..x.vc.sc.cc.re.c.cr.rz-cx.ee
19. Sự tồn tại ánh xạ bảo giác

2°. Các nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác
3°. Bài toán cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác.
§2. Ánh xạ phân tuyến tính......
§3. Ánh xạ Jukovski..........

§4. Ánh xạ w = €” và w= logz..
§5. Các hàm lượng giác và hàm siêu việt khác

Chương II. THĂNG DU VA ỨNG DỤNG ........................................ 141

§1. Điểm bất thường cô lập.........................---557cSccSstterreeekeree
1°. Điểm bất thường cô lập đơn trị
2°. Khái niệm về điểm bất thường cô lập đa trị.

§2. Thặng dư
1°. Tính thang du
2°. Các định lý về thang du va tmg dung dé tính
tích phân đường

§3. Tính tích phân hàm biến thực

1°. Tích phân biểu thức hữu tỷ R (sin6, cos8) đối với

Sinus và cosinus, Ư < Ơ < 27..................-cccccccecceceeecserre 177
2°. Tích phân suy rộng với cận vô hạn của hàm hữu ty .....183
3°. Tích phân suy rộng cận vô hạn của hàm hữu tỷ nhân

với hàm cosơx hoặc sinÏX...........................-.-cccccecereiecrre. 193

4°. Tích phân hàm có thác triển giải tích đa trị.................. 206

TÀI LIỆU THAM KHẢO CHỦ YẾU.....................................errree 217

LỜI NÓI ĐẦU

Để thấm nhuẩần nội dung và phương pháp của lý thuyết hàm biến
phức, việc nghiên cứu lý thuyết cần được tiến hành cùng với việc giải một
số lượng đầy đủ các bài tập.

Nhằm giúp sinh viên có tài liệu học tập và đặc biệt là giúp sinh viên
tránh được sự ngỡ ngàng khi tiếp cận các khái niệm của giải tích phức,
chúng tơi biên soạn cuốn “Hướng dân giải bài tập hàm biến phúc” này.
Nội dung của cuốn sách được phân thành ba chương:

Chuong I: Ham chỉnh hình.

Chương II: Ánh xạ bảo giác,

Chuong IH: Thang du va img dụng.

Mỗi mục của cuốn sách được tách thành ba phần liên kết với nhau
bởi nội dung chính của mục đó. Mỗi mục được bắt đầu từ sự trình bày

những cơ sở lý thuyết thường sử dụng và những chỉ dân về các phương
pháp để giải bài tập. Tiếp đó là đưa ra nhiều ví dụ mẫu với lời giải chỉ tiết
nhằm lý giải và minh hoạ bản chất của các phương pháp cơ bản của lý

thuyết hàm biến phức. Phần cuối cùng của mỗi mục là phần bài tập tự giải
có kèm theo trả lời và chỉ dẫn cho một số bài. Thơng qua phần này, bạn
đọc có thể tự kiểm tra mức độ nhận thức lý thuyết và kỹ năng thực hành.

Chúng tơi khơng có ý định biên soạn cuốn sách này dưới dạng một

tuyển tập các bài toán hay đưa vào đây một số lượng quá lớn các bài tập

mà chú ý nhiều hơn đến tính chuẩn mực và sự đa dạng của các bài tập
được tuyển chọn..

Nội dung cuốn sách gần gũi với chương trình học tập của sinh viên
các ngành Toán - Cơ, Toán - Lý của các trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Sư phạm và các trường Đại học Kỹ thuật. Cuốn sách cũng
rất tiện lợi cho các cán bộ kỹ thuật muốn tự tìm hiểu sâu hơn nội dung
Hàm biến phức để áp dụng trong lĩnh vực nghiên cứu của mình.

Mới xuất bản lần đầu, chắc chắn cuốn sách cịn có nhiều thiếu sót.
Chúng tơi rất chân thành mong được bạn đọc vui lịng chỉ cho những thiếu
sót của cuốn sách về tất cả mọi phương diện.

Hà Nội, mùa Xuân 2002
Tác giả

Chương 1

HÀM CHỈNH HÌNH

§1. KHÁI NIỆM VỀ HÀM BIẾN PHỨC

1°. Hàm giá trị phức biến thực

Giả sử trên đoạn [a, b] c R cho hàm giá trị phức biến thực liên tục

z(: [a, b] > C. Khi t biến thiên trên đoạn [a, b], điểm z{t) vạch nên tập

hợp nào đó trên C. Tập hợp đó cùng với thứ tự mà điểm Z(tbiến thiên khi

tham sốt tăng liên tục từ a đến b (a < b) được gọi là đường “cong liên tục,

còn phương trình:

Z=2(t) = x(t) + iy(t), t € [a,b] qd)

được gọi là phương trình tham số của đường cong.

Như vậy, đường cong liên tục (1) là tập hợp có thứ tự trên C, nghĩa là

nó ln ln được định hướng theo hướng tăng của tham số t. Hướng
chuyển động của điểm z(Q đọc theo đường cong (1) tương ứng với hướng

tăng của tham số t được gọi là hướng dương..

Hai phương trình tham số

Z= 2(t), t € [a, b]

z= 2, (0), t € [a, bi]
cùng xác định một đường cong liên tục khi và chỉ khi tồn tại hàm thực
@() liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [a, b] sao cho @(a) = a,, (b) = bị
Z) = z¡, 1 € [a, bị.

Đường cong liên tục (1) được gọi là đường cong Jordan (= đường

cong không tự cắt) nếu Vf, t”; £ < t; £, t” œ [a,b) thì zŒ) # z(t"),

z(t") # z(b). Nếu z{a) = z(b) thì (1) là đường cong đóng Jordan, cịn nếu

z(a) # z(b) thì (1) là đường cong khơng đóng. Đường cong đóng Jordan

trên mặt phẳng phức C thường được gọi là chu tuyến.

¡_ Đường cong liên tực (1) được gọi là:
-__ (¡) Đường cong trơn nếu trên [a,b] hàm z(t) có đạo hàm liên tục khác 0;

() Đường cong trơn từng khúc nếu nó được lập nên từ một số hữu

hạn đường cong trơn.

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm phương trình dưới dạng phức của đường tròn I(a; R)
với tâm tại điểm a e C va bán kính R.

Giải: Ta ký hiệu z - a = R .e'". Đối với các điểm của T(a; R), ta có:

R=|z-a|=R

Do đó, phương trình cần fim có dạng: z - a = Re", trong đó acgumeng
đóng vai trị tham số:

Ví dụ 2. Cho phương trình đường cong dưới dạng phức z=3e" +2e”.

Hãy xác định dạng của đường cong đã cho.
: Giải: Ta cố: z=x+iy=3e" +2e” © x=Scost,y=sint. Đó là

phịương trình tham số của đường cong. Khử tham sốt ta có:
Š=cost; =sim > 2 +y =]
5 “ 25
Do đó, đường cong đã cho là đường elip với các bán trục bằng 5 và 1.

i Vi du 3. Duong cong z = z(t), tel , 2n]:.

e 2
2(t)= 3t

——4,z
nt

là đường cong khơng đóng với điểm tự cất là z = 1. Theo đó, các điểm'

12, = Z(0) Và 7z = (=)3calà những điểm khác nhau của đường cong mặc dù :

chúng là những điểm trùng nhau của mặt phẳng.

8.

Ví dụ 4. Hãy xác định đường cong được cho bởi hàm z = isint,

te [0z2n).
Giải: Ta có

2(t) = isint = ờ =0

y =sint

Khi t e [0, 2x] thì sint nhận moi gid tri tir -1 dén +1. Do d6, phuong
trình đã cho biểu dién doan truc 40 -1
đường cong đóng (đó là đoạn thẳng kép!). Thật vậy, khi t = 0, t = 27 thi
Hơn thế
các đầu mút của đường cong trùng nhau và trùng với gốc toạ độ.
< tạ< ®
nữa, mọi điểm của đường cong đều là điểm bội. Thật vậy, nếu 0
phương
thì do sinty= sin (1 -ty, ta cd:

Z(t\) = Z( - tụ, tụ € (0, T)

Nếu 1 < ty< 22 thi do sin tạ= sin (3% - tạ) nên

Aly) = ZŒt - 3tq), tọ € [x, 2m].

Như vậy đoạn [-1, 1] trên trục ảo được vòng hai lần.

Ví dụ 5. Hãy xác định đường trên mặt phẳng được cho bởi

trình: . : an Tt

z = sina.cht + icosasht, a € CS : 5 }tcR.

Giải: Ta có: z = x + 1y và do đố

x =sinœcht

y =cosasht,te R {2)

Khi œ#0,ø #+ 2; từ) tà có:

2“—==— =ch?t—sh?t=12 @)

Sin“x cos“ơ

Đó là phương trình hypecbơn. Vì (3) thu được từ (2) bởi phép bình

phương nên hypecbơn (3) có thể chứa những điểm "ngoại lai" đối với (2).

"Ta cần xét xem (2) có trùng với tồn bộ đường cong (3) hay khơng ?

11, Giả sử = <œ<0. Khi đó x = sinœcht < 0 vì cht > 0, Vt. Điều đó

có nghĩa rằng các điểm của (2) chỉ có thể thuộc nhánh bên trái của

9

hypecbôn (3). Khi t € R thi x biến thiên từ 0 đến -eo, còn y biến thiên từ -
œ đến +œ. Do đó, đường cong (2) trùng với tồn bộ nhánh bên trái của
hypecbôn.

2!. Giả sử 0 < œ< 5 . Tương tự như trên, dé dang thấy rằng (2) trùng

với nhánh bèn phải của (3).

3*, Giả sử œ = 0. Từ (2) ta có:

x=0
° = sht

Với - 0 đường (2) là trục ảo của mặt phẳng z.

“4'. Với œ= 2" ta CÓ:7‘

x=cht

y=0
Đó là phương trình tỉa x > 1 (vì cht > 1).
` a 1
5. Sau cùng, với œ = - 3° ta thu được:

x=-cht

y=0

Trong trường hợp này, đường đã cho là tia x < l của trục thực.

BÀI TẬP TƯ GIẢI

1. Hãy xác định các đường cong được mô tả bởi các hàm phức biến

thực sau đây:

1)z=a+(b-a)t,0
2) z=t+ i, 0
3)z=a.e" ade , O<tS2n (a>l)
a

4)z=e™"-1 , O
10

OT ey Trả lời: 2 2

1) Doan thang đi từ điểm z = a đến điểm z = b.
2) Nửa bên phải của parabôn y = xỶ đi từ 0 đến œ.
3) Elip —*—_ + —Y —— =1, có hướng ngược chiều kim đồng hồ.

4) Đường trịn | zt+l1 j=l được vòng quanh hai lần ngược chiều kim

đồng hồ.
2. Hãy xác định đường cong tương ứng với phương trình sau đây:

z(1+e =1

Chỉ dẫn: Đặt z=x+iy =x=1 - dig? ¬.., Từ đó
4 4° 2 2°2

x=—-YA1y. y ¿

3. Theo định nghĩa đạo hàm của hàm phức biến thực

z) d=ef lim | . xŒ¿) „¡, yŒ¿ +ÁU) _ e0]

AO At At

Hãy chứng tỏ rằng véctơ đạo hàm Z(t,) hướng theo tiếp tuyến với
đường cong z(t) tai to. cdc hé thttc sau day:

4, Gia sit ham z(t) kha vi va khdc 0. Chitng minh

HÀ =|z(0|Re<“0=.

2) —arg zt)=Im 22.
z(t)

j 40 _; Z2 ¡z0
đ&|z@| |z@| _

2. Hàm sơ cấp luỹ thừa tổng quát z” hàm mũ a” và hàm lôga log,z;
và hàm ngược của chúng được- gọi là các hầm sơ cấp
Các hàm: hàm
các hàm lượng giác

cơ bản.

11

_ Các hàm sơ cấp cơ bản cùng với các hàm thu được từ các hàm ấy nhờ

thực hiện một số hữu hạn lần các phép toán đại số và phép hợp hàm được
gọi là hàm sơ cấp.

1) Hàm mũ: Giả sửz = x + iy. Khi đó

'| def
e* = e* (cosy+ isinx)

Luu ¥ ring e**” =e” (cosy + isinx) =1 khi va chỉ khi

e* =] x=0 ,keZ
cosy=1 <© y=2ka
|.
siny =0

tức làc” =l<©© z=2kni, keZ

ii) Hàm lôga được định nghĩa như là hàm ngược của hàm mũ. Nếu
c”= z„ z # Ư thì số w được gọi là logarit của số z và ký hiệu 1A w = Lnz.

Từ đó ta có

ị w=u+iv=ln|z|+i(argz+2kx) , keZ `

hay là w=lnz=lnz +2km, keZ

trong đó lnz = hị z|* largz là giá trịchính của Lnz

, ii) Ham luỹ thừa tổng quát w = Z', a = a + iB được định nghĩa bởi
đẳng thức

z. =eaLnz _¿ A[In|Z|+i(argz+2kr]

| Đó là hàm vơ số trị. Hàm luỹ thừa tổng quát chỉ đơn trị khi a e Z.

Néu a= n là phân thức tối giản thì z* = z"" là hàm n - trị. Trong mọi

trường hợp cịn lại, nó là hàm vơ số trị.
._ Giá trị chính của hàm luỹ thừa tổng quát là:
| z a_ em

iv) Hàm mũ tổng quát

w=a”,az0,aeC

at` đ=ef e(hnayz _ ; .keZ

[inJa|+ ¡ (arg a + 2k ]z

12

Giá trị chính của hàm mũ tổng quát là:
a”“He (In|a|+iarg a)z

v) Các hàm lượng giác

,._ #8 e7e wt a + @ ef sinz
sinz = - > cosz = ———— ; tgz =
21
nghĩa hàm 21 COSZ
mũ ta có:
Khi z = x e R thì theo định

sinz = z_t cosx + isinx )-[cos(- x) + isin(- x)|= sinx

1

Tương tu khi z= x € R thi cosz = cosx, tgz = tgx.
Nhu vay, khi z= x €R, cdc ham luong gidc bién phitc tring véi cdc

hàm lượng giác biến thực quen biết.

CÁC VÍ DỤ

Vi du 1. Tính giá trị cha: 1) i'; 2) cU#.

Giải:

. ¬ i[al+i(CC-+2km)] _
Đi se se 727 TỦ so 202, keZ,

Như vậy ï là số thực.
2) ep? weg VILAg 2[Inl+i(+2n)]

=e 1@k*D2 = cos (2 +])n4J2 + isin(2k +1)wV/2 .

Ví dụ 2. Hãy tính |sinzạ| khi zạ = + ilog(2+ +5).

Giải: Giả sử z = x + 1y, khi đó
w = sinz = sin (x + iy) = sinxchy + i cosxshy.

Do vay

s| inz | = ysin?x chy” + cos”x sh?y = ysin?x +sh’y.

va |sinz |, =|sin[ x +itn(2+Ơ5)I]=sh [nÂ2 + ¥5)]

1

¿nG+5) _-in@+5) tr 5)

- 2 ~ 2 =2

13

Nhận xér: Từ ví dụ 2 suy ra rằng hàm sinus biến phức có thể nhận
giá trị có mođun lớn hơn 1.

Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng sinz, cosz, z e C không phải là những hàm bị
chặn trên C.

Giải: 1) Tacó: — |sinz|=-jsin°x+sh?y > | shy|

2) [cosz.|=-jcos”x + sh?y > | shy |

Do đó, khi 2 rời xa trục thực, cùng với y tăng, mođun của sinz và của cosz

đều tăng vơ hạn.
Ví dụ 4. Giải phương trình sinz = 2.
Giải: Giả sử z = x + ¡y, khi đó ta có
sinz =2 =| sinxchy =2, qd)
cosxshy =0.

Đầu tiên ta chứng tỏ rằng shy z 0. Thật vậy, nếu shy = 0 (hay y = 0)
thì chy = ch0 = I và từ phương trình thứ nhất của (1) ta rút ra sinx = 2.
Nhưng điều đó khơng thể xảy ra khi x e R. Như vậy, shy z 0.

Do đó, từ phương trình thứ hai của (1), ta lại có cosx = 0 và do vậy
sinx = I. Từ đó ta có: x = 1/2 + 2k, k e Z. và khi đó chy = 2.

- y=ln 2+3 2 :

: y=In 2-32

Tóm lại, phương trình sinz = 2 có các nghiệm phức sau đây:

z=2 +2km +iIn 2+3
2

và Z=2-+2kr+iIn 2-3 ,keZ

2

Ví dụ 5. Chứng minh rằng, nếu a = œ + ¡B, Ð # 0 thì z * là hàm vô

sé tri.

Giải: Đặt z = re. Khi đó, Lnz = Inr + i (@ + 2kx).
Đo đó w=z2 =efInr-B(@+2kr)e Í|e(0+2kg)+B hư]. (2)

14

Từ (2) suy ra --... 0, +1,.../ - (3)
|w|=e#tm#(e+e

arg w=a(p+2kr) +plnr=0,+2kna | k=0,+1,... (4

Từ (3) và (4) suy ra rằng với z và a cố định, các giá trị của z° nằm

trên hệ đường tròn với bán kính R„ = e*t- 8e. c 2428 ~ R„ e 8 Jay thành
hai cấp số nhân với công bội q = e ”"® nếu k dương, và cấp số nhân với
công bội q = e7"* nếu k âm. Đồng thời, trên mỗi đường tròn vừa nêu, các

giá trị trong (2) được sắp xếp sao cho argumen của chúng lập thành những
cấp số cộng (xem (4)) với công sai + 2œ. Từ đó suy ra điều phải chứng
minh.

Vi du 6. Chứng minh rằng nếu a =P €Q là phân số tối giản thì z°
q

là hàm q - trị (hàm có q giá trị).
Giải: Khi B = 0, từ (2) suy ra rằng mọi giá trị của z* đều nằm trên

đường tròn

|w|=e œ lnr =rữ

và từ (4) suy ra rằng acgumen cha cdc gid triz*la

6, =a + 2kna, k © Z. (6)

Trong số các giá trị acgumen trong (5) chỉ có q giá trị acgumen xác

định các giá trị khác nhau của z°. Thật vậy, nếu trong (5) ta thay k = 0,

1,..., q-1 thì trong số các giá trị Ơ,:

8)= ag,

6, =ap+ ? 2n,
q

8„=a0 + =P 4n,...,q (6)

85.1 = ag + PB (q -1)2n
q

sẽ khơng có những acgumen sai khác nhau một bội ngun cia 27. Điều

đó được suy ra từ chỗ nếu đối với số nguyên k < q nào đó, ta có kỀ bằng

15

|

số nguyên n thi Be 7 k< q. Nhưng điều đó mâu thuẫn với giả thiết
q

rằng ® hối giản. Mặt khác, hiển nhiên rằng với các giá trị k khác nhau,

ta có 6, khác với (6) một bội nguyên của 27. Nói cách khác, với ant
hằm z *trùng với hàm V2" có q giá trị. là số vô tỷ thực thì hàm
. VỆ dụ 7. Chứng minh rằng nếu a nhau của aLnz sai khác nhau
do e" =e” «>1, —t; =2kmi
w=z "la ham vo s6 tri.
| Gidi: Ta cé: z°= a" Hai gid trị khác

mot đại lượng a2mmi, m #0, m e Z. Từ đó và

ta'chỉ cần chứng minh rằng trong số các giá trị Ơ, xác định trong (5),

khơng có các giá trị nào sai khác nhau một bội nguyên của 27. ,

Thật vậy, nếu như với các số nguyên kị, kạ; k, # kạ mà

.2k,za - 2k;xa = 2n, n e Z

thì a= 17K, là số hữu tỷ. Mâu thuẫn ! Như vậy z *là hàm vô số trị khi:

a là số vơ tỷ thực.
:_ Ví dụ 8. Chứng mình rằng đẳng thức

ata =a%*™ ca cC; œ, dạ cC

thoả mãn khi và chỉ khi V k,, kạ Z, 3 m, k e Z sao cho

oy (k, - m) + o,(k,- m) =k. 1)
: Giải. Theo định nghĩa, ta có:

a”',a”? = exp(a,Lna)exp(a,Lna)

Ị: = exp(œ,Ina +iœ,k,2#).exp(œ„lna+iœ,k,2m) — (8)
= exp[ (0, +œ;)Ina+i(œ+œkak,¿ 2 |, k,,kạ eZ.

- VÀ a1: =exp|(œ, +; )Ina+ ¡(0œ + œ; )m2m |meZ.. (9)

| Từ (8) và (9) dé dang thay ring méi gid tri cha a°'*" 1A mot gid

trị nào đó của a”'a* (chính là giá trị thu được từ (8) bằng cách thay

k, ak, = m). Như vậy, tập hợp các giá trị của a”'a“? chứa mọi giá trị của

16 |

tập hợp a”'”“, Để giá trị bất kỳ của a”'a”:là một gid tri cha a a, +0, :

diéu kién can va di la Vk,, k, € Z, 3m, k € Z sao cho (d6i chiéu (8)
với (9))

2m(œ,k, + œ¿k;) - 270(G¡ + Œ;) m = 2kmi

và từ đó thu được (7)..
Nhận xér: Từ ví dụ 8 suy ra rằng: Nếu œ¡, œ¿ khơng thoả mãn (7) thì

ata™ ¢ aZ1†%2

Ví dụ 9. Chứng minh rằng đẳng thức

(a%)P= av?

thoa man khi va chi khi V k,,m € Z, 3k,,k € Zsao cho

oaBk, + mB - oBk,=k. (10)

Giải: Theo định nghĩa ta có:

(a?” =exp (BLn [exp (gLna)]]

= exp [B(œ Lna + 2mmt)]

= exp [a8 Lna + 2mm]

= exp [œBlna + 2œBzk,i + 2mz1], k,,m e Z q1)

a°° = exp (œBLna) = exp [œBlna + 2œÐk;m], k; e Z q2)

Từ (11) và (12) đễ đàng suy ra rằng giá trị bất kỳ của a”" cũng là giá
tri cha (a°)* Dé gid wi bat kỳ của (a”)P cũng là giá trị của a°, điều kiện

cần và đủ là V k,, m € Z, 3k, k e Z sao cho (10) được thoả mãn hay là

từ (10), ta có:

aB(k, - k,) +mB =k

BAI TAP TU GIAI
;¡ (+7
1. Tính giá trị của các hàm

1

Doo; 2i ; 3CDĐ

Trả lời:

D1! =e”“ TI'eR.

! x@k+1)
211 =e 2 =i’ eR.
— bn* G0

3) (-DÌ = exp[(2k+1)1.

4) (1+Ð' =expC CS“ z)[cos n2 + isindnV2 )],keZ.

2. Hãy khảo sát xem hàm w = sinz có nghiệm ảo hay khơng?

Trả lời: Khơng có !.

3. Chimg minh rang Vz = x + iy € C, cdc bat đẳng thức sau đây được
thoả mãn:

¬|e” -e*| <|sinz| < 5(e te”) .
2

< 2LẲev +e”ae)y .
lly) e oy -e „+ | <[ cosz|

Chỉ dẫn: Áp dụng định nghĩa hàm sinz, cosz va bat dang thức tam

giác.

4. Chứng minh ring Vz: |z| < R ta có:

1) | cos z | < chR ;

2) |sinz| < shR .
5. Giả sử x = Rez; y = Imz. Chứng minh rằng:

1) |sinz| = ch’y-cos’x .

2) | cosz| =ych’y-sin’x .

3) | tg2| - ch2Dyy -- cos2x
ch2y + cos2x

6. Giả sử z # 0. Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình e” =
z được mơ tả bởi công thức

w=z|I + ian rgz | + 2kmi, keZ
Chỉ dẫn: Đặt w=u+iv, r=|z ,@=argz,- <<. Khi đó

e"*# =r( coso + ising ) © e”( cosv + ¡ sinv ) =r (coso + Ì sin@ )

= e"=rz0

v=o+2kr

18

7. Giải các phương trình: L) sinz = 3; 2) cosz = -10.
Trả lời:

Đ Z=2-+2kr -iIn+ V8)

2) z=‡(n+2,9932¡)+ 2nm.
8. Hãy xét xem các tập hợp giá trị

a2", (ay? và (a2)*

có trùng nhau hay khơng ?
Trả lời: Các tập hợp giá trị a”” và (a”)” tùng nhau, nhưng nói chung

khơng trùng với tập hợp (a”)”.

3°. Hàm biến phức

Giả sử cho hai mặt phẳng phức C,„ z = x+iy và C„ w = u+iv. Ta Xét
tập hợp D nào đó của C, và tập hợp Dˆ của Cụ.

Nếu theo một quy luật f nào đó, mỗi điểm z e D đều tương ứng với

một số phức xác định w œ DỶ thì người ta nói rằng trên tập hợp D cho

hàm don trị biến phức ánh xạ tập hợp Ð vào tập hợp D”. Khi đó ta ký

hiệu: w=fŒ) hop D’ đều là giá trị của hàm thì người (1)
D qua ánh xạ f và f ánh xạ từ D lên D”
Néu moi diém cia tap ta nói
rằng D' là ảnh của tập hợp (nghĩa

là D' =f(D)).

Phần thực và phần ảo của f(z) là những số thực phụ thuộc vào z. Đó

là những hàm lấy biến phức giá trị thực.

u(z) = Re f(z): D> R,

v(z) = Im #(z): D> R.

Do đó:

f(2) = uŒ) + iv(z).

Vì mặt phẳng C đồng nhất với mặt phẳng Rˆ nên mỗi điểm z e D

được đồng nhất với điểm (x, y) e RẺ. Do đó

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (2)

19

Bước chuyển từ (1) đến (2) được gọi là phép tách phần thực và phần
ảo của hàm biến phức.

0 thì phương
Ta xét vài dạng bài tập: qua ánh xạ
1* Nếu trong mặt phẳng cho dudng cong F (x, y) =
trình của ảnh ® (u, v) của đường cong đó trong mật phẳng w

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

điợc tìm bằng cách khử x và y từ hệ phương trình.
| u(x,y)=u,
v(X,y)=V,

F(x,y)=0.

2*'' Nếu đường cong được cho dưới dạng tham số z = x(t) + iy(t) hoặc
x= x(t), y = yO thi phương trình ảnh của nó qua ánh xạ w = f(z) sẽ là

' w= f (z(t)). ° "0+6.

hoặc là | u=u] x).y@ |=ñ@

v=v[x(),y(0|=v@

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh:

1) sin (x + iy) = sinxchy + icosxshy.

2) cos (x + iy) = cosxchy + isinxshy.

Giải: Ta sử dụng các hệ thức:
e” = cosz + isinz
e™ = cosz - isinz

1) Ta có: i&+iy) _ g-i@tiy),
sing =sin (x + ty) =
5; i

lí _ ¬ .:
=--Íe Y( cosx + isinX ) ~ e* ( cosx — isinx )}
2i

! = (sinx) ee) +I(COSX ==

=sinxchy +icosxshy.

20

2) Được chứng minh tương tự.

Vi du 2. Qua 4nh xa w = z hãy tìm ảnh của:

1) Cac dudng thang x =c; y = c; c = const.

2) argz =a, -n n
3) |zÌ=p › | argz | “1:

Giải: Trước hết, ta tách phần thực và phần ảo của hàm

w=22, Đặt W = U + ÍV, Z = X + ÌY, ta CĨ

w=zœ u=x”- Ÿ >2 2

v=2xy.

1) Xét đường thẳng x = c. Phương trình của ảnh của x = c là

u=x“2- 2 u=c°-y? > ve

v=2xy y © v=2cy ®u=c -—.
x=c 4c

Đó là phương trình họ parabơn đối xứng qua trục Ou. Trục ảo x = 0
(ứng với c = 0) được ánh xạ thành:

u=-y’,

v=0.

Do vậy, ảnh của trục ảo trong mặt phẳng z là phần âm của trục thực u

<0,v=0.

Tương tự, ảnh của đường y = c là họ parabôn
v2 2

"ác? ’

và đường thẳng y = 0 (trục thực !) có ảnh là tia u > 1, v = 0.

2) Dat w = R.e'” z=r.e*. Khi đó

W=zˆ 2 2 Rei? 2„.2ia 2
© w=re“”,0 8=2œ

Đó là phương trình tia argw = 2œ. Như vậy, ảnh của tia argz = ơ qua
ánh xạ w = 2 là tia argw = 2œ.

21