Hàm biến phức nguyễn văn khuê,lê mậu hải

ĐẠI HỌC VINH ỉ • LẺ MẬUHAI
THƯ VIỆN
HUÊ
515.9
NG-K/01
DT. 000091

ềSÊPt

1ỊXỊ

a N ộ i NHÀ XUẤT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ


NGUYỄN V Ă N KHUÊ - LÊ MẬU HẢI

HÀM BIÊN PHỨC

NHÀ XUÁT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Quốc GIA HÀ NỘI - 2001

Chịu trách nhiệm xuất bản :

Giám đốc NGUYỄN VĂN THỎA

Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP

Người nhận xét: PGS. TSKH Đ ỗ ĐỨC THÁI
PGS. TS NGUYỄN THỦY THANH
TS BÙI ĐẮC TẮC

Biên tập và sửa bài: ĐO PHU

Trình bày bìa: NGỌC ANH

HÀM BIÊN PHỨC

Mã s ố : 01.19.ĐH2001 - 345.2001
In 1000 cuốn, tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội.
Số xuất bản : 41/345/CXB. số trích ngang 104 KHXB

In xong và nộp lưu chiểu Quí 11/2001

MÚC LỤC

Trang

LỊI NĨI Đ Ầ U 7

Phần ì. CO SỊ CỦA HÀM BIẾN PHỨC

Chương ì. SỖ PHỨC VÀ DÃY s ố PHỨC 9

§ 1. Số phức 9

§ 2. Dãy và chuỗi số phức 20

§ 3. Tôpô trên mặt phang phức 24

Chương li. HÀM SÒ B I Ể N s ố PHỨC 37

§ 1. H à m biến phức 37

§ 2. Chuỗi hàm '41

§ 3. Định nghĩa các hàm sơ cấp 51

Chương ỈU. H À M C H Ỉ N H H Ì N H 58

§ 1. Khái niệm hàm chỉnh hình 58

§ 2. H à m phân tuyến tính 71

§ 3. Một số hàm sơ cấp khác 79

§ 4. Khái niệm vé diện Riemann 86

Chương IV. L Y T H U Y Ế T TÍCH PHÀN H À M C H Ỉ N H H Ỉ N H - . . . 94

§ 1. Tích phân phức 94

§ 2. Các định lý Cauchy về tích phân các hàm

chỉnh hình trên đường cong đóng loi

§ 3. Lý thuyết Cauchy 108

3

§.4. M ộ t số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình . .113

§ 5. H à m điếu hòa 121

Chương V. C H U Ỗ I T A Y L O R VÀ LÝ T H U Y Ế T T H Ả N G D ư . . 131

§ 1. Chuỗi Taylor 131

§ 2. Chuỗi Laurent 138

§ 3. Thăng dư của hàm chỉnh hình và áp dụng của nó 150

§ 4. Thặng dư logarit và áp dụng của nó 154

§ 5. H à m điề u hòa 165

Phần li. MỘT SỐ VẤN ĐÊ CHỌN LỊÍA
TỪ HÀM CHỈNH HÌNH .

Bài ỉ. Đ Ị N H LÝ M O N T E L ( N G U Y Ê N LÝ C O M P A C T ) 185
190
Bài 2. Đ Ị N H LÝ Á N H X Ạ R 1 E M A N N 193

Bài 3. K H Ô N G Đ I Ể M C Ủ A C Á C H À M C H Ỉ N H H Ì N H 203

Bài 4. C Õ N G T H ả C JENSEN - Đ Ị N H LÝ co BẢN THả 212
NHẤT NE VAN U N A 226

Bài 5. Đ Á N H G I A M O Đ Ư N T R Ê N VÀ D Ư O l C Ủ A
HÀM CHỈNH HÌNH

Bài 6. Độ T Ả N G C Ủ A H À M N G U Y Ê N

Phần IU. HÀM NHIÊU BIẾN PHỨC

Bài ì. K H Ô N G G I A N E U C L I D E cn V À C Á C M I Ề N 232
ĐON GIẢN 232
233
§ 1. Không gian Euclide phức 235
s 2. Các miên đơn giản trong cn
§ 3. P h â n hoạch đơn vị trong cn 241

Bài 2. H À M C H Ỉ N H H Ì N H N H I Ề U B I Ế N

4

§ 1. Khái niệm chỉnh hỉnh 241

§ 2. Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hỉnh . . . . 243

§ 3. Miễn hội tụ của chuỗi lũy thừa 247

Bài 3. Đ Ị N H LÝ HARTOGS 251

Bài 4. P H Ư Ớ N G T R Ì N H C A U C H Y - RI E M A N N VÀ

MÒ RỘNG CHỈNH HÌNH 256

§ 1. Sơ lược vé dạng vi phân trên c 256

§ 2. Dạng tích phân Cauchy suy rộng 258

§ 3. Phương trình Cauchy-Riemann khơng thuồn nhất . 260

§ 4. Mở rộng chỉnh hình 265

Bài 5. M I Ề N C H Ì N H H Ì N H VÀ L Ồ I C H Ì N H H Ì N H 266

§ 1. Miễn chỉnh hình 266

§ 2. Miến lồi chỉnh hình 276

Bài ó. M I Ề N GIÀ L Ồ I . , 273

§ 1. Hàm đa điểu hoa dưới 273

§ 2. Bao đa điều hòa dưới 274

5


LỊI NĨI ĐẦU

Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho
sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm.

Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành cho việc
trình bày những kiên thức cơ bàn của lý thuyế t hàm chinh hình
một bếi n phức: khái niệm và các tính chất sa cáp cùa hàm chỉnh
hình, lý thuyế t tích phán Cauchy, lý thuyế t chuỗi và thặng dư.
Khác với một số giáo trình hàm bếi n ohức trước dây, do có tính
đến sỏ phát triển sau này của chuyên ngành Lý thuếy t hàm,
chúng tôi trinh bày thêm một phần lý thuyế t hình học mà sẽ
dược tếi p tục ỏ phần hai của giáo trinh "Hàm chình hình một biên

phức". Đó là ngun lý Argument và định lý Rouché, nguyên lý
bảo tôn miên, định lý lỉu nait, V.U..

Phàn thú hai của giáo trinh là một số ván dè dược lỏa

chọn dóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu sâu vè hàm

chỉnh hình. Nó bao gồm: định lý Montel, dinh lý Riemann, dinh

lý Weiestrass vẽ sỏ tồn tại hàm nguyên với dãy không điểm cho

trước cũng như định lý Mittag - Leffler vè sỏ tịn tại cùa hàm

phân hình với phàn chính đã cho. Người học còn âm tháy ở

đây các kế t quà vè đánh giá môdun trên và dưới dối với các

hàm chỉnh hình bời dinh lý Carathéodory, Schottky, Landau,

phragmen - Lindelof và Carton. Các kế t quả vẽ khảo sát độ tăng

của hàm nguyên, công thức Jensen và định lý cơ bản thứ nhốt

cùa Nevanlina về đảnh giá tổng số không điềm và cỏc điềm của

hàm phân hình cũng được dưa ra trong phân này. Phần này

7

dược dùng như một tài liệu hữu ích cho việc dạy chuyên dê ỏ

năm thứ ba. Tuy vậy. nó là tài liệu tham khảo và nâng cao
thật bồ ích cho những ai muốn đi sâu. tìm hiểu mơn học này.

Phàn cuối của giáo trình là các kiến thức nhập môn về hàm
nhiều biến phức. Bao gơm trong đó, ngồi các kiến thức ban dầu
về hàm nhiều biến phức, còn phải kề đến định lý cơ bản Hartogs
về tính chờnh hình của hàm chờnh hình theo từng biến, về việc
giải phương trình 9 và sự thiết lập mối liên hệ giữa miền chinh
hình, miên lịi chờnh hình và miền giả lồi.

Thiết nghờ ràng, nội dung của cuốn sách không chi cho các
sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Dại
học Sư phạm và Dại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu
thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết
hàm. Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thề
tìm thấy ỏ dãy những kiến thức cần thiết cho sự học tập và
nghiên cứu của mình.

Cuốn sách lăn dầu tiên xuất bản nên không tránh khỏi
những thiếu sót, chúng tơi mong nhận được sự góp ý của bạn
dọc.

Các tác giả

8

Phần I

Cơ sỏ CỦA HÀM BIỂN PHỨC

Chương ỉ

S Ố PHỨC VÀ DÃY S Ố PHỨC

§1. SỐ PHỨC

Ta biết rằng trường số thực R nhận được bàng cách làm

"đấy" trường số hữu tỷ Q, mà nó được xâ\ dựng từ vành số

nguyên z. Việc làm đấy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương
trình đại số với hệ số hữu tỷ và giới hạn của dãy các số hữu
tỷ. Tuy nhiên trường R vẫn không đấy đủ, bểi vì ngay cả phương
trình đơn giản

X2 + Ì = 0 (1)

cũng khơng có nghiệm trong R. Cịn trong giải tích nếu chỉ giới
hạn trong R người ta khơng thể giải thích được vì sao hàm

Ì

f(x) = ——

Ì + X2

khơng t h ể khai t r i ể n được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ
đường thẳng.

Với lý do trên. buộc ta phải đi tỉm kiếm trường K nào đ ó

chứa R như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1)

9

có nghiệm, ớ đây, ta nói R là t r ư ờ n g con của K nếu các p h é p
toán trên R được cảm sinh bởi các phép toán trên K.

1.1. Xây dựng trường số phức

Trước hết, ta hãy phác thảo con đường t i m kiếm t r ư ờ n g c

chứa R như một trường con mà phương trình X2 + 1 = 0 có

nghiệm trong nó.

Nếu c là một trường như vậy, thì c phải có một phần tử

i để í = -1.

Vì R c c n ê n c chứa t ấ t cả các p h ẩ n tử d ạ n g

a + ib; a, b £ R

Vì vậy, m ộ t cách tằ n h i ê n ta hãy x é t t ậ p c các cặp số t h ằ c
z = (a, bì:

c = {(a, b) : a, b £ R}

Sau đó đ ư a vào quan hệ bằng nhau và các p h é p t o á n sao
chỏ với chúng c trở thành một trường chứa R như một trường

con (qua p h é p đổng nhất n à o đó). Các phép toán này được d ẫ n
dắt từ các p h é p t o á n của t r ư ờ n g R với c h ú ý i = - 1:

(i) Quan hệ bảng nhau:

(a, b) = (c, d) «=> a = c v à b = d.

(li) Phép cộng:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

(iii) Phép nhân:

(a. b) . (c, d) = (ác - bd, ad + be).

Định lý 1. T ậ p hợp c với quan hệ bằng nhau, các phép cộng
và nhân xác định nhu í rèn lập t h à n h một trường thỏa mãn các
điêu kiện sau:

10

1) R c h ứ a t r o n g c lib í m ộ t t r ư ờ n g con (qua đổng nhất
a e ít v ớ i (a, 0) G C).

2) T ổ n t ạ i n g h i ệ m của p h ư ơ n g t r ì n h X + Ì = 0 t r o n g c

Chứng minh:

1) (i) H i ể n n h i ê n v ớ i p h é p c ộ n g

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
c lập t h à n h n h ó m cộng giao h o á n với p h á n tử k h ô n g là (0, 0)
v à p h ẩ n t ử đ ố i của (a, b) là (-a, - b ) .

(li) Tiếp' theo với phép n h â n

(a, b) . (c, d) = (ác - bd. ad + be)

t ậ p c* c á c p h ấ n t ử k h á c k h ô n g của c lập t h à n h n h ổ m n h â n
t i , 0) v à p h ầ n t ử nghịch đ ồ o
giao hoán với p h ầ n tử đơn vị là

c ủ a (a, b) e c* l à

í a —k \

V a 2 + b 2 ' a 2 + b2l '

(iii) Cuối c ù n g phép cộng và phép n h â n trong c thỏa mãn
luật p h õ n phi vn cú trong R.

ãã.ô. (3)[(a, b ) + (c, d't'j = (a, p ) ( a + c, b +• d)

= (a (a + c) - / ỉ ( b ả), a (b + d) + ộ (a + b))

— (aa + á c - fib - ị3d. ab + aà + Ịi-A + Ịic)

- tea - fib, ah + /3a) + (ác - / x ỉ , rtd + /Se)

= (a, /3)(a, b) + (a, /3)(c, d).

H i ể n n h i ê n qua đ ồ n g n h ấ t a = (a, 0), a G R , R được chứa
trong c n h ư m ộ t trường con.

li

2) Bởi vì (0. Ì ) 2 = ( - 1 . 0) = - ] nên i = (0, 1) là nghiệm
c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h X + Ì = 0.

Định nghĩa 1. T r ư ờ n g c được xây dựng n h ư t r ê n được gọi là

trường các số phức. còn m ọ i phần tử của c được gọi là số phức.

Số i É c gọi là dơn vị ảo cùa c.

Bời vì:

(a. b) = Ca, 0) + (0, b) = a + b (0, 1) = a + bi nên mọi
số 'phức z G c ta viết duy nhất dưới dạng

z = a + ib với a, b £ R

D ạ n g t r ê n được gọi là dạng dại số của số phức z, các sô
thực a. b l ầ n lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z. Ký
hiệu a = Rez, b = Imz.

Cho z = a + ib G c. K h i đó
z = a - ib e c

được gọi là số phức liên hợp của số phức z.

Các đ ả n g thức sau được suy ra từ đậnh nghĩa

z = Z VzeR.cC;

z = z Vz G C;

Z Ị "Ỉ" z -) = z Ị T Z2 }

z . Z = a 2 + b 2 5= 0 ;

z ^ 2 = Zj Z2

và vậy thì

Iz = Xi VA e R, Vz G c.

12

1.2. Mặt phăng phức

Giả sử trẽn mặt phảng Í t cho một hệ tọa độ v u ơ n g góc
xOy. N h ư v ậ y , m ỗ i đ i ể m M e K2 được xác định b ờ i h o à n h độ
X v à tung độ V của nó. Điều này cho phép ta lập được t ư ơ n g
ứng Ì - Ì giữa các điểm của mặt phang R" với các sò phức
z G C:

M(x, VI G R H - > 2 X f iy = z G c

Mặt phảng R cùng với một tương ứng như vậy được gọi là
mặt phàng phức. N h ư vậy m ộ t đ i ể m M(x, y) G K" có t h ể được

coi là một sự phức nếu đồng nhất nó v ớ i z = X + iv.

1.3. M ô đ u n và Argument của sô p h ứ c

Ta đã biết mỗi sự thực X G R tương ứng v ớ i một sô thực
k h ô n g â m | x j được g ọ i là giá trị tuyệt dối của x:

. . Ị X nếu X Si 0

ỉ —X n ế u X < 0

Giá trị tuyệt đựi này có các tính chất h i ể n nhiên sau (liên
h ệ với các p h é p t o á n của t r ư ờ n g sự thực R ì :

(i) I X Ị & 0 Vx e R v à Ị X I = 0 « = > x = 0;

(li) |xy| = | x | | y | ;

(iii) |x + y | « IX Ị + ly Ị.

Bây giờ ta muựn mở rộng hàm trị sự tuyệt đựi này t h à n h
m ộ t h à m m à sẽ gọi là hàm môdun từ c tói R m à các t í n h chất
tương tự như trên còn được giữ nguyên đựi với các sự phức.
Muựn v ậ y , với mỗi sự z = X + iy e c t a đ ặ t

v à gọi là môdun I z I = v~x" + y" = if7, . Z

của z.

13

| z | c h ẳ n g qua là khoảng cách t ừ đ i ể m M i x . y) fc R tương
ứng với z đ ế n gốc tọa độ 0(0, 0). trực tiếp

Các k h ẳ n g định sau t ư ơ n g t ự n h ư (í) -ỉ- (iii) suy
từ định nghĩa trên:

a) I z I 5* 0 Vz e c v à I z I = 0 <=> z = 0;

b) | z j z 2 | = IZLỊ | z 2 | ;

c) | Z | + z 2 | í |Zị| + |z2|.

Ngoài ra:
d ) M ô đ u n của m ọ i số thực X G R chính l à trị số tuyệt đ ố i
của nó;

e> |zỊ = | z | = "Vzz Vz G c.

Bây giờ ta chuyển sang định nghĩa argument của một số
phức z = X + iy / 0. Muốn vậy chú ý r à n g với r = Ị z | ta có

^ + -) = Ì

ri \ xi

Vì vậy t ồ n t ạ i duy n h ấ t số thực Ỷ (0 $
= c°*Po . 7 = s i n ^ o

hay X = r c o s ^ 0 , y = rsiny>0.

Nói cách khác

2 = | z | ( c o s y > 0 + i s i n ^ o ) , 0 $ ( p a < 2JI (1)

Số thực ký hiệu là argz.

N ó i chung m ọ i số thực tp m à
z = I z I (cosy + isiny)

được gọi là argument của z.

14

Rõ ràng đối với mọi argument Ý cùa z tổn tại số nguyên k
sao cho

Sau này nếu viết Argz ta hiểu đó là tập t ấ t cả các argument
của z ;

Argz = {argz + 2b? : k = 0 ± 1 , ± 2 , . . . } .

1.4. Dạng lượng giác của s ô phức

V ớ i k h á i n i ệ m m ô đ u n và argument của số phức z * 0, ta
có t h ế viết số phức ở dạng thuận tiện hơn.

z = I z I (cosy + isiny?),

D ạ n g (1) được gọi là dạng lượng giác của z.

Từ các công thức lượng giác và từ li) ta có

ArgZịZ2 = Argz, + Argz2 (2)

z I

Arg— = ArgZ] - Argz2 (3)
z >

B ng quy nạp ta có

A r g Z j ... z n = Argz, + ... + A r g z n (4)

Bây giờ, giả thiết Z] = ... = zn = z = picosp + Mn
z n = />n( cosny? + isinrnp)

V ớ i /> = Ì ta được c ô n g thức Moivre sau

{camp + i s i n y ) " = cosnf + isirmyj, Vn 5 Ì (M)

C ơ n g thức Moivre còn đ ú n g với ri = 0 và n là số n g u y ê n

â m . V ớ i n = 0 (M) là h i ể n nhiên vì

í cosy? + isiny>)° = Ì = cosO + isinO.

15

Nếu k là số nguyên âm, đ ặ t k = - n , n £ N , ta có

(cosy + isiny) (cosy + isin</>)

Ì cosn'P Ì
(cosnyj + isinncpf
+ isĩ nny?

cosny - i sinny>
(cosny + isinny?) (cosny — isinny)

Vậy cosny - isinny? = cosky + isinky?.

[costp ỉsĩny>)

= cosmp + isinny?, Vn G z.

Đ ể k ế t t h ú c mục này, ta giải thích ý nghĩ a h ì n h học của

Ì X + iy * 0.

phép nghịch đảo

Đ ẩ u tiên g i ả sử I z Ị < 1. Ta kè đ ư ờ n g v u ơ n g góc với tia
Oz t ạ i z (ta đổng n h ấ t z với đ i ể m M i x . y)) c á t đ ư ờ n g t r ò n đơn
vị [ ị z | = 1} t ạ i £. T ừ t, kẻ đường tiếp tuyến với đường t r ò n đơn
vị này. Giả sử tiếp tuyến cắt tia Oz t ạ i cu. H i ể n nhiên argtó = argz,

= (hình 1).

2

Hình Ì

16

Số liên hợp cư đó là -- (đối xứng với OI qua trục thực).

z

Nếu |z| > Ì phép dựng được tiến hành theo thứ tự ngược
lại xuất phát từ z.

1.5. Dạng mũ của số phức

Với mọi s ố thực

1 = 1 + isin<£> (1)

e^ cosy

N h ư vậy từ công thức Moivre ta thấy mọi số phức z ^ 0
có t h ể viết d ư ớ i dạng

z = (2)

v à được gọi là dạn.ơ m ũ c ủ a z.

Từ cách viết (2), ta có các đảng thức sau:

Z j z 2 = Pfce^n+n)

li = l i ei(y>! - y>2)
2

ở đ â y : Zj = />J e'^l; z 2 = />2 eiíP2; z = /><

Từ (1) ta có

Ì

cosy

(E)

SĨTiíp 2i V

Công thức (E) được gọi là công thức Euler.

1.6. Phép khai căn một s ố phức

Cho n là số tự nhiên và z G c. Ta nói tư là c â n bậc n
của z nếu co" = z.

Với z * 0, đ ặ t z = re]f và co = J ° e , v . K h i đó

Từ đó ta có

p = ì~r

xịt = - — k

n

Bởi vì e'^ — cosy + ịsinp có chu kỳ 2JĨ cho nên m ọ i z ^ 0
có n căn bậc n khác nhau. Đó là

rV- , ip + 2ÌUI

wk = Vr íc o s + ĩsin )

k = 0, Ì, .... n - Ì

Ta có ip + 2k/T

^z~ = Ị )Ịr COS- + isin ) : k = 0,l,...,n-lL

1.7. Biểu diễn Riemann của sô phức và mặt phang phức m ó rộng

Trong R chọn h ệ t ọ a độ v u ơ n g góc OỉịrịC.

Ký hiệu s là m ặ t c ầ u t â m t ạ i ị 0, 0, —\ b á n k í n h b n g
Ì ,
~ (hình 2):

18