Giáo trình số học lại đức thịnh

SÁCH ĐẠI HỌC S ư PHẠM

L Ạ I ĐỨC THINH

GIÁO TRÌNH

số HỌC

1977 | PDF | 310 Pages


GịịVlD NHÀ X I Ấ T BẲN GIÁO DỤC -

81, Trần Hưng Đạo — Hà nội



L Ờ I NỚI Đ Ầ U

Giáo trình này viẽt trang thành với nội dung và tinh thần của
chương trình Số học dùng cho khoa tốn các trường đại học sư
phạm, hệ Ặ năm do Bộ giáo dạc ban hành. -Đe cho việc trình bày
dược tinh giản và có hệ thống, trong khi biên soạn chủng tơi đã
thay đui đơi chút về trình tự sắp xép cúc chương, mục so với thứ
tự đã ghi trong chương trình, cạ thề là :

Phần lý thuyẽt chia hét tronq vành số nquỵên đã được đưa
ngay vào chương « vànìi số nguyên » (chương l ĩ ) mà không lách
riêng ra thành một chương riêng.

— Phần số hỉu ti và số thực được ghép chung lại thành mật

chirừng (chương HI).

— Phần các hàm s ố s ố học đã không đề thành một chương riênq
mù tách ra, đưa các hàm số T(n) vù ơ ( n ) vào chương « Số nguyề n
tu » {chương VI) và hàm s ố ơỉe cp (n) vào chương (Lý thuyết đồng
dư » (chương VI li).

— Trong phần phương trình dồng dư, dã tách phươnq trình
dồng dư bậc hai thành một chương riêng (chương X).

Ve khối lượng kiên thức, đôi chỗ chúng tôi cũng có viẽt nhềi u
hơn (khơng dáng kề ) so ươi mức độ yêu cầu trong dự thảo chương
trình, cụ the là :

— Phần lý thuyỉt số thực đã được trinh bày dầy đả chứ khùng
phải chỉ là giới thiệu cách xâu đựng s ố thực như đã ghi trong
chương trình-
hàm số 3ĩ(n).
— Về s ố nguyên tổ, đã viẽt thèm ồ3 đề giới thiệu

— Đã thèm chương XI về <( cư lí nguyên thảy».

Trong khi biên soạn giáo trình này, cũng như trong mấy năm
iliảng dạy vừa qua, khi say nghĩ lư chương trinh môn số học,
chúng tôi thấy cần thiết phải trang bị (lầy đủ lý ihnyẽl .số thực cho

3

c á c học sinh khoa toán đại học sư phạm, cho nên phấn này đã dược
trình bày đầy đủ hơn so vùi diầu đã ghi trong chương trình.

Hối vời hai phần cịn lại thì mạc đích là đe làm dự trữ. đe
cho học sinh học thêm, hoặc trong trường hợp cố thi thì qiảnq
ngay vào chinh khóa, nó cũng thuộc phạm vi kiin thức cơ sỗ cần
thiít cho mỗi học sinh, và nó giúp phồn làm giổm nhẹ (mặc dầu
rát ít) các chun dì vì số luận.

•Bề đọc cuốn sách này, học sinh cần một sổ ít kiên thức về đại
SỔ đ ã được học ở năm thứ hai theo giáo trình ((-Đại số cao cấp-))
tập li của Hồng Xn Sinh (Nhà xuất bản Giáo dạc, 19VÚ.

Trong khi biên soạn, chúng tòi đã dược sự giúp đỡ nhiệt tình
của các địng chí trong nhỏm « số laận» của tề Đại số thuộc khoa
toán trưởng Đại học sư phạm Hà nội, chúng tơi cũng đã được
các địng chí Ngơ Thúc Lanh và Hồng Xn Sinh đọc trước bản
thảo và góp nhiầu ý kiên quỷ báu, riêng đồng chi Hồng Xn
Sinh đã giúp chúng tơi viít phần lý thuyết số thực, chúng tôi xin
chân thành cảm ơn các đồng chí nói trên.

Cuối cùm/ chúng tơi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho
những thiêu sót cửa cuốn sách đĩ góp phần xây dựng giáo trình
số học được tốt hơn.

Tháng 6 năm 1976
LẠI ĐỨC THỊNH

4

CHƯƠNG I

SỔ T ự NHIÊN

Lý thuyết vè số tự nhiên có t h ê coi là cửa ngõ của
t o á n học. Những hiếu biết t ố i thiêu vè sổ t ự nhiên là
cằn thiết cho mọi ngành toán học. Vấn đè xây dựng
khái niệm số t ự nhiên là một trong những vấn đè cơ
bản của giáo t r ì n h số học. Trong chương này ta sẽ
xác định số tự nhiên như là bản số của t ậ p hợp hữu
hạn. Đó khơng phới là một sự lựa chọn tùy tiện và
cũng không phải là một sự cần thiết cho việc trinh bày
các chương sau. Ta hồn tồn có thê định nghĩa tập
hợp số t ự nhiên bằng p h ư ơ n g p h á p tiên đề, dùng hệ
tiên đè P ê a n ô quen thuộc. Song ta định nghĩa số tự
nhiên n h ư là bản số của tập hợp hữu hạn, vì điều đó
vừa phù hợp với quá trình xuất hiện và hình thành
k h á i niệni số tự nhiên trong hoạt động thực t i ễ n của
xã hội loài người, vừa phù hợp v ớ i việc hình thành
khải niệm số cho học sinh. Đê giải quyết v ẫ n đè như
trên ta càn đến những kiến thức t ố i thiêu về tập hợp
và bản SỐ của tập hợp. Đó là một khó khăn. Đê cho
gọn, ta sẽ sử dụng những kết q u ả về lý thuyết tập hợp
đ ã có trong giáo trinh đ ạ i số (Đại số cao cấp, tập li,
Nhà xuất bản Giảo dục, 1974), đồng t h ờ i ta cũng đè
cập đèn những điều thật cần thiềt về bản số đủ đê
xây dựng tập hợp sổ tự nhiên. Tuy vậy ta cũng sẽ

5

phải thừa nhận mà không chửng minh hai định lý
(định tỷ í và định lý 2) vì việc chứng minh hai (lịnh

lý này đòi hỏi phải chuẫn bị nhiều hơn ra ngồi khn
khơ u cầu của giáo trình.

§ ì . TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG. BẢN sổ

ì - TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Định nghĩa. Giữa các tập hợp ta xác định một
quan hệ, ký h i ệ u là —, n h ư sau:

Cho A, B là những tập hợp, ta nói A ~ B khi và chỉ
khi có một song ánh từ A đến B.

2. Tình chất 1. Quan hệ —• vừa xác định giĩva các tập
hợp có cắc tính chất của một quan hệ tương đưonq, nqhĩa
là nới những tập hợp bất kỳ A, B, c ta có:

a) (Tính phản xạ) A ~ A. li-Á.
b) (Tính đổi xầng) Nếu Ả~B thi

c) (Tính bắc cầu) Nếu A ~BvàB~Cihì A ~~ c.

Chầng minh :
a) Ánh xọ đồng nhất ÌK : A —> ^1 là một song ánh cho
nên A ~ A.

b) Nếu A — lì thì theo định nghĩa tất phải có một
song ánh, giả sử là f : 4 —> B, khi đó có ánh xọ ngược
f - 1 : B -f A, và f~1 cũng là song á n h , cho nên B ~ A.

c) Nếu A ~ B và lì ~ c thì tất phải cỏ những song
ánh, giả sử là f : A ~> B và g : B -* c. Khi đó ánh xọ tích
tị. f là một song á n h t ừ A đến c cho nên A ~ c. li

Quan hệ ~ xác định ỏ- trên có các tính chất của một
quan hệ tương đ ư a n g , vì vậy ta cũng gọi nó là quan

6

hệ tương đương giữa các tập hợp, và khi cỏ A ~ B thi
ta n ó i là tập hợp Ả tươnq đương với tập hợp B, hay
c ò n n ó i hai tập hợp Ả và B tương đương với nhau.

3. Tính chất 2. Phép lấy tích đề các và lấy hợp các
tập hợp bảo tồn tính tương đương giữa các tập hợp, cụ
t h ê là v ớ i n h ữ n g tập h ợ p Ả, Aỉ, B, Bị ta cỏ

a) Nếu A ~ Ai và B ~ Bi thì A X B ~~ Ái X B i .

b) Nếu A -~ Ai, B ~ Bi và Á A B = Ai A B i = ệ thi
A \J B ~ Ai \J Bị.

Chứng minh: Vì A ~ ^ 1 v à B ~ Bi n ê n t ấ t c ó n h ữ n g
song ả n h , g i ả sử là f và g theo t h ử t ự t ừ A đ ế n Ai v à
t ừ B đ ế n Bi. D ễ t h ấ y đ ư ợ c r ằ n g c á c ả n h xạ (p v à ty
xác định n h ư sau :

cp: A X B -+ Aị X Bi

(a,b) 1-+ẹ(a,b) = ự(a),g{b))

U) : AKJB - * i l i w B i

./ \ í f(x) n ế u £ ^ Ả

T w ỵ_ nếu X € B

là n h ữ n g song á n h , t ừ đ ó ta đ ư ợ c đ i ề u c à n c h ử n g m i n h . / /

4. Định l ý 1. (*) Cho Á và B là những tập hợp, thí thì
tất phải xảy ra lí nhất một trong hai trường hợp sau đây:

( * ) Định lý này do Cantor nêu lên trong khi nghiên cứu
lý thuyết tập hợp, nhưng Cantor không chứng minh đ ư ợ c
Phần thứ hai của định lý được Bernstein chứng minh (1897),
nên được gọi là định lý Cantor-Bernstein, mà chúng ta thường
gặp trong các giảo trình giải tích hay tô-pô- Phân thứ nhất
của định lý được Zermelô chứng minh (1904) sau khi đưa liên
đồ chọn vào lý thuyết tập hợp.

7

a) A tương đương với một bộ phận của B;

b) B tương đương với một bộ phận của A.

Nếu cà hai trường hợp a) vàb) đòng thời xảy ra thi các
tập hợp Ả và B tương đương với nhau.

Chủng ta không chứng minh định l ý này. Ta chú ý

t h ê m rằng, nói A tương đương với một bộ phận của B,
đ ò n g nghĩa v ớ i nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vi vậy
khi cần chứng minh A tương đương với một bộ phận
của B, ta chỉ v i ệ c c h ỉ ra rằng c ó một đ ơ n ánh từ A
đến É.

l i - BẢN SỐ CỦA MỘT TẬP HợP

1. Định n g h í a . Khi các tập hợp A và B tương đương
với nhau, thi ta nói rằng chúng có cùng một lực lượng
hay cùng một bản số.

N h ư v ậ y là mỗi tập hợp A c ó một bẳn số (hay lực
lượng) ký hiệu là Card(^l), sao cho hai tập hợp có cùng
một bản số khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau :

Card (A) = Card (B) khi v à chỉ k h i A ~ B.
Nói rằng a là một bản sổ, đồng nghĩa vời nói rằng
c ó một tập hợp A m à Card(A) = a.

2. Đinh nghía thứ t ự giữa c á c bản Bổ. Giữa các bản
số ta xác định một quan hệ, ký hiệu là < , như sau:

Cho a, b là những bản số, gọi A, B là những tập hợp mà
Card(A) = a, Card(B) = b, ta đặt:

a < b khi và chì khi A tương dương với một bộ phận
cảaB.

8

Quan hệ <; giữa các bản sổ vừa định nghĩa không
phụ thuộc vào việc chọn các t ậ p hợp có bản số cho
t r ư ớ c . Đ ẽ chửng m i n h đ i ê u đ ó ta sẽ chửng minh r ằ n g :

Nếu A, B, Ai, Bi là những tập hợp mà A ~ Ai, B ~ Bi
và A tương đương với một bộ phận của B, thế thi Ai tương
đương với một bộ phận của Bi.

Thật v ậ y , theo giải t h i ế t tẩt p h ả i có những song ánh

f : Ai -+ A, g:B-*Bi v à m ộ t đ ơ n á n h h: A-+B. K h i

đ ó á n h x ỳ g.h.f sẽ l à m ộ t đ ơ n ả n h t ừ Ai đ ế n Bi, t ừ đ ó

Ai t ư ơ n g đ ư ơ n g v ờ i m ộ t b ộ p h ậ n c ủ a B i .

3. T ỉ n h chát. Quan h ệ <^ giữa các bản sổ có các tỉnh
chát c ủ a một quan h ệ thú- tự t o à n phàn, nghĩa là v ớ i
n h ữ n g b ả n số a, b, c b á t k ỳ , ta c ó :

a) (Tính phản xạ) a < a.

b ) (Tinh phản đối xứng). Nếu a < ồ vàb^athì a = b.

c) (Tính bắc cầu) Nếu a < b và b < c thi a < c.

d) (Tính tồn phần) Phải xảy ra ít nhất một trong các
hệ thức a < b, bĩ < a.

Các tinh chất trên đây chứng minh được một cách dễ
d à n g , dựa v à o định nghĩa quan hệ « < » và định lý Ì

V i quan hệ « » giữa các bản số có các tính chất của
m ộ t q u a n h ệ t h ứ t ự , n ê n ta cũng g ọ i n ó là quan hệ thứ
tự giữa các bản số.

K h i a v i ế t & > a v à đ ọ c l à b lớn hơn hay bằng a. K h i a < Ị b
v à a 4s b thì ta v i ế t a đ ô i k h i đ ê n h ẫ n m ỳ n h c ò n đ ọ c l à a cht chề bé hơn b,
hay a thực sự bé hơn b. C á c t í n h chất t r ê n còn c h ứ n g t ỏ
r ằ n g : «Mỗi tập hợp những bản số cùng vời quan hệ thứ
lự trên là một tập hợp sập thứ lự loàn phần ».

9

Quan hệ thứ tự giữa các bản số cịn cỏ tính chất
quan trọng sau đây, ta thừa nhận mà không
chửng minh.

4. Đ ị n h lý 2. Với mỗi tập họp E những bản số đã cho,

E ệ, tôn tại các bản sổ a và b qọi là cận dưới và cận
trên của E, ký hiệu ỉn

a — Inf (E), b — Sup (R) thỏa mãn các điều
kiện sau :

a) a < ; X và b > X, với mọi X £ K.

b) Nếu y là một bản số sao cho y < X với mọi X ^ /í,
thì Ị] < a ; tương tự nếu z ỉa một bản sổ sao cho X < z
với mọi x^-E thì ì) < z.

Chú ý: Cận dưới a và cận trên b của. E khơng nhất
thiết plìẳi thuộc E và chúng là duy nhất.

III - TẬP HỌP HỮU HẠN

1. Đ ị n h n g h í a . Mội lập hừp khônq lương đương

với bất kỳ một bộ phận ihực sự nào của nó đưọx gọi là
một tập hừp hữu hạn.

— Một tập hừp không phải là hữu hạn đưừc gọi là
một ỉập hừp vô hạn. "Vại/ một tập hừp A là vô hạn khỉ
và chỉ khi có một bộ phận {hực sự của A iương đươnq
với A, nói một cách khác, khi và chỉ khi có một đơn
ánh f từ A đến chính nó sao cho f(A) 4= A.

2. Ví dỉ. a) Tập hợp [PQ] các điếm của đoạn thẳng
PO là một tập hợp v ô hạn. Thật vậy, gọi ỉĩ là mội
điềm của đoạn thẳng PQ với JR =f= p và R 4* Q,
ta sẽ chứng minh rằng [PQ] ~ [PR], hiên nhiên là
[PR] c [PQ] và [Pfì]=h [PQì- L ấ y một điềm 5 tùy ý không
nằm trên đường .thẳng PQ. Ánh xạ f: [PQ] -> PS

x\-+ z

10

|sao cho xz song song v ớ i OS là một song á n h , n õ n

kPQ] ~ [PS]. Ánh x ạ í/ : [PSị -> [PR] sao cho ZIJ song
-Ị- y
P
là m ộ t song ánli, nên [PS] ~ [PR]. Các
[song v ớ i SI?

k ế t q u ả t r ố n cho ta [PQ] ~ [PR].

b) Tập hợp 0 là

m ộ t tập liỌ'p h ữ u

hạn. Thật v ậ y ộ

không chứa một bộ

phận thực sự nào

nên nó khơng tương

đ ư ơ n g v ớ i b ấ t s\íỳ

một bộ phận thực

sự nào của nỏ, do

đỏ theo định nghĩa Hình Ì
ị là hữu hạn.

c) T ậ p h ỉ p A = ịa\ chứaNị>hần t ử a duy n h ấ t (nghĩa

là X £ Ả k h i và chỉ k h i X = à) là t ậ p h ợ p h ữ u h ạ n , v ì

ánh xạ đồng nhất ỈA : A A

ai—* a là á n h xa d u y n h ấ t t ừ A

đến chính nó.

d) Tập hợp B = Ịa, bị (đxrơng n h i ê n với giả thiết

a 4= b) là t ậ p hợp h ữ u h ạ n (bạn đỉc h ã v c h ử n g m i n h ) .
3. Các h ệ quả đơn giản. T ừ định nghĩa t r ê n ta suy

ra một số hệ quả đ ơ n gian sau đ â y . Các m ệ n h đề k h ô n g
chứng minh xem n h ư những bài tập.

a ) Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn
là hữu hạn.

Chứng minh : G i ả sử A là tập h ỉ p h ữ u h ạ n v à B t ư ơ n g
đ ư ơ n g v ớ i Ả. G ỉ i f l à m ộ t song ánh t ừ B đ ế n Ả.

Nếu B khơng phải là hữu hạn thì tẵt cị một đơn ánh
g t ừ B đ ế n lì mi g(B) =h B, v à ta cỏ B ~ g(B). Vì f là
song á n h n ê n ta c ũ n g c ó qỢì) ~f(g(B) m à f(í)(B)) =f= A

li

T ừ đ ỏ suy ra rằng A t ư ơ n g đ ư ơ n g với một bộ phậiị
thực sự f(g(B)) của A, trải với giả thiết A là hữu hạn./ị
song ảnh n ê n ta cũng cỏ g(B) ~ f(g(B)) mà f(g(B)) =f= A ị

b) Mọi bộ phận của một tập hợp hữu hạn là hữu hạn<
hoặc ta c ó mệnh đ ề t ư ơ n g đ ư ơ n g : « Mọi tập hợp chức
một bộ phận vơ hạn là vô hạn».

c) Mọi tập hợp tương đương với một bộ phận của mội
tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.

ả) Nêu A và B là những tập hợp hữu hạn tương đương
thi ta có A — B tương đươnq với B — Á.

Chứng minh. G i ả sử A — B v à B — A k h ô n g tương
đ ư ơ n g với nhau. K h i đ ó theo định lý Ì, một trong
hai tập hợp đ ó sẽ tương đ ư ơ n g với một bộ phận thực
sự của tậphợp kia, nghĩa là có một đơn ánh f tù
A — B chẳng hạn đến B - A, mà f(A - B) =h B - A.
Khi đỏ ảnh xạ

g : A ~+ B

lả một đ ơ n ảnh từ A đ ế n B m à g(A) =ụ B, và Ẩ ~ g(A).

V i B ~ A n ê n B ~ g(A) là một bộ phận thực sự của

B, trái v ớ i giả thiết B là hữu hạn. li

e) Nếu A là một tập hợp hữu hạn, Ai và Ai là những

bộ phận của A tương đương vời nhau, thì A — /Ì, tương

đương vời A — A2.

Chứng minh: T a c ó

A - A i (A - ( á , V A2)) w {A2 - Ai)

với (A (A, \J Ai)) r\ {Ai — Ai) = ị ,

Ả — Ai (A - (Ai \J A2)) \J (At - A2)

với (Ả ( 4 i V A ) ) r\ (Ái - Ai) = ệ,

và Ai — Ai ~ A, — A2 ( v ì Ai ~ A2). Các hệ thức nàj
che
c ù n g với tính chất của tập hợp t ư ơ n g đ ư ơ n g ợ, 3)

ta đ i ề u cần chứng minh.

12

4. Định l ý 3. Hợp của hai tập hợp hữu hạn lá một
tập hợp hữu hạn.

Chứng minh: Cho A và B là những tập hợp hữu hạn,

ta sẽ chửng minh rằng A \J B là h ữ u hạn. T a chỉ càn

xét trường hợp A A B = ệ. Giả sử A \J B là v ơ hạn,
khi đó tất có đơn ánh f từ A\J B đến chính nó , sao

cho f{A\j B)=ị= A\J B, như vậy tất có a € A \J B mà
a£f(A\jH).

T a có thê giả thiết a £ A chẳng hạn. Đặt f(A) = A \

f(B) = B\ Vì A n ổ = 0 và f là đ ơ n ánh n ê n

A' A fí'= 0 . T a c ó B ~ J3' do đó £? — B' t ư ơ n g đ ư ơ n g
với B'— B = B' Ạ A, nghĩa là c ổ một song ánh

g: B — B' -»• ÍT A A. Ta lập ánh xạ

nó như sau:
cp: A -*• A
ỉ(x) n ế u f(x) £ Á
g(f(x))nềuf(x)<ỀA

ta được cp là một đ ơ n ảnh, và cp (A) c Ả' \J B' n ê n

a £ (Ị>(Ả). N h ư vậy ta có một đ ơ n ánh ẹ từ A đ ế n A mà
cp(A) =f= -4, trái với giả thiết ^1 là h ữ u hạn. li

§ 2 . SỐ T ự NHIÊN

ì - ĐỊNH NGHĨA VÀ QUAN H Ệ T H Ứ T ự

f 1. Định n g h í a . Bản số của một tập hợp hữu hạn
được gọi là một số tự nhiên.
T ậ p hợp tất cả các sổ tự nhiên đ ư ợ c ký hiệu là N.
V ậ y : X £ N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn X
sao cho Card(X) = X.
2. Quan h ệ thứ tự. T ậ p hợp Ar tất cả c á c sổ tự n h i ê n
là một tập hợp những bản số, cho nên N cùng với
quan hệ thử tự đã xác định giữa các bản số là một
tập h ợ p sắp thứ tự toàn phần (§ Ì, l i , 3).

13

3. Số k h ô n g . T ậ p hợp ị là m ộ t t ậ p hợp h ữ u h ạ n
v ì thổ b ả n SỐ của n ỏ l à m ộ t số l ự n h i ê n , ta g ọ i là si
k h ô n g v à ký h i ệ u là Card($) = 0.

Vì ệ là bộ p h ậ n của m ọ i tập hợp nên 0 là số ụ
n h i ê n b ẻ n h ấ t , nghĩa là 0 <; X v ớ i m ọ i X ^ N.

4. Số m ộ t . T ậ p h ợ p A — ịaị c h ẳ a p h ầ n t ử duy n h ã
a ( đ ế cự t h ề ta cỏ t h ê l ấ y , c h ẳ n g h ạ n , A = ịịị), n h ư ti
đ ã b i ế t , l à m ộ t t ậ p h ợ p h ữ u h ạ n , n ê n b ả n số của n<
là m ộ t số t ự n h i ê n , g ọ i l à sổ một v à đ ư ợ c k ý h i ệ u li
C a r d ( i l ) = 1. H i ề n n h i ê n l à ta cỏ 0 < 1.

5. Cho X, y là n h ữ n g số t ự n h i ê n v à y là tập h ự ]
m à Card(Y) = y, t h ế t h ì X < y khi và chỉ khi có mộ
bộ phận Xe y sao cho X = Card ( X ) ( h i ê n n h i ê n ) . T ừ kẽ
q u ả n à y ta suy ra r ằ n g 0 là số t ự n h i ê n duy nhíít chạ

chẽ b é h ơ n 1. N ó i m ộ t c á c h k h á c , ta c ó :

V ớ i mọi X N, X =f= 0 thì X > í.

Chủ ý: T ừ đ â y đ ế n h ế t c h ư ơ n g , n h i ê u k h i đ è chi
gọn ta sẽ d ù n g t ừ « số » đ ê thay cho l ừ « số t ự n h i ê n J

l i - SỐ T ự NHIÊN KỀ SAU -

1. Định nghĩa. Cho hai số tự nhiên X, ỊỊ với X <; ỵ
Gọi Y là một tập hợp mà Card (Ý) = ụ, như vậy tất c
X c y mà Card(X) = X. y được gọi là số, kề sau X kỉ
và chỉ khi CardỈ — X) = í. Số y kề sau X đ ư ợ c k
h i ệ u là ụ = x'. Ta c h ú ý r ằ n g đ ị n h nghĩa [ r ê n đ à
không phụ thuộc vào sự lựa chọn bộ phận X của ;
(§ Ì, ni, 3,.e).
Vỉ dạ: 0' = 1.

Nếu y là số kề sau X thì ta cịn n ó i X là số kề t r ư ó
y v à k ý h i ệ u X = 'ụ, ta c ũ n g n ó i .T v à y là hai số k

14

nhau. Tù (lịnh nghĩa suy ra ngay đ ư ợ c r ằ n g m ọ i sỗ t ự
nhiêu X đ ề u chặt chẽ bé hơn sỗ kề sau n ó ( n ế u cỏ).

2. Các t í n h c h á t .

a) Sổ 0 không phải là sổ ke sau của bất kỳ một số tự
nhiên nào, nghĩa là v ớ i m ọ i X ^ N t h ì x' =ị= 0. H i ê n

nhiên.
' ,
b ) Mọi số tự nhiên đầu có một và chỉ một số kề sau.

Chứng minh:
Tòn tại. G i ả s ử X là m ộ t số t ự n h i ê n n à o đ ó v à X là
t ậ p họp m à Card(X) = X (X tất n h i ê n là hữu hỊn). Vì
X khơng phải là phần t ử của tập hợp X, nên ta có X u
Ị X j - X = Ị X j . V i X v à ỊXị là h ư u h Ị n n ê n X \J ịXỊ là
h ữ u hỊn và y = Card(X w ỊXỊ) là m ộ t số t ự nhiên. Ta
l Ị i cỏ Card(X \J ị X j - X) = Card(ịxỊ) = Ì cho n ê n
theo đ ị n h nghĩa y là số k ẽ sau X.

Duy nhất. G i ả s ử ỊỊi v à y 2 đ ề u là số k ề sau X và Y , ,
là những tập h ợ p m à Card(Y,) = ỉ/,, Carđ(Y2) = y2-

Thẹo định nghĩa tất có các tập hợp X J C Y I và X 2 c i R 2
sao cho' Card (X,) = Card (Xa) = X va Card (ỹ, - x ỏ =
Card (Y-i — X2) = 1. C á c h ệ t h ứ c n à y cho ta X i ~ X 2 ,

v à y, - X, ~ y 2 - x 2 ( v à v ì Y, = (Y, - X,) ư x „ y 2 =
( Y . - Ấ 2 r ) v X 2 , cho n ê n (§ t l , ì , 3) y, ~~ y 2 , do đ ó

Carcl(Y'i) = C a r d (Y2) nghĩa là Ị]i = ỵ2 v à t í n h duy nhất
d ư ọ c c h ứ n g m i n h . li

c) Mỗi số tự nhiên là kề sau của không quá một số.

Chng minh: T h ậ t v ậ y g i ả sử ỉ/ là sổ t ự n h i ê n k ề sau
của c á c số xt v à x-i và ỵ là tập h ợ p m à Card(Y) = g.

Theo đ ị n h n g h ĩ a tíu c ó c á c tụ p h ợ p KỊ c Ý , X'2 c Ý sao cho
Card(X,) = xi [và Card(Y - X , ) == Ì , Card(X2) = x2 v à
Card(Y - x 2 ) « Ì , t ừ đ ó ta có ĩ ~ X, ~ y - X2, do đ ó
X, = y - (Ỳ - X,) và x2 = y - (Y - x2) là n h ư n g tập

15

hợp tương đương (§1, HI, 3, e) cho nên Xi = Xỉ và mệnh

đè được chứng minh. li Ị

d) Mỗi số tự nhiên khác khống đều là số ke sau của một ì
số tự nhiên (nghĩa là đêu có số kẽ trưởc).

Chứng minh. Thật vậy giả sử X là một số t ự nhiên
k h á c 0, thế thì tát cỏ tập hợp hữu hạn X =h 0 sao cho
Card(X) = X. Vì X 4= ệ nên phải có một phần t ử a
chẳng hạn của X, k h i đỏ X sẽ là số kè sau của số
Card(X - ồaị) vì ta có

càrd(X - (X - ị a ồ) = Card(ồ a ồ) = Ì, mệnh đề được
chứng minh. li

e) Cho X, ỵ là những số tạ nhiên mà X < y, thề thì
x; < y.

Chứng minh: Thật vậy gọi y là tập hợp mà Card(Y)
= y. Vì X < y nên tịn t ạ i X e Y, x ị y sao cho
Caì-d(X) = X và tồn t ạ i a £ y - X. Khi đỏ ta có x' =
Card(Xv ị a ồ) và X u ịaị < Y, do đỏ x' < y và mệnh

đề được chửng minh. li

Mệnh đè này có hệ quả là giữa hai số tự nhiên kè

nhau k h ơ n g có một sổ tự nhiên n à o khác. Ta diễn đạt

tính chát này bằng cách nói rằng N là một tập hợp sắp

thứ tự rời rạc.

3. B i n B ổ của tập hợp tát cả các s ổ tự n h i ê n N.

a) Tập hợp N tất c các số tự nhiên là một tập hợp vô
hạn.

Chứng minh: Thật v ậ y ánh xạ

f:N-~N

X l-» ác"
là một đơn ánh và 0 £ f (AO, nên N tương đương v ớ i
bộ phận thực sự của nó N*'— N - \0\, v ậ y N là v ô
hạn. li

16 ỉ

ỉ
Ị

b) B ả n số của tập hợp N lất cả các số tự nhiên được gọi

ị. là lực lượng đếm được. Một t ậ p h ợ p c ó b ả n số là l ự c

lượng đếm được, nghĩa là một tập hợp tương đương
v ớ i N, được g ọ i là m ộ t tập hợp đém được.

Kỷ h i ệ u V = 2, 2' = 3,..., ta đ ư ợ c c á c số t ự n h i ê n
quen thuộc.

III - CÁC TÍNH CHẤT KHÁC CỦA TẬP HỢP
CÁC SỐ T Ụ N H I Ê N

1. Định lý 4 . Tập hợp N tất cả các số iự nhiên (cùng
vời quan hệ thứ iạ đã xác định) là mội tập hợp sắp thứ
iự tốt, nghĩa l à mọi bộ phận khác rỗng của N đều có- số
nhỊ nhất.

Chứng minh: G i ả sử M c A\ M ị . Ta đặt ni =

I n f (Ai) (§1, l i , đ l 2 ) , h i ế n n h i ê n ta c ò m £ N. Ta sẽ c h ứ n g

m i n h r ằ n g m £ M. T h ậ t v ậ y n ế u m $L M t h ì m < X v ớ i

m ọ i X £ M, do đ ó ( H I , 2, e) in' < X v ớ i m ọ i X £ M, m à

m < m\ t r á i V ớ i g i ả t h i ế t là m = I n f (M). V ậ y m (C.M

v à n ó l à số n h ỏ nhỉt.//

2. Đ ị n h l ý 5. ( T i ê n đ ê q u i n ạ p ) Mọi bộ phận M của
tập hợp tất cả các số tự nhiên N thỊa mãn các tinh chất:

A. O^M;

B. Hệ thức X^LM kèo theo hệ thức x'£ M, đầu trùng
với N.

Chứng minh: Ta sẽ c h ử n g m i n h r ằ n g M' — N—M = 0 .

T h ậ t v ậ y g i ả s ử M' 4=<Ị>, k h i đ ó M' c h ứ a số n h ỏ n h ỉ t

của n ó m, m =f= 0 v ì 0 £ A/, do đ ó c ó số k ề t r ư ớ c /ỉ?

l à 'm, v à ' m M ' n ê n 'm £ M . N h ư v ậ y theo g i ả

t h i ế t v ề M, số k è sau ' m l à m phải thuộc i ự , đ i ề u n à y

m â u thuẫn v ớ i sự k i ệ n m £f?y~ ý* MÀU

t h u ẫ n n à y c h ứ n g t ỏ r ằ n g M' =ti ệ

2-GTSH

Chứ ỳ: Cỏ thê chứng minh được rằng hai định lý 4
và 5 tương đương v ớ i nhau.

3. Hệ quả. (Định lý VẾ phép chửng minh qui nạp).
Nếu một mệnh đề <£(n) nào đỏ phụ thuộc vào số tự nhiên
lì thỏa mãn các điều kiện sau đây.

A. %{ữ)đúng

B. %>(x) đúng kéo theo ^ịx') đủng

thì mệnh đề đúng với mọi sổ tự nhiên n, nghĩa là

Z{n) là một định lý.

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh rằng tập hợp

M = ịn €JV| %{n) đúng! c N

thỏa mãn các điều kiện của định lý 5, v à điêu đó là
hiên nhiên. Ta còn thường dùng định lý về phép chứng
minh qui nạp d ư ớ i các hình thức sau đây.

a) Nếu một mệnh đề đậy

A. <£(0) đúng

B.
thì <ĩ>(rì)đúng với mọi n € N .

b ) Nếu một mệnh đè đây

A. ^(a) đúng

B. <Z{x) đúng (x > a) kéo theo

thi <Z(ri) đúng với mọi số tự nhiên n > a.

4. Đoạn dân sn. Tập hợp sn = Ị X £ N I X < n Ị gọi là
đoạn n số tự nhiên đầu tiên, hay gọi tắt là đoạn đầu su.

Ví dạ: s0 te ị, s, = Ị 0 ị\ s2 = Ị 0, Ì Ị...,

18

Định if 6. Card(sD) = n
Chứng minh: Ta sẽ c h ứ n g m i n h b ằ n g q u i n ạ p .
A . Card ( S o ) = Card (ệ) == 0, v ậ y m ệ n h đ ề l à đ ú n g
v ớ i n = 0.
B. G i ả s u C a r d ( S j E ) = X. Xét sx', ta c ó sx = sív]xị,

do đ ó Card (sx- — sx) = Card(Ịarị) = Ì v ậ y Card(sx') là
số k ề sau C a r d (sx) nghĩa là Card(sx') = X.

V ậ y m ệ n h đ ề « C a r d (s„) = n » là đ ủ n g v ớ i m ọ i n € ;V. li
Định lý t r ê n đ â y nói lên rằng nếu X là một tập hợp
h ữ u h ạ n v à Card (X) = X t h ì X v à s% t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i
nhau.

IV - HỆ TIÊN ĐỀ VỀ SỐ T ự NHIÊN

Ta cỏ t h ê xây dựng tập hợp số t ự nhiên bằng p h ư ơ n g
pháp tiên dề. Ta lầy khái niệm cơ bản là « số tự nhiên »
và quan hệ cơ b ả n là « k ề sau ». T ậ p hợp N tất cả c á c
SỐ t ự n h i ê n sẽ đ ư ợ c x á c định b ô i b ố n t i ê n đ ề sau đ â y .

1. Có số tự nhiên 0, không phải là số kề sau.'
2. Mỗi số tự nhiên cỏ một và chỉ một sổ kề sau.

3. Mỗi số tạ nhiên là kè sau của không quá một số (nếu
có).

4. Mọi bộ phận M của tập hợp tớt cả các số tự nhiên N
thỏa mãn các tinh chất:

Ả. 0 É M,

B. Hệ thức XfzM kéo theo hệ thức x' é M, đìu
trùng với tập hợp N tất cả các số iợ nhiên.

H ệ t i ê n đ ề t r ê n đ ầ y g ọ i là hệ tiên đề Pêanồ, do n h à
toán học Italia P ê a n ô đè ra n ă m 1891. V ờ i hệ tiên đề
n à y ta sẽ đ ư ợ c t o à n bộ các két quà cần thiết vè tập
hợp sổ tự nhiên.

19