Lý thuyết số nguyễn hũu điển dịch

LY´ THUYÊ´ T SÔ´

R.D. Carmichael

(Ngu,o`,i di.ch: Nguyê˜ n Hu˜,u ,
Ðiên)

The Project Gutenberg EBook of The Theory of Numbers,
by Robert D. Carmichael

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org

Title: The Theory of Numbers
Author: Robert D. Carmichael
Release Date: April 8, 2013 [EBook #13693]
Language: English
Character set encoding: TeX
*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THE THEORY OF NUMBERS ***
Produced by David Starner, Joshua Hutchinson, John Hagerson,

MATHEMATICAL MONOGRAPHS

EDITED BY

MANSFIELD MERRIMAN AND ROBERT S. WOODWARD.

No. 13.

THE THEORY

OF

NUMBERS

BY

ROBERT D. CARMICHAEL,

ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS IN INDIANA UNIVERSITY

NEW YORK:
JOHN WILEY & SONS.
LONDON: CHAPMAN & HALL, LIMITED.

1914.

COPYRIGHT 1914

BY

ROBERT D. CARMICHAEL.

THE SCIENTIFIC PRESS
ROBERT DRUMMOND AND COMPANY

BROOKLYN, N. Y.

TRANSCRIBER’S NOTE: I did my best to recreate the index.

ii

MATHEMATICAL MONOGRAPHS.

EDITED BY

Mansfield Merriman and Robert S. Woodward.

Octavo. Cloth. $1.00 each.

No. 1. History of Modern Mathematics.
By DAVID EUGENE SMITH.

No. 2. Synthetic Projective Geometry.
By GEORGE BRUCE HALSTED.
No. 3. Determinants.
By LAENAS GIFFORD WELD.
No. 4. Hyperbolic Functions.
By JAMES MCMAHON.
No. 5. Harmonic Functions.
By WILLIAM E. BYERLY.

No. 6. Grassmann’s Space Analysis.
By EDWARD W. HYDE.

No. 7. Probability and Theory of Errors.
By ROBERT S. WOODWARD.

No. 8. Vector Analysis and Quaternions.

By ALEXANDER MACFARLANE.
No. 9. Differential Equations.

By WILLIAM WOOLSEY JOHNSON.
No. 10. The Solution of Equations.

By MANSFIELD MERRIMAN.
No. 11. Functions of a Complex Variable.

By THOMAS S. FISKE.
No. 12. The Theory of Relativity.

By ROBERT D. CARMICHAEL.
No. 13. The Theory of Numbers.

By ROBERT D. CARMICHAEL.

PUBLISHED BY
JOHN WILEY & SONS, Inc., NEW YORK.
CHAPMAN & HALL, Limited, LONDON.

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Lo`,i no´ i d¯â`u
, ngu,o`,i
cua biên tâ. p

Tâ. p sa´ ch co´ tên Toa´ n ho. c cao câ´p, â´n , thu´, ba ,, xuâ´t ,
ban d¯uo. c ban
mu,o`,i ,, , mu,o`,i ,

va` o na˘ m 1900, bao gô`m mô. t chuong cua mô. t ta´ c gia,
,, vo´,i nhu˜,ng ,, , , ,
mô˜ i chuong d¯ô. c lâ. p , chuong kha´ c, nhung tâ´t ca d¯ê`u gia
ngu,o`,i phai ,,
d¯i.nh ra`˘ ng d¯o. c co´ ´ıt nhâ´t mô. t chuong tr`ınh d¯a` o ta. o toa´ n,
,, ,, , ,, ,, ,,
ho. c tuong d¯uong vo´i chuong tr`ınh cô d¯iên va` ca´ c truo` ng cao d¯a˘ ng
, , ,
ky˜ thuâ. t. Viê. c xuâ´t ban bô. sa´ ch d¯o´ d¯a˜ bi. ngu` ng xuâ´t ban va` o na˘ m
,, , tu`, ,,
1906,, va` ca´ c chuong kê d¯o´ d¯a˜ d¯uo. c pha´ t ha` nh trong ca´ c Chuyên
, , , , ,, ,,
khao riêng biê. t, chu´ ng thuo` ng d¯uo. c mo rô. ng boi ca´ c ba` i ba´ o hoa˘. c
phu. lu. c bô sung nha`˘ m khuê´ch d¯a. i ban tr`ınh ba` y cu˜ hoa˘. c ghi la. i,,

nhu˜,ng tiê´n bô. gâ`n d¯ây. Kê´ hoa. ch xuâ´t , na` y ,, sa´˘ p xê´p ,
, ban d¯uo. c d¯ê
u´,ng cua , , lo´,p
d¯a´ p nhu câ`u gia´ o viên va` su. thuâ. n tiê. n cua ca´ c ho. c, va`
ngu,o`,i , , ngu,o`,i nhu˜,ng
ta cu˜ ng cho ra`˘ ng no´ se˜ to ra co´ lo. i cho d¯o. c trong

do`ng ta` i liê. u toa´ n ho. c d¯a˘. c biê. t., , ,

Ca´ c nha` xuâ´t ban va` biên tâ. p viên co´ y´ d¯i.nh thınh thoang thêm
, du,o`,ng , ,
ca´ c sa´ ch chuyên khao kha´ c va` o bô. na` y, nê´u nhu câ`u nhu d¯am
, , ,,
bao. Trong sô´ ca´ c chu d¯ê` d¯ang d¯uo. c xem xe´ t la` ca´ c ha` m elliptic, ly´
,, ,,

thuyê´t luo. ng tu, ly´, thuyê´t nho´ m, , phe´ p t´ınh biê´n thiên va` , h`ınh ho. c

phi Euclid; co´ thê cu˜ ng co´ thê bao gô`m ca´ c chuyên khao vê` ca´ c,
,
nha´ nh cua thiên va˘ n ho. c, co ho. c va` vâ. t ly´ toa´ n ho. c. Ca´ c nha` biên
ra`˘ ng , , hu,o´,ng
soa. n hy, vo. ng Loa. t sa´ ch chuyên khao na` y co´ thê co´ xu
, ,
thu´ c d¯ây viê. c ho. c tâ. p va` nghiên cu´ u toa´ n ho. c trên mô. t l˜ınh vu. c rô. ng
lo´,n , vo´,i , tru,o´,c
hon so l˜ınh vu. c ma` tâ. p d¯a˜ chiê´m l˜ınh.

Lo`,i no´ i d¯â`u

, Mu. c d¯´ıch , cuô´n sa´ ch , na` y la` cung câ´p cho ngu,o`,i d¯o. c mô. t
su. gio´,i cua nho nhu˜,ng

thiê. u thuâ. n tiê. n vê` ly´ thuyê´t ca´ c con sô´, mô. t trong bô.

môn sâu rô. ng nhâ´t va` tao nha˜ nhâ´t trong toa` n bô. bô. môn toa´ n ho. c.
, sa´˘ p , , ,, ,,
Su. xê´p cua ta` i liê. u nhu sau: Na˘ m chuong d¯â`u tiên d¯uo. c da` nh
, , , nhu˜,ng cu´,u
cho su. pha´ t triên cua yê´u tô´ câ`n thiê´t cho bâ´t ky` nghiên
, ,, thu´, ,,
na` o vê` chu d¯ê` na` y. Chuong sa´ u va` chuong cuô´i nha`˘ m cung câ´p
ngu,o`,i , hu,o´,ng cu´,u , vo´,i
cho d¯o. c mô. t sô´ chı d☠n vê` nghiên sâu hon mô. t
, tu,o`,ng , , ,
ban tr`ınh nga´˘ n go. n vê` ban châ´t cua ta` i liê. u trong mô˜ i chu d¯ê`

,, , , ,, ,
d¯uo. c go. i y´ . Qua´ tr`ınh thê hiê. n xuyên suô´t d¯uo. c thu. c hiê. n nga´˘ n go. n
, , vo´,i , , gio´,i
nhâ´t co´ thê, d¯ô`ng du su. ro˜ ra` ng va` chı ha. n hoa` n toa` n trong
, , ,, , ,, ngu,o`,i
ca´ c vâ´n d¯ê` co ban. Ðiê`u na` y d¯uo. c thu. c hiê. n boi v`ı ta tin ra`˘ ng
, ,, , ,
theo ca´ ch na` y, cuô´n sa´ ch co´ thê d¯uo. c thu. c hiê. n tô´t nhâ´t d¯ê phu. c vu.
, gio´,i
mu. c d¯´ıch cua no´ la` thiê. u ly´ thuyê´t vê` ca´ c con sô´.
,
Nhiê`u vâ´n d¯ê`, ,, cung , câ´p trong toa` n bô. va˘ n ban. Chu´ ng d¯a˜
,, , d¯uo. c , ,

d¯uo. c lu. a cho. n cân thâ. n d¯ê phu. c vu. nhu ca´ c ba` i tâ. p tuyê. t vo` i cho
, ,,
kho´ a d¯a` o ta. o nhâ. p môn cua ho. c sinh vê` ca´ c phuong pha´ p ly´ thuyê´t
tho`,i , , hu˜,u
sô´ va` d¯ô`ng cung câ´p thêm mô. t bô. suu tâ. p ca´ c kê´t qua ´ıch.
,, ,
Ca´ c ba` i tâ. p d¯uo. c d¯a´ nh dâ´u ba`˘ ng mô. t ngôi sao kho´ hon ca´ c ba` i kha´ c;
nhu˜,ng ,
cha´˘ c cha´˘ n ho. se˜ hâ´p d☠n ho. c sinh gioi nhâ´t.

Cuô´i cu` ng, ta nên no´ i thêm ra`˘ ng cuô´n sa´ ch na` y ,, ta. o tha` nh
, ,, , ,, d¯uo. c

tu` ta` i liê. u ma` ta d¯a˜ su du. ng trong ca´ c ba` i giang o Ða. i ho. c Indiana
,
trong hai na˘ m qua; va` viê. c lu. a cho. n vâ. t châ´t, d¯a˘. c biê. t la` ca´ c ba` i

, ,,
tâ. p, du. a trên kinh nghiê. m thu d¯uo. c theo ca´ ch na` y.

R. D. CARMICHAEL.

Mu. c lu. c

Lo`,i no´ i d¯â`u , ngu,o`,i biên tâ. p iii
cua

Lo`,i no´ i d¯â`u iv

Mu. c lu. c 1

1 Ca´ c tı´nh châ´t , ,, , sô´ nguyên 4
co so cua ,,

1.1 Ca´ c kha´ i niê. m va` luâ. t co ban . . . . . . . . . . . . . . . 4
,
1.2 Ði.nh ngh˜ıa Phe´ p chia. Ðon vi. .............. 5

1.3 Sô´ nguyên tô´. Chuô˜i Eratosthenes . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Sô´ nguyên tô´ la` vô ha. n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
,, ,

1.5 Ði.nh ly´ co ban cua Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Chia hê´t cho mô. t sô´ nguyên tô´ . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Ði.nh ly´ thu`,a sô´ phân t´ıch duy nhâ´t . . . . . . . . . . . 12

,
1.8 Sô´ chia cua mô. t sô´ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 14
,, lo´,n ,
1.9 Uo´ c chung nhâ´t cua hai hoa˘. c nhiê`u sô´ nguyên . . 16
, ,
1.10 Bô. i sô´ chung nho nhâ´t cua hai hoa˘. c nhiê`u sô´ nguyên 19
,
1.11 Ky´ hiê. u biêu diê˜n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
thu`,a lo´,n , , ,
1.12 Lu˜ y nhâ´t cua sô´ nguyên tô´ p nho hon n!. . . 23

1.13 Nhâ. n xe´t liên quan sô´ nguyên tô´ . . . . . . . . . . . . 27

,,
2 Chı sô´ cua mô. t sô´ sô´ nguyên 29

,, ,
2.1 Chı sô´ cua mô. t lu˜ y thu` a sô´ nguyên tô´ . . . . . . . . . . 29
,,
2.2 Ca´ c chı sô´ cua mô. t t´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Ly´ thuyê´t sô´

2.3 , sô´ , sô´ nguyên ,, bâ´t ky` ........... 31
Chı cua duong
, ,, ,, ,
2.4 Tông ca´ c chı sô´ cua ca´ c uo´c cua mô. t sô´ nguyên . . . . 34

3 Tı´nh châ´t , , , d¯ô`ng , 37
co ban cua du

3.1 Ðô`ng , m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
, du modulo
Giai
3.2 ,, tr`ınh d¯ô`ng , ba`˘ ng ,, nghiê. m ..... 39
phuong du thu
,
3.3 T´ınh châ´t cua d¯ô`ng , quan d¯ê´n phe´ p chia . . . . 40
du liên

3.4 Ðô`ng , vo´,i mô. t sô´ nguyên tô´ .............. 41
du

3.5 Ðô`ng , tuyê´n t´ınh .................... 43
du

4 Ði.nh Ly´ Fermat va` Wilson 47

,
4.1 Ði.nh ly´ tông qua´ t Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
, ,,
4.2 Chu´ ng minh Ði.nh ly´ Fermat d¯on gian cua Euler . . . 48,

4.3 Ði.nh ly´ Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
, ,, ,
4.4 Ði.nh ly´ d¯ao nguo. c cua Wilson . . . . . . . . . . . . . . 51
,
4.5 Không thê co´ 1 · 2 · 3 · · · n − 1 + 1 = n cho n > 5. . . . . . 52 k

,,

4.6 Mo rô. ng Ði.nh ly´ Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
, ,,
4.7 Nghi.ch d¯ao d¯i.nh ly´ d¯on gian Fermat . . . . . . . . . . 56
,
4.8 A´ p du. ng ca´ c kê´t qua tru,o´,c cho ca´ c d¯ô`ng , tuyê´n t´ınh 57
, du
qua
4.9 A´ p du. ng kê´t tru,o´,c cho Ly´ thuyê´t d¯ô`ng , bâ. c hai 58
du

,
5 Nghiê. m nguyên thuy modulo m 63

5.1 Sô´ mu˜ cua mô. t modulo sô´ nguyên m . . . . . . . . . . 63,

, , ,
5.2 Mô. t ca´ ch chu´ ng minh kha´ c cua Ði.nh ly´ tông qua´ t

Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
,
5.3 Ði.nh ngh˜ıa nghiê. m nguyên thuy . . . . . . . . . . . . 68
,
5.4 Nghiê. m nguyên thuy modulo p . . . . . . . . . . . . . 69
, ,
5.5 Nghiê. m nguyên thuy modulo pα, p mô. t sô´ nguyên tô´ le 70
,
5.6 Nghiê. m, nguyên thuy modulo 2pα, p mô. t sô´ nguyên

tô´ le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.7 To´m ta´˘ t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
,

5.8 λ-nghiê. m nguyên thuy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Mu. c lu. c 3

6 Nhu˜,ng , d¯ê` kha´ c 78
chu

6.1 Gio´,i thiê. u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
,
6.2 Ly´ thuyê´t d¯ô`ng du bâ. c hai ................ 79
,,, , ,
6.3 Galois tuong tuo. ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Ca´ c da. ng sô´ ho. c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
,

6.5 Ly´ thuyê´t giai t´ıch sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 ,, tr`ınh Diophantine ................ 86
Phuong

6.7 Tam gia´ c Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.8 ,, tr`ınh xn + yn = zn. ................ 93
Phuong

Index 95

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

,,
Chuong 1

´ , ,,
CA´, C TI´NH CHÂT CO SO
CUA SÔ´ NGUYÊN

,,
1.1 Ca´ c kha´ i niê. m va` luâ. t co ban

Trong ,, na` y, chu´ ng ta , yê´u quan tâm d¯ê´n ca´ c t´ınh châ´t
, , chuong , chu ,,
co ban cua duong
nhâ´t d¯i.nh ca´ c sô´ nguyên 1, 2, 3, 4, . . . Ðôi khi se˜
, , , , ,,
râ´t tiê. n lo. i, khi không co´ su. nhâ`m l☠n na` o co´ thê xay ra, su du. ng
tu`, tu`, ,,
integer hoa˘. c number theo ngh˜ıa sô´ nguyên duong.
, ,,
Chu´ ng ta se˜ gia su ra`˘ ng ca´ c sô´ nguyên d¯a˜ ,, xa´ c d¯i.nh, ba`˘ ng
d¯uo. c
,
qua´ tr`ınh d¯ê´m hoa˘. c ba`˘ ng ca´ ch kha´ c. Chu´ ng ta gia d¯i.nh thêm ra`˘ ng y´
, ngu˜, lo´,n ho,n, , ho,n, ba˘`ng ,
ngh˜ıa cua, ca´ c , thuâ. t ,, ´ nho nhau, tông, chênh

lê.ch, san phâm d¯a˜ d¯uo. c biêt. ,
Tu`, nhu˜,ng , ,, gia
, y´ tuong va` d¯i.nh ngh˜ıa do d¯o´ d¯i.nh la` d¯a˜ biê´t, ha˜ y
thu. c
hiê. n ngay ca´ c d¯i.nh ly´ :

,,
I. Tông cua hai sô´ nguyên bâ´t ky` la` mô. t sô´ nguyên.

,
II. Hiê. u cua hai sô´ nguyên bâ´t ky` la` mô. t sô´ nguyên.

,
III. T´ıch cua hai sô´ nguyên bâ´t ky` la` mô. t sô´ nguyên.

,, ,, `
Ca´ c d¯i.nh ly´ co ban kha´ c, ma` chu´ ng ta su du. ng ma` không cân
chu´,ng ,, , thu´,c
,, minh, d¯uo. c thê hiê. n trong ca´ c công sau:

, ,,
O d¯ây a, b, c biêu thi. bâ´t ky` sô´ nguyên duong na` o.

Mu. c lu. c 5

IV. a + b = b + a.

V. a × b = b × a.

VI. (a + b) + c = a + (b + c).

VII. (a × b) × c = a × (b × c).

VIII. a × (b + c) = a × b + a × c.

Ca´ c công thu´,c na` y ,, ,, vo´,i na˘ m d¯i.nh ly´ sau: phe´ p, cô. ng
tuong d¯uong

co´ t´ınh châ´t giao hoa´ n; phe´p nhân co´ t´ınh châ´t giao hoa´ n; bô sung
, ,
la` kê´t ho. p; phe´ p nhân co´ t´ınh châ´t kê´t ho. p; phe´ p nhân la` phân phô´i
d¯ô´i vo´,i phe´p cô. ng.

BA` I TÂ. P

1. Chu´,ng minh ca´ c quan hê. sau:

n(n + 1) 2
1+2+3...+ n =
= (1 + 2 + . . . + n)2.
2
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2,

13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n(n + 1)
2

,,
2. T`ım tông cua mô˜i chuô˜i sau:

12 + 22 + 32+ . . . + n2,
12 + 32 + 52+ . . . + (2n − 1)2,
13 + 33 + 53+ . . . + (2n − 1)3.

3. Kha´ m pha´ va` thiê´t lâ. p công thu´,c ,, , y´ ,, ca´ c ,, tr`ınh
d¯uo. c go. i boi phuong

12 = 0 + 1, 22 = 1 + 3, 32 = 3 + 6, 42 = 6 + 10, . . .;

ba`˘ ng ca´ c ,, tr`ınh
phuong

1 = 13, 3 + 5 = 23, 7 + 9 + 11 = 33, 13 + 15 + 17 + 19 = 43, . . ..

,
1.2 Ði.nh nghı˜a Phe´ p chia. Ðon vi.

ÐI. NH NGHI˜ A. Mô. t sô´ nguyên a ,, go. i la` chia hê´t cho mô. t sô´
d¯uo. c

nguyên b nê´u tô`n ta. i mô. t sô´ nguyên c sao cho a = bc.

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

6 Ly´ thuyê´t sô´

Tu`, d¯i.nh ngh˜ıa na` y ro˜ ra` ng a cu˜ ng chia hê´t cho c. Ca´ c sô´ nguyên
,, u,o´,c thu`,a , ,,
b va` , c d¯uo. c cho , la` hoa˘. c sô´ cua a; va` a d¯uo. c cho la` bô. i

sô´ cua b hoa˘. c cua c. Qua´ tr`ınh t`ım hai sô´ nguyên b va` c sao cho
ba`˘ ng ,, ,
bc mô. t sô´ nguyên a d¯a˜ cho d¯uo. c go. i la` qua´ tr`ınh phân giai a
thu`,a thu`,a ,, ,,
tha` nh sô´ hoa˘. c t´ınh sô´ a; va` a d¯uo. c cho la` se˜ d¯uo. c phân
, ,,
giai tha` nh ca´ c yê´u tô´ hoa˘. c d¯uo. c t´ınh va` o yê´u tô´.
,,
Chu´ ng ta co´ ca´ c d¯i.nh ly´ co ban sau:

I. Nê´u b la` u,o´,c , a va` c la` u,o´,c , b th`ı c la` u,o´,c , a.
, cua cua cua
cua
V`ı b la` u,o´,c a nên tô`n ta. i mô. t sô´ nguyên β sao cho a = bβ. V`ı
u,o´,c ,
c la` cua, b nên tô`n ta. i mô. t sô´ nguyên γ sao cho b = cγ. Thay gia´
,, ,
tri. na` y cua b va` o phuong tr`ınh a = bγ ta co´ a = cγβ. Nhung theo
, u,o´,c ,
d¯i.nh ly´ III cua § 1.1 th`ı γβ la` mô. t sô´ nguyên; do d¯o´ , c la` cua a,
, ,, chu´,ng
nhu d¯a˜ d¯uo. c minh.

´ ,, , , ,, , , ,
II. Nêu c la` uo´c cua ca a va` b th`ı c la` uo´c cua tông cua a va` b.
,, ,
Tu` gia thuyê´t cua d¯i.nh ly´ , theo d¯o´ tô`n ta. i ca´ c sô´ nguyên α va` β

sao cho

a = cα, b = cβ.

Thêm, chu´ ng ta co´

a + b = cα + cβ = c(α + β) = cδ,

trong d¯o´ δ la` mô. t sô´ nguyên. Do d¯o´ , c la` u,o´,c , a + b.
cua

´ ,, , , ,, , ,
III. Nêu c la` uo´c cua ca a va` b th`ı c la` uo´c cua hiê.u cua a va` b.
Chu´,ng ,, , , chu´,ng , tru,o´,c.
minh tuong tu. nhu minh cua d¯i.nh ly´

ÐI. NH NGHI˜ A. Nê´u a va` b cu` ng chia hê´t cho c th`ı c ,, cho la`
,, , d¯uo. c
,,
uo´c chung hoa˘. c nhân tu chung cua a va` b.
Cu´, hai sô´ nguyên co´ thu`,a sô´ chung 1. Sô´ nguyên lo´,n nhâ´t chia
,, , ,, u,o´,c lo´,n ,
hê´t boi ca a va` b d¯uo. c go. i la` chung nhâ´t cua a va` b.

No´ i chung , chu´ ng ta xa´ c d¯i.nh theo ca´ ch ,, , mô. t u,o´,c
hon, , tuong tu.
u,o´,c lo´,n cua
sô´ chung va` sô´ chung nhâ´t n sô´ nguyên a1, a2, . . ., an.

ÐI.NH NGHI˜A. Nê´u mô. t sô´ nguyên a la` bô. i cua mô˜i hai hoa˘. c ,

nhiê`u sô´ nguyên th`ı no´ ,, go. i la` bô. i chung , nhu˜,ng sô´ nguyên

d¯uo. c cua

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Mu. c lu. c 7

na` y. T´ıch cua bâ´t ky` tâ. p ho. p sô´ nguyên na` o la` bô. i sô´ chung cua,, ,

tâ. p , Sô´ nguyên , nhâ´t la` bô. i sô´ , mô˜ i hai hoa˘. c nhiê`u sô´
ho. p. nho , cua
,, nho ,
nguyên d¯uo. c go. i la` bô. i sô´ chung nhâ´t cua chu´ ng.
,
Ro˜ ra` ng la` sô´ nguyên 1 la` u,o´,c cua mo. i sô´ nguyên va` no´ la` sô´
,, ,
nguyên duy nhâ´t co´ thuô. c t´ınh na` y. No´ d¯uo. c go. i la` d¯on vi..

ÐI.NH NGHI˜A. Hai hoa˘. c nhiê`u sô´ nguyên không co´ hê. sô´ chung
tru`, ,, tô´ vo´,i tô´
ngoa. i 1 d¯uo. c cho la` nguyên nhau hoa˘. c la` nguyên cu` ng

nhau.

ÐI. NH NGHI˜ A. Nê´u mô. t tâ. p , ca´ c sô´ nguyên không hai trong
u,o´,c ho. p ,,
d¯uo. c
sô´ chu´ ng co´ mô. t sô´ chung ngoa` i 1 ma` chu´ ng cho la` nguyên
tô´ tu`,ng nguyên tô´.

BA` I TÂ. P

1. Chu´,ng minh ra`˘ ng n3 − n chia hê´t cho 6 vo´,i mo. i sô´ nguyên ,, n.
duong

2. Nê´u t´ıch , bô´n sô´ nguyên liên tiê´p ,, ta˘ ng thêm 1 th`ı kê´t ,
cua ,, d¯uo. c qua
phuong.
la` mô. t sô´ b`ınh

3. Chu´,ng , ra`˘ ng 24n+2 +1 co´ hê. sô´ kha´ c vo´,i ch´ınh no´ va` 1 khi n la` mô. t
to ,,
duong.
sô´ nguyên

1.3 Sô´ nguyên tô´. Chuô˜ i Eratosthenes

ÐI.NH NGHI˜A. Nê´u mô. t sô´ nguyên p kha´ c 1 va` không co´ u,o´,c sô´
tru`, ,, sô´ tô´
na` o ngoa. i ch´ınh no´ va` 1 th`ı no´ d¯uo. c cho la` mô. t nguyên

hoa˘. c la` mô. t sô´ nguyên tô´.

ÐI.NH NGHI˜A. Mô. t sô´ nguyên co´ ´ıt nhâ´t mô. t u,o´,c sô´ kha´ c vo´,i
,, sô´ , , sô´.
ch´ınh no´ va` 1 d¯uo. c cho la` mô. t ho. p hoa˘. c la` ho. p
,
Do d¯o´ , tâ´t ca ca´ c sô´ nguyên ,, chia tha` nh ba lo´,p:
d¯uo. c

,

1. Ðon vi.;

2. Sô´ nguyên tô´;
,
3. Sô´ ho. p sô´.

Chu´ ng ta d¯a˜ thâ´y ra`˘ ng lo´,p d¯â`u tiên , chu´,a mô. t sô´ duy nhâ´t.
Lo´,p thu´, chu´,a chı chu´,a ,
ca
ba ro˜ ra` ng vô sô´ ca´ c sô´; for, no´ tâ´t ca´ c sô´

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

8 Ly´ thuyê´t sô´

22, 23, 24, . . . Trong phâ`n tiê´p theo, chu´ ng ta se˜ , ra ra`˘ ng lo´,p thu´,
chı
chu´,a gio`, ,
hai cu˜ ng vô sô´ ca´ c sô´. Bây chu´ ng ta se˜ chı ra ra`˘ ng mo. i sô´
, lo´,p thu´, chu´,a lo´,p thu´, thu`,a
cua ba d¯ê`u mô. t trong hai la` mô. t sô´, ba`˘ ng
ca´ ch chu´,ng minh d¯i.nh ly´ sau:

I. Mo. i sô´ nguyên lo´,n ho,n 1 d¯ê`u co´ thu`,a sô´ nguyên tô´. , chu´,ng
lo´,n , phai
Go. i m la` bâ´t ky` sô´ nguyên na` o hon 1. Chu´ ng ta
minh ra`˘ ng no´ co´ mô. t thu`,a sô´ nguyên tô´. Nê´u m nguyên tô´ th`ı ch´ınh
thu`,a ,
m sô´ nguyên tô´. Nê´u m không phai la` sô´ nguyên tô´, chu´ ng ta

co´

m = m1m2 , ,
ca nho
trong d¯o´ m1 va` m2 la` ca´ c sô´ nguyên ,, hai d¯ê`u , m.
duong, hon
,,
Nê´u m1 hoa˘. c m2 la` sô´ nguyên tô´, do d¯o´ chu´ ng ta se˜ thu d¯uo. c mô. t
thu`,a sô´ nguyên tô´ la` m. Nê´u không co´ sô´ na` o trong sô´ na` y la` sô´

nguyên tô´ th`ı viê´t

m1 = m1′ m2′ , m1′ > 1, m2′ > 1.

, m′1 va` m′2 d¯ê`u la` hê. sô´ , m va` mô˜ i hê. sô´ , , m1. Chu´ ng
Ca cua nho hon ,
thu`,a cua
ta không t`ım thâ´y trong m′1 hoa˘. c m′2 mô. t sô´ nguyên tô´ m
,
hoa˘. c qua´ tr`ınh co´ thê ,, tiê´p tu. c ba`˘ ng ca´ ch ta´ ch mô. t trong nhu˜,ng
d¯uo. c
sô´ na` y tha` nh ca´ c thu`,a sô´. V`ı d¯ô´i vo´,i bâ´t ky` m na` o cho tru,o´,c ro˜ ra` ng
, hu˜,u bu,o´,c , , , ,,
chı co´ mô. t sô´ ha. n ca´ c nhu vâ. y co´ thê thu. c hiê. n d¯uo. c, nên
, thu`,a
ro˜ ra` ng la` cuô´i cu` ng chu´ ng ta phai d¯i d¯ê´n mô. t sô´ nguyên tô´ la`
Tu`, ,, ,
m. kê´t luâ. n na` y, d¯i.nh ly´ d¯uo. c d¯ua ra ngay sau d¯ây.
,
Eratosthenes d¯a˜ , ra mô. t ,, tiê. n hu˜,u ´ıch d¯ê t`ım ca´ c sô´

, , d¯ua phuong , ,,
nho hon thê d¯uo. c
nguyên tô´ bâ´t ky` sô´ nguyên na` o d¯a˜ cho m. No´ co´
,,
mô ta nhu sau:
,
Mo. i sô´ ,nguyên tô´ tru`, 2 d¯ê`u la` sô´ le. Do d¯o´ nê´u chu´ ng ta viê´t
le tu`,
ra mo. i sô´ , 3 d¯ê´n m, chu´ ng ta se˜ co´ no´ trong danh sa´ ch mo. i sô´
nho , tru`, gio`, ,
nguyên tô´ hon m ngoa. i 2. Bây 3 la` sô´ nguyên tô´. Ðê no´
, tu`, , thu´,
trong danh sa´ ch; nhung ba´˘ t d¯â`u d¯ê´m 3 ga. ch bo mo. i sô´ ba
trong danh sa´ ch. Do d¯o´, mo. i sô´ chia hê´t cho 3, ngoa. i tru`, 3, d¯ê`u bi.
, , ba´˘ t tu`, , , thu´,
huy bo. Sau d¯o´ , d¯â`u sô´ 5 va` huy bo mo. i sô´ na˘ m. Sau d¯o´ ,
tu`, , , , thu´,
ba´˘ t d¯â`u sô´ tiê´p theo chua viê´t, cu. thê la` 7, va` ga. ch bo mo. i sô´
, tu`, , , ,
bay. Sau d¯o´ , ba´˘ t d¯â`u sô´ chua viê´t ch´ınh ta tiê´p theo, cu. thê la` 11,
, thu´, mu,o`,i
va` ga. ch bo mo. i sô´ mô. t. Tiê´p tu. c theo ca´ ch na` y lên d¯ê´n m.
, ,, , lo´,n
Ca´ c sô´ chua viê´t nguo. c co` n la. i se˜ la` ca´ c sô´ nguyên tô´ le không
,
hon m.

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Mu. c lu. c 9

,, ` , ,, ,
Ro˜ ra` ng la` qua´ tr`ınh huy bo na` y không cân phai d¯uo. c thu. c hiê. n
, ,
hoa` n toa` n cho d¯ê´n nay nhu d¯a˜ chı ra; v`ı nê´u p la` mô. t sô´ nguyên tô´
lo´,n , , tu`, , ,
, hon m, th`ı viê. c huy bâ´t ky` sô´ pth na` o p se˜ chı la` su. la˘. p la. i
` , ,, , ,, ,, ,
cua ca´ c lân huy d¯uo. c thu. c hiê. n boi mô. t hê. sô kha´ c nho hon hon p, ´
,,
, ta thâ´y ba`˘ ng ca´ ch su du. ng d¯i.nh ly´ sau.
nhu

II. Mô. t sô´ nguyên m la` sô´ nguyên tô´ nê´u no´ không co´ thu`,a sô´
ba˘`ng , ho,n lo´,n
nguyên tô´ hoa˘. c nho , I, trong d¯o´ I la` sô´ nguyên nhâ´t co´
phu,o,ng nho ho,n
b`ınh ba˘`ng hoa˘. c m. ,
nho
V`ı m không co´ thu`,a sô´ nguyên tô´ na` o , I, nên theo d¯i.nh
thu`,a tru`, hon ,
thu`,a nho ,
ly´ I, no´ không co´ , sô´ na` o ngoa. i mô. t , sô´ hon, I. Do

d¯o´, nê´u m không phai la` sô´ nguyên tô´ th`ı no´ phai la` t´ıch cua hai sô´
lo´,n , , lo´,n ,
ma` mô˜ i sô´ hon I; va` do d¯o´ no´ phai ba`˘ ng hoa˘. c hon (I + 1)2.
vo´,i ,
Ðiê`u na` y mâu thu☠n gia thuyê´t vê` I ; va` do d¯o´ chu´ ng ta kê´t luâ. n

ra`˘ ng m la` sô´ nguyên tô´.

BA` I TÂ. P

Ba`˘ ng ,, pha´ p Eratosthenes xa´ c d¯i.nh ca´ c sô´ nguyên tô´ ´ıt ,
phuong hon

200.

1.4 Sô´ nguyên tô´ la` vô ha. n

I. Sô´ nguyên tô´ la` vô ha. n , ,,
chu´,ng gia su
Chu´ ng ta se˜ minh d¯i.nh ly´ na` y ba`˘ ng ca´ ch ra`˘ ng sô´
,, , ,
luo. ng ca´ c sô´ nguyên tô´ không phai la` vô ha. n va` chı ra ra`˘ ng, d¯iê`u

na` y d☠n d¯ê´n mô. t mâu thu☠n. Nê´u sô´ nguyên tô´ không phai la` vô
ha. n th`ı co´ mô. t sô´ nguyên tô´ lo´,n nhâ´t, ma` chu´ ng ta se˜ ky´ hiê. u la` p.

Sau d¯o´ ta. o tha` nh sô´

N = 1 · 2 · 3 · . . . · p + 1.

, , 1.3 N co´ mô. t u,o´,c sô´ nguyên tô´ la` q.
Bây gio` theo d¯i.nh ly´ 1 cua §
, u,o´,c , , , lo´,n ,
Nhung mo. i sô´ không phai d¯on vi. cua N ro˜ ra` ng la` hon p. Do
lo´,n , vo´,i lo´,n
d¯o´ q hon p, tra´ i kê´t luâ. n ra`˘ ng p la` sô´ nguyên tô´ nhâ´t.

, chu´,ng
Nhu vâ. y viê. c minh d¯i.nh ly´ d¯a˜ hoa` n tâ´t.
,
Theo ca´ ch ,, , chu´ ng ta co´ thê chu´,ng minh d¯i.nh ly´ sau:
tuong tu. ,

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

10 Ly´ thuyê´t sô´

,
II. Trong sô´ ca´ c sô´ nguyên cua tiê´n tr`ınh sô´ ho. c 5, 11, 17, 23, . . .,

co´ vô sô´ sô´ nguyên tô´.
,
Nê´u sô´ sô´ nguyên tô´ trong da˜ y na` y không phai la` vô ha. n th`ı se˜
lo´,n , ,, ra`˘ ng
co´ mô. t sô´ nguyên tô´ nhâ´t trong da˜ y; gia su sô´ nguyên tô´
lo´,n nhâ´t na` y tô`n ta. i, chu´ ng ta se˜ ky´ hiê. u no´ ba`˘ ng p. Sau d¯o´, sô´ N,

N = 1 · 2 · 3 · . . . · p − 1,

không chia hê´t cho bâ´t ky` sô´ na` o , , hoa˘. c ba`˘ ng p. Sô´ N na` y,
nho hon
co´ da. ng 6n − 1, co´ mô. t thu`,a sô´ nguyên tô´. Nê´u thu`,a sô´ na` y co´ da. ng
6k −1 th`ı chu´ ng ta d¯a˜ d¯i d¯ê´n mâu thu☠n va` d¯i.nh ly´ cua chu´ ng ta d¯a˜ ,

,, chu´,ng minh. Nê´u sô´ nguyên tô´ co´ da. ng 6k1 + 1 th`ı thu`,a sô´ bu`
d¯uo. c thu`,a , lo´,n ,
cua hon

co´ da. ng 6k2 − 1. Mo. i , sô´ nguyên , tô´ 6k2 − 1 d¯ê`u p.
,
Do d¯o´, chu´ ng ta co´ thê coi 6k2 −1 nhu chu´ ng ta d¯a˜ la` m 6n −1 va` vo´i
, ,, , , thu`,a
kê´t qua tuong tu. . Do d¯o´ , cuô´i cu` ng chu´ ng ta phai d¯a. t d¯ê´n mô. t
,, ,,
sô´ nguyên tô´ co´ da. ng 6k3 − 1; nguo. c la. i, chu´ ng ta se˜ co´ 6n − 1 d¯uo. c
, du,o´,i , thu`,a
biêu thi. , da. ng t´ıch cua ca´ c , sô´ nguyên tô´ co´ da. ng 6t + 1
qua thê. tru,o`,ng ,
— mô. t kê´t , ro˜ ra` ng la` không Do d¯o´ , trong mo. i ho. p,
,, , ˜, , ´
chu´ ng ta phai d¯a. t d¯uo. c su. mâu thuân cua gia thuyêt. V`ı vâ. y, ca´ c
,, chu´,ng
d¯i.nh ly´ d¯uo. c , minh. ,
qua cua
, Ca´ c kê´t , tru,o´,c d¯ây la` ca´ c tru,o`,ng , d¯a˘. c biê. t d¯i.nh ly´
ho. p

tông qua´ t hon sau:

,
III. Trong sô´ ca´ c sô´ nguyên cua câ´p sô´ cô. ng a, a+d, a+2d, a+3d,
. . ., co´ vô ha. n sô´ nguyên tô´, vo´,i d¯iê`u kiê.n la` a va` b tu,o,ng d¯ô´i nguyên

tô´.

Ðô´i vo´,i tru,o`,ng , d¯a˘. c biê. t cho trong d¯i.nh ly´ II, chu´ ng ta co´ mô. t
chu´,ng ho. p
, , vo´,i chu´,ng

minh so câ´p; nhung d¯ô´i d¯i.nh ly´ chung, viê. c minh
, ,,
la` kho´. Chu´ ng ta se˜ không d¯ua no´ o d¯ây.

BA` I TÂ. P

1. Chu´,ng minh ra`˘ ng co´ vô sô´ sô´ nguyên tô´ co´ da. ng 4n − 1.

2. Chu´,ng, , ra`˘ ng mô. t sô´ nguyên tô´ , ,co´ , ,, , diê˜ n ba`˘ ng hiê. u
to le thê d¯uo. c biêu

cua hai h`ınh vuông theo mô. t va` chı theo mô. t ca´ ch.

3. , thu´,c mp − np, trong d¯o´ m va` n la` ca´ c sô´ nguyên va` p la` mô. t sô´
Biêu

nguyên tô´, la` sô´ nguyên tô´ cho p hoa˘. c chia hê´t cho p2.

4. Chu´,ng minh ra`˘ ng bâ´t ky` sô´ nguyên tô´ na` o ngoa. i tru`, 2 va` 3 d¯ê`u co´
da. ng 6n + 1, 6n − 1.

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Mu. c lu. c 11

,, ,
1.5 Ði.nh ly´ co ban cua Euclid

Nê´u a va` b la` hai sô´ nguyên du,o,ng bâ´t ky` th`ı tô`n ta. i ca´ c sô´

=

nguyên q va` r, q > 0, 0 ≦ r < b, sao cho

a = qb + r.

Nê´u a la` bô. i sô´ , b th`ı d¯i.nh ly´ ,, xa´ c minh ngay lâ. p tu´,c,
tru,o`,ng , cua d¯uo. c , ,
ho. p phai cua
r trong na` y la` 0. Nê´u a không la` bô. i b th`ı no´
, giu˜,a ,
phai na`˘ m hai bô. i liên tiê´p cua b; ngh˜ıa la` , tô`n ta. i mô. t q sao

cho

qb < a < (q + 1)b.

Do d¯o´ co´ mô. t sô´ nguyên r, 0 < r < b, sao cho a = qb+r. Trong tru,o`,ng
, lo´,n , , chu´,ng
ho. p b hon a th`ı ro˜ ra` ng q = 0 va` r = a. Nhu vâ. y viê. c minh

d¯i.nh ly´ d¯a˜ hoa` n tâ´t.

1.6 Chia hê´t cho mô. t sô´ nguyên tô´

I. Nê´u p la` mô. t sô´ nguyên tô´ va` m la` mô. t sô´ nguyên bâ´t ky` th`ı, ,

m co´ thê chia hê´t cho p hoa˘. c la` sô´ nguyên tô´ cua p.
tu´,c tu`, , u,o´,c
Ði.nh, ly´ na` y xuâ´t hiê. n ngay lâ. p thu. c tê´ la` ca´ c sô´ duy

nhâ´t cua p la` 1 va` p.

, ,,
II. T´ıch cua hai sô´ nguyên nho hon mô. t sô´ nguyên tô´ d¯a˜ cho p

không chia hê´t cho p.
, , ,, ,
Go. i a la` mô. t sô´ nho , p va` gia su ra`˘ ng, b la` mô. t sô´ nho , p
hon hon

sao cho ab chia hê´t cho p va` d¯a˘. t b la` sô´ nho nhâ´t cho ab na` o chia
,,
hê´t d¯uo. c. Ro˜ ra` ng la` tô`n ta. i mô. t sô´ nguyên m sao cho

mb < p < (m + 1)b.

Khi d¯o´ p − mb < b. V`ı ab chia hê´t cho p nên ro˜ ra` ng mab chia hê´t,

cho p; ap cu˜ ng vâ. y; va` do d¯o´ hiê. u cua chu´ ng ap−mab, = a(p−mb),
, vo´,i , ,
chia hê´t cho p. Ngh˜ıa la` , t´ıch cua a mô. t sô´ nguyên nho hon b
vo´,i , ,
chia hê´t cho p, tra´ i gia thiê´t ra`˘ ng b la` sô´ nguyên nho nhâ´t sao

cho ab chia hê´t cho p. Viê. c cho ra`˘ ng d¯i.nh ly´ không d¯u´ ng do d¯o´ d¯a˜
d☠n thu☠n; ,, chu´,ng
d¯ê´n mâu va` do d¯o´ d¯i.nh ly´ d¯uo. c minh.

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

12 Ly´ thuyê´t sô´

,
III. Nê´u ca hai sô´ nguyên không chia hê´t cho mô. t sô´ nguyên tô´

,
d¯a˜ cho p th`ı tı´ch cua chu´ ng không chia hê´t cho p.

Go. i a va` b la` hai sô´ nguyên không chia hê´t cho p sô´ nguyên tô´.
,, ,

Theo d¯i.nh ly´ co ban cua Euclid, tô`n ta. i ca´ c sô´ nguyên m, n, α, β sao
cho

a = mp + α, 0 < α < p,
b = np + β, 0 < β < p.

Khi d¯o´

ab = (mp + α)(np + β) = (mnp + α + β)p + αβ.

Nê´u bây gio`, , ,, ab chia hê´t cho p, chu´ ng ta co´ αβ chia hê´t
gia su vo´,i , ,
nho hon
cho p. Ðiê`u na` y mâu thu☠n II, v`ı α va` β p. Do d¯o´ ab

không chia hê´t cho p. ,
cua
Ba`˘ ng ca´ ch a´ p du. ng d¯i.nh ly´ na` y va` o t´ıch liên tu. c mô. t sô´ thu`,a

, ,, ,
sô´, ta co´ thê dê˜ da` ng thu d¯uo. c kê´t qua sau:

IV. Nê´u không co´ mô. t sô´ nguyên na` o chia hê´t cho mô. t sô´ nguyên
,

tô´ d¯a˜ cho p th`ı t´ıch cua chu´ ng không chia hê´t cho p.

1.7 Ði.nh ly´ thu`,a sô´ phân tı´ch duy nhâ´t

I. Mo. i sô´ nguyên lo´,n ho,n ho.,p nhâ´t co´ , ,, , diê˜n theo
, du,o´,i , thê d¯uo. c biêu
chı cua
mô. t va` theo mô. t ca´ ch , da. ng t´ıch ca´ c sô´ nguyên tô´.
chı , ,
Tru,o´,c hê´t, chu´ ng ta se˜ ra ra`˘ ng luôn co´ thê phân giai mô. t sô´
lo´,n , , thu`,a
nguyên d¯a˜ cho m hon ho. p nhâ´t tha` nh ca´ c sô´ nguyên tô´
,, hu˜,u chu´,ng
ba`˘ ng mô. t sô´ luo. ng ha. n ca´ c phe´ p toa´ n. Trong phâ`n minh
, thu`,a
d¯i.nh ly´ I, § 1.3, chu´ ng ta d¯a˜ chı ra ca´ ch t`ım mô. t sô´ nguyên tô´
, hu˜,u ,
p1 cua m ba`˘ ng mô. t sô´ phe´ p toa´ n ha. n. Ha˜ y d¯ê chu´ ng ta viê´t

m = p1m1.

Nê´u m1 , không , la` , ,nhâ´t, bây gio`, chu´ ng ta co´ , ,t`ım thâ´y
phai ho. p thê

mô. t thu` a sô´ nguyên tô´ p2 cua m1. Sau d¯o´, chu´ ng ta co´ thê viê´t

m = p1m1 = p1 p2m2.

Nê´u m2 không phai la` thô´ng nhâ´t, chu´ ng ta co´ thê a´ p du. ng quy, ,

tr`ınh ,, , , quy tr`ınh a´ p du. ng cho m1 va` do d¯o´ thu ,,
tuong tu. nhu d¯uo. c

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

Mu. c lu. c 13

thu`,a sô´ nguyên tô´ thu´, ba , m. V`ı m1 > m2 > m3 > ... ro˜ ra` ng la`
cua
hu˜,u ,
sau mô. t sô´ phe´ p toa´ n ha. n, chu´ ng ta se˜ d¯i d¯ê´n su. phân ra˜ m
tha` nh ca´ c thu`,a sô´ nguyên tô´. V`ı vâ. y, chu´ ng ta se˜ co´

m = p1 p2 ... pr

trong d¯o´ p1, p2, . . ., pr la` ca´ c sô´ nguyên tô´. Do d¯o´, chu´ ng ta d¯a˜,,
,
chu´ ng minh phâ`n d¯â`u tiên cua d¯i.nh ly´ cua chu´ ng ta, d¯iê`u na` y no´i
ra`˘ ng (lo´,n , , thu`,a
viê. c phân ra˜ mô. t sô´ nguyên hon ho. p nhâ´t) tha` nh ca´ c
, , ,,
sô´ nguyên tô´ luôn co´ thê thu. c hiê. n d¯uo. c.
, ,,
Bây gio`,, gia su ra`˘ ng chu´ ng ta cu˜ ng co´ mô. t phe´ p phân t´ıch m

thu`,a ,
tha` nh ca´ c sô´ nguyên tô´ nhu sau:

m = q1q2 ... qs.

Then we have

p1 p2 ... pr = q1q2 ... qs.

Bây gio`, p1 chia tha` nh phâ`n d¯â`u tiên , ,, tr`ınh na` y. Do d¯o´
thu´, , cua phuong
cua ,, ,
no´ cu˜ ng chia tha` nh phâ`n hai phuong tr`ınh. Nhung p1 la` sô´
, tru,o´,c,
nguyên tô´; va` do d¯o´ theo d¯i.nh ly´ IV cua phâ`n , ,, chu´ ng ta thâ´y
thu`,a gia su
ra`˘ ng p1, chia cho mô. t sô´ , sô´ q; chu´ ng ta ra`˘ ng p1 la` mô. t

hê. sô´ cua q1. Sau d¯o´, no´ phai ba`˘ ng q1. Do d¯o´ chu´ ng ta co´

p2 p3 ... pr = q2q3 ... qs.

Ba`˘ ng lâ. p luâ. n ,, , chu´ ng ta chu´,ng minh ra`˘ ng p2 ba`˘ ng mô. t sô´
, ,, tuong tu. ,

q, gia su q2. Sau d¯o´ chu´ ng ta co´

p3 p4 ... pr = q3q4 ... qs.

Ro˜ ra` ng la` qua´ tr`ınh na` y co´ , ,, tiê´p tu. c cho d¯ê´n khi mô. t vê´

, ,, , thê d¯uo. c , tho`,i
cua phuong giam phai
, tr`ınh xuô´ng co` n 1. Bên kia , cu˜ ng d¯ô`ng
,
giam xuô´ng 1. Do d¯o´, hai phâ`n phân ta´ ch cua m trên thu. c tê´ la`

giô´ng hê. t nhau.
Hoa` n tha` nh chu´,ng minh d¯i.nh ly´ na` y.
,
Kê´t qua ma` chu´ ng ta d¯a˜ chu´,ng minh dê˜ da` ng la` d¯i.nh ly´ quan
, ,,
tro. ng nhâ´t trong ly´ thuyê´t vê` sô´ nguyên. No´ cu˜ ng co´ thê d¯uo. c pha´ t
, du,o´,i thu´,c ,
biêu mô. t h`ınh kha´ c thuâ. n tiê. n hon cho mô. t sô´ mu. c d¯´ıch:

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên

14 Ly´ thuyê´t sô´

´ ,, ,, , ,, ,
II. Mo. i sô nguyên duong không phai d¯on vi. m co´ thê d¯uo. c biêu
diê˜n , , mâ˜u
theo mô. t va` chı mô. t ca´ ch trong biêu

m = p1α1 p2α2 . . . pnαn

trong d¯o´ p1, p2, . . ., pn la` ca´ c sô´ nguyên tô´ kha´ c nhau va` α1, α2, . . .,
αn la` ca´ c sô´ nguyên du,o,ng.
, , ,,
Ðiê`u na` y xuâ´t pha´ t ngay tu`, biêu diê˜ n tru,o´,c cua m o da. ng m =

, thu`,a , ,
p1 p2 ... pr ba`˘ ng ca´ ch kê´t ho. p tha` nh lu˜ y cua p1 tâ´t ca ca´ c sô´

nguyên tô´ ba`˘ ng p1.

,
HÊ. QUA 1. Nê´u a va` b la` ca´ c sô´ nguyên tu,o,ng d¯ô´i va` c chia hê´t

,
cho ca a va` b th`ı c chia hê´t cho ab.

, ,
HÊ. QUA 2. Nê´u a va` b la` sô´ nguyên tô´ cua c th`ı ab la` sô´ nguyên
,
tô´ cua c.

, ,
HÊ. QUA 3. Nê´u a la` sô´ nguyên tô´ cua c va` ab chia hê´t cho c th`ı b
chia hê´t cho c.

,
1.8 Sô´ chia cua mô. t sô´ nguyên

Ði.nh ly´ sau la` hê. , tu´,c th`ı , ca´ c kê´t , trong phâ`n tru,o´,c:
qua cua qua
, ,
I. Tâ´t ca ca´ c u,o´,c cua m,

m = p1α1 p2α2 . . . pnαn ,

co´ da. ng

p1β1 p2β2 . . . pnβn , 0 ≦ βi ≦ αi;

va` mo. i sô´ nhu, vâ. y la` mô. t u,o´,c , m. ,
cua cua

Tu`, d¯iê`u, na` y, ro˜ ra` ng ra`˘ ng mô˜ i u,o´,c sô´ m ,, bao gô`m mô. t
,,, d¯uo. c ,

lâ`n va` chı mô. t lâ`n trong sô´ ca´ c d¯iê`u khoan cua san phâm

(1 + p1 + p12 + . . . + p1α1)(1 + p2 + p22 + . . . + p2α2) . . .
(1 + pn + pn2 + . . . + pnαn ),

Nguyê˜n Hu˜,u , /> Ðiên