Hình học affine và hình học euclid văn như cương, tạ mân

TRƯỜNG ĐẠI Sư PHẠM - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

VÃN NHƯ CƯƠNG - TẠ MÂN

HÌNH HỌC AFIN
VÀ

HÌNH HỌC ƠCLÍT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI"- 1998

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám dóc Nguyền Vãn Thoa
Tổng biên tập Nghiêm Đình Vỹ

Người nhận xét:

GS Đ o à n Q u ý n h
PTS Phạm Khác Ban
PTS Nguyền Anh Kiet

Biên lập và sửa bản in: Hà Cương
Trìu ti bày bìa: Đinh Quang H ù n g

HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLÍT

Mã ri(i: 01.14-. ĐĨI9S - 221.98 '

in 11100 cuốn t ạ i Nhà in Dai học Quốc gia Hà Nôi

sỏ xuất bản 221; Cx8 Số trích ngangzo K H / X B

in xong và núp lưu chiếu t h á n g 5/199S.

LỊI NĨI ĐAU

Giáo trình này dành cho sinh i-iẻn khoa Tốn Trương Dai hoe
Sư phạm, sau giai đoạn hoe táo ỏ trường Dại hoe Dai cương.

Dế tiếp thu dẻ dàng giáo trĩnh này, người dọc càn có những
hiểu biết tng dối VP. không gian vecta và Dại số tuyến tỉnh.

Dế giáo trình trà thành một cuốn sách dộc lập và có hê 'hịng,
một vài vấn đè tuy dã dược hoe ó ĩ)hàn Dại cương nhưng '-TỈ71
dược trinh bày lại.

Sau mỏi chương đều có DÌĩân bài .'ộp, nhưng khơng có ìói
giải /toạc đáp số. Chúng tôi hi vong sau giảo trinh nàv ỉ ũ có
cuốn bài tập phong phú
và có ohần hướng dn hoặc 'ái -Tín.

Các tác giả chăn thành cám mi GS Đoàn. QuVilli, PTS Phàm
Khác Ban. PTS Nguyen Anh Ki ót dã dóc bàn những
V kiên xác áá/tơ. thào và tóp

Các tác ẹià


CHƯƠNG I

KHÔNG GIAN A FIN

§1. ĐINH NGHÍA KHƠNG GIAN AFIN

Ì - Đ ị n h n g h ĩ a : Cho không gian vectơ V t r ẽ n t r ư ờ n g
K, tập A T i 0 mà các phần tử của nó gói là đ i ể m và á n h
xa f . A x A -» V . Kí hiệu Bộ ba ( A , p, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đẽ sau
đây được thỏa mãn:

i) Với mọi đ i ể m M e A và mọi véctơ u s V, có duy
nhất điểm N 6 A sao cho M N = u.

in Với moi ba đ i ể m M, N . p e A có MN + NP = MP.
Khơng gian afin ( A , liên kết với không gian véctơ V, cịn gọi tát là k h ơ n g gian
a f i n A trên trường K (hoặc K - không gian afin A ) . Không
gian véctơ liên kết V thường được kí hiệu là A .

Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = ri)
: nếu dimV = n.

Khi trường K là trường số thực R , ta nói A là k h ơ n g
-gian afm thực, khi K = C, ta nói A là khơng gian a f i n
; phữc.

2. C á c vỉ d ụ
a) Không gian Euciid 2 chiểu E 2 và ba chiều E 3 đ ã học
(ở trường phổ thông trung học là những không gian afin
Hiên kết với không gian véctơ (tự do) hai chiều, ba chiểu ờ

Ịphổ thông trung học.

5

b) N ế u V là m ộ t K - k h ô n g gian véctơ và á n h xạ

tp: V x V V cho bời

t h à n h k h ô n g gian a f i n liên k ế t v ớ i V vả gọi là k h ô n g gian

a f i n c h í n h cắc t r ê n V.

3 - Các tinh chất dơn giản.

a) V ớ i m ọ i đ i ế m M G A t h ì M M - õ*

T h ậ t Vày theo tiên để li) ta có M M + M M = M M nên
M M = 0*

b) V ớ i m ọ i đ i ế m M . N e A m à M N = õ*thì M = N .

T h ậ t vậy nếu M N = Õ*thì do ta có M M = Õ*(tỉnh chất
a) n ê n theo tiên đ ề i) s uy ra N = M .

c) V ớ i m ọ i c ặ p đ i ể m M , N s A t h ì M N =; - N M .

T h ậ t v ậ y theo t i ê n đ ể i i ) t a c ó M N + N M = M M = õT
do đ ó M N = - N M .

dì A B = CD k h i v à c h i k h i A C = B D (A, B. c, D e A ) .

Thật vậy ẤB = C D c o à B + B C = B ồ + CD

**ÃC = BD

e) V ớ i ba đ i ế m 0 , A , B ta c ó Ã ỗ = O B - OA.

T h á t vậy, ÃB = ẢO + ÕB = - O A + ÕB = ÕB - OA

4. H ệ đ i ể m đ ộ c l ậ p

Hệ m t Ì điếm, A0, A j , A m (m_3= 1) của k h ô n g gian

a f i n A g ọ i là độc láp n ế u m v é c t ơ A 0 A j , A Q A T , A^A^

của A là hệ véctơ độc lập tuyến tính. H ệ gốm một điểm A Q

b á t kỉ (túc t r ư ờ n g hứp m = 0) l u ô n đ ư ứ c x e m là độc l á p .

Ta c h ú ý r à n g t r o n g định nghĩa n à y Aõ k h ô n g đ ó n g vai

t r ò gi đ ặ c b i ệ t so v ớ i c á c đ i ể m A j k h á c . T h á t v â y ta có t h ể

dễ dàng chứng minh rằng nếu các véctơ A^A,, A^A^, độc

lập tuyến tính thì đối với một i nào đó hê các véctơ AjA^,

AiAị, A A - I - A i A i + i > •••> AịKn c ủ n s đ ộ c l â P t u y ế n tỉnh-

Phán chứng minh này dành- cho bạn đọc.

Dinh lý. Nếu A là khơng gian afin n chiêu thi trong A
ln có những hệ m điểm dộc lập uới 0 í m sỉ n + 1.
Moi hệ điểm nhiều han n + Ì điềm đêu là không dộc lập.

Chứng minh. Giả sử A là k h ô n g gian véctơ liên k ế t với
không gian afin A và {ẽ*\ là một cơ sờ nào đó của A. v ì A

khơng rỗng nên ta có t h ế chọn m ộ t đ i ể m A 0 nào đó của A
sau đó chọn các đ i ế m Aị sao cho AjjAj = ej, i = Ì, 2, ...n.

Rõ r à n g hệ n + Ì đ i ể m A„, A j , A n là độc lập. Ngoai ra

nếu ta lấy m điểm AD, A|, A m _ ! (0 sỉ m í n+1) của h ệ

đó thì hiển nhiên ta đưổc m điếm độc lập.

Nếu ta co' Ì hệ gốm r đ i ể m : Pư, PlLL... Pr_ ị (r > n+1)

thì hê r - Ì véctơ PnPị, P0Pi, P0Pr_, khơng độc lập

tuyến tính vì r - Ì > n = dim A, từ đó suy ra h ệ r đ i ể m

đó khổng độc lập.

§2. TỌA ĐỘ AFIN

1. Định nghĩa mục t i ê u a f i n

Cho không gian afin n chiểu A liên kết. với k h ô n g gian

véctơ A. Gọi E = {ép e2: en} là một cơ sờ của A và o

là m ộ t đ i ế m t h u õ c A. Khi đ ó t ậ p h ơ p { 0 ; ĩ } hay { 0 ; ẽT, ẽT.

. e } g ọ i là m ộ t múc tiêu afin của A. 0 gọi là điếm gốc

của m ụ c tiêu, ej gọi là vécta ca sò thứ I của m ú c tiêu.

2. Định nghĩa t ọ a đ ộ c ủ a điếm.

Trong không gian afin n chiếu A cho mục tiêu afin { O .
ẽ|*, ẽT, ... , ẽ ^ } . Với mỗi điểm X C Ả t a Cũ véctơ o x e Ạ

7

v à vì vậy c ó duy n h ấ t n p h á n tử X[, x2, ...,xn c ủ a t r ư ờ n g K

sao cho

ox = + x 2 ^ + ... + x n i ^

B ộ n p h ấ n t ử ( X j , x 2 > . . - , x n ) đ ó đ ư ợ c g ọ i l à tọa độ cùa
điềm X dối ươi mục tiêu đã chon, k í h i ệ u :

X(X), Xo, x n ) hay X = ( X j , x 2 , xn)

Chú ý rằng n ế u X = ( X j , x2, x n ) v à Y = ( ý , , y 2 , ... ,

yn> t h i

XY = ÕY - õ x = -

= i y i - X ; ) ^ + ( y 2 - x2)ẽ? + ... + ( y n - x n ) e ^ ĩ

Vãv véctơ XY có toa độ là (yj - X ị , yo - Xi,..., yn - xn)
không
đ ổ i v ớ i c ơ s ờ £ = { e j , e-, en} của gian véctơ A.

3. Đ ổ i m ụ c t i ê u a f i n .

T r o n g k h ô n g gian a f i n ri chiều A cho hai mục t i ê u a f i n :

• Ũ : tì Ị, e:, ... , e n } - v à { 0 ' ; e j ' , ẽ t ' . en'}. Với mỗi

điếm X G A gọi ( X Ì , X i , x n ) là tọa độ của đ i ế m X đối
x ' n J là tọa đô của điểm
với múc riêu '.0; £ } v à { x ' j , x'?, liên hệ giữa X, và x\.

X đối với mục tiêu {0'; £'}. Tìm sư

Già ì ừ biết:

1=1

n

00' = y.SL-fi*

1=1

K h i đó từ đ n g t h ứ c õx = dồ' + crx* ta có

n n n n n n

z XiẽT = ỵ ajẽ* + ỵ x ' j ẽ ^ = ỵ a ; i * + ỵ x i, ỵ c,jẽf

1=1 1=1 J=1 1=1 J = I 1=1

= 2 alfit +2 (2Cijx'jK 2 (ECijX'j + a j ) £ *

• Ì 1=1 J=l 1=1 j=1

Từ đó suy ra: n
X ị = 2/
Biếu thức trên C j j x j + aj , i = l , n
j=i thức dồi múc tiêu.
g ọ i là công

G ọ i c = (C|j) là ma trận chuyền từ cơ sỏ C sang cơ sở
C của k h ô n g gian Ẩ* ( c h ú ý r à n g detC * 0)

Nếu kí hiệu:

Xo a
a =
X = X =

^1
thỉ cơng thức đ ổ i mục tiêu có thể viết dưới dang ma t r ậ n

X = Cx' + a hay x' = c l x - c 'a

§3. CÁC PHANG TRONG KHƠNG GIAN AFIN

1. Đ ị n h nghĩa. Cho không gian afin A liên kết với
không gian véctơ A. Gọi l i a một đ i ế m của A và ã* là m ó t
khơng gian véctơ con của A. K h i đó táp hóp.

a = { M 6 A I I M G ã)

đ ư ợ c g ọ i là cái phảng 'cùng gọi tát Là "phàng") qua ì v à có
phương là a*

9

N ế u ã* có số c h i ê u b ằ n g m t h ì a g ọ i là phảng ni chiểu
hay còn gọi là m - phàng).

Như vậy 0 - phảng chính là một điểm, còn n-phảng
afin n chiêu A chính A . Ì - phảng cịn gọi
của khơng gian Nếu dim A = n thì ( n - 1 ) - phảng còn gọi

là dường thảng.

là siêu phang.

Ta chú ý ràng trong định nghĩa Ì, điếm ì khơng đóng
vai trị gi đặc biệt 30 với các đ i ể m khác của phảng. T h á t
v â y g i à sử a là c á i p h ả n g qua ì v à có p h ư ơ n g ã* v à J là

m ó t đ i ế m n à o đó c ù a a. Đ i ê u đó có n g h ĩ a là u £ ã* Bây
giờ đ i ể m M s a khi và chi k h i I M G ã* hay k h i v à chi k h i
I M - u £ ã ! t ứ c là k h i và c h i k h i v é c t ơ J M G ã* Đ i ề u đ ó
c h ứ n g tỏ r ằ n g đ i ể m J có t h ể đ ó n g v a i t r ị cùa đ i ể m ì.

2 - Đinh lý. Nếu a là m-phảng của không gian afin Á
có phương ã* thi a là không gian afin ni chiêu liên kết vói
khơng gian. uẻct-a ã*

Chứng minh. Rõ r à n g a ^ 0 . G i ả sử ì là m ộ t đ i ế m
náo đó thuộc Gí. Với mọi cập đ i ế m M , N của a ta l y véctơ
M N = y?(M, N) £ A ( k h ô n g j ú a n a f i n A l à bộ ba ( A , (p. Ã*))
' heo đ ị n h nghĩa của tó thì I M £ õf I N G ã ? từ đó suy ra
M X G ã* Vây ta có t h ể xét á n h xa.

'P , . X ( , : a Xa » a

và rõ r à n g á n h xạ đó thỏa m ã n hai tiên/ đế i), ii) của

k h ô n g gian afin. Tiên- đè i) suy ra từ định nghĩa của

p h ả n g , c ị n tiên, đ ế Hì d ù n g vì n ó đ ú n g t r ê n t o à n bộ A . Vây

i u . 'PiaXd' ẽfì ' à m ộ t k h ô n g gian a f i n . t ứ c a là k h ô n g gian

a f i n liên k ế t với k h ô n g gian v é c t ơ ã*

3. Định lị. Qua m + ì diêm dóc lập của khơng gian
afin A có một chi một m-phằng (m 5 Oi

Chứng minh: G i ả sử A 0 , A Ị , A M là m+1 điếm độc

lặp của không gian afin A liên kết vói khơng gian véctơ A .

10

Khi đó hệ m véctơ A0Aj, A 0 A 7 , A J J A ^ độc lập tuyến tính.

Ta gọi ã* là k h ơ n g gian véctơ con của A n h ậ n m véctơ đó

là cơ sở. Bây giờ gọi a là cái p h ả n g qua A 0 có p h ư ơ n g là

ũ* Rõ r à n g v i A Q A ^ G ã* n ê n Aị E a v ớ i i = 1, 2, m.

Vậy a là cái phảng qua m + Ì đ i ể m đã cho.

Sự duy n h ấ t của m - p h ẳ n g đó là h i ể n n h i ê n .

Từ định lý t r ê n ta d ễ d à n g suy ra h ệ qua sau:

Hể quà: m + Ì điểm Là dộc lập khi uà chi khi chúng
không cùng nấm trên một im - l)-phằng (m s ỉ J /.

4. P h ư ơ n g t r ì n h t h a m sỊ c ủ a m-phẳng trong
k h ô n g gian afin A n (dim A n = n).

Trong khơng gian afín A n chọn mục tiêu afin {O; £}.
G i à sử a là m - p h ẳ n g qua đ i ế m I G A n và có p h ư ơ n g là
k h ơ n g gian véctơ con m chiếu ã* của A n .

Chon t r o n g õ * m véctơ độc lập t u y ế n t í n h a,, ã^, ã^.

G i à sử b i ế t tọa độ của véctơ ã* đ Ị i với cơ sở £ là ã* = (ă^j,

j, .... ani); i = Ì, 2, m, và tọa độ của đ i ế m ì đ Ị i với

m ú c t i ê u { 0 ; £} là (bị, b 2 , bn).

Khi đó điếm X có tọa độ (XỊ, X I , xn> thuộc a khi và

m

chi khi I X G ã* hay khi và chi khi I X = 2 tjã* (tj e K )

J= l

tức là

n m n n ni
2 (Xi - b j ) ẽ * =
1=1 ỵ tị ỵ &ịị ẽ * = ỵ ( ỵ ajjtj) i j
j = i 1=1 1=1 j = i

Vây: (1) m

X i = X a i j f c j + b i ' ì = 1, 2, .. ., n

J= i

li

H ệ p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n gọi là phương trinh tham số của
Với bộ m số ( t j , t->,
m - p h ả n g a, ra tham số là t j , t 2 , tm.
x n ) là tọa độ của
t m ) ta co' một bộ n số ( X j , Xo,
1) ta có hệ p h ư ơ n g
điểm X nào đó thuộc m-phẳng a.

Với trường hợp đường thảng (m =
trinh tham số.

(2) X j = a,t + bị, i = Ì, 2, n

Dó là phương trình của đường thảng đi qua điểm Kbj,
một chiều sinh
in, bn) và có phương là không gian véctơ

b ờ i véctơ a = ('aJ, a-,, an).

Nếu các aj đêu khác không, ta khử t từ hệ (2) sẽ được.

X j — b) x2 — b2

a2
Nếu gọi X , t . b là các ma t r ậ n cột

X = A1 b =

Xo I

i

và A = (ajj) là ma t r â n lì dịng m cột thì cơng thức (1) có
chế viết dưới d ng ma t r ậ n

X = At + b h ng A = m

5. P h ư ơ n g trinh tổng q u á t c ủ a m- p h ả n g .
Trong không gian afin n chiều A n cho mục tiêu afin
{ 0 ; c } . Giả sử a là m-phảng đi qua đ i ể m ì và có phương
là ã* Ta chọn trong ã* m véctơ độc ìập tuyến tính:

12

i-?-m+1, ẽ^n-m+2. •••» ẽ^n v à b ổ 3 u n s v à o vé^ơ:

ẽ*,, e*n-m đ ế được một cơ sở £' = { ẽ ^ , ã*"-,, ẽ*"n} của

A. Như vậy ta được mục tiêu. afin {ì, £'}.

Với mỗi điểm X e A n ta gọi (xt, X-,, x n ) là tọa độ

cùa X đói với mục tiêu ( 0 ; £) và gọi ( x ' j , x ' 2 , x ' n ) là

t o a độ của X đối với mục t i ê u {ì; £'}.

Ta có cơng thức đổi mục tiêu là:

n

x'j = X ayXj + bị, i = Ì, 2, n

j=i

Đế cho đ i ể m X = ( x ' [ , x ' 2 , x'n) 6 a điểu kiện cấn

v à đủ là x\ = x ' 2 = ... = x ' n _ m = 0. Tằ đó suy ra:

Đó là hệ gồm n - m p h ư ơ n g trình tuyến tính n biến X ị ,
g ọ i l à phương trinh tồng quát của m - phảng a.

Chú ý rằng ma t r ậ n A = (ajj) của hệ p h ư ơ n g t r i n h trên
có hạng bằng n-m.

Như vậy mỗi m-phảng trong khơng gian ĩn An được
biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tinh của các biến
X , mà hạng của ma t r ậ n các hệ số của các biến là n-m.
Ngược lại hệ phương trình đó là hệ phương trình xác định
một m-phẳng.

Dặc biệt mỗi siêu phảng trong A n có phương tinh dạng:

a t X i + a-,Xọ + ... + a n x n + b = 0

trong đó hạng của ma t r ậ n ( a | a T . . . a n ) bàng Ì, tức là có ít
nhất một a| * 0.

13

Theo trên thì mối m - p h ẳ n g có p h ư ơ n g t r ì n h tống q u á t

là một hệ gốm n-m phương trình tuyến tỉnh nên ta suy ra:

Trong khơng gian ĩn A n mọi m-phẳng đểu có t h ế xem
như là giao của n - m siêu phang nào đó (ỏ đây "giao" hiếu
theo nghĩa của lý thuyết tập hợp).

§4. VI TRÍ TƯƠNG ĐỐI CÙA CÁC PHÀNG

Ì - Định nghía. Trong không gian a f i n A n cho
p-phảng a và q-phảng /3 (với p í q) lần lượt có p h ư ơ n g là
là ã* và Ị*

a) Các phảng a và p gọi là cát nhau nếu chúng có
..!iểm chung.

b) Cái phảng" a gọi là song song với (ỉ nếu ã* là k h ô n g

•Gcian con cùa /J*

Ù: Các phảng a và p gọi là chéo nhau nếu chúng không
ca* nhau và không song song với nhau.

di Giao a n / j hiểu theo nghĩa t h ô n g thưứng của lý
thuyết tậD hóp và gói là giao của hai cái phảng a và p.

e) Tổng a + P là giao của t ấ t cá các phảng chứa a và
•J, a + Ịi gọi là tổng của hai cái phảng a và ịi.

2. Định lý: Gi ao'hai cái phảng a và ịi lioặc Là táp rỗng,
roăc là mót cai phàng có phương là ã* n p*

Chứng minh. Nếu a n /ỉ * 0 , thi c h ú n g có ít nhất

mót điếm chung ì. Gọi ỏ là cái phảng qua đ i ế m ì và có

phương ỳ* = ã* n b* Một điểm M G a n ỊỈ khi và chi khi

M £ a và M £ p. tức I M G ã* và I M e ,7* tức khi và chi

khi IM £ ã* n M e ỗ. Như vậy a n ịi là cái phảng ỗ

có phương là a* n Ẹ*

14

Hệ quà 1. Nếu phàng a song song vói phảng ộ thi hoặc
chúng khơng có điếm chung hoặc a nám trong 3.

T h ậ t vậy nế u a song song với ệ> thì ã* c ịi. Nế u c h ú n g
có đ i ể m chung thì theo định lý 2, giao a n 8 là cái phảng
có phương là ã* n P* = ã* Suy ra a n /3 = a hav a c /3.

Hê q u à 2. Qua m ộ i điế m 7 đã cho có một m - phảng
duy nhát song song với ìn - phàng dã cho a.

T h ậ t vậy gọi à là m - phang đi qua đ iế m ì và có
phương là phương ã*của a. K h i đó à song song với a. N ế u
có mót m - p h à n g a" cũng đi qua ì và song song với a
thì rõ r à n g à và a" cũng song song với nhau và vì c h ú n g
có đ i ể m chung và á" = ã* nên chúng t r ù n g nhau.

3. Đ ị n h lý: Hai phàng á uà Ịỉ cát nhau khi uà chi khi
với mọi điểm ỉ £ a, mọi điềm J G ổ ta có I J s a*+ ịỉ.

Chứng minh. Nế u a và Ịì cát nhau và M là một đ i ế m
chung của c h ú n g t h ỉ I M G õf M J 6 /?f do đó

LĨ = I M + MJ E 5*+ jST

Ngược l ạ i nế u I J £ ã * + /ĩ* thì IJ = u - Ì - V . trong đó
Ĩ T G ã ! V s P* Trong a ta lấv điế m M sao cho D Ĩ = ũT
trong Ịỉ ta. lấy đ i ể m N sao cho J N = - V . Khi đó IJ = I M -
•ÌN tức u + J N = I M h a v I N = IM. Từ đ ó S U Y ra hai đ i ể m
M và N t r ù n g nhau và là điểm chung của (í và ịi.

4. Đ ị n h lý v ế s ố c h i ể u c ủ a giao v à tổng c ủ a hai
cái phăng.

Đ ị n h lý: Trong không gian afin A" cho hai cái phàng
a uà Ị3 có phương Lần Lượt là ã * Lí à p*

N ế u a và Ịi c t nhau thì

dim(a + fỉ) = dime + dim/3 - dim(a n (ỉ)

Nếu a và ậ không cất nhau thỉ

dim ia + /3) = dime + dim/3 - dim(õ* n pT + 1.

15

Chứng minh. Nếu a và ị5 cát nhau thi giao a n /3 ià
cái phảng có phương là ã* n /5* Ta lấv I s a n và gọi •/
là cái phàng qua ì và có phương là ỹ* = ã* + Ẹ* Rõ rằng ;/
chứa a và li. Ngồi ra nếu có một phảng y' chứa a và
thì nó phải chứa đ i ể m ì và p h ù o n g của nó phải chứa ã* và
5f lức chứa ã*+ p* Nói cách khác ỵ' phải chứa •/. Từ đó 3 U V
ra ••' = Li + 3. Vẫy

dimia + Ịỉ) = dim(õ*+ py = dimõ*+ dim/ĩ*- dim(ă* n Ịĩĩ
= dima + dim/3 - dim(a n Ịi).

Bâv giờ nếu a và (ỉ không cắt nhau. Theo định lý 3 có
điếm I s a. có điể*n J s ịi sao cho I J Ể õ*+ p r Gói .7* là
khơng gian véctơ một chiểu sinh ra bời véctơ IJ. Ta lấy
mót điểm E nào đó cùa phang ư và gọi / là cái phảng qua
điếm s có phương là ỹ * = (ã* + pj Q õ* Phảng V dĩ nhiên

chứa a. chứa. Ịi và chứa đường thẳng qua ĩ và J. Giả
s v' là phảng khác chứa a, /3 thì 7' qua điểm s và
phương j ủ a nó phải chứa õT /ĩ* v à 0 * Từ đ ó suV ra •/ chứa V
v à do đó V = a + 8. Vâv:

di 111 (à- - y"> = dim((õ*-r- P? © o i = dinnõ*-?- pĩ -í- đimS*

= dim ã*+ dim dim {ã* n 1

oT -- Ì

= di ma dim/i? - dim(ã* n /J7 + 1.

Đinh lý dã được chứng minh.

5. Đ ị n h lý: Một siêu phảng a uà ni - phàng ộ -rong
không gian a fin An thi hoặc (ỉ song song vói a ìiỗc cát J.
theo mót ''m-li phằhg: 'Ì tỉm tin-ỉ).

Chứng minh. Nếu a và (ỉ cát nhau t h i có thể xàv ra
hai trường hóp.

1. ộ c a. khi đó Ịì và a song song với nhau.

2. Nếu fì cùa định lý 4, ta có:

n = m + n - l - dim ta n /3)

16

suy ra d i m ( a n p) - m - Ì

V ậ y a và Ịỉ c á t n h a u t h e o m ộ t ( m - l ) - p h ẳ n g .

N ế u a v à /3 k h ô n g c á t n h a u t h ì c ũ n g á p d ụ n g c ô n g thức
của định lý 4) 'ta cố.

n = m + n - l + l - d i m ( õ * n Jĩĩ

trong đó ã* và /J*lẩn lượt là phương của a v à p, ta suy ra
d i m (5* n j?T = m , t ứ c l à p*c ã* N h ư v ậ y và a phải song

song. Đ ị n h lý đ ã đ ư ợ c c h ứ n g
minh.

§5. TÂM Ti C ự

Ì - Đ ị n h l ý . Cho k điểm PỊ, PI, Pk của không
Ằk sao cho
gian afin A và k số thuộc trường K: ẦỊ, Ả ),

Ị-

y Àj TÍ ỡ . Khi đó có duy nhất điềm G sao cho

••=1

k

1=1

Chứng minh. Lấy một điểm 0 tùy ý c ủ a A t h i điếm G

.'Xác: đ ị n h b ờ i

k k

EA,;GP, - Õ*<=> ỵ Aj(ÕPj - ỐG) = Õ*

1=1 1=1

k k

«EW = (2Ai) ÕG,

i= Ì 1=1

- Ìk

tức OG = -jp— X^OPj.

i=I

Vày đ i ể m G có và xác định duy nhất.

2 - Đ ị n h n g h ĩ a . Đ i ể m G nói t r o n g đ ị n h lí Ì được gọi
là tăm ti cự c ủ a h ệ đ i ể m Pj g ắ n v ớ i h ọ h ệ số Ằv

T r o n g t r ư ờ n g hợp c á c Ảị b ằ n g n h a u , đ i ế m G g ọ i là
trong tâm của h ệ đ i ế m Pj.

Chú ý: a) N ế u t h a y c á c h ệ số Aj, i = Ì, 2, k,
0, bời kAj, k e K - { 0 } t h ì t â m t i cự G không
k

VA, *

thay đ ố i . Vậy trong trường hợp G là" trọng tâm có thể lấy
c á c À, = Ì và k h i đó t r ọ n g t â m G của h ệ điểm {P,} đươc
xác đinh bởi:

- Ìk _

OG = f E O P ,

Vi

b i K h i k = 2, t r ọ n g t â m G của hai đ i ế m P Ị v à PT còn
.rọi là :.rung đ i ể m của cỉp đ i ể m '.Pj, p ọ

3 - Đ ị n h l ý . Tập hop tất cả các tâm ti cu cùa ho

liềm p,, Pj, P ) , Pị. fvói các ho hẻ số khác nham là cái

•Jtiang )é nhát chứa các diêm áy.

Chúng minh. Gói a là cái p h a n g bé n h á t chứa c á c đ i ể m

?.. i = 0. Ì, .... le. K h i đ ó c á c v e c t ơ Y \ ỳ p j , , p,^p,

rhuòc c h ư ơ n g ã* của p h ả n g a. Ta ỉấv h ệ vđctơ con độc l á p
tu ven t i n h t ố i đ a ! c ù a hê véctơ t r ê n , già sứ đó là P|,p ,

P^P: P J > S (S í k ) . Vây d i ma = s.

s

D i e m G E a <=> P^G £ 5*<=> p j } = ỵ Ả^p

1=1

s GP())

= £/,(GP, -

IS

1=1 1=1

Đảng thức này chứng tỏ G là tâm t i cự của họ đ i ể m

P(1, Pị, P k gắn với họ các hệ số:

s ...As, 0 0 .

Ì - ỵlẦị,ẦlìẰ2,

1= 1

(tống các hệ số nàv bảng 1).

Ngược l ạ i nếu G là tâm tỉ cự của họ p „ P|, ... P k g á n

với họ hệ số Ản, Àj. Ak thì

k k

2A,GP, = (f=> 2A,(GPC) + P^Pj) = F ~

| = <) i = o

k k ] k
(ì Ai) GP0 + S w , pj,

= õ*- PTG = T - 2/ị

SAM, 1 = 1

1=1

=> p. G E õ*=> G G Gí. Định lý đã được chứng minh.

Hẻ quả. Cho m-phảng a di qua ni -T- Ì điềm dộc lập

pt, Pị Pm. Khi dó a chính / à tập họp các tăm ti cu

rủa / l ọ điềm dó (gàn ươi các họ hê sổ khác nhau).

4 - Định lý. Cho m-phằng a di qua ni + Ì điềm dóc
0 tùy ý. Diêu kiên càn và
lập P0, Pị, Pin và một diêm

dù dế điếm M thuộc a là

m m

Ô M = 2 À, ố p ị , trong đó 2 Aj = Ì

i = o i= o

Chứng minh. Điểm M s a » M là tám t i cư của họ

điếm P0, P[, ... , P m gán với họ các hệ số A'0, À'j, Ẳ'm

nào đó

19

in m

SÀ'jMpi = õ ^ S ^ i C O P i - O M ) = õ*

=o i= o

m ÔM = m

SA',) DA'iOPj.

1=0

Vì Y A'i * 0, n ê n n ế u đ á t Ải = _ — t h ì

m i=o = 1.

O M = ỵẢíoví m

i= o v à ỵẤị

i= o

56. TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN AFIN THỰC

Ì - Đ o ạ n thảng. Cho hai đ i ể m p và Q của khơng
gian ìn thúc A. Điếm M t h u ộ c ' đ ư ờ n g thảng d đi qua p

và Q khi và chỉ khi với đ i ể m 0 tùy ý thì

Ơ M = ÃP + , u Õ Q v ớ i Ả + LI = Ì

hav là

Ô M = AÕP + ( Ì - À) Õ Q , A e R

Táp hơp n h ữ n g ' đ i ế m M sao cho OM = AOP + a-/)OQ.
với 0 s /. í Ì đ ư ợ c g ọ i là đoạn thảng PQ.

K h i p = Q, đ o ạ n t h ả n g PQ g ồ m c h i m ộ t đ i ế m p .

K h i p * Q, đ o ạ n t h ẳ n g PQ g ố m đ i ể m p ( k h i Ả = 1) v à
Q ( k h i À = 0) v à n h ữ n g đ i ế m ứ n g v ớ i X (0 < Ả < ì).

H a i đ i ể m p , Q g ọ i là hai mút của đoan thang PQ,
những đ i ế m khác của đ o ạ n t h ả n g PQ gọi là ở giữa p v à Q.