Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng các bất đẳng thức am gm và cauchy schwarz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (581.67 KB, 64 trang )
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
L NH QUYN
CHÙNG MINH BT NG THÙC BNG CCH
SÛ DÖNG CC BT NG THÙC AM-GM V
CAUCHY-SCHWARZ
N THC S PH×ÌNG PHP TON SÌ CP
Bẳnh nh - Nôm 2023
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
L NH QUYN
CHÙNG MINH BT NG THÙC BNG CCH
SÛ DÖNG CC BT NG THÙC AM-GM V
CAUCHY-SCHWARZ
N THC S PH×ÌNG PHP TON SÌ CP
Ng nh : Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp
M¢ sè : 8460113
Ngữới hữợng dăn : TS. Nguyạn Ngồc Quốc Th÷ìng
Bẳnh nh - Nôm 2023
i
Möc lưc
Mð ¦u iii
1 Phữỡng phĂp bĐt ng thực AM-GM 1
IFI f§t 1¯ng thù ewEqw F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I
IFIFI fĐt 1ng thự ewEqw ho P ián F F F F F F F F F F I
IFIFP fĐt 1ng thự ewEqw ho Q ián F F F F F F F F F F P
IFIFQ f§t 1¯ng thù ewEqw ho n i¸n F F F F F F F F F F P
IFIFR f§t 1¯ng thù ewEqw suy rëng F F F F F F F F F F F T
IFIFS wët sè v½ dư F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U
IFP û dưng §t 1¯ng thù ewEqw trong hùng minh §t 1¯ng
thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ
IFQ wët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §p F F F F F F IV
2 Phữỡng phĂp bĐt ng thực Cauchy-Schwarz 28
PFI f§t 1¯ng thù guhyEhwrz F F F F F F F F F F F F F F F F PV
PFP g¡ h» qu£ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW
PFQ hÔng m rëng õ §t 1¯ng thù guhyEhwrz F F F F F QP
PFR û dưng §t 1¯ng thù guhyEhwrz trong hùng minh
§t 1¯ng thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
PFRFI u¾ thuêt thảm E ợt F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
PFRFP uắ thuêt tĂh ghp F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
PFRFQ 0èi xùng hâ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RH
PFRFR uắ thuêt 1ời ián F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ
PFRFS û döng thm sè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT
PFS wët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §p F F F F F F RV
ii
Kát luên 57
T i li»u tham kh£o 58
iii
M Ưu
fĐt 1ng thự l mởt trong nhúng hõ 1· qun trång nh§t õ o¡n
håF ghóng â nhi·u ùng dưng trong ¡ l¾nh vü kh¡ nhu õ o¡n hå
ơng nh÷ nhi·u ng nh kho hå kh¡F rong hữỡng trẳnh mổn oĂn
ê phờ thổngD rĐt dạ t g°p ¡ i to¡n §t 1¯ng thù trong ¡ 1· thi
tuyºn sinh v o lỵp IHD 1· thi tèt nghi»p r mæn o¡nD 1· thi hån hå
sinh giäi v 1· thi ylympi to¡n hå ¡ §pF
gõ rĐt nhiÃu phữỡng phĂp 1 hựng minh Đt 1ng thựD trong 1õ õ
phữỡng phĂp sỷ dửng Đt 1ng thự ewEqw v §t 1¯ng thù guhyE
hwrzF rong 1· t i n yD tỉi t¼m hiºuD têng hđp v h» thèng lÔi mởt Ăh
1Ưy 1ừD ró r ng và phữỡng phĂp sû dưng §t 1¯ng thù ewEqw v §t
1¯ng thù guhyEhwrz trong hựng minh Đt 1ng thựF 0Ơy s l t i
liằu ờ ẵh ho hồ sinhD sinh viản v giĂo viản mong muốn tẳm hiu sƠu
hỡn và Đt 1ng thự ewEqw v §t 1¯ng thù guhyEhwrzF
xgo i phƯn m 1ƯuD kát luên v t i liằu thm khÊoD nởi dung hẵnh ừ
1Ã Ăn thÔ sắ gỗm õ P hữỡngF
Chữỡng 1: Phữỡng phĂp bĐt ng thực AM-GM
rong hữỡng n y tổi xin trẳnh y mởt số kián thự ỡ Ên và Đt
1ng thù ewEqwD sû dưng §t 1¯ng thù ewEqw 1º hùng minh mët
sè §t 1¯ng thù kinh 1iºn kh¡ v mët sè i to¡n hån lå thi hå sinh
giäi ¡ ĐpF
Chữỡng 2: Phữỡng phĂp bĐt ng thực Cauchy-Schwarz
rong hữỡng n y tổi xin trẳnh y mởt số kián thự ỡ Ên và Đt 1ng
thự guhyEhwrzD mởt số kắ thuêt sỷ dửng Đt 1ng thự guhyE
hwrz v ¡ i to¡n hån lå thi hå sinh giọi Ă ĐpF
0Ã Ăn 1ữủ thỹ hiằn v ho n th nh tÔi rữớng 0Ôi hồ uy xhỡn dữợi
sỹ hữợng dăn ừ F xguyạn xgồ uố hữỡngF u 1Ơy tổi muốn d nh
iv
líi £m ìn h¥n th nh v sƠu sư 1án F xguyạn xgồ uố hữỡngF
hƯy hẵnh l ngữới 1Â 1nh hữợngD tÔo mồi 1iÃu kiằn thuên lủi nhĐt v
ho tổi nhỳng nhên xt quỵ Ău 1º tæi â thº ho n th nh 1· ¡n vợi hiằu
quÊ o nhĐtF
ổi ụng xin php gỷi lới Êm ỡn hƠn th nh 1án quỵ thƯy ổ 1Â giÊng
dÔy lợp hÔ sắ ng nh hữỡng phĂp toĂn sỡ Đp ừ rữớng 0Ôi hồ uy
xhỡnD 1 iằt l quỵ thƯy ổ uho oĂn E hống kảD nhỳng ngữới 1Â ho
tổi kián thựD qun tƠmD 1ởng viảnD nhiằt tẳnh giúp 1ù tổi trong suốt quĂ
trẳnh hồ têp ụng nh÷ trong thíi gin thü hi»n 1· t iF
gi ịng tỉi xin ph²p gûi líi £m ìn 1án gi 1ẳnh v nhỳng ngữới Ôn
luổn qun tƠmD giúp 1ù v 1ởng viản tổi trong suốt quÂng 1ữớng hồ têp
vứ quF
w dũ tổi 1Â rĐt ố gưng hồ họiD tẳm tỏi v nghiản ựu trong quĂ
trẳnh ho n th nh 1à ĂnD những do hÔn há và thới gin v trẳnh 1ở nản
trong 1Ã Ăn văn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõtF Đt mong nhên 1ữủ
sỹ gõp ỵ ừ quỵ thƯy ổ v Ă Ôn 1ồ 1º 1· ¡n 1÷đ ho n thi»n hìnF
fẳnh 0nhD thĂng IH nôm PHPQ
Håc vi¶n thüc hi»n
Lả Nh Quyản
1
Chữỡng 1
Phữỡng phĂp bĐt ng thực
AM-GM
rong hữỡng n y húng tổi trẳnh y hựng minh Đt 1¯ng thù ewE
qw ho P i¸nD Q i¸n v n iánF xgo i rD húng tổi ỏn sỷ dửng Đt 1¯ng
thù ewEqw 1º hùng minh ¡ §t 1¯ng thù kinh 1iºn kh¡ v mët sè
i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §pF
1.1 B§t ¯ng thùc AM-GM
xởi dung hẵnh ừ phƯn n y l phĂt iu v hựng minh Đt 1ng thự
ewEqw ho trữớng hủp P iánD Q ián v n iánF
1.1.1 BĐt ng thực AM-GM cho 2 bián
nh lỵ 1.1 @RA. Cho hai số thüc khỉng ¥m a, b. Khi â
a+b √ @IFIA
≥ ab.
2
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b.
Chùng minh. f§t 1¯ng thự @IFIA tữỡng 1ữỡng vợi
(a + b)2 ab a2 + b2 + 2ab ≥ 4ab
4
⇔ a2 + b2 − 2ab ≥ 0 ⇔ (a − b)2 ≥ 0.
fĐt 1ng thự trản hin nhiản 1úngF
0ng thự xÊy r khi v h¿ khi a = b.
2
1.1.2 B§t ¯ng thùc AM-GM cho 3 bián
ữỡng tỹ nhữ trảnD t õ th phĂt iu Đt 1ng thự ewEqw ho Q
ián nhữ suX
nh lỵ 1.2. Cho ba sè thüc khỉng ¥m a, b, c. Khi â
a + b + c √3 @IFPA
≥ abc.
3
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.
Chùng minh. 0°t x = √3 √ a, y = 3 b, z = √3 c.
uhi 1â x, y, z ≥ 0 v x + y + z ≥ 0F
f§t 1¯ng thù õ sè thü a, b, c khæng ¥m quy v· §t 1¯ng thù
õ sè thü x, y, z khỉng ¥mF
x3 + y3 + z3 − 3xyz ≥ 0
⇔ (x + y)3 − 3xy(x + y) + z3 − 3xyz ≥ 0
⇔ (x + y + z) (x + y)2 − (x − y)z + z2 − 3xy(x + y + z) ≥ 0
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy − xz − yz) − 3xy(x + y + z) ≥ 0
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) ≥ 0
⇔ (x + y + z) (x − y)2 + (y − z)2 + (x − z)2 0.
fĐt 1ng thự trản luổn 1úng vợi mồi x, y, z ≥ 0.
0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi x = y = zD hy a = b = c.
1.1.3 BĐt ng thực AM-GM cho n bián
u khi hóng tỉi ph¡t iºu v hùng minh Đt 1ng thự ewEqw ho
P ián v Q ián thẳ su 1Ơy húng tổi phĂt iu trữớng hủp tờng quĂt n
iánF riằn ny õ rĐt nhiÃu Ăh hựng minh Đt 1ng thự ew E qw ho
n ián những dữợi 1Ơy l hi Ăh m tổi tƠm 1ư nhĐtF
3
nh lỵ 1.3 @RA. Cho cĂc sè thüc khỉng ¥m a1, a2, . . . , an. Khi â
a1 + a2 + ... + an ≥ √n a1a2 . . . an. @IFQA
n
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = . . . = an.
Chùng minh. hùng minh §t 1¯ng thù theo hi Ăh suF
CĂch 1:
rin nhiản Đt 1ng thự 1úng vợi n = 2
qiÊ sỷ Đt 1ng thự 1¢ ho 1óng ho nD t âX
a1 + a2 + ... + an ≥ √n a1.a2...an.
n
uhi 1â
a1 + a2 + . . . + a2n ≥ n√n a1a2 . . . an + n√n an+1an+2 . . . a2n
≥ 2 n.√n a1a2 . . . ann√n an+1an+2 . . . a2n
= 2n 2√n a1a2 . . . a2n.
êy Đt 1ng thự 1úng vợi 2n.
fĐt 1ng thự 1úng vợi n t hựng minh 1ữủ Đt 1ng thự ụng
1úng vợi n 1.
hêt vêy Ăp dửng Đt 1ng thự ho n số vợi an = √
n−1 a1a2 . . . an−1.
a1 + a2 + . . . + an ≥ n a1a2 . . . an−1 n−√1 a1a2 . . . an−1
n
= n (a1a2 . . . an−1) n−1 n
= √ . . . an−1
n−1 a1a2
= an.
⇔ a1 + a2 + . . . an ≥ nan
⇔ a1 + a2 + . . . an−1 ≥ (n − 1)an
4
⇔ a1 + a2 + . . . an−1 ≥ n−√1 a1a2 . . . an−1.
n1
êy Đt 1ng thự 1ữủ hựng minh xongF
hĐu ơng xÊy r khi v h¿ khi a1 = a2 = . . . = an.
C¡ch 2: ²t h m
f (x) = ex−1 − x.
â
f ′(x) = ex1 1.
hạ thĐy f (1) = 0 v f (x) 1ời dĐu tứ Ơm sng dữỡng khi 1i qu 1im
x = 1 nản t õ th kát luên f (x) â gi¡ trà nhä nh§t l f (1) = 0.
uy r ex−1 − x ≥ 0, hy x ex1 vợi mồi số thỹ x Đt kẳF
fƠy giớD xt mởt dÂy Ă số thỹ khổng Ơm x1, x2, . . . , xn vợi trung ẳnh
ởng x1 + x2 + . . . + xn = α
n
p dưng §t 1¯ng thù x ≤ ex−1 vø hùng minh ð tr¶nD t â
x1 . x2 . . . xn ≤ e α x1 −1.e α x2 −1 . . . e α xn −1 = e α α α x1 −1+ x2 −1+...+ xn −1
αα α
tù l x1 . x2 . . . xn ≤ e α x1+x2+...+xn −n = en−n = e0 = 1.
αα
ứ 1ƠyD t 1ữủ
x1x2 . . . xn ≤ αn, hy √n x1x2 · · · xn ≤ α.
h§u 1¯ng thù x£y r khi v h¿ khi x1 = x2 = . . . = xn > 0.
H» qu£ 1.1 @TA. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a1, a2, . . . , an. Khi â
11 1 n2 @IFRA
+ +...+ ≥ .
a1 a2 an a1 + a2 + . . . + an
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = . . . = an.
Chùng minh. heo §t 1¯ng thù ewEqwD t âX
a1 + a2 + . . . + an ≥ n√n a1a2 . . . an > 0, @IFSA
5
1 + 1 + . . . + 1 ≥ n n 1 . 1 . . . 1 > 0, @IFTA
a1 a2 an a1 a2 an
ø @IFSA v @IFTA suy r 1i·u ph£i hùng minhF
H» qu£ 1.2 @f§t 1¯ng thù ewEqw â trångD TA. Cho a1, a2, . . . , an l
cĂc số thỹc khổng Ơm.
1. Náu m1, m2, . . . , mn l cĂc số nguyản dữỡng. Ta câ
m1a1 + m2a2 + . . . + mnan ≥ am1 m2 m 1 a2 . . . an n m1+m21+...+mn .
m1 + m2 + · · · + mn
2. Cho a1, a2, . . . , an l c¡c sè thüc d÷ìng v n sè húu t¿ d÷ìng i1, i2, . . . in
n
sao cho ik = 1. Ta câ
k=1
a1i1 + a2i2 + . . . + anin ≥ a1i1a2i2 . . . ainn.
Chùng minh. IF qi£ sû a1, a2, · · · , an l ¡ sè thü khỉng ¥m v gåi
m1, m2, · · Ã , mn l Ă số nguyản dữỡngF uhi 1õ
a1 + a1 + · · · + a1 + a2 + a2 + · · · + a2 + · · · + an + an + · · · + an
m1 m2 mn
m1 + m2 + · · · + mn
1
m1 +m2 +···+mn
≥ a1a1 · · · a1a2a2 · · · a2 · · · anan · · · an .
m1 m2 mn
fĐt 1ng thự 1ữủ viát lÔi nhữ su
m1a1 + m2a2 + Ã Ã Ã + mnan ≥ am1 m2 m 1 a2 · · · an n m1+m21+···+mn .
m1 + m2 + · · · mn
n
PF ¼ ik = 1D ik l sè húu t¿ d÷ìng
k=1
xản tỗn tÔi Ă số nguyản dữỡng m1, m2, · · · , mn so ho
ik = mk
m1 + m2 + · · · + mn
6
uhi 1â
a1i1 + a2i2 + · · · + anin
= a1m1 + · · · + anmn
m1 + m2 + · · · + mn m1 + m2 + · · · + mn
= a1m1 + a2m2 + · · · + anmn
m1 + m2 + · · · + mn
ø @IA t â
a1m1 + a2m2 + · · · + anmn ≥ ai1 i2 i 1 a2 · · · ann
m1 + m2 + · · · + mn
ry
a1i1 + a2i2 + · · · + anin ≥ a1i1a2i2 · · · ainn.
Nhªn x²t 1.1. f§t 1¯ng thù ewEqw h¿ ¡p dưng 1÷đ ho ¡ sè
khỉng ¥mF
f§t 1¯ng thù ewEqw l §t 1¯ng thù quen thuở nhĐtD õ tƯm
ựng dửng rởng rÂi trong ¡ ë mỉn õ to¡n hå sì §pF 0° i»t l
dịng 1º hùng minh §t 1¯ng thùD sü th nh ỉng õ vi» ¡p dưng
§t 1¯ng thù ew!qw 1º hùng minh ¡ i to¡n v· §t 1¯ng thù
ho n to n phư th v o sỹ linh hoÔt ừ tứng ngữới sỷ dửng ¡h
hån ¡ sè a1, a2, · · · , an.
1.1.4 BĐt ng thực AM-GM suy rởng
nh lỵ 1.4 @TA. Cho a1, a2, . . . , an l c¡c sè thüc khỉng ¥m v p1, p2, . . . , pn
l cĂc số thỹc dữỡng cõ tờng bơng 1. Khi â ta câ
p1a1 + p2a2 + . . . + pnan ≥ a1p1a2p2 . . . apnn.
Chùng minh. x¸u p1a1 + p2a2 + . . . + pnan = 0 th¼ t â a1 = a2 = . . . =
an = 0 v §t 1¯ng thù hiºn nhiản 1úngF
t trữớng hủp p1a1 + p2a2 + . . . + pnan > 0,
7
0°t a = p1a1 + p2a2 + . . . + pnan > 0. âX a = ap1+p2+...+pn,
ho 1â §t 1ng thự trản õ th viát lÔi th nh
a1 p1 a2 p2 an pn
a ... ≤ 1.
a a
û dưng §t 1¯ng thù p ≤ ep−1, t âX a1 ≤ eaa1 −1,
ø 1â suy rX a1 p1 ≤ e a1p1 a −p1 a .
a
ro n to n t÷ìng tüD t ông âX
a2 p2 ≤ e a2p2 a −p2, . . . , an pn ≤ e anpn a −pn.
a a
xhƠn Ă Đt 1ng thự trản lÔi theo v¸D t suy rX
a1 p1 a2 p2 an pn a a1p1+a2p2+...+anpn −(p1+p2+...+pn) 1−1
a ... ≤e = e = 1.
a
a
fĐt 1ng thự ewEqw suy rởng 1ữủ hựng minhF
1.1.5 Mët sè v½ dư
V½ dư 1.1 @RA. gho a, b, c l ¡ sè thü khỉng ¥mF ghùng minh r¬ng
a2 + b2 + c2 a + b + c
≥ .
b+c a+c a+b 2
Líi gi£i. û dưng §t 1¯ng thù ewEqwD t â
a2 b + c a2 b + c
+ ≥2 . = a,
b+c 4
b+c 4
b2 a + c b2 a + c
+ ≥2 . = b,
a+c 4 a+c 4
c2 a + b c2 a + b
+ ≥2 . = c.
a+b 4 a+b 4
gởng theo vá Đt 1ng thự trản t 1ữủ
a2 + b2 + c2 a + b + c
+ ≥ a + b + c.
b+c a+c a+b 2
8
ry a2 b2 c2 a + b + c
+ + ≥ .
b+c a+c a+b 2
0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a = b = c. @1pmA
Nhªn x²t 1.2. 0Ơy l dÔng i têp 1Ănh giĂ 1im rỡi tứ ew sng qwF
xáu mợi tiáp xú qu Đt 1ng thự ewEqw thẳ õ th nhên xt rơng
viằ tẳm r 1¡nh gi¡
a2 b + c a2 b + c
+ ≥2 . =a
b+c 4 b+c 4
â v mng nhiÃu tẵnh my mưnF xhững khổng phÊi vêyD 1iºm rìi õ §t
a2 a
1ng thự trản tÔi a = b = c. uhi 1â b + c = 2, hóng t tÔo r mởt iu
thự 1 vứ õ giĂ tr ơng a, vứ õ th loÔi 1ữủ mău ừ iu thù
2
a2
.
b+c
rìn núD hi vá ừ Đt 1ng thự l 1ỗng ê ID tứ 1õ dạ d ng nhên
r iu thự thảm v o ph£i l b + c.
4
û dưng k¸t qu£ i n y t â thº l m i to¡n suX
V½ dư 1.2 @swy IWWSD SA. gho a, b, c l Ă số thỹ khổng Ơm thọ mÂn
abc = 1. ghùng minh r¬ng
1 1 1 3
a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) ≥ 2.
Líi gi£i. fĐt 1ng thự Ưn hựng minh tữỡng 1ữỡng
abc abc abc 11 1 1
a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) ≥ 2 a + b + c
1 1 1
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ 1 111
1+1 1+1 1+1 2 ++
bc ac ab
abc
0°t
111
x = ,y = ,z = ,
abc
9
t quy tr lÔi ẵ dử IFIF
f i toĂn trð th nh hùng minh
P= x3yz y3zx z3xy 3
+ + ≥
y+z z+x x+y 2
⇔ x2 + y2 + z2 3
≥
y+z z+x x+y 2
xhªn x²t 1iºm rìi ð i n y l X x = y = z = 1
ø 1â t â
x2 y + z y2 z + x z2 x + y
+ ≥ x; + ≥ y; + ≥z
y+z 4 z+x 4 x+y 4
gëng v¸ theo v¸ t 1÷đ
P≥ x+y+z 3
≥.
2 2
hĐu ơng xÊy r khi v h¿ khi x = y = z = 1.
V½ dư 1.3 @sndi PHHPD QA. gho a, b, c l Ă số thỹ khổng ƠmF ghựng
minh rơng
a b c a+b b+c c+a
++ ≥ + + .
b c a c+a a+b b+c
Líi gi£i. 0°t a b c
b = x, = y, = z.
c a
uhi 1â a + b 1 + yz 1−y
= =y+
c+a 1+z 1+z
f i to¡n quy v· vi» hùng minh
x−1 y−1 z−1
+ + ≥0
y+1 z+1 x+1
⇔ x2 − 1 (z + 1) + y2 − 1 (x + 1) + z2 − 1 (y + 1) ≥ 0
⇔ x2z + z2y + y2x + x2 + y2 + z2 ≥ x + y + z + 3
10
heo §t 1¯ng thù ewEqw t â
x2z + z2y + y2x ≥ 3 3 x3y3z3 = 3
x2y2z2 ≥ (x + y + z)2 ≥ x + y + z @v¼ x + y + z ≥ 3A
3
0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a = b = c
Nhên xt 1.3. 0 ỵ rơng iu thự vá phÊi ừ Đt 1ng thự hự
php ởng giỳ hi ián Ê tỷ v mău nản viằ sỷ dửng Đt 1ng thự
ewEqw mởt Ăh trỹ tiáp l vổ ũng khõ khônF ho 1õ phữỡng Ăn 1ời
ián 1 tÔo r Đt 1ng thự mợi l tối ữu nhĐtF
fƠy giớD húng t s xt tợi mởt kắ thuêt mợi trong viằ hựng minh Đt
1ng thự ơng ewEqwD 1õ l kắ thuêt 1Ănh giĂ phừ 1nhF uắ thuêt n y
1ữủ dịng 1º hùng minh mët sè §t 1¯ng thù khi Ăp dửng trỹ tiáp
ewEqw thẳ ngữủ dĐu rĐt hiằu qu£F
V½ dư 1.4 @SA. gho a, b, c l Ônh ừ tm giĂ ABCD giÊ sỷ dỹng
tm giĂ ABC vợi 1ở d i Ônh a + b , b + c , c + a. ghùng minh r¬ng
222
9
SA′B′C′ ≥ 4 SABC .
Líi gi£i. ¼ a = y + z, b = z + x, c = x + y n¶n 1ë d i ¡ Ônh ừ tm
giĂ ABC l
a = x + 2y + 3z , b′ = 3x + y + 2z , c′ = 2x + 3y + z
2 2 2
û dưng ỉng thù reron 1º t½nh diằn tẵh tm giĂD t 1ữủ
SABC = 3(x + y + z)(2x + y)(2y + z)(2z + x)
.
16
û döng §t 1¯ng thù ew E qw t â
2x + y ≥ 3 3 x2y
2y + z ≥ 3 3 y2z
√ 2z + x ≥ 3 3 z2x
11
uy r
SA′B′C′ ≥ 3(x + y + z)27(xyz) 9
16 = 4SABC.
f i toĂn 1Â 1ữủ hựng minh xongF
Nhên xt 1.4. rản 1Ơy l mởt vẵ dử ho Đt 1ng thự ewEqw 1 giÊi
quyát Ă i toĂn liản qun 1án hẳnh hồF u 1ƠyD húng tổi xt thảm
hi vẵ dử và dĐu ơng khổng 1ối xựng trong Đt 1ng thự ewEqwF u
1õD t s thĐy hát 1ữủ v 1àp v sỹ tinh tá ừ Đt 1ng thựF
Vẵ dö 1.5. gho a, b, c l ¡ sè thü khổng Ơm thọ mÂn a + b + c = 3.
ghùng minh r¬ng
√ √ √
a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 ≤ 5.
Líi gi£i. â
√ √ √
a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 = a (b + 1)(b2 − b + 1)
+ b (c + 1)(c2 − c + 1) + c (a + 1)(a2 − a + 1)
≤ a. b2 + 2 c2 + 2 a2 + 2
+ b. + c.
2 2 2
= ab2 + bc2 + ca2 +3
2
¦n hùng minh
ab2 + bc2 + ca2 ≤ 4 @IFUA
qi£ sû b l sè n¬m giú hi sè a, c. â
a(b − a)(b − c) ≤ 0
⇔ ab2 + a2c ≤ a2b + abc
⇒ ab2 + bc2 + ca2 ≤ a2b + abc + bc2 = b(a2 + ac + c2)
≤ b(a + c)2 = 1.2b.(3 − b)2
2
1 2b + 3 − b + 3 − b 3
≤. = 4.
2 3
12
uy r 1i·u ph£i hùng minhF
0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a = 0, b = 1, c = 2 v ¡ ho¡n vàF
Nhªn x²t 1.5. g¡i khâ trong v½ dư n y l 1¡nh gi¡ 1ữủ Đt 1ng thự
@IFUAF xgo i Ăh 1Ănh giĂ nhữ trảnD 1 hựng minh @IFUA õ th dũng
phữỡng phĂp dỗn ián và iảnF
Vẵ dử 1.6 @QA. gho a, b, c l ¡ sè thü 1æi mët kh¡ nhu thuë [0; 2]F
ghùng minh r¬ng
1 1 1 9
P = (a − b)2 + (b − c)2 + (c a)2 4.
Lới giÊi. uhổng mĐt tẵnh têng qu¡t gi£ sû 2 ≥ a > b > c ≥ 0. heo §t
1¯ng thù ew E qw t â
(a − b)2 1 + (a − b) + (a − b) ≥ 3 (a − b)2 3 1 .(a − b).(a − b) = 3 @IFVA
(b − c)2 1 + (b − c) + (b − c) ≥ 3 (b − c)2 3 1 .(b − c).(b − c) = 3
gởng hi vá Đt 1ng thự trản theo v¸ t â
1 1
(a − b)2 + (b − c)2 + 2(a − c) ≥ 6
1
⇒ P ≥ (a − c)2 − 2(a − c) + 6
g¦n hùng minh
1 9 @IFWA
P ≥ (a − c)2 − 2(a − c) + 6 ≥ 4.
¼ 2 ≥ a > b > c ≥ 0 n¶n
1 9
0 < a − c ≤ 2 ⇒ P ≥ 22 − 2.2 + 6 = 4
ªy P ≥ 9. 0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a = 2, b = 1, c = 0 v ¡
4
ho¡n vàF
13
Nhªn x²t 1.6. rong i toĂn trảnD náu Ăp dửng lƯn Đt 1ng thù
@IFVA ho i¸n (a − b), (b − c), (c a) thẳ Đt 1ng thự s rỡi v o ngó
ửtD khổng th 1i tiápF 0án lú dăn 1án Đt 1ng thự @IFWA l Đt 1ng
thự mởt ián thẳ i toĂn 1Â tr nản 1ỡn giÊnD t nghắ ngy 1án phữỡng
phĂp khÊo sĂt h m số trản 1oÔnF
1.2 Sû dưng b§t ¯ng thùc AM-GM trong chùng
minh b§t ¯ng thùc
xëi dung hẵnh ừ phƯn n y l dũng Đt 1ng thù ew E qw hùng
minh ¡ §t 1¯ng thù kinh 1iºn kh¡F
B i to¡n 1.1 @f0 guhyEhwrzD IA. ỵi hi dÂy số thỹ tũy ỵ
a1, a2, Ã Ã Ã , an v b1, b2, · · · , bn t â
(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n)(b21 + b22 + · · · + b2n) @IFIHA
0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a1 = a2 = · · · = an .
b1 b2 bn
n
Chùng minh. x¸u ai2 = 0 th¼ t â a1 = a2 = · · · = an = 0 v @IFIHA
i=1
hiºn nhi¶n 1óngF
n
ữỡng tỹ nhữ vêy vợi trữớng hủp bi2 = 0
i=1 n
n
bi2 > 0. vĐy ôn ê hi hi
fƠy giớD t xt tr÷íng hđp ai2 > 0 v
i=1 i=1
n n
v¸ õ @IFIHAD su 1â hi £ hi v¸ ho a2i b2i , t 1÷đ
i=1 i=1
n aibi
≤ 1,
i=1 n n
a2i b2i
i=1 i=1
14
ợi 1ƠyD sỷ dửng tẵnh hĐt và dĐu giĂ tr tuyằt 1ối kát hủp vợi §t 1¯ng
thù ew E qwD t â
n aibi ≤ n |ai| |bi|
i=1 n n i=1 n n
a2i b2i a2i b2i
i=1 i=1 i=1 i=1
n 2 b2i
1 ai
≤ n +
2 n
i=1 a2
i
b2
i
i=1 i=1
1n n ai2 + 1 n b2i
= 2
a2i i=1 n
2 i=1
bi2
i=1 i=1
11
= + = 1.
22
B i toĂn 1.2 @f0 rÔolderD IA. gho m, n l hi số nguyản dữỡng v
xij(i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n) l ¡ sè thỹ dữỡng tũy ỵF qiÊ sỷ
1, 2, à à à , ωn l ¡ sè d÷ìng so ho ω1 + ω2 + . . . + ωn = 1. uhi 1â t
â
(x11 + . . . + xm1)ω1 (x12 + . . . + xm2)ω2 . . . (x1n + . . . + xmn)ωn
≥ xω1xω2 . . . xωn + xω1xω2 . . . xωn + . . . + xω1 xω2 . . . xωn
11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn
Chùng minh. 0°t yi = x1i+x2i+. . .+xmi v yji = xji vỵi i = 1, 2, . . . , n; j =
yi
1, 2, . . . , m th¼ t â y1i + y2i + . . . + ymi = 1
xω1xω2 . . . xωn + xω1xω2 . . . xωn + . . . + xω1 xω2 . . . xωn =
11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn
= yω1yω2 . . . yωn yω1yω2 . . . yω2 + yω1yω2 . . . yωn + . . . + yω1 yω2 . . . yωn
12 n 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn
