Lịch sử các phép chứng minh và một số áp dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHẠM NGUYỄN TÚ UYÊN

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TÊN ĐỀ TÀI

LỊCH SỬ CÁC PHÉP CHỨNG MINH VÀ MỘT SỐ
ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH

CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113
Khoá: 24

Người hướng dẫn: TS. MAI THÀNH TẤN

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHẠM NGUYỄN TÚ UYÊN

LỊCH SỬ CÁC PHÉP CHỨNG MINH VÀ MỘT
SỐ ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH
NHÂN

Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 8460113

Người hướng dẫn: TS. MAI THÀNH TẤN

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu i

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Trung bình nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân . . . . . . . . 5

2 Lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân 11

2.1 Các chứng minh trước năm 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Các chứng minh được công bố giữa năm 1901 đến 1934 . . . . . . . . . 15

2.3 Các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965 . . . . . . . . . 18

2.4 Các chứng minh được công bố giữa năm 1966 đến 1970. . . . . . . . . . 26

2.5 Các chứng minh được công bố giữa năm 1971 đến 1988 . . . . . . . . . 29

2.6 Các chứng minh được công bố sau năm 1988. . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân 44
3.1 Các bài tốn về tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Các bài toán về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Chứng minh các bất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

1

Mở đầu

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hay và khó nhất của chương trình tốn
phổ thơng bởi nó có mặt ở hầu hết các lĩnh vực của tốn học và nó địi hỏi phải có
một vốn kiến thức tương đối vững vàng trên tất cả các lĩnh vực. Mỗi người chúng ta
nói chung và những người u tốn nói riêng, dù ít dù nhiều thì cũng từng đau đầu
trước một bài tốn về bất đẳng thức khó và cũng từng có một cảm giác tự hào và
phấn khích khi chính mình chứng minh được một bất đẳng thức nào đó. Nhằm “kích
hoạt” niềm say mê bất đẳng thức cho học sinh, và cũng xuất phát từ niềm say mê của
chính bản thân mình, tơi thực hiện nghiên cứu đề tài về bất đẳng thức, cụ thể là về
các chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân (cịn được gọi tắt là
bất đẳng thức AM - GM) và ứng dụng của nó. Bên cạnh đó, lịch sử cũng cho thấy đã
có nhiều nhà tốn học có những đóng góp quan trọng cho những cách chứng minh này

như Maclaurin, Cauchy, Liouville, . . . cùng với đó là sự ứng dụng rộng rãi của những
chứng minh này trong việc giải toán từ sơ cấp đến cao cấp và đặc biệt là trong các
đề thi học sinh giỏi các cấp. Chính vì thế, tơi nhận thấy việc nghiên cứu về các chứng
minh bất đẳng thức AM – GM có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó giúp tơi có cái nhìn
tốt hơn trong việc định hướng ôn tập và hơn hết là “kích hoạt” niềm say mê ở lĩnh vực
này cho học sinh. Vậy nên tôi lựa chọn đề tài “Lịch sử các phép chứng minh và một số
áp dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân” cho đề án thạc sĩ của
mình.

Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình: trung bình cộng và trung bình nhân là
một trong những bất đẳng thức kinh điển và quen thuộc của tốn học, có nhiều mở
rộng và áp dụng vào các chương trình bồi dưỡng nâng cao tốn phổ thơng cho học
sinh. Có nhiều khố luận đã tập trung tìm hiểu chun sâu về các dạng mở rộng và
các ứng dụng của bất đẳng thức này. Tuy nhiên, tơi nhận thấy rằng, việc tìm hiểu lịch

i

ii

sử các chứng minh đi kèm với sự đa dạng về kỹ thuật và các kiến thức liên quan cũng
giúp ích nhiều trong việc bồi dưỡng chuyên môn của một giáo viên tốn bậc trung học
phổ thơng. Có nhiều tài liệu trên thế giới chứng minh về bất đẳng thức AM – GM
trong nhiều lĩnh vực tốn học, trong đó có cuốn sách Handbook of Means and Their
Inequalities của P.S.Bullen [1] – có đề cập đến một số cách chứng minh bất đẳng thức
trung bình cộng – trung bình nhân và được tơi chọn làm tài liệu tham khảo chính.
Ngồi ra, một số mở rộng kinh điển và các ứng dụng từ bất đẳng thức này cũng được
tơi quan tâm tìm hiểu và tuyển chọn.

Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được bố cục thành 3 chương:
Chương 1:

Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về trung bình cộng, trung bình nhân và bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân như định nghĩa, định lý và các
tính chất của chúng.
Chương 2:

Trình bày về lịch sử các chứng minh của bất đẳng thức trung bình cộng và trung
bình nhân, các chứng minh sẽ được trình bày theo thứ tự ra đời của chúng. Gồm có:
Các chứng minh được cơng bố trước năm 1901, các chứng minh được công bố giữa
năm 1901 đến 1934, các chứng minh được công bố giữa năm 1935 đến 1965, các chứng
minh được công bố giữa năm 1966 đến 1970, các chứng minh được công bố giữa năm
1971 đến 1988 và các chứng minh được công bố sau năm 1988.
Chương 3:

Trình bày về các ứng dụng của bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân,
cũng như cho thấy tầm quan trọng của chúng trong các bài tốn tính tốn thơng
thường, các bài tốn về tập hợp, về xác suất, hay áp dụng vào để chứng minh các bất
đẳng thức khác, ...

Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy T.S Mai Thành Tấn,
người ln nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tơi trong q trình nghiên cứu và thực hiện để
tơi có thể hồn thành đề án này. Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với q thầy cơ
trong khoa Tốn và Thống kê, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn,
đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học tốn khóa 24. Cuối
cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ,

iii

giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tơi học thạc sĩ cũng như
hồn thành đề án này. Trong thời gian ngắn hoàn thành đề án, chắc chắn khơng tránh

được được những sai sót cũng như thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý, phê
bình quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1 Trung bình cộng

Định nghĩa 1.1.1. Nếu a = (a1, . . . , an) là một bộ n số thực dương thì trung bình

cộng của a là

An(a) = a1 + . . . + an = 1 n (1.1.1)
n n
ai .

i=1

Giá trị trung bình này là giá trị trung bình đơn giản nhất và cho đến nay là phổ

biến nhất. Trong thực tế đối với một người khơng phải là nhà tốn học đây có lẽ là

khái niệm duy nhất để tính trung bình cộng một tập hợp số. Trung bình cộng của hai

số a và b, (a + b)/2 được biết và sử dụng bởi người Babylon vào năm 7000 trước công

nguyên, và xảy ra ở một số bối cảnh trong các tác phẩm của trường phái Pitago, thế

kỷ thứ sáu - thứ năm trước công nguyên. Aristotle, cũng trong thế kỷ thứ sáu trước

cơng ngun, đã sử dụng trung bình cộng nhưng khơng đặt cho nó cái tên này. Một

cách giải thích khác nảy sinh từ việc hình dung phép cộng là sự tiếp giáp của hai đoạn

thẳng. Khi đó, câu hỏi được đặt ra là đoạn thẳng nào khi tiếp giáp với chính nó sẽ tạo

ra độ dài bằng với độ dài tiếp giáp của hai đoạn thẳng đã cho. Ý tưởng của trung bình

cộng cũng được tìm thấy trong khái niệm trọng tâm được sử dụng bởi Heron, và trước

đó bởi Archimedes vào thế kỷ thứ ba trước công nguyên.

Trong ký hiệu được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.1, bộ số n có thể được thay thế

bằng một số công thức cụ thể như An (a1, . . . , an), hoặc An (ai, 1 ≤ i ≤ n). Hơn nữa

nếu n = 2 hậu tố được bỏ qua trừ khi nó thì cần thiết để tránh nhầm lẫn. Do đó ta sẽ

1

2

viết A(a), khi n = 2. Khi không bị nhầm lẫn thì a, hoặc chỉ số dưới n, hoặc cả hai có
thể được bỏ qua.
Quy ước 1: Nếu a là một bộ n số với n ≥ 2, và nếu 1 ≤ m ≤ n, Am(a) được viết là

Am(a) = a1 + . . . + am .
m

Quy ước 2: Các ký hiệu khác nhau được giới thiệu ở trên sẽ được áp dụng trong các

ngữ cảnh khác nhau xuyên suốt luận văn này.
Quy ước 3: Tất cả các bộ số sẽ dương trừ khi có phát biểu cụ thể khác, tức là nếu a
là một bộ số thì trừ khi có phát biểu khác, a ∈ (R∗+)n.

Một số tính chất cơ bản về số trung bình của bộ các số dương a được liệt kê trong
định lý sau.

Định lý 1.1.2. Nếu h, a, a + h, b là các bộ n số và λ > 0 thì số trung bình A tương
ứng có các tính chất sau:

(Ad) Tính phân phối

An(a + b) = An(a) + An(b).

(As) Tính kết hợp

An(a) = An ( Am, . . . , Am, am+1, . . . , an) , 1 ≤ m ≤ n.

(Co) Tính liên tục lim An(a + h) = An(a).
(Ho) Tính thuần nhất
h→0

An(λa) = λAn(a), λ > 0.

(In) Tính nội bộ

min a ≤ An(a) ≤ max a. (1.1.2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng, tức là các thành phần của a không đổi.

(Mo) Tính đơn điệu
Nếu a ≤ b thì An(a) ≤ An(b). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

3

(Re) Tính phản xạ Nếu a là hằng, tức là ai = a, 1 ≤ i ≤ n, thì An(a) = a.

(Sy) Tính đối xứng
An (a1, . . . , an) khơng đổi nếu hốn vị các phần tử của a.

Nhận xét 1.1.3. Rõ ràng là bất đẳng thức 1.1.2 khẳng định cho tên gọi của giá trị
trung bình. Nếu các bất đẳng thức là “nghiêm ngặt”, thì tính chất (In) sẽ được gọi là
tính nội hàm nghiêm ngặt.

Nhận xét 1.1.4. Khái niệm “đơn điệu” cũng có thể được xem xét một cách chặt chẽ,
đơn điệu nghiêm ngặt, khi các đẳng thức không xảy ra.

Tiếp theo, ta đi xét một khái niệm tổng quát của số trung bình: trung bình cộng
có trọng số. Định nghĩa số trung bình cộng cho bộ n số a chứa trọng số w như sau.

Định nghĩa 1.1.5. Cho hai bộ số a, w, trung bình cộng có trọng số của a với trọng

số w là

An(a; w) = w1a1 + . . . + wnan = 1n wiai, (1.1.3)

w1 + . . . + wn W n i=1

ở đây Wn = w1 + · · · + wn.

Có thể dễ dàng kiểm tra rằng giá trị trung bình với trọng số có tất cả các tính chất
được liệt kê trong Định lý 1.1.2 ngoại trừ tính chất (Sy). Thay vào đó, giá trị trung
bình này có tính chất sau:

(Sy*) Tựa đối xứng: An(a; w) không đổi nếu a và w được hoán vị đồng thời, tức là:

An (a; w) = An (w; a)

Chú ý 1.1.6. Từ nay ta sẽ kí hiệu Wn là tổng của các phần tử trong bộ số w cho
trước.

Nhận xét 1.1.7. Tên gọi trung bình cộng thường sẽ đề cập đến (1.1.3), cơng thức
(1.1.1) là trung bình cộng với các trọng số bằng nhau.

4

Tính nội bộ của bất đẳng thức trong (1.1.2) cho trung bình cộng có trọng số được
đưa ra trong kết quả sau.

Bổ đề 1.1.8. (a) Nếu a, b và w là các bộ n số với các phần tử khác 0, thì
min a.b−1 ≤ An(a; w) ≤ max a.b−1 .
An(b; w)

(b) Nếu Wn = 1 và n ≥ 2, thì

min w √ai − √aj 2 .
max a − An(a; w) ≥
n + 1 1≤i
Chứng minh. (a) Đặt m = min a.b−1 và M = max a.b−1 , với a.b−1 := ai

bi 1≤i≤n

khi đó m ≤ ai ≤ M, 1 ≤ i ≤ n,
hoặc bi

mwibi ≤ aiwi ≤ M wibi, 1 ≤ i ≤ n,

tính tổng trên theo i, khi đó ta được điều phải chứng minh.

(b) Gọi S(a) là hiệu giữa vế trái và vế phải của bất đẳng thức trong bổ đề 1.1.12 (b),

ta phải chứng minh rằng S(a) ≥ 0. Đặt w = min w, và khơng mất tính tổng quát

giả sử rằng a đang giảm. Khi đó,

√ai − √aj n √aiaj
2

= (n − 1) ai − 2

1≤i
n

≤ (n − 1) ai − 2 min (ai, aj)

i=1 1≤i
n

= (n + 1 − 2i)ai.

i=1

Vì vậy S(a) = a1 − An (a; w′), trong đó w′i = wi + n+1 n+1−2i w, 1 ≤ i ≤ n, và w′n = 1.
Do đó bởi (1.1.2), S(a) ≥ 0 ta có điều phải chứng minh.

5

1.2 Trung bình nhân

Trung bình nhân là một giá trị trung bình quen thuộc đã được sử dụng trong một
thời gian dài. Giống như trung bình cộng, nó xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều
bài toán đại số và hình học đơn giản, một số trong số đó được tìm thấy ở các cơng
trình của Euclid. Cái tên hình học có lẽ dựa trên bức tranh của người Hy Lạp về phép
nhân hai số dưới dạng tính diện tích hình chữ nhật. Sau đó, người ta đặt ra câu hỏi số
nào nhân với chính nó sẽ tạo ra một hình vng có cùng diện tích với hình chữ nhật
có được bằng cách nhân hai số đã cho.

Định nghĩa 1.2.1. Nếu a = (a1, . . . , an) là một bộ n số dương thì trung bình nhân

của a là

Gn(a) = √n a1 · a2 . . . an = n 1/n (1.2.1)

ai .

i=1

Định nghĩa 1.2.2. Cho hai bộ số a, w trung bình nhân có trọng số của a với trọng

số w, với Wn = w1 + w2 + ... + wn là

Gn(a; w) = n 1/Wn (1.2.2)

aiwi .

i=1

Định lý 1.2.3. Trung bình nhân có các tính chất của (Co), (Ho), (M o), (Re), (Sy∗), (Sy).

Trong trường hợp trọng số bằng nhau, có thêm tính nội tại nghiêm ngặt và (As) với

mọi m, tính chất thay thế. Hơn nữa,

Gn(a.b; w) = Gn(a; w)Gn(b; w), (1.2.3)

(Gn(a; w))r = Gn (ar; w) , với mọi r ∈ R. (1.2.4)

Nhận xét 1.2.4. Một trường hợp đặc biệt đơn giản của (1.2.3) là:
Gn a−1; w = (Gn(a; w))−1 .

1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân

Mặc dù bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ở dạng đơn giản
nhất, có lẽ đã được biết đến từ thời cổ đại, kết quả chung cho trung bình có trọng số

6

của n số dường như lần đầu tiên xuất hiện trên báo in vào thế kỷ 19, trong các ghi chú
về khóa học của Cauchy được đưa ra tại Ecole Royale, mặc dù một số kết quả trước
đó của Newton cũng có liên quan đến bất đẳng thức này.

Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức AM - GM). Cho hai bộ n số dương a và w. Khi đó

Gn(a; w) ≤ An(a; w). (GA)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các thành phần trong bộ số a đều bằng nhau.

Trước khi chứng minh Định lý 1.3.1, ta sẽ xét một số bổ đề sau đây.
Đầu tiên ta xét (GA) trong dạng đơn giản nhất, và đưa ra một số chứng minh về
kết quả rất cơ bản này.

Bổ đề 1.3.2. Nếu a và b là các số thực dương thì

√ a+b
ab ≤ .
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Bổ đề 1.3.3. Nếu a, b là các số thực dương, khi đó bất đẳng thức

aαbβ ≤ αa + βb

sẽ đúng trong các trường hợp sau:

(a) α và β dương và có tổng bằng 1.

(b) α < 0 hoặc α > 1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.3.1 có thể được suy ra từ trường hợp trọng số
bằng nhau.

Bổ đề 1.3.4. Chỉ cần chứng minh Định lý 1.3.1 cho trường hợp các trọng số bằng
nhau.

7

Chứng minh. Thật vậy, giả sử Định lý 1.3.1 đã được chứng minh với bộ trọng số là các
số bằng nhau w, các đối số số học đơn giản ngay lập tức dẫn đến trường hợp trọng số
hữu tỷ, khi đó (GA) với số thực tổng quát w theo sau bởi một đối số giới hạn.

Để hoàn thành chứng minh, cần chỉ ra rằng nếu a khơng phải là hằng thì (GA) là
nghiêm ngặt.

Giả sử rằng không phải tất cả các trọng số đều hữu tỷ và viết wi = ui + vi, trong
đó ui ≥ 0 và vi ∈ N∗+, 1 ≤ i ≤ n. Theo (GA), Gn(a; u) ≤ An(a; u), cũng vì a khơng
phải là hằng, theo Định lý 1 ta có các trọng số hữu tỷ, Gn(a; v) < An(a; v). Vì vậy

Gn(a; w) = (Gn(a; u))Un/Wn (Gn(a; v))Vn/Wn

< (An(a; u))Un/Wn ( An(a; v))Vn/Wn

≤ Un An(a; u) + Vn An(a; v)
Wn Wn

= An(a; w).

Bây giờ ta đưa ra một kết quả nổi tiếng của Cauchy. Nó cho phép chứng minh Định
lý 1.3.1 được rút gọn thành trường hợp của các bộ số với n thuộc dãy tăng nghiêm
ngặt nào đó, thường là nk = 2k, k ∈ N∗, và là một phần của chứng minh (GA) của
Cauchy.

Bổ đề 1.3.5. Nếu Định lý 1.3.1 đã được chứng minh cho một số nguyên dương cụ thể
thì nó đúng với mọi số ngun dương nhỏ hơn.

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.3.4 chỉ cần xét Định lý 1.3.1 trong trường hợp các trọng
số bằng nhau là đủ. Giả sử kết quả đúng khi n = m, với k ∈ N∗, 1 ≤ k < m và a là
một k-bộ số dương. Định nghĩa m-bộ số b bởi



 a i , nếu 1 ≤ i ≤ k,
 nếu k < i ≤ m.

bi =

 A = Ak(a; w),


Theo giả thiết, Gm(b; w) ≤ Am(b; w), bất đẳng thức này là nghiêm ngặt trừ khi b

là hằng. Bất đẳng thức này dễ thấy là,

(Gk(a))Wk/Wnn (A)(1−Wk)/Wn ≤ Am(b; w) = A.

8

Hoặc Gk(a) ≤ A = Ak(a), và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng.
Nhận xét 1.3.6. Theo Bổ đề 1.3.5 để chứng minh bất đẳng thức (GA) chỉ cần chứng
minh rằng nếu 0 < n1 < n2 < . . . , limk→∞ nk = ∞ thì giả thiết về tính đúng của (GA)
với n = nk suy ra tính đúng của nó với n = nk+1. Ta có thể hình thức hóa điều này
thành ngun lý quy nạp tốn học Cauchy.
Định lý 1.3.7 (Nguyên lý quy nạp Cauchy). Giả sử n0 ∈ N∗ và P (n) là một mệnh đề
chứa biến theo số nguyên n ≥ n0 sao cho:

(a) P (n0) đúng.

(b) Nếu P (k) đúng với một vài k ≥ n0 thì tồn tại một số nguyên nk > k sao cho P (nk)
đúng.

(c) Nếu P (k) đúng với bất kỳ k > n0 thì P (k − 1) đúng.

Khi đó P (n) đúng với mọi n ≥ n0.

Trước khi chuyển sang các chứng minh của (GA) ta đưa ra một số dạng đặc biệt
đơn giản của bất đẳng thức đó có các ứng dụng hình học thú vị.

Bổ đề 1.3.8. Định lý 1.3.1 tương đương với một trong hai điều sau

(a) Nếu a là một bộ số sao cho i=1 n ai = 1 thì i=1 n ai ≥ n, dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi a là hằng.

(b) Nếu a là một bộ số sao cho i=1 n ai = 1 thì i=1 n ai ≤ (1/n)n, dấu “=” xảy ra khi
và chỉ khi a là hằng.

Chứng minh. Trong cả hai trường hợp sự kéo theo là tầm thường. Thật vậy, giả sử

rằng giả thiết của (a) đúng. Đặt a là bộ số dương bất kỳ, định nghĩa b = a1 G , . . . , an G .
Rõ ràng i=1 n bi = 1, và do đó bởi (a) i=1 n bi ≥ n. Điều này theo định nghĩa của b chỉ

là A ≥ G.

Giả sử rằng (b) đúng, đặt a là bộ số dương bất kỳ, định nghĩa c = a1 n A , . . . , an n A .

Rõ ràng i=1 n ci = 1, và do đó bởi (b) n ci ≤ (1/n)n. Điều này theo định nghĩa của
i=1

c chỉ là G ≥ A.

Do đó hoặc (a) hoặc (b) là đủ để suy ra bất đẳng thức (GA) trong trường hợp trọng

số bằng nhau, mà theo Bổ đề 1.3.4 là đủ để chứng minh bổ đề này.

9

Nhận xét 1.3.9. Cả hai kết quả đều cổ điển và các chứng minh có thể được tìm thấy
ở nhiều nơi.

Cả hai phần của bổ đề này đều có những diễn giải hình học đơn giản.

Hệ quả 1.3.10. (a) Trong tất cả n-hình hộp có thể tích đã cho, hình hộp có chu vi
nhỏ nhất là n-hình lập phương.

(b) Trong tất cả n-hình hộp có chu vi đã cho, hình hộp có thể tích lớn nhất là n-hình
lập phương.

Hệ quả 1.3.11. Trong tất cả các phép chia của khoảng [0, 1] thành n khoảng con, phép
chia thành các khoảng con bằng nhau là phép chia có tích các khoảng là lớn nhất.

Bổ đề 1.3.12. (a) Trong trường hợp n = 3 bất đẳng thức (GA) tương đương với mệnh
đề: Trong tất cả các tam giác có chu vi cho trước, tam giác đều có diện tích lớn
nhất.

(b) Trong trường hợp n = 3 bất đẳng thức (GA) với bốn bộ số, tổng của ba bộ số bất
kỳ trong số đó lớn hơn bộ số thứ tư thì tương đương với mệnh đề: Trong tất cả các
tứ giác nội tiếp có chu vi đã cho, hình vng có diện tích lớn nhất.

Chứng minh. (a) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, s = (a + b + c)/2
là nửa chu vi của nó, khi đó theo cơng thức của Heron, diện tích của nó là A =
s(s − a)(s − b)(s − c). Khi tam giác đều thì diện tích này là A0 = s2/3√3. Theo
(GA) trong trường hợp n = 3 và trọng số bằng nhau,
A = √s( 3 (s − a)(s − b)(s − c))3/2 ≤ √s (s − a) + (s − b) + (s − c) 3/2
3
s2
= √ = A0.
33

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi s − a = s − b = s − c, hoặc a = b = c.
Ngược lại nếu a1, a2, a3 là ba số dương bất kỳ, định nghĩa a, b, c bởi a1 =
s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, trong đó s như trên là (a + b + c)/2. Khi đó các phép
tính đơn giản cho thấy s = a1+a2+a3 nên a = s−a1 = a2+a3, b = a3+a1, c = a1+a2
là dương và hơn nữa a + b − c, b + c − a, c + a − b cũng dương, 2a3, 2a1, 2a2 tương

10

ứng sao cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Bây giờ sử dụng các bất đẳng
thức trên, ta được

A 2/3 A0 2/3
G3 (a1, a2, a3) = √ ≤ √ = s/3 = A3 (a1, a2, a3) .
s s

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a1 = a2 = a3.

(b) Gọi a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác nội tiếp, s = (a + b + c + d)/2 là nửa
chu vi của nó, khi đó theo cơng thức của Brahmagupta, diện tích của nó là A =
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d). Khi tứ giác là hình vng thì diện tích này là A0 =
s2/4. Lưu ý rằng 4− bộ số a1 = s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, a4 = s − d có tính
chất cần có trong các giả thiết - tổng của ba bộ số bất kỳ lớn hơn bộ số thứ tư -
áp dụng trọng số bằng nhau (GA) trong trường hợp đặc biệt này để có được

A = ( 4 (s − a)(s − b)(s − c)(s − d))2 ≤ (s − a) + (s − b) + (s − c) + (s − d) 2
4

s2
= 4 = A0.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi s − a = s − b = s − c = s − d, hoặc a = b = c = d.

Ngược lại nếu a1, a2, a3, a4 là bốn số dương bất kỳ thỏa mãn giả thiết rằng
tổng của ba số bất kỳ lớn hơn số thứ tư xác định như trong (a), a, b, c, d bởi
a1 = s − a, a2 = s − b, a3 = s − c, a4 = s − d, trong đó s như trên là (a + b + c + d)/2.
Khi đó các phép tính đơn giản cho thấy 2s = a1 + a2 + a3 + a4 nên 2a = 2s − 2a1 =
a2 +a3 +a4 −a1 > 0 và tương tự b, c và d đều dương. Hơn nữa a+b+c−d = 2a4 > 0,
b + c + d − a = 2a1 > 0, c + d + a − b = 2a2, d + a + b − c = 2a3 sao cho a, b, c, d là

các cạnh của một tứ giác nội tiếp. Bây giờ sử dụng các bất đẳng thức trên.

G4 (a1, a2, a3, a4) = A1/2 ≤ A01/2 = s/2 = 2s/4 = A4 (a1, a2, a3, a4) .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d, hoặc a1 = a2 = a3 = a4.
Lưu ý rằng Bổ đề 4 cho thấy (GA) với các trọng số bằng nhau và một bộ số đã
cho suy ra trường hợp tổng quát cho cùng bộ số hoàn thành chứng minh.

Chương 2

Lịch sử các chứng minh của bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân

Trong chương này, chúng tơi trình bày lại các chứng minh định lý AM-GM, trong
phạm vi được biết đến, sắp xếp theo thứ tự thời gian. Có khoảng bảy mươi bốn chứng
minh được đưa ra trong tài liệu tham khảo [...], nhưng trong đề án này, chúng tôi lựa
chọn một số chứng minh cho các dạng bất đẳng thức AM-GM tiêu biểu.

2.1 Các chứng minh trước năm 1901

(i) Chứng minh của Maclaurin vào khoảng năm 1729
Chứng minh. Giả sử rằng 0 < a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an, a1̸ = an. Nếu a1 và an được thay thế
bằng (a1 + an) /2 thì số trung bình cộng tương ứng A không thay đổi, nhưng dễ dàng
thấy rằng số trung bình nhân G được tăng lên. Nếu bộ số a được biến đổi sao cho A
không đổi và trong số các bộ số như vậy a′ là bộ số sao cho G đạt giá trị cực đại, lập
luận trên cho thấy a′ phải là một hằng. Do đó giá trị cực đại của G đạt được khi tất
cả các số hạng của a bằng nhau và giá trị cực đại này bằng A.

Về sự tồn tại của a′ mà G đạt giá trị cực đại đã được coi là hiển nhiên trong chứng

minh của Maclaurin. Bước bị thiếu này sau đó được được Hardy bổ sung bằng một

11

12

trong hai lập luận sau đây:

(a) Sử dụng một điều hiển nhiên rằng một hàm liên tục, ϕ, được xác định trên một

tập hợp compact K, đạt giá trị cực đại trên tập hợp đó. Trong trường hợp này,

nếu x = (x1, . . . , xn),

n 1/n n

ϕ(x) = x1 ; K = x; xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, và xi = n A .

i=1 i=1

(b) Sau k bước trong chứng minh của Maclaurin, ta ký hiệu bộ số kết quả bởi a(k) và
giả sử nó tăng dần. Rõ ràng

a1(k) ≤ a1(k+1) ≤ . . . ≤ an(k+1) ≤ an(k).

Do đó limk→∞ ak1 và limk→∞ ank đều tồn tại, ký hiệu lần lượt là a, A. Khơng khó
để nhận thấy rằng sau n bước, sự khác biệt tối đa trong dãy đã được giảm đi ít
nhất một nửa; tức là

và vì vậy limk→∞ an(k) − a1(k) an(n) − a1(n) ≤ an − a1

2

= 0, hoặc A = a.

(ii) Chứng minh của Cauchy vào năm 1821

Chứng minh. Chứng minh cơ bản này phụ thuộc vào một lập luận quy nạp phức tạp
và bao gồm việc chứng minh (GA) cho tất cả các số nguyên n có dạng 2k, k ∈ N∗.

Giả sử kết quả đã được biết cho k = m và cho a = (a1, . . . , a2m) , b = (b1, . . . , b2m)
và C = (c1, . . . , c2m+1) = (a, b) = (a1, . . . , a2m, b1, . . . , b2m). Bây giờ

G2m+1(c) = G2m(a)G2m(b),

≤ A2m(a)A2m(b), (theo giả thiết quy nạp) (2.1.1)

≤ A (A2m(a), A2m(b)) theo (GA) cho trường hợp n = 2, Bổ đề 1.3.3 (2.1.2)

= A2m+1 (c).

13

Đẳng thức xảy ra ở (2.1.1), theo giả thiết quy nạp, khi và chỉ chi a và b đều là

hằng, lần lượt ký hiệu là a và b, và tại (2.1.2), bằng nhau khi và chỉ khi a = b, điều đó

có nghĩa là dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi c là hằng.

Giả sử (GA) đúng với tất cả các số nguyên nhỏ hơn n và đặt a = (a1, . . . , an−1, x),

và xét hàm f (x) = Ann(a) − Gnn(a). Khi đó

f ′(x) = An−1 n (a) − Gn−1 n−1(a) = n−1 An−1(a) + x n−1 n−1
− Gn−1(a).
n n

Điều này cho thấy rằng f ′ tăng, hơn nữa f ′ = 0 khi x = x′, tại đó x′ = nGn−1(a) −
(n − 1)An(a). Do đó f có một điểm cực tiểu duy nhất tại x′, và giá trị của điểm cực
tiểu này là f (x′) = (n − 1)Gnn−−11(a) (An−1(a) − Gn−1(a)), và theo giả thiết quy nạp
f (x′) ≥ 0.

Vì vậy f ≥ 0, điều này hoàn thành chứng minh trừ trường hợp bằng nhau. Để
f (x) = 0 ta cần cả x = x′ và f (x′) = 0. Theo giả thiết quy nạp f (x′) = 0 khi và chỉ
khi a1 = . . . = an−1 = a, khi đó x′ = a và chứng minh được hoàn thành.

(iii) Chứng minh của Thacker năm 1851

Chứng minh. Chứng minh quy nạp này dựa trên bất đẳng thức Bernoulli.

Bổ đề 2.1.1. (Bất đẳng thức Bernoulli) Nếu x ≥ −1, x̸ = 0, và nếu 0 < α < 1 thì
(1 + x)α < 1 + αx. Nếu α > 1 hoặc α < 0, tất nhiên là khi x̸ = −1, thì bất đẳng thức
ngược lại với bất đẳng thức Bernoulli vẫn đúng.

Khi đó 1+ a2 + . . . + an + (1 − n)a1 n ,
Ann(a) = a1n
≥ a1 na1

a2 + . . . + an n−1 n
, ( bởi Định lý 1.3.1, với α = )
n−1 n−1

≥ a1Gn−1 n−1(a) = Gnn(a), (sử dụng giả thiết quy nạp).

Hơn nữa, bất đẳng thức này là nghiêm ngặt trừ khi a là hằng.

(iv) Chứng minh của Hurwirtz năm 1891

Chứng minh. Nếu f là một hàm bất kì n biến, đặt P = (f (a1, . . . , an)) = !f (ai1, . . . , ain),
tổng tất cả các giá trị của f theo các hoán vị của bộ (a1, . . . , an). Ta xét minh hoạ cho

14

hai trường hợp đặc biệt như sau:
Ví dụ 2.1.2. (a) Nếu f (a1, . . . , an) = a1a2 . . . an thì

P (a1a2 . . . an) = n! (a1a2 . . . an) = n!Gn (an) .

(b) Nếu f (a1, . . . , an) = an1 thì
P (an1 ) = (n − 1)! (an1 + a2n + . . . + ann) = n!An (an) .

Với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1, ta định nghĩa hàm ϕk, xác định bởi

ϕk = P a1n−k + . . . + a2n−k (a1 − a2) a3a4 . . . ak+1 .

Khi đó, dễ dàng nhận thấy, ϕk = P a1n−k−1 + . . . + a2n−k−1 (a1 − a2)2 a3a4 . . . ak+1 ,
và vì vậy nếu a là bộ các số dương và không phải là bộ hằng, ϕk > 0, 1 ≤ k ≤ n − 1
trong khi nếu a là hằng thì ϕk = 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. Hay

ϕk = 2 P a1n−k+1a2 . . . ak − P a1n−ka2 . . . ak+1 .

Và do đó, tổng hợp qua k bước ta được k=1 n−1 ϕk = 2 (P (a1n) − P (a1 . . . an)). Vì vậy,
từ nhận xét ban đầu,

An (an) − Gn (an) = 1 n−1 ϕk ≥ 0.

2(n!) k=1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a là hằng.

Nhận xét 2.1.3. Chứng minh này thú vị vì đây là lần đầu tiên nó đưa ra giá trị chính
xác của hiệu An (an) − Gn (an).

(v) Chứng minh của Crawford năm 1900

Chứng minh. Đây là một biến thể của chứng minh (i), có thể thấy là phức tạp hơn
nhưng phép chứng minh sử dụng nhiều các phép tính cơ bản.

Giống như chứng minh (i), cho bộ số a sao cho 0 < a1 ≤ . . . ≤ an, a1̸ = an và định
nghĩa a′ bằng cách thay đổi a1 thành An(a) = A và an thành a1 + an − A, phần còn
lại của ai′ = ai. Khi đó An (a′) = A và