Một số bất đẳng thức trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————–

NGUYỄN THỊ THANH HOA THUẬN

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN
THANG THỜI GIAN

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

————————–

NGUYỄN THỊ THANH HOA THUẬN

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN
THANG THỜI GIAN

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS. NGUYỄN THU HÀ
PGS.TS. ĐINH THANH ĐỨC

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài “Một số bất đẳng thức trên thang thời gian” tôi xin cam
đoan là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Thu Hà và PGS.TS Đinh Thanh Đức trong thời gian qua.
Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là phân
tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng đã được trích
dẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung và chưa được cơng bố dưới
bất kỳ hình thức nào. Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nếu có sự khơng
trung thực trong thơng tin sử dụng trong kết quả nghiên cứu này.

Ngày 28 tháng 11 năm 2023
Học viên

Nguyễn Thị Thanh Hoa Thuận

LỜI CẢM ƠN
Đế án này được thực hiện tại Khoa Toán và thống kê, trường Đại học
Quy Nhơn và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thu Hà và
PGS. TS. Đinh Thanh Đức. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt
vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và
chỉ bảo tơi trong suốt quá trình thực hiện đề tài đề án này. Tôi xin trân
trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Ban chủ nhiệm
khoa Toán và thống kê cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo
mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp và người thân
đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên
cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cơ trường Đại học Quy
Nhơn thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao

đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành
cảm ơn!

Quy Nhơn, ngày 28 tháng 11 năm 2023

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục
Danh sách các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Hàm hồi quy, hàm chính quy và hàm liên tục . . . . . . . . 7

1.3 Đạo hàm Delta trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Tích phân Delta trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Độ đo ∆ trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2 Tích phân Delta trên thang thời gian . . . . . . . . . 11

1.5 Hàm mũ trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Một số bất đẳng thức cổ điển trên thang thi gian 16

2.1 Bt ng thc Hoălder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Bt ng thc Hăolder trờn thang thi gian . . . . . . 17

2.1.2 Mở rộng của bất ng thc Hăolder cho nhiu tha s 20

2.1.3 M rng bt ng thc Hoălder cho s m õm . . . . 25

2.1.4 M rng bt ng thc Hoălder cho tích phân có trọng
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.5 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Bất đẳng thức Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng cổ điển . . . . . . . . 32

2.2.2 Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Minkowski . 34

2.2.3 Bất đẳng thức tích phân Minkowski ngược . . . . . . 40

2.3 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và ứng dụng 46
3.1 Bất đẳng thức Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hardy trong phương trình vi
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Kết luận và kiến nghị 68


Danh sách các ký hiệu

N, R = Tập tất cả các số tự nhiên, số thực .
T = Thang thời gian.
Tk = T \ {M } nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái;
bằng T trong các trường hợp còn lại.

Tt0 = {t ∈ T : t ⩾ t0}.
Crd(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục.
Cr+d(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là dương và rd-liên tục.
R(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy, xác định trên T
R+(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy dương, xác định trên T
CrdR(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục và hồi quy.
GL(Rm) = Tập các tự đẳng cấu tuyến tính của khơng gian Rm.

Km×n = Tập tất cả các m × n−ma trận có các phần tử thuộc K.
L(X) = Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X.

Ln = Nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [−iπ, iπ).
Lloc p Tt0, Rn = Tập các hàm f : Tt0 → Rn khả tích địa phương bậc p trên Tt0.

1

Lời mở đầu

Bất đẳng thức là một trong những chủ đề quan trọng của tốn học, nó

khơng chỉ là một phần kiến thức nền rất quan trọng, một loại bài toán
hay và khó có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập ở chương trình Tốn
học phổ thơng mà cịn được sử dụng nhiều trong toán học hiện đại để ước
lượng, đánh giá nghiệm hệ động lực,... Bất đẳng thức có hai dạng: dạng
rời rạc ứng với thang thời gian rời rạc liên quan đến các dãy số và dạng
liên tục liên quan đến liên quan đến tích phân trên đường thẳng thực hoặc
trong khơng gian. Cách trình bày và các chứng minh các kết quả của hai
dạng này trong nhiều trường hợp khá tương tự nhau. Từ đó, nảy sinh ý
tưởng thống nhất các sự trình bày của hai loại này thành bất đẳng thức
trên thang thời gian nói chung. Ngồi ra, việc sử dụng bất đẳng thức có
trong hầu hết các bài toán nghiên cứu, đánh giá nghiệm của hệ động lực
dưới rời rạc và liên tục. Trong tốn sơ cấp, nó cũng là chủ đề dành được
rất nhiều sự quan tâm của học sinh và giáo viên phổ thơng. Có rất nhiều
sách và tài liệu tham khảo viết về bất đẳng thức hay như của các tác giả
trong và ngoài nước như R.Bellman, E.Beckenbach [2] và B. G.Pachpatte
[7], tác giả Nguyễn Vũ Lương hay Phan Huy Khải, ...

2

Mặt khác, trong những năm gần đây, lý thuyết về thang thời gian, với
cái tên “Giải tích trên thang thời gian”, được Stefan Hilger giới thiệu nghiên
cứu của mình nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc [6]. Ngay khi lý
thuyết này ra đời, nó đã nhận được rất nhiều sự quan tâm. Cho đến nay,
có rất nhiều sách và bài báo viết về phương trình động lực trên thang thời
gian như [1], [3],[4],... Nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục
và rời rạc đã được "chuyển" và làm "tổng quát" cho thang thời gian. Đây
là bài tốn đáng được quan tâm và cũng đã có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu về vấn đề này như [5]. Bản đề án này cũng nghiên cứu về bất đẳng
thức trên thang thời gian nhằm thống nhất cách trình bày bất đẳng thức
dạng rời rạc và liên tục cũng như phát triển chúng thành các bất đẳng thức

tổng quát hơn. Thơng qua đó, ta cũng thấy được vai trị của nó trong tốn
học hiện đại và tốn học phổ thơng.

Đề án bao gồm ba chương với nội dung cụ thể như sau. Chương 1 ta
trình bày về thang thời gian, giải tích trên thang thời gian với các định
nghĩa và tích chất của đạo hàm, tích phân và hàm mũ trên thang thời gian.
Nội dung chính của chương này được dựa trên tài liệu [3]. Trong chương 2,
ta phân tích, tổng hợp và đưa ra các chứng minh về các bất đẳng thức cổ
điển trên thang thời gian như bất đẳng thức Holder, Mincopski, Jensen, ta
cũng phân tích để thấy rõ mối liên hệ của các bất đẳng thức đó trên các
thang thời gian khác nhau như thời gian rời rạc T = Z , thời gian liên tục
khi T = R và một số thang thời gian khác dựa trên tài liệu [5]. Cuối cùng,
ở chương 3, ta trình bày về bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và

3

ứng dụng của nó với việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình động
lực trên thang thời gian. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề án,
tác giả đã cố gắng rất nhiều, tuy nhiên có thể vẫn cịn một số hạn chế nhất
định nên đề án vẫn không tránh khỏi một số thiếu sót nhỏ. Tác giả xin
tiếp thu mọi ý kiến nhận xét và trao đổi của các nhà toán học, độc giả và
những người quan tâm đến vấn đề này.

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian, một

số loại hàm số định nghĩa trên thang thời gian như hàm chính quy, hàm
hồi quy, hàm rd-liên tục và khái niệm ∆−đạo hàm và ∆−tích phân của
một hàm xác định trên thang thời gian. Bên cạnh đó ta cũng định nghĩa
phép biến đổi trụ và sử dụng phép biến đổi trụ để đưa ra khái niệm hàm
mũ suy rộng trên thang thời gian và các tính chất của hàm mũ trên thang
thời gian T.

Những định nghĩa và định lý được trình bày trong chương này được xem
như một giới thiệu tổng quan về thang thời gian mà hầu hết trong số đó
ta có thể tìm thấy trong cuốn sách [3] của các tác giả M. Bohner và A.
Peterson, đây là một trong những tài liệu viết đầy đủ và chi tiết nhất về
thang thời gian và phương trình động lực trên thang thời gian.

5

1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

Định nghĩa 1.1.1. Thang thời gian là một tập con đóng tùy ý khác rỗng
của tập các số thực R, ký hiệu T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời
gian T có một tơpơ mà nó được cảm sinh từ tơpơ trên tập các số thực R
với tôpô tiêu chuẩn.

Định nghĩa 1.1.2. Cho thang thời gian T, với mỗi t ∈ T, ta định nghĩa
toán tử nhảy tiến và toán tử nhảy lùi như sau:

i) Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf{s ∈ T : s > t},
ii) Toán tử nhảy lùi: ρ : T −→ T, ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.

Ta quy ước: nếu t = max T thì σ(t) = t; nếu t = min T thì ρ(t) = t.
Định nghĩa 1.1.3. Điểm t ∈ T gọi là điểm cô lập phải nếu σ(t) > t, trù

mật phải nếu t < sup T và σ(t) = t, cô lập trái nếu ρ(t) < t, trù mật trái
nếu t > inf T và ρ(t) = t. Điểm vừa là cô lập phải vừa là cô lập trái gọi là
điểm cô lập, điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm trù
mật .

Định nghĩa 1.1.4. Hàm số µ : T → R+ xác định bởi µ(t) = σ(t)−t, t ∈ T
gọi là hàm hạt của thang thời gian T.

Ký hiệu (a, b)T = {t ∈ T : a < t < b}. Để cho đơn giản, ngoại trừ những
trường hợp cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta viết (a, b); (a, b]; [a, b); [a, b]
thay cho (a, b)T; (a, b]T; [a, b)T; [a, b]T.

6

Nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất M là điểm cơ lập trái thì ta
đặt Tk = T \ {M }; và Tk = T trong các trường hợp còn lại. Chẳng hạn,
[a, b]k = [a, b] nếu b là điểm trù mật trái và [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] nếu b
là cơ lập trái.
Ví dụ 1.1.5.

i) Khi T = R thì σ(t) = t = ρ(t), và µ(t) ≡ 0, với mọi t ∈ T.
Khi T = Z thì σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − 1 và µ(t) ≡ 1, với mọi t ∈ T.

ii) Cho h > 0 là một số cố định. Thang thời gian hZ được xác định như
sau:

hZ = {hn : n ∈ Z} = {· · · , −3h , −2h , −h , 0 h , 2h , 3h , · · · }.

Ta có σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h và µ(t) ≡ h, với mọi t ∈ T.
iii) Cho a, b > 0 là các số thực cố định. Xác định thang thời gian Pa,b bởi

Pa,b = ∪∞ k=0[k(a + b), k(a + b) + a].
Khi đó, nếu t ∈ ∪∞ k=0[k(a + b), k(a + b) + a), thì t là những điểm trù mật
phải nên

σ(t) = t, ρ(t) = t, µ(t) = 0.
Nếu t ∈ ∪∞ k=0{k(a + b) + a}, thì t là những điểm cô lập phải nên

σ(t) = t + b, ρ(t) = t − b, µ(t) = b.

iv) Cho n ∈ N0, các số điều hòa Hn được xác định như sau:
n1

H0 = 0, Hn = k .

k=1

7

Khi đó, H = {Hn : n ∈ N0} là một thang thời gian với

n+1 1 n−1 1 1
σ(Hn) = k , ρ(H1) = 0, ρ(Hn) = k , (n ⩾ 2), và µ(Hn) = n + 1.

k=1 k=1

1.2 Hàm hồi quy, hàm chính quy và hàm liên tục

Định nghĩa 1.2.1. Cho K là trường số thực hoặc phức. Hàm p: T −→ K
được gọi là hồi quy nếu 1 + µ(t)p(t)̸ = 0 với mọi t ∈ Tk.

Gọi R = R(T, K) là tập hợp tất cả các hàm hồi quy p : T −→ K. Trên
R(T, K) ta định nghĩa phép toán ⊕ được xác định bởi

(p ⊕ q)(t) := p(t) + q(t) + µ(t)p(t)q(t).

(p ⊖ q)(t) = p(t) − q(t) , với mọi p, q ∈ R.

1 + µ(t)q(t)

Chú ý, ta hiểu (p ⊖ q)(t) chính là (p ⊕ ⊖q)(t). Ta chú ý rằng, nếu p, q ∈ R

thì ⊖p, ⊖q, p ⊕ q, p ⊖ q ∈ R. Khi đó, tập hợp R(T, K) cùng với phép tốn

⊕ lập thành một nhóm Abel. Ta gọi R(T, K) là nhóm hồi quy.

Hệ quả 1.2.2. Tập các phần tử hồi quy dương của R(T, R), xác định bởi

R+ = R+(T, R) = {p ∈ R(T, R) : 1 + µ(t)p(t) > 0, với mọi t ∈ Tk},

là một nhóm con của R(T, R).

Vì tơpơ trên thang thời gian T được cảm sinh từ tôpô tiêu chuẩn trên
đường thẳng thực, nên khái niệm hàm liên tục được đưa ra một cách tự
nhiên như trên đường thẳng thực R. Tuy nhiên, trên thang thời gian có

8

một số loại điểm đặc thù, nên ta cũng có thêm một số khái niệm sau liên
quan đến tính liên tục của hàm số trên thang thời gian.

Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm số f : T −→ R, khi đó

1. Hàm f được gọi là chính quy nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn)
tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới hạn bên trái
(hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T.

2. Hàm f được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại các điểm trù mật
phải và tồn tại giới hạn trái hữu hạn tại các điểm trù mật trái trong
T.
Ký hiệu Crd(T, R) = {f : T → R là rd-liên tục}.

1.3 Đạo hàm Delta trên thang thời gian

Định nghĩa 1.3.1. Xét hàm số f : T −→ R. Khi đó ∆−đạo hàm của f
tại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆(t), nếu với mọi ϵ > 0 cho
trước tồn tại lân cận U của t sao cho

f (σ(t)) − f (s) − f ∆(t) σ(t) − s ⩽ ϵ|σ(t) − s|, ∀ s ∈ U.
Hàm f được gọi là ∆−khả vi hay nói ngắn gọn là khả vi trên Tk nếu
f ∆(t) tồn tại với mọi t ∈ Tk.
Định lý 1.3.2. Xét hàm số f: T −→ R và t ∈ Tk. Khi đó ta có:

i) Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t.

9

ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cơ lập phải thì f là khả vi tại t và
f ∆(t) = f (σ(t)) − f (t).
µ(t)

iii) Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn

lim f (t) − f (s) tồn tại (hữu hạn) và khi đó

s→t t − s

f ∆(t) = lim f (t) − f (s).
s→t t − s

iv) Nếu f là khả vi tại t thì f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆(t).

Nhận xét 1.3.3. Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z.

i) Nếu T = R thì hàm f : R −→ R là ∆−khả vi tại t ∈ Tk = T khi và
chỉ f khả vi theo nghĩa thơng thường tại t. Khi đó
f ∆(t) = f ′(t) = lim f (t) − f (s).
s→t t − s

ii) Nếu T = Z thì mọi hàm f xác định trên Z đều là ∆−khả vi tại
t ∈ Tk = T và f ∆(t) = ∆f (t) = f (t + 1) − f (t), ở đây ∆ là toán tử sai
phân tiến thơng thường.

Tính chất của hàm khả vi
Cho f, g : T −→ R là các hàm khả vi tại t ∈ Tk. Khi đó:

1. Hàm tổng f + g: T −→ R khả vi tại t và (f + g)∆(t) = f ∆(t) + g∆(t).
2. Với hằng số α tuỳ ý, hàm αf : T −→ R khả vi tại t và (αf )∆(t) =

αf ∆(t).

10

3. Hàm tích f g: T −→ R khả vi tại t và
(f g)∆(t) = f ∆(t)g(t) + f (σ(t))g∆(t) = f (t)g∆(t) + f ∆(t)g(σ(t)).

4. Nếu f (t)f (σ(t))̸ = 0 thì f1 khả vi tại t và (f1 )∆(t) = −f(t)f(σ(t)) f∆(t) .
5. Nếu g(t)g(σ(t))̸ = 0 thì gf khả vi tại t và ( gf )∆(t) = g(t)g(σ(t)) f∆(t)g(t)−f(t)g∆(t).

1.4 Tích phân Delta trên thang thời gian

Trong phần này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản của tích
phân trên thang thời gian. Có một số cách để định nghĩa tích phân, ta
có thể định nghĩa tích phân Riemann của một hàm bằng cách xem xét
các phân hoạch của khoảng [t0, T ] thành các khoảng con, sau đó tính tổng
Darboux và thiết lập giới hạn nếu nó tồn tại. Để biết thêm chi tiết, chúng
ta có thể tham khảo trong tài liệu [?] của tác giả Gusein Sh. Guseinov.
Ngồi ra, cũng có thể đề cập đến tích phân Lebesgue trên thang thời gian
bằng phương pháp mở rộng độ đo Carathéodory như sau

1.4.1 Độ đo ∆ trên thang thời gian

Trước hết, ta xây dựng độ đo Lebesgue trên thang thời gian T. Xét họ
tập hợp có dạng

A0 = {[a, b)T, a, b ∈ T, a ⩽ b}.
Đặt m1([a, b)) = b − a, sau đó ta thác triển độ đo này lên lớp các tập đo
được trên T bằng phương pháp Carathéodory thì nhận được độ đo m∆. Độ

11

đo này có các tính chất sau

Định lý 1.4.1. Với mỗi t0 ∈ T \ {Tmax}, tập hợp chỉ gồm một điểm {t0}

là ∆-đo được và

m∆{t0} = σ(t0) − t0. (1.1)

Vì mỗi tập con điểm đơn của T là ∆-đo được và vì mọi loại khoảng đều
có thể thu được từ một khoảng có dạng [a, b) bằng cách cộng hoặc trừ các
điểm a, b nên mỗi khoảng của T là ∆-đo được. Định lý sau đây đưa ra các
công thức để xác định độ đo ∆ của bất kỳ khoảng nào trên T.

Định lý 1.4.2. Nếu a, b ∈ T và a ⩽ b, thì

m∆[a, b) = b − a, m∆(a, b) = b − σ(a). (1.2)

Nếu a, b ∈ T \ {Tmax} và a ⩽ b, thì

m∆(a, b] = σ(b) − σ(a), m∆[a, b] = σ(b) − a. (1.3)

1.4.2 Tích phân Delta trên thang thời gian

Tích phân Lebesgue gắn với độ đo m∆ trên thang thời gianT được gọi là

∆-tích phân Lebesgue trên T. Đối với một tập ∆-đo được E ⊂ T và một

hàm đo được f : E → R, ta biểu thị tích phân của f trên E tương ứng với

b

độ đo m∆ bởi f (t)∆t. Trong trường hợp E = [a, b) ta viết f (t)∆t hoặc

E a

f (t)∆t. Dễ dàng thấy rằng mọi hàm chính quy đều khả tích vì số điểm

[a,b)

gián đoạn của nó là nhiều nhất đếm được. Đặc biệt, mọi hàm rd-liên tục

đều ∆−khả tích.

12

Với cách xây dựng tích phân Lebesgue trên thang thời gian T như thế,
tất cả các định lý của lý thuyết tích phân Lebesgue tổng qt, sẽ được bảo
tồn cho tích phân Lebesgue trên T. Tiếp theo, ta trình bày một số tính
chất cần lưu ý của tích phân trên thang thời gian.

Định lý 1.4.3. Nếu a, b ∈ T, α ∈ R và f, g ∈ Crd(T, R), thì

σ(t)

1. f (s) ∆s = f (t)µ(t), với t ∈ Tκ,

t

b b

2. f (σ(t))g∆(t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) − f ∆(t)g(t) ∆t,

a a

b b

3. f (t)g∆(t) ∆t = (f g)(b) − (f g)(a) − f ∆(t)g(σ(t)) ∆t,

a a

b b

4. Nếu |f (t)| ⩽ g(t), với mọi t ∈ [a, b), thì f (t) ∆t ⩽ g(t)∆t,

a a

b

5. Nếu f (t) ⩾ 0, với mọi t ∈ [a, b), thì f (t) ∆t ⩾ 0.

a

Ngoài ra, ta có mối liên hệ giữa tích phân trên thang thời gian và tích

phân Lebesgue trên đường thẳng thực được thể hiện bởi định lý sau

Định lý 1.4.4 ([4]). Nếu f là hàm chính quy thì

b

f (t)∆t = f (t)mes(dt) + f(t)(σ(t) − t),

a [a,b]T a⩽t
trong đó mes là độ đo Lebesgue trên khoảng [a, b]T.

Định nghĩa 1.4.5. Cho 0 < p < ∞ và a, b ∈ R. Một hàm f ∈ Crd [a, b)T, R

là khả tích bậc p trên [a, b)T và ta viết là f ∈ Lp([a, b)T) nếu

b

|f (t)|p∆t < ∞.

a