Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN
TRUNG HỌC CƠ SỞ

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN
TRUNG HỌC CƠ SỞ

Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH BÍNH

Cơng trình hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH BÍNH

Phản biện: TS. TRẦN NGỌC NGUYÊN

Đề án được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá Đề án thạc sĩ ngành Phương
pháp toán sơ cấp, ngày 17 tháng 11 năm 2023 tại Trường Đại học Quy
Nhơn.

Có thể tìm hiểu đề án tại:
- Thư viện Trường Đại học Quy Nhơn
- Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày của đề án thạc sĩ là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
kết quả nêu trong đề án, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo tính trung thực, chính xác.

Bình Định, ngày 27 tháng 11 năm 2023.
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thảo

LỜI CẢM ƠN

Trước khi đi vào nội dung của đề án, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân

thành tới tồn thể giảng viên của Khoa Toán & Thống kê của trường Đại
Học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học-Trường Đại Học Quy Nhơn
vì đã tận tâm giảng dạy kiến thức chuyên môn, hỗ trợ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho học viên trong suốt thời gian học tập, thực tập. Đồng
thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể các bạn học viên lớp Cao Học Toán
K24B, ngành Phương pháp tốn sơ cấp, vì sự gắn bó, yêu thương và giúp
đỡ lẫn nhau trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin trân trọng gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến thầy TS. Lê Thanh Bính-giảng viên của Khoa Tốn
& Thống kê-vì sự định hướng, quan tâm, động viên và sự hướng dẫn tận
tình của thầy trong suốt q trình tơi thực hiện và hồn thành đề án.

Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi những lời cảm ơn đến những người
bạn, đặc biệt là những người thân trong gia đình đã ln giúp đỡ tơi hết
mình, ln động viên, cổ vũ tinh thần và tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi
có thể hồn thành được đề án thạc sĩ.

Với sự nỗ lực hết sức của bản thân, tôi đã cố gắng để có thể hồn thành
nội dung đề án một cách tốt nhất. Tuy nhiên, do năng lực và thời gian
hạn chế, mặc dù nội dung đã được chỉnh sửa nhiều lần nhưng đề án thạc
sĩ của tôi sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót về mặt hình thức, nội
dung. Tôi xin chân thành cảm ơn nếu nhận được sự góp ý từ q thầy cơ,
các bạn bè và đọc giả để có thể hồn thiện đề án thạc sĩ được tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!.

Bình Định, ngày 27 tháng 11 năm 2023.
Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Phương Thảo

i

Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . 2
0.4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.5 Cấu trúc đề án tốt nghiệp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Phép chia hết, số nguyên tố, hợp số . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Một số dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất . . . 10

1.2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ii

1.4 Số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

NGUYÊN 19

2.1 Phương pháp dùng tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn . . . . 20

2.1.2 Dạng 2: Đưa về phương trình ước số . . . . . . . . 21

2.2 Phương pháp xét số dư của từng vế . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Dạng 1: Sắp thứ tự các ẩn . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . 31

2.3.3 Dạng 3: Chỉ ra nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4 Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ ¥ 0 để phương trình

bậc hai có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.5 Dạng 5: Phương pháp kẹp . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương . . . 38

2.4.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất về chia hết, chia có dư
của số chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2 Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng a1A21 a2A22

... anA2n  k, trong đó Ai (i  1, ..., n) là các đa

thức hệ số nguyên, ai là số nguyên dương, k là số tự

nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.3 Dạng 3: Xét các số chính phương liên tiếp . . . . . 41

iii

2.4.4 Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương . 43
2.4.5 Dạng 5: Sử dụng tính chất "Nếu hai số nguyên liên

tiếp có tích là một số chính phương thì một trong
hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0" . . . . . . . . . 45
2.4.6 Dạng 6: Sử dụng tính chất "Nếu hai số nguyên dương

nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương
thì mỗi số đều là số chính phương" . . . . . . . . . 47
2.5 Phương pháp lùi vô hạn; nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . 48
2.5.1 Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn . . . . . . . . . . 48
2.5.2 Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . . . . . . 50

3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 53
3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn với nghiệm
nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình
bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Phương trình bậc hai có hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên . . . . . . . . . . . 64
3.5 Phương trình dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Phương trình dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 MỘT SỐ BÀI TỐN VỚI NGHIỆM NGUN 70

4.1 Bài tốn về số tự nhiên và các chữ số . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Bài toán về chia hết và số nguyên tố . . . . . . . . . . . . 74

iv

4.3 Các bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Bài tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ngun 80
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu Giải thích

N Tập các số tự nhiên
Tập các số tự nhiên khác 0
N¦  Nzt0u

Z Tập các số nguyên

Z Tập các số nguyên dương
a là ước số của b
a|b a chia hết cho b

a ... b Ước số chung lớn nhất của hai số a và b
Ước số chung lớn nhất của n số a1, a2, ..., an
pa, bq
pa1, a2, ..., anq Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b
Bội số chung nhỏ nhất của n số a1, a2, ..., an
ra, bs
ra1, a2, ..., ans a đồng dư với b theo modulo n
a  b pmod nq
(tức là pa ¡ bq chia hết cho n)
n! (với n € Z ) n Ô pn Ă 1q Ô pn Ă 2q ¤ ¤ ¤ 1

1

MỞ ĐẦU

0.1 Lí do chọn đề tài

Phương trình và bài tốn với nghiệm nguyên là một đề tài lí thú của Số
học và Đại số, có sức lơi cuốn với nhiều người, từ các học sinh nhỏ tuổi
với các bài toán như Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn
với các bài toán nổi tiếng như Định lý lớn Fermat. Được bắt đầu nghiên
cứu từ thời Điôphăng ở thế kỷ thứ III, nhưng có thể nói các phương trình
và bài tốn với nghiệm ngun vẫn ln ln là đối tượng nghiên cứu của
tốn học.

Ngồi phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài tốn tìm nghiệm ngun
thường khơng có phương pháp giải tổng qt. Mỗi bài tốn, với giả thiết
riêng của nó, sẽ u cầu một cách giải riêng phù hợp. Đó là dạng tốn địi
hỏi khả năng phản xạ nhanh và chính xác, khả năng lí luận chặt chẽ và
lơgic. Chính vì thế, dạng tốn về giải phương trình nghiệm nguyên giúp
phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo cho các em học sinh bậc Trung học
cơ sở (THCS) và bậc Trung học phổ thơng (THPT). Các dạng bài tốn
tìm nghiệm ngun thường xun xuất hiện tại các kì thi học sinh giỏi từ
lớp 6 đến lớp 9 và thi vào lớp 10 các trường THPT chuyên.

Qua nhiều năm dạy học ở trường THCS, tôi nhận thấy học sinh thường
lúng túng trước việc lựa chọn phương pháp để giải các bài tốn về phương
trình nghiệm ngun, hoặc lựa chọn phương pháp giải không tối ưu dẫn

2

đến lời giải khá phức tạp. Do vậy, tôi đã chọn đề tài "Một số phương
pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong chương trình toán
trung học cơ sở" cho đề án tốt nghiệp nhằm mục đích giúp bản thân

tơi và đồng nghiệp có thêm tư liệu và kinh nghiệm về dạy tốn THCS nói
chung và dạy dạng tốn giải phương trình nghiệm ngun nói riêng. Từ
đó, tơi có thể giúp các em học sinh có sự tự tin và hứng thú với các bài
tập giải phương trình nghiệm ngun.

0.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm cung cấp cho học sinh giỏi toán các lớp 8-9 những
phương pháp thường sử dụng để giải phương trình với nghiệm nguyên và
giúp cho học sinh có kĩ năng vận dụng chúng vào giải từng dạng tốn tìm
nghiệm ngun. Cũng thơng qua đề tài này nhằm giúp học sinh có thói
quen tìm tịi trong học tốn và sáng tạo khi giải tốn. Từ đó tạo cho học
sinh có phương pháp học tập đúng đắn, biến cái đã học thành kiến thức
và kĩ năng của bản thân. Qua đó giúp các em tạo niềm tin, hưng phấn và
hứng thú và say mê học mơn tốn.

Mặc dù khơng thể hệ thống một cách tồn diện, đầy đủ tất cả phương
pháp giải phương trình nghiệm nguyên, nhưng tôi hi vọng đây là một tài
liệu bổ ích dành cho các em học sinh giỏi toán và các thầy cơ giáo đang
giảng dạy tốn ở các trường THCS và THPT.

0.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình nghiệm ngun, một số dạng bài
tốn với nghiệm ngun và phương pháp giải.

- Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên chưa

3

có cách giải tổng quát và các loại bài toán với nghiệm nguyên thường xuất
hiện trong ơn luyện học sinh giỏi tốn các lớp 7-8-9 hoặc đề thi vào lớp 10
trường THPT chuyên.

0.4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc hiểu, nghiên cứu một số tài liệu tham khảo và chuyên khảo có
liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài (chẳng hạn: [1], [2], [3], [4],
[5], ...). Sau đó, bản thân tiến hành tổng hợp và phân loại các kiến thức
đã nắm được theo phương pháp giải hoặc theo dạng bài toán.

- Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy trên lớp. Tham khảo ý
kiến của giảng viên hướng dẫn, đồng thời cũng thông qua việc thảo luận
chun mơn với các đồng nghiệp trong trường, ngồi trường để tiếp tục
hồn thiện nội dung và hình thức của đề án.

0.5 Cấu trúc đề án tốt nghiệp

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo, thì
đề án thạc sĩ có cấu trúc gồm 4 chương:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản cần thiết dùng cho các
chương sau, chẳng hạn như: phép chia trong tập số nguyên, số nguyên tố
và hợp số, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, đồng dư, tính chất của
số chính phương, ... Nội dung trình bày của chương này được tham khảo
từ các tài liệu [1], [2], [4], [5] và [7].
- Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm
nguyên
Chương này dự kiến giới thiệu một số phương pháp thường dùng để

4

giải phương trình nghiệm nguyên. Chẳng hạn như: phương pháp sử dụng
tính chia hết, phương pháp đưa về phương trình ước số, phương pháp xét
số dư của từng vế, phương pháp sử dụng bất đẳng thức, phương pháp sử
dụng tính chất của số nguyên tố, phương pháp sử dụng tính chất của số
chính phương, ... Với mỗi phương pháp, tôi phân loại thành các dạng cụ
thể khác nhau, sau đó nêu lên cơ sở của phương pháp và giải một số ví
dụ minh họa tiêu biểu. Nội dung của Chương 2 được tham khảo từ các tài
liệu [1], [2], [3], [6], và [8].

- Chương 3: Một số dạng phương trình nghiệm nguyên
Chương này dự kiến giới thiệu một số dạng phương trình nghiệm nguyên
thường gặp từ đơn giản đến phức tạp. Chẳng hạn như: phương trình bậc
nhất có hai ẩn, phương trình bậc hai có hai ẩn,phương trình bậc ba trở lên
có hai ẩn, phương trình đa thức có ba ẩn trở lên, phương trình dạng phân
thức, phương trình vơ tỉ ... Nội dung của Chương 3 được tham khảo từ
các tài liệu [1], [3], [4], [7], và [6].

- Chương 4: Một số bài toán với nghiệm nguyên
Chương này dành để trình bày một số dạng bài toán với nghiệm nguyên
rất thường gặp ở các đề thi học sinh giỏi toán lớp 8, 9 và thi vào lớp 10
trường THPT, chẳng hạn như: bài toán về số tự nhiên và các chữ số, bài
toán về chia hết và số nguyên tố ... Nội dung của Chương 4 được tham
khảo từ các tài liệu [1], [3], [7] và [8].

5

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung trình bày của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1],
[2], [4], [5] và [7].

1.1 Phép chia hết, số nguyên tố, hợp số
Chia hết trong tập các số nguyên và tính chất của số nguyên tố là hai

chủ đề quan trọng trong chương trình Số học của bậc THCS. Đi kèm theo
đó là các bài tốn khó và hay. Trong phần này, chúng tơi trình bày định
nghĩa về phép chia hết, số nguyên tố, hợp số cùng với các tính chất cơ bản
của chúng.

1.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1. Cho hai số nguyên a, b với a $ 0. Ta nói b chia hết
cho a nếu tồn tại số nguyên c sao cho b  ac. Khi đó ta cịn nói a chia hết
b, hoặc a là ước của b, hoặc b là bội của a. Ta kí hiệu b ... a, a | b.
Trong trường hợp b khơng chia hết cho a thì ta kí hiệu a 1 b.

Sau đây là một số tính chất thường dùng, chứng minh được suy ra trực
tiếp từ định nghĩa.

6

Mệnh đề 1.1.1. Cho a, b, c, d là các số nguyên, ta có:

1. Nếu a | b và b | a thì |a|  |b|.

2. Nếu a | b và a | c thì a | mb nc với m, n là hai số nguyên.

3. Nếu a | b và a | b ¨ c thì a | c.

4. Với mọi số nguyên a $ 0 thì a | a.

5. Nếu a | b và b | c thì a | c.

6. Nếu a | b và b $ 0 thì b | b.
a

7. Nếu a | b và c | d thì ac | bd.

Định nghĩa 1.1.2. Số nguyên dương lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố
nếu nó chỉ có hai ước ngun dương là 1 và chính nó.

Định nghĩa 1.1.3. Số nguyên dương lớn hơn 1, không là số nguyên tố
được gọi là hợp số. Nói cách khác, hợp số là số nguyên dương có nhiều hơn
hai ước nguyên dương.

Nhận xét 1.1.2. Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố, cũng không
phải là hợp số.

Mệnh đề 1.1.3. 1. Mỗi số ngun dương lớn hơn 1 đều có ít nhất một
ước số nguyên tố.

2. Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số n là một số không vượt quá

c

n.

3. Nếu có số nguyên dương n ¡ 1 khơng có một ước số ngun tố nào từ
c

2 đến n thì n là số nguyên tố.

4. Có vơ hạn số ngun tố.

5. Nếu p | ab, p là số nguyên tố thì p | a hoặc p | b.

7

6. Nếu p | an với p là số nguyên tố, n nguyên dương thì pn | an.
7. Mỗi số nguyên dương n ¡ 1 được phân tích duy nhất thành tích các

thừa số nguyên tố: n  pα1 1 pα2 2 ...pαk k , trong đó pi là số nguyên tố, αi €
N¦, i  1, k.
8. Giả sử n  pα1 1 pα2 2 ...pαk k , trong đó pi nguyên tố và αi € N¦, i  1, k.

Khi đó, số các ước số nguyên dương của n tính bằng cơng thức:

T pnq  pα1 1qpα2 1q...pαk 1q.

1.1.2 Một số dấu hiệu chia hết

Đặt N  anan¡1...a1a0. Khi đó, ta có một số dấu hiệu chia hết sau:

Mệnh đề 1.1.4. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125:

2|N ô 2 | a0 ô a0 € t0; 2; 4; 6; 8u.
5|N ô 5 | a0 ô a0 € t0; 5u.
4; 25 | N ô 4; 25 | a1a0.
8; 125 | N ô 8; 125 | a2a1a0.

Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:

3; 9 | N ô 3; 9 | pa0 a1 ... an¡1 anq.

Dấu hiệu chia hết cho 11 và 19:

11 | N ô 11 | rpa0 a2 ...q ¡ pa1 a3 ...qs.
19 | N ô 19 | pan 2an¡1 22an¡2 ... 2na0q.

1.1.3 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.1.4. Tìm số ước số (nguyên dương) của số 1896.

8

Lời giải. Ta cú 1896  p2 Ô 32q96  296 Ô 192. Áp dụng tính chất 8 trong

Mệnh đề 1.1.3 thì số ước số của 1896 là

p96 1q Ô p192 1q  97 ¤ 193  18721.

Ví dụ 1.1.5. Tìm số tự nhiên n để p5n 14q chia hết cho n 2.

Lời giải. Ta có 5n 14  5pn 2q 4. Do đó 2 € t1; 2; 4u.
5n 14 ... n 2 ô 4 ... pn 2q ô n 2 | 4 ô n

Suy ra được n  0 hoặc n  2.

Ví dụ 1.1.6. Tìm số tự nhiên n để n 15 là số tự nhiên.
n 3

Lời giải. Để n 15 là số tự nhiên thì n 15 ... n 3. Suy ra:
n 3

pn 15q ¡ pn 3q ... n 3 ô 12 ... n 3

n€N

ô n 3 € t1; 2; 3; 4; 6; 12u ô n € t0; 1; 3; 9u.

1.2 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

1.2.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử a, b là hai số nguyên không đồng thời bằng 0.
Ước chung lớn nhất của hai số a, b là số nguyên lớn nhất chia hết cả hai

số đó. Kí hiệu ước chung lớn nhất của hai số a và b là pa, bq.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a1, a2, ..., an (n ¥ 2) là các số nguyên không

đồng thời bằng 0. Ước chung lớn nhất của các số a1, a2, ..., an là số ngun
lớn nhất chia hết cả n số đó. Kí hiệu ước chung lớn nhất của a1, a2, ..., an

là pa1, a2, ..., anq.
Định nghĩa 1.2.3. Nếu pa, bq  1 thì ta nói hai số ngun a và b nguyên

tố cùng nhau. Nếu pa1, a2, ..., anq  1 thì ta nói các số ngun a1, a2, ...,

an ngun tố cùng nhau.

9

Định nghĩa 1.2.4. Nếu pam, akq  1, dm $ k, m, k € t1; 2; ...; nu, thì ta

nói các số ngun a1, a2, ..., an đôi một nguyên tố cùng nhau.

Định nghĩa 1.2.5. Giả sử a, b là hai số nguyên khác 0. Bội chung nhỏ

nhất của hai số a, b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả hai số

đó. Ta dùng kí hiệu ra, bs để chỉ bội chung nhỏ nhất của hai số a và b.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử a1, a2, ..., an (n ¥ 2) là n số nguyên khác 0.

Bội chung nhỏ nhất của n số này là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết

cho tất cả n số đó. Ta dùng kí hiệu ra1, a2, ..., ans để chỉ bội chung nhỏ

nhất của n số a1, a2, ..., an.

Mệnh đề 1.2.1. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất có một số tính
chất sau:

1. Nếu p ngun tố thì pa, pq  1 hoặc pa, pq  p.

2. Nếu d  pa, bq thỡ da, db ă  1. Nu d | a, d | b và da, db ă  1 thỡ
d  pa, bq.

3. Nếu dI là một ước chung của a, b thì dI | pa, bq.

4. Nếu p nguyên tố, pk | a và pl | b, thì pmintk,lu | pa, bq.

5. Với a  pα1 1 pα2 2 ...pαk k , b  p1β1p2β2...pkαk (di, αi ¥ 0, βi ¥ 0), thì

pa, bq  p1mintα1,β1up2mintα2,β2u...pkmintαk,βku;
ra, bs  p1maxtα1,β1up2maxtα2,β2u...pkmaxtαk,βku.

6. Nếu pa, bq  pa, cq  1 thì pa, bcq  1 . Nếu pa, bq  1 thì pam, bnq  1

với mọi m, n nguyên dương.

7. Nếu a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai

số nguyên dương u, v sao cho au ¡ bv  1.
8. Nếu ra, bs  M thì aM , bM ¨  1.

10

9. Với a, b nguyên dương thì ab  pa, bq.ra, bs.
10. ra, b, cs  rra, bs, cs.

1.2.2 Thuật tốn Euclide để tìm ước chung lớn nhất

Phương pháp tìm ước chung lớn nhất của hai số bằng cách dùng phân
tích các số ngun đó ra thừa số ngun tố là khơng hiệu quả. Lý do là
ở thời gian phải tiêu tốn cho sự phân tích đó. Dưới đây là phương pháp
hiệu quả hơn để tìm ước số chung lớn nhất, gọi là thuật toán Euclide.

Thuật toán này đã biết từ thời cổ đại. Nó mang tên nhà tốn học cổ Hy
lạp Euclide, người đã mơ tả thuật tốn này trong cuốn sách "Cơ sở " nổi
tiếng của ơng. Thuật tốn Euclide dựa vào 2 mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.2.2. (Thuật toán chia) Cho hai số nguyên a và a trong đó

b $ 0, ta ln tìm được hai số ngun q và r duy nhất sao cho

a  bq r,

vi 0 Ô r |b|. Trong đẳng thức trên, a được gọi là số chia, b được gọi là

số bị chia, q được gọi là thương số và r được gọi là số dư.

Mệnh đề 1.2.3. Cho a  bq r, trong đó a, b, q, r là các số nguyên. Khi
đó pa, bq  pb, rq.

Cho a và b là hai số ngun dương. Để tìm pa, bq khi a khơng chia hết

cho b chúng ta sử dụng thuật toán Euclide sau đây:

é a  bq r1 (0 r1 b) thì pa, bq  pb, r1q.
é b  r1q1 r2 (0 r2 r1) thì pb, r1q  pr1, r2q.
é r1  r2q2 r3 (0 r3 r2) thì pr1, r2q  pr2, r3q.
ộ ÔÔÔ