Phương ph¡p lặp ishikawa đường dốc nhất cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC </b>

<b> </b>

<b>LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC </b>

<b>NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Nguyễn Bường</b>

<b>THÁI NGUYÊN - 2021</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn này.

Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc, động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên cứu và làm luận văn

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân và phương pháp đường

2.1. Phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một ánh xạ

2.2. Phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một họ ánh

<small>iii</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Kết luận chương 2 33

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

H không gian Hilbert thực

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

2.1 Kết quả tính tốn bởi (2.11) và (2.13) với W^k = T_k. . . 32

<small>vi</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề xuất vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX. Bài toán được phát biểu như sau:

ở đây j là một ánh xạ đối ngẫu, C là tập con lồi đóng của E và F là một ánh xạ j- đơn điệu mạnh và giả co chặt.

Phương pháp cơ bản để tìm nghiệm cho bài tốn (1.1) khi E ≡ H là một không gian Hilbert, là xây dựng dãy lặp xác định như sau:

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.1) với J ≡ I.

Hilbert và đã đưa ra phương pháp lặp được xác định bởi dãy

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Nội dung của luận văn, chúng tơi xét bài tốn (1.1) trong không gian Banach khi T là một ánh xạ không giãn, và F là một ánh xạ j- đơn điệu mạnh với hằng số η và γ giả co chặt trên E; C là tập điểm bất động của ánh xạ T hoặc giao của các tập điểm bất động của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Cụ thể hơn, chúng tôi nghiên cứu sự kết hợp phương pháp đường dốc nhất và phương pháp Ishikawa để được thuật tốn mới. Đó là phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach .

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian Banach, ánh xạ trong không gian Banach và các phương pháp tìm điểm bất động nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính ở phần sau. Chương 2 dùng để trình bày phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một lớp bất đẳng thức biến phân với một ánh xạ không giãn và họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong khơng gian Banach E cùng các ví dụ minh họa cụ thể.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này, chúng tơi trình bày gồm 3 mục. Trong mục 1.1, chúng tôi nhắc lại định nghĩa không gian định chuẩn, không gian Banach; ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j− đơn điệu, ánh xạ η− đơn điệu mạnh,ánh xạ không giãn, ánh xạ co, ánh xạ γ− giả co chặt trong không gian Banach. Mục 1.2, dành cho việc hệ thống một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động như: phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern. Phần cuối là mục 1.3, chúng tơi trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân, phương pháp đường dốc nhất và phương pháp đường dốc nhất lai ghép. Nội dung của chương này được lấy từ tài liệu [1-10].

1.1. Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức). Ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X , kí hiệu k.k, nếu k.k thoả mãn các điều kiện sau:

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X ; và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0, (ii) ) kαxk = |α| kxk với mọi x ∈ X và α ∈ R,

(iii) kx + yk = kxk + kyk với mọi x, y ∈ X .

Khi đó (X , k.k) được gọi là một khơng gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.2. Giả sử (X , k.k) là một khơng gian tuyến tính định

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

mêtric d trên X . Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn là một khơng gian mêtric.

Khơng gian tuyến tính định chuẩn (X , k.k) đầy đủ với mêtric được sinh từ chuẩn thì X được gọi là khơng gian Banach.

Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,

Mệnh đề 1.1. [4] Cho E là một khơng gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) E là không gian phản xạ.

(ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.

Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có

x + y

Chú ý 1.1. Định nghĩa 1.4 cịn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈

ta có k(tx + (1 − t)y)k < 1 với mọi t ∈ (0; 1), trong đó

Định nghĩa 1.5. Khơng gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1,kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có

x + y

Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là khơng gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.

Mệnh đề 1.2. Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là khơng gian phản xạ.

Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Định lí 1.1. Cho E là một khơng gian Banach . Khi đó ta có các khẳng định sau:

Định nghĩa 1.7. Mơ đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi

Định nghĩa 1.8. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu lim

<small>τ →0</small>

p<small>E</small>(τ )

là không gian Banach lồi đều và trơn đều.

Định nghĩa 1.9. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên

Định nghĩa 1.10. Cho E là khơng gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại

d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.4) tồn

Chú ý 1.2. Mọi không gian Banach thực trơn đều là phản xạ và có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

J (x) = {x^∗ ∈ E^∗ : hx, x^∗i = kxk kx^∗k ; kx^∗k = kxk} ,

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.

Chú ý 1.3. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I.

Mệnh đề 1.3. [4] Cho E là một khơng gian tuyến tính định chuẩn, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,

(i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x) , ∀x ∈ E;

(ii)J là thần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x) , ∀x ∈ E, ∀λ > 0;

(iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) là

(v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi E là không gian Banach trơn đều.

Chú ý 1.4. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu nó bởi j.

Nhắc lại rằng khơng gian Banach E được cho là

(i) lồi đều, nếu với mỗi ε ∈ (0, 2], bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, và kx − yk ≥ ε dẫn đến tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ;

Đã biết rằng không gian Banach lồi đều E phản xạ và lồi chặt; nếu chuẩn của E là chuẩn Gâteaux đều, thì J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục đều trên tập giới nội của E; và nếu E là trơn, thì ánh xạ đối ngẫu là ánh xạ đơn trị. Tiếp theo, chúng tơi trình bày lại ánh xạ đơn trị chuẩn tắc bằng j.

Định nghĩa 1.12. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Banach E, ánh xạ F : C → E

(i) F được gọi là đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta ln có

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

(iv) F được gọi là η- đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại η > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta ln có

Chú ý 1.5. Trong không gian Hilbert khái niệm ánh xạ đơn điệu và ánh xạ j- đơn điệu trùng nhau.

Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) → E được gọi là không giãn nếu

kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T )

Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ). Chú ý 1.6. Nếu E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.

Suy ra T là ánh xạ khơng giãn với F ix (T ) = {(1, 1) , (1, −1)} .

Định nghĩa 1.14. Cho F : C → C là ánh xạ xác định trên không gian Banach E. Ánh xạ F được gọi là L- liên tục Lipschitz nếu tồn tại L > 0 sao cho

Nhận xét 1.1. Nếu (1.6) đúng với L = 1 thì ánh xạ F là ánh xạ khơng giãn cịn nếu (1.6) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ F là ánh xạ co.

Định nghĩa 1.15. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Banach E . Ánh xạ T : C → C được gọi là ánh xạ γ- giả co chặt nếu tồn tại γ ∈ (0, 1) sao cho với mỗi x, y ∈ C, j(x − y) ∈ J (x − y) ta có:

Nếu E := H là khơng gian Hilbert, thì (1.7) sẽ trở thành:

ở đó k = 1 − 2γ < 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Ví dụ 1.3. Cho E = R với chuẩn thông thường và chọn C = (0; +∞).

Thì, F là một ánh xạ η- đơn điệu mạnh và γ- giả co chặt E với hằng số dương η và γ sao cho η + γ > 1.

Bổ đề 1.1. [3] Cho E là không gian Banach trơn thực và F : E → E là một ánh xạ η- đơn điệu mạnh và γ- giả co chặt với η + γ > 1. Thì, chúng

điều kện sau a_k+1 ≤ (1 − b_k)a_k+ b_kc_k+ d_k, ở đó {b_k}, {c_k} và {d_k} là dãy

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co

Bổ đề 1.5. [4] Mọi tập con C lồi đóng của khơng gian Banach lồi đều E đều là tập co rút của E, tức là tồn tại phép co rút từ E lên C.

Bổ đề 1.6. [5] Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của khơng gian

phát biểu sau là tương đương:

(ii) Nếu C là tập con khác rỗng, lồi đóng của khơng gian H thì phép chiếu

nhiên điều này khơng cịn đúng trong khơng gian Banach.

Từ Bổ đề 1.6 ta có kết quả quan trọng sau về mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân (1.1) với bài tốn điểm bất động trong khơng gian Banach trơn.

1.2. Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động

Ta biết rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên không gian Banach lồi chặt E nếu khác rỗng thì là một tập lồi và đóng. Do đó, bài tốn tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài tốn chấp nhận lồi:" Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu

hay không gian Banach E". Bài tốn này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học, ... Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số phương pháp cơ

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc. Ông đã chứng minh rằng, nếu dãy {α_n} được chọn sao cho

T : C → C là một ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H vào chính nó. Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vơ hạn chiều thì dãy lặp (1.8) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh.

pháp lặp Mann (1.8) trở thành phương pháp lặp Kranoselskii.

Reich [3- xem trích dẫn] đã mở rộng kết quả của Mann trong trường hợp T : C → C từ một tập con khác rỗng, lồi, đóng của một khơng gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet và ông cũng đã chứng minh được

con lồi đóng C của khơng gian Hilbert H vào C. Ông đã chứng minh nếu

điểm bất động của T .

mãn các điều kiện sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Halpern và giải quyết được vấn đề trên. Ông đã chỉ ra rằng nếu dãy số

T . Sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.9) về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach cũng đã được nghiên cứu và chứng minh.

Năm 2002, Xu [3- xem trích dẫn] đã thu được định lí về sự hội tụ mạnh

quả của Hu được cho bởi định lí sau:

Định lí 1.2. [10] Cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của khơng gian Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Cho T : C → C là một

khoảng (0, 1) thoả mãn các điều kiện: (C<small>1</small>) lim

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa vào năm 1974.

(1.11) trở thành phương pháp lặp Mann (1.8 ). Tuy nhiên, Mutângdura và Chidume [3- xem trích dẫn] đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T là một ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bất động của T nhưng dãy lặp Mann lại không hội tụ.

Sự hội tụ yếu của dãy lặp Ishikawa về một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Banach đã được nghiên cứu và chứng minh bởi Tan và Xu.

Định lí 1.3. Cho E là một không gian Banach lồi đều thoả mãn điều kiện của Opial hoặc có chuẩn khả vi Fréchet, C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của E. Cho T : C → C là một ánh xạ không giãn,

(1.11) hội tụ yếu về một điểm bất động của T .

Chú ý 1.9. Không gian Banach E được gọi là thoả mãn điều kiện của

lim inf

Năm 2005, Shahzad [6] đã cải tiến phương pháp lặp Ishikawa cho trường hợp C là một tập con lồi đóng co rút khơng giãn của không gian Banach E dạng

x<small>n+1</small> = P ((1 − α<small>n</small>) x<small>n</small>+ α<small>n</small>T P ((1 − β<small>n</small>) x<small>n</small>+ β<small>n</small>T (x<small>n</small>))) , n ≥ 1, (1.13)

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

trong đó x₁ ∈ C và {α<small>n</small>} , {β<small>n</small>} là các dãy số thực trong đoạn [ε, 1 − ε] , ε

không giãn T thoả mãn điều kiện

kx − T xk ≥ f (d (x, F ix (T ))) , ∀x ∈ C,

trong đó f : [0, ∞) → [0, ∞) thoả mãn f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi

• Sự kết hợp các phương pháp

Tiếp theo, Kim và Xu [3- xem trích dẫn] đưa ra một kết hợp giữa phương pháp Krasnosel’skii- Mann và phương pháp Halpern như sau

số trong đưa ra phương pháp lặp Krasnosel’skii- Mann cải biên

mãn, tương ứng, điều kiện (t) và

T . Shehu [3- xem trích dẫn] mở rộng kết quả này từ không gian Hilbert H tới không gian Banach lồi đều E, có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Chúng ta biết cả hai phương pháp (1.8) và (1.11) nói chung chỉ hội tụ yếu . Rõ ràng, (1.11) tổng quát hơn (1.8). Nhưng các nghiên cứu chỉ tập trung lên phương pháp (1.8) với lý do (1.8) đơn giản hơn (1.11) và đó là định lý hội tụ đúng cho (1.8) có thể dẫn đến một định lý hội tụ cho (1.11) với

pháp (1.11) có tính riêng của nó. Cụ thể là, phương pháp (1.8) có thể

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

khơng hội tụ trong khi phương pháp (1.11) có thể hội tụ cho một ánh xạ Lipschitz trong không gian Hilbert. Reich [3- xem trích dẫn] chỉ ra rằng nếu E là một khơng gian Banach lồi đều, có chuẩn khả vi Fréchet và nếu

β<small>k</small>(1 − β<small>k</small>) = ∞, thì dãy {x^k} sinh bởi (1.8), hội tụ yếu đến một điểm bất động trong F ix(T ). Một mở rộng của kết quả này được thể hiện trong, ở đó Tan và Xu [3- xem trích dẫn] đã chứng minh sự hội tụ yếu trong (1.11) dưới các điều kiện:

đây là sự kết hợp của phương pháp Ishikawa với phương pháp Halpern. Họ chỉ ra rằng, dãy sinh bởi (1.16), hội tụ mạnh tới một điểm bất động

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân và phương pháp đường dốc nhất

tắc đơn trị của E. Ánh xạ F : E → E là đơn trị. Bài toán bất đẳng thức

thành bất đẳng thức biến phân cổ điển CV I(F, C).

Mệnh đề 1.4. Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của khơng gian Banach trơn E. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.1) tương đương với

Do sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach trơn với bài toán điểm bất động mà nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây dựng dựa vào phương pháp xấp xỉ điểm bất động.

Phương pháp dốc nhất là phương pháp gradient đơn giản nhất để tối ưu hoá. Ai cũng biết rằng các tìm kiếm đường chính xác dọc theo mỗi hướng xuống dốc nhất có thể hội tụ rất chậm. Barzilar và Borwein đã trình bày một phương pháp gradient kích thước bước hai điểm, thường được gọi là phương pháp gradient Barzilar- Borwein (hoặc phương pháp

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

BB). Phương pháp này chứng minh sự hội tụ siêu tuyến tính đối với bậc hai lồi trong không gian hai chiều và thực hiện khá tốt đối với các bài toán chiều cao. Phương pháp BB khơng đơn điệu, do đó khơng dễ dàng được tổng qt hố cho các hàm phi tuyến tổng quát trừ khi áp dụng một số kĩ thuật phi đơn điệu nhất định. Do đó, rất mong muốn tìm ra các cơng thức kích thước bước cho phép hội tụ nhanh và sở hữu thuộc tính đơn điệu. Phương pháp dốc nhất có thể bắt nguồn từ Cauchy (1847), là phương pháp đơn giản nhất để tối ưu hố khơng bị ràng buộc:

<small>x∈Rn</small>f (x)

x<small>k+1</small> = x<small>k</small> + α<small>k</small>(−g<small>k</small>) ,

là hướng ngược lại với hướng gradient, nó là hướng xuống dốc nhất cục bộ. Về phương diện cục bộ là hướng xuống dốc nhất, là hướng tốt nhất theo nghĩa là nó làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất có thể. Kích thước

hoặc theo một số điều kiện tìm kiếm theo dịng, chẳng hạn như điều kiện Goldstein hoặc điều kiện Wolfe (xem Fletcher, 1987). Dễ dàng thấy rằng phương pháp dốc nhất luôn hội tụ.

Khi F : E → E là ánh xạ L- liên tục Lipschitz và η- đơn điệu mạnh thì

là ánh xạ co. Khi đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach, dãy lặp Picard xác định bởi

Trong trường hợp F = 5ϕ, trong đó ϕ : H → R ∪ {∞} là hàm lồi khả vi Gâteaux thì bất đẳng thức biến phân cổ điển CV I(F, C) chính là điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu lồi minϕ (x)

, trên tập C và khi đó dãy lặp Picard được viết dưới dạng

</div>