Một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG
GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG
GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trƣơng Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2019


ii

Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đã
tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng các
thầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáo
dục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi
lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viện, tạo điều kiện giúp đỡ
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10
1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

. . . 16

1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ
gần không giãn

21

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn . . . . . 35
2.3.2. Điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn . . 37
2.3.3. Không điểm chung của các toán tử đơn điệu . . . . . . . . 41
2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận
Tài liệu tham khảo

49
50


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H

không gian Hilbert

X

không gian Banach

., .

tích vô hướng trên H

.

chuẩn trên H

∪

phép hợp

∩

phép giao

R+

tập các số thực không âm

G(A)

đồ thị của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

F ix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

1

Mở đầu
Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên
cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,
bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài
toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966
trong tài liệu [6]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn
chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá
chi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their
Applications” của D. Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8].
Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh
mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến
phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có nhiều phương pháp giải đã được
đề xuất như phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm
bất động, phương pháp đường dốc nhất ...
Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử
x∗ ∈ C, sao cho
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C,

(0.1)

trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta
ký hiệu bài toán này là VI(C, F ). Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc
giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấp
nhận lồi nổi tiếng. Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric
PC từ H lên C, do đó bài toán trên có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Ngoài ra, nó cũng đã được
nghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm

bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn đếm được hay không đếm được


2

ánh xạ không giãn.
Năm 2001, Yamada [17] đã giới thiệu phương pháp đường dốc nhất lai ghép
giải bài toán (0.1), trong đó F : H −→ H là một toán tử Lipschitz, đơn điệu
mạnh và C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn
T1 , T2 , ..., TN , tức là, C = ∩N
i=1 F ix(Ti ) (Định lý 2.2). Hơn nữa, trong trường hợp
các ánh xạ không giãn chỉ được biết ở dạng gần đúng (có nhiễu), hay nói cách
khác mỗi ánh xạ không giãn được thay bởi một dãy ánh xạ nhiễu, thì ánh xạ
không giãn ban đầu sẽ được thay bằng dãy ánh xạ gần không giãn. Do đó chủ
đề bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các dãy ánh xạ
gần không giãn đã và đang thu hút nhiều người làm toán trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu.
Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả về bài toán tìm nghiệm
của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn
dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert H. Luận văn bao gồm 2
chương: Chương 1 nhắc lại một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert,
bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến
phân cổ điển, cùng với một số bài toán liên quan. Chương 2 trình bày lại kết
quả của các tác giả T.M. Tuyen [16] cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn
trong không gian Hilbert thực H. Ngoài ra, Chương 2 của luận văn cũng đề cập
đến một số ứng dụng của Định lý (Định lý 2.4) chính cho các bài toán liên quan,
cùng với đó là hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đúng đắn của phương pháp.

3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này bao gồm năm mục chính. Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng
cơ bản của không gian Hilbert thực. Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả
về bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.3 và 1.4 đề cập đến
bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phân
trong không gian Hilbert. Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng
trong Chương 2 của luận văn. Nội dung của chương này phần lớn được tham
khảo từ các tài liệu [1], [2] và [8].

1.1.

Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu
là ., . và chuẩn được kí hiệu là . .
Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z ,

với mọi x, y, z ∈ H.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
y−z

2

+ 2 x − y, x − z = y, y + z, z + 2 x, x − 2 x, z − 2 x, y
= [ x, x − 2 x, y + y, y ]
+ [ x, x − 2 x, z + z, z ]
= x−y

2

+ x − z 2.


4

Vậy ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H
và mọi λ ∈ [0, 1], ta có
λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

(1.1)

Chứng minh. Ta có
λx + (1 − λ)y

2

= λ2 x

2

+ 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y
2

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ)( x

− 2 x, y + y 2 )

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

Ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3. Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, x + y

với mọi x, y ∈ H.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có

x+y

2

= x

2

+ 2 x, y + y

≤ x

2

+ 2 x, y + 2 y

= x

2

+ 2 y, x + y .

2
2

Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu
về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,

n→∞

với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì
xn

x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian

l2 = {xn } ⊂ R :

∞
2
n=1 |xn |

< ∞ và {en } ⊂ l2 , được cho bởi

en = (0, ..., 0,

1

, 0, ..., 0, ...),

vị trí thứ n


5

với mọi n ≥ 1. Khi đó, en

0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất

đẳng thức Bessel, ta có
∞

| en , y |2 < y

2

< ∞.

n=1

0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì

Suy ra limn→∞ en , y = 0, tức là en
en = 1 với mọi n ≥ 1.

Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial,
tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy
bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn

x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y = x,

ta có
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
n→∞

Chứng minh. Vì xn

n→∞

(1.2)

x, nên {xn } bị chặn.

Ta có
xn − y

2

= xn − x

2

+ x−y

2

> xn − x

2

+ 2 xn − x, x − y .

+ 2 xn − x, x − y

Vì x = y, nên
lim inf xn − y
n→∞

2

> lim inf xn − x
n→∞

2

+ 2 xn − x, x − y

= lim inf xn − x 2 .
n→∞

Do đó, ta nhận được
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
n→∞

n→∞

Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức
là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn
xn → x , thì xn → x, khi n → ∞.

x và


6

Chứng minh. Ta có
xn − x

2

= xn

2

− 2 xn , x + x

2

→ 0, n → ∞.
Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực
H. Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho
x∗ ≤ x với mọi x ∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x . Khi đó, tồn tại {xn } ⊂ C sao cho
x∈C

xn −→ d, n −→ ∞.
Từ đẳng thức hình bình hành, ta có
xn − xm

2

2

= 2( xn
≤ ( xn

2

+ xm 2 ) − 4

xn + xm
2

2

+ xm 2 ) − 4d2 −→ 0,

khi n, m −→ ∞. Do đó {xn } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại x∗ =
lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C và C là tập đóng). Do chuẩn là hàm số liên tục nên

n→∞
∗

x

= d.

Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất. Giả sử tồn tại y ∗ ∈ C sao cho y ∗ = d.
Ta có
x∗ − y ∗

2

= 2( x∗

2

2

+ y∗ ) − 4

x∗ + y ∗
2

2

≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2
= 0.
Suy ra x∗ = y ∗ . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ C sao cho x∗ =
inf x∈C x .
Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực
H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC (x) ≤ x − y với mọi y ∈ C.


7

Chứng minh. Vì C là tập lồi, đóng và khác rỗng nên x − C cũng là tập lồi, đóng
và khác rỗng. Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn tại duy nhất một phần tử PC ∈ C
sao cho
x − PC (x) ≤ x − y với mọi y ∈ C.

Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C
xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó

PC x = x +

y − x, u
u

2

u.

Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : x − a ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử
cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:


x nếu x − a ≤ R,
PC x =
R

a +
(x − a) nếu x − a > R.
x−a
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C
là một phép chiếu mêtric.
Mệnh đề 1.8. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
H. Cho PC : H −→ C là một ánh xạ. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;
b) y − PC x, x − PC x ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C;
Chứng minh. Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là x −
PC x

= inf u∈C x − u . Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt

yα = αy + (1 − α)PC x. Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó
x − P C x ≤ yα − x .
Điều này tương đương với
x − PC x

2

≤ α(y − PC x) − (x − PC x)

2


8

= α 2 y − PC x

2

+ x − PC x

2

− 2α y − PC x, x − PC x .

Từ đó, ta nhận được
2

2 y − PC x, x − PC x ≤ α y − PC x .
Cho α −→ 0+ , ta được y − PC x, x − PC x ≤ 0.

Ngược lại, giả sử b) đúng. Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có
x − PC x

2

= x − y + y − PC x

2

= x−y

2

+ 2 x − y, y − PC x + y − PC x

2

= x−y

2

+ 2 x − PC x, y − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
Do đó, x − PC x = inf u∈C x − u , hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là
phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, ta có các khẳng định sau:

a) với mọi x, y ∈ H, ta có
PC x − PC y

2

≤ x − y, PC x − PC y ;

b) với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có
x−y

2

≥ x − PC x

2

+ y − PC x 2 .

Chứng minh. a) Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có
x − PC x, PC y − PC x ≤ 0,
y − PC y, PC x − PC y ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.
b) Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có
x − PC x, y − PC x ≤ 0.


9

Từ đó, ta có
x−y

2

= (x − PC x) − (y − PC x)

2

= x − PC x

2

+ y − PC x

2

≥ x − PC x

2

+ y − PC x 2 .

− 2 x − PC x, y − PC x

Hệ quả được chứng minh.
Mệnh đề 1.9. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì
C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra tồn tại một phần tử v ∈ H, v = 0 sao cho
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C

Vì x ∈
/ C, nên v = x − PC x = 0. Từ Mệnh đề 1.8, ta có
v, y − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Suy ra
v, y − x + x − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với
v, y ≤ v, x − v 2 ,
với mọi y ∈ C. Do đó
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C

Bây giờ ta chỉ ra C là tập đóng yếu. Giả sử ngược lại rằng C không là tập
đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn
C là tập lồi và đóng, nên theo chứng minh trên, ta có
v, z < v, x − ε,
với ε = v 2 /2 và mọi z ∈ C. Đặc biệt
v, xn < v, x − ε,

x, nhưng x ∈
/ C. Vì


10

với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được
v, x ≤ v, x − ε,
điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu.
Chú ý 1.1. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.
Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.10. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.

1.2.

Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu
với mọi x, y ∈ C, ta có
Tx − Ty ≤ x − y .
Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là
F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}.
Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ).
Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, F ix(T ) là
một tập lồi và đóng trong H.
Chứng minh. Giả sử F ix(T ) = ∅.
Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn
nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn
xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F ix(T ), nên
T xn − xn = 0,
với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được T x − x =
0, tức là x ∈ F ix(T ). Do đó, F ix(T ) là tập đóng.


11

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ). Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x
và T y = y. Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính
không giãn của T ta có
Tz − z

2

= λ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)
= λ Tz − x

2

= λ Tz − Tx
≤λ z−x

2

2

+ (1 − λ) (T z − y)
2

2

− λ(1 − λ) x − y

+ (1 − λ) (T z − T y)

+ (1 − λ) (z − y)

= λ(z − x) + (1 − λ)(z − y)

2

2

2

2

− λ(1 − λ) x − y

− λ(1 − λ) x − y

2

2

= 0.

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ). Vậy F ix(T ) là một tập lồi.
Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng). Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng
của không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi
đó, nếu T có điểm bất động thì T là nửa đóng, tức là với mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa
mãn xn

x ∈ C và xn − T xn → y, thì x − T x = y. Đặc biệt, nếu y = 0 thì

x ∈ F ix(T ).
Chứng minh. Giả sử x − T x = y. Vì xn

x, nên xn − y

x − y. Do x − y = T x,

nên từ Mệnh đề 1.4, ta có
lim inf xn − x < lim inf xn − y − T x
n→∞

n→∞

≤ lim inf ( xn − T xn − y + T xn − T x )
n→∞

≤ lim inf xn − x .
n→∞

Suy ra mâu thuẫn. Do đó, x − T x = y. Đặc biệt, nếu y = 0 thì x = T x hay
x ∈ F ix(T ).
Bài toán. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng
và khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó là một ánh xạ không
giãn với F ix(T ) = ∅. Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T ).
Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như
phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,
phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt ...


12

Chú ý 1.2. Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C
và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều
này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, W. R. Mann [9] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:


 x ∈ C là một phần tử bất kì,
0
(1.3)
 xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , n ≥ 0,
ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1,

∞
n=0 αn

=

∞. Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã chứng minh rằng,
nếu dãy {αn } được chọn thỏa mãn

∞
n=1 αn (1 − αn )

= ∞, thì dãy {xn } xác định

bởi (1.3) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H
là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu.
Phương pháp lặp Halpern
Năm 1967, B. Halpern [5] đã đề xuất phương pháp lặp

 x ∈ C là một phần tử bất kì,
0
 xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ 0

(1.4)

ở đây u ∈ C và {αn } ⊂ (0, 1). Dãy lặp (1.4) được gọi là dãy lặp Halpern. Ông
đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạ
không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1).
Phương pháp lặp xấp xỉ mềm
Năm 2000, Moudafi [10] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh
được các kết quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

εn
1
T xn +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
x ∈ F ix(T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),

(1.5)


13

trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi:
zn+1 =

1
εn
T zn +
f (zn ), ∀n ≥ 0.
1 + εn
1 + εn

1
= 0, thì {zn } hội tụ
εn+1 εn
mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
∞
n=1 εn

Nếu limn→∞ εn = 0,

= ∞ và limn→∞

1

(1.6)

−

x ∈ F ix(T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ),
ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1). Tức là
f (x) − f (y) ≤ c x − y ∀x, y ∈ C.
Chú ý 1.3. Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm của
Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern.

1.3.

Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài toán bất đẳng thức biến phân trên
không gian hữu hạn chiều Rn và một số bài toán liên quan.
Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ
liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát
biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
F x∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

(1.7)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.7) được gọi là tập nghiệm của bài toán
và ký hiệu là V I(F, C).
Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (1.7) được cho bởi định lý dưới đây:
Định lý 1.1. Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn là
một ánh xạ liên tục. Khi đó, Bài toán (1.7) có ít nhất một nghiệm.


14

Chứng minh. Đặt PC là phép chiếu mêtric từ Rn lên C. Khi đó, PC (I − γF )
là một ánh xạ liên tục từ C vào chính nó, với I là ánh xạ đồng nhất trên Rn
và γ > 0. Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn tại x∗ ∈ C sao cho
PC (x∗ − γF (x∗ )) = x∗ . Theo Mệnh đề 1.8, F x∗ , x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C hay
x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7).
Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với một số
bài toán khác như là: Hệ phương trình, bài toán tối ưu, bài toán bù và bài toán

điểm bất động.
a) Hệ phương trình
Nhiều vấn đề cân bằng kinh tế cổ điển đã được mô hình như một hệ phương
trình, vì điều kiện thanh toán bù trừ thị trường, nhất thiết phải có sự cân bằng
giữa cung và cầu. Bài toán bất đẳng thức biến phân có thể xem như một hệ
phương trình thông qua mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.13. Phần tử x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán V I(F, Rn ) khi và chỉ
khi F x∗ = 0.
Chứng minh. Nếu F x∗ = 0, thì hiển nhiên x∗ là một nghiệm của bài toán
V I(F, Rn ).
Ngược lại, giả sử x∗ là một nghiệm của bài toán V I(F, Rn ), tức là
F x∗ , x − x∗ ≥ 0,
với mọi x ∈ Rn . Chọn x = x∗ − F x∗ , ta được − F x∗

2

= 0, suy ra F x∗ = 0.

b) Bài toán tối ưu
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R là một phiếm
hàm lồi trên C. Xét bài toán sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
f (x∗ ) = min{f (x)|x ∈ C}.

(1.8)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.8) và bất đẳng thức biến
phân cổ điển.

15

Mệnh đề 1.14. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của Rn và f : C −→ R
là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán
(1.8) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x =

f (x).

Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.8). Đặt ϕ(t) = f (x∗ +t(x−x∗ ))
với t ∈ [0, 1]. Khi đó, ϕ đạt cực tiểu tại t = 0, do đó 0 ≤ ϕ (0) =
hay x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x =

f (x∗ ), x−x∗ ,

f (x).

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.7), với F x =

f (x). Vì f là hàm

lồi, nên
f (x) ≥ f (x∗ ) +

f (x∗ ), x − x∗ ,

với mọi x ∈ C. Từ đó suy ra f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C, hay x∗ là nghiệm của
Bài toán (1.8).
c) Bài toán bù
Cho F : Rn −→ Rn là một ánh xạ. Bài toán bù phi tuyến trên Rn+ là một hệ
bao gồm các phương trình và bất phương trình có dạng sau:

Tìm x∗ ≥ 0 sao cho:
F x∗ ≥ 0 và F x∗ , x∗ = 0.

(1.9)

Khi F là một ánh xạ affine, tức là F x = M x + b, với M là ma trận cỡ n × n và
b là véc tơ cỡ n × 1, thì (1.9) được gọi là bài toán bù tuyến tính.
Mối quan hệ giữa bài toán bù và bài toán bất đẳng thức biến phân được cho bởi
mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.15. Bài toán V I(F, Rn+ ) và Bài toán (1.9) có cùng tập nghiệm.
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của V I(F, Rn+ ), tức là
F x∗ , x − x∗ ≥ 0,

(1.10)

với mọi x ∈ Rn+ .
Trong (1.10), thay x bởi x∗ + ei , với i = 1, 2, ..., n và {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở chính
tắc của Rn , ta được Fi x∗ ≥ 0 với Fi (x∗ ) là tọa độ thứ i của F x∗ . Do đó, F x∗ ≥ 0.
Trong (1.10), lần lượt thay x bởi 2x∗ và 0, ta nhận được
F x∗ , x∗ ≥ 0, F x∗ , −x∗ ≥ 0.

(1.11)


16

Suy ra F x∗ , x∗ = 0. Do đó x∗ là một nghiệm của Bài toán (1.9).
Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.9). Vì x ∈ Rn+ nên
F x∗ , x − x∗ = F x∗ , x − F x∗ , x∗ ≥ 0,
hay x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, Rn+ ).

d) Bài toán điểm bất động
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất
đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.16. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.7) khi và chỉ khi x∗
là điểm bất động của ánh xạ PC (I − γF ), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồng
nhất trên Rn .
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8.

1.4.

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert

Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức
biến phân cổ điển trong không gian Rn . Các kết quả trên đã được nghiên cứu
và mở rộng trong không gian Hilbert. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một số
phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian
Hilbert.
Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H
là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như
sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
Ax∗ , x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.

(1.12)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.12) được gọi là tập nghiệm của bài
toán và ký hiệu là V I(A, C).

17

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H
và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H.
a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
Ax − Ay, x − y ≥ 0.
b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
Ay, x − y ≥ 0 suy ra Ax, x − y ≥ 0.
c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
Ax − Ay, x − y ≥ α x − y 2 .
d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng
số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
Ax − Ay, x − y ≥ α Ax − Ay 2 .
e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty)

A(x) khi t −→ 0+

sao cho với mọi x, y ∈ C.
f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số
L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
Ax − Ay ≥ L x − y .
Nhận xét 1.1. Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnh
thì ánh xạ A là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz
1
L= .
α
Mệnh đề dưới đây cho ta biết về một trường hợp tồn tại nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.

18

Mệnh đề 1.17. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của không
gian Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó,
V I(C, A) = ∅.
Mệnh đề 1.18. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó,
x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ ∈ C và
Ay, y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ V I(C, A), tức là Ax∗ , y − x∗ ≥ 0 với mọi y ∈ C. Khi
đó, từ tính đơn điệu của A, ta có
Ay, y − x∗ = Ay − Ax∗ , y − x∗ + Ax∗ , y − x∗ ≥ 0
với mọi y ∈ C.
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C thỏa mãn
Ay, y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C.
Vì C là tập lồi, nên yt = ty + (1 − t)x∗ ∈ C với mọi y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1). Do
đó, từ bất đẳng thức trên, ta có
Ayt , t(y − x∗ ) ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1).
tương đương với
Ayt , y − x∗ ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1).
Từ tính h-liên tục của A, cho t → 0+ , ta nhận được
Ax∗ , y − x∗ ≥, ∀y ∈ C.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.19. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó,
x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ = PC (x∗ − λAx∗ ) với mọi λ > 0.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.8.

19

1.5.

Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.1 (xem [3]). Cho V : C −→ H là một ánh xạ L-Lipschitz và F : C −→
H là một ánh xạ k-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh. Khi đó, với 0 ≤ γL < µη, ta
có
x − y, (µF − γV )x − (µF − γV )y ≥ (µη − γL) x − y 2 , ∀x, y ∈ C,

(1.13)

tức là, µF − γV là đơn điệu mạnh với hệ số µη − γL.
Bổ đề 1.2 (xem [17]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Giả sử λ ∈ (0, 1) và µ > 0. Cho F : C −→ H là một ánh xạ kLipschitzian và η-đơn điệu mạnh trên C. Xác định ánh xạ G : C −→ H bởi
Gx = (I − λµF )x, ∀x ∈ C.
Khi đó, G là một ánh xạ co nếu µ < 2η/k 2 . Chính xác hơn, với µ ∈ (0, 2η/k 2 ),
thì
Gx − Gy ≤ (1 − λτ ) x − y , ∀x, y ∈ C,
trong đó τ = 1 −

1 − µ(2η − µk 2 ).

Bổ đề 1.3. Cho {an } là một dãy số các số thực không âm thỏa mãn tính chất
an+1 ≤ (1 − sn )an + sn tn + vn , ∀n ≥ 0

(1.14)

trong đó {sn }, {sn } và {vn } thỏa mãn các điều kiện
i)

∞
n=0 sn

= ∞ hoặc

∞
n=0 (1

− sn ) = 0;

∞
n=0 σn

< ∞.

ii) lim supn→∞ tn ≤ 0;
iii) vn ≥ 0, ∀n ≥ 0 và

Khi đó {an } hội tụ đến 0 khi n → ∞.
Chứng minh. Với ε > 0 bất kỳ (cho trước), lấy số tự nhiên N đủ lớn sao cho
∞

vn < ε, ∀n ≥ N.

tn < ε,
n=N

20

Từ (1.14), bằng quy nạp toán học, ta chỉ ra được
an+1 ≤

vn , ∀n > N.

(1 − sk ) ε +

(1 − sk ) aN + 1 −
k=N

∞

n

n

k=N

n=N

Từ các điều kiện i)-iii) và đánh giá trên, ta nhận được lim supn→∞ an ≤ 2ε. Vì
ε > 0 là bất kỳ nên lim supn→∞ an ≤ 0. Do đó limn→∞ an = 0.