Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình và đa thức vi phân tuyến tính

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ LÊ MINH

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐA THỨC VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2022

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ LÊ MINH

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐA THỨC VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - 2022

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng 15%. Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng. Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm.

Thái Ngun, tháng 5 năm 2022 Tác giả của sản phẩm học thuật

Vũ Thị Lê Minh

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Lời cảm ơn

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Tôi xin cảm ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022 Người viết luận văn

Vũ Thị Lê Minh

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . 4

1.1. Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna . . . . 4

2.1. Định lý duy nhất cho hàm nguyên . . . . 14

2.2. Định lý duy nhất cho hàm phân hình . . . . 31

Kết luận . . . . 43

Tài liệu tham khảo . . . . 44

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Lời mở đầu

Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm phân hình thơng qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học như: G. Polia, R. Nevanlinna, F. Gross, . . . và thu được nhiều kết quả quan trọng.

Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh nếu hai hàm phân hình f, g

chung nhau 5 giá trị phân biệt thì trùng nhau. Kết quả này của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức được xác định một cách duy nhất ánh xạ ngược, không kể bội của 5 giá trị phân biệt. Cơng trình này của ơng được xem là khởi nguồn cho các nghiên cứu sự xác định duy nhất của hai hàm phân hình.

Năm 1977, Rubel và Yang chứng minh được rằng, nếu tồn tại một hàm nguyên f khác hàm hằng chung nhau 2 giá trị phân biệt, kể cả bội với f⁰

thì f ≡ f⁰. Kết quả này của Rubel và Yang đã thu hút sự quan tâm của một số nhà nghiên cứu đến việc tìm mối liên hệ giữa hàm phân hình với đạo hàm của nó khi chúng chung nhau một giá trị, kể cả bội.

Kí hiệu

σ<small>2</small>(f ) = lim sup_r→∞ ^{log log T (r,f )}_{log r} .

Năm 1996, Bruck đưa ra giả thuyết sau mà sau này ta thường gọi là giả thuyết Bruck: Cho f là một hàm nguyên khác hàm hằng mà σ₂(f ) không phải một số nguyên dương hoặc vô hạn. Nếu f và f⁰ chung nhau một giá trị hữu hạn a (kể cả bội) thì f⁰ − a = c (f − a) trong đó c là một hằng số khác 0.

Bruck đã chứng minh giả thuyết với a = 0. Đồng thời, ông chỉ ra rằng giả thuyết đúng với a = 1 với điều kiện N (r; 0; f⁰) = S (r; f ). Giả thuyết

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Bruck hình thành một bài toán trong vấn đề duy nhất là nghiên cứu vấn đề duy nhất khi một hàm hoặc lũy thừa của nó có chung một giá trị, tập hợp hay hàm nhỏ với các đa thức vi phân của nó. Thời gian gần đây các kết quả nghiên cứu theo hướng này tập trung vào các hướng:

- Thay thế đạo hàm bậc nhất bởi đơn thức hay đa thức hữu hạn chứa các đạo hàm các cấp.

- Thay thế hàm f bởi lũy thừa của hàm f.

Theo hướng nghiên cứu trên, Gundersen and Yang (năm 1999) nghiên cứu giả thuyết Bruck với đạo hàm cấp k. Chang and Zhu (năm 2009) mở rộng giả thuyết cho hàm phân hình có bậc hữu hạn với đạo hàm bậc nhất, Li and Yi sau đó chứng minh kết quả của Chang và Zhu cho trường hợp đạo hàm cấp cao. Năm 2010 Zhang và Liao đã chứng minh một dạng tương tự kết quả của Li và Yi.

Kí hiệu

L (f ) = P<small>k</small>

<small>j=0</small>a_j (z) f^(j).

Năm 2009, Z. Mao và năm 2018, I. Lahiri và S. Das đã nghiên cứu giả thuyết Bruck khi thay đạo hàm cấp một bởi L (f ) và đã thu được một số kết quả quan trọng.

Luận văn: “Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình và đa thức vi phân tuyến tính ” là một trong những nghiên cứu theo hướng trên. Mục đích chính của luận văn nhằm trình bày lại một cách hệ thống các kết quả nghiên cứu về vấn đề duy nhất với điều kiện hàm phân hình và đa thức vi phân tuyến tính của nó có chung nhau nhau một giá trị hay hàm nhỏ.

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna và các kết quả nghiên cứu của Z. Mao, I. Lahiri và S. Das trong thời gian gần đây về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình dưới điều kiện hàm phân hình và đa thức vi phân tuyến tính của nó chung nhau một hàm nhỏ hay giá trị.

Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna đồng thời trình bày một số tính chất của hàm phân hình chung nhau một giá trị hay một hàm nhỏ.

• Chương 2: Vấn đề duy nhất. Trong chương này chúng tơi trình bày một số kết quả nghiên cứu trong thời gian gần đây về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình khi một hàm phân hình và một đa thức vi phân tuyến tính dạng đặc biệt của nó chung nhau một đa thức.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022 Tác giả

Vũ Thị Lê Minh

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm, trình bày một số tính chất cơ bản về các hàm Nevanlinna và các tính chất của các hàm phân hình chung nhau một giá trị hay hàm nhỏ được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] để làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2.

1.1. Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna 1.1.1. Các hàm Nevanlina và tính chất

Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:

log⁺x = max {log x, 0} .

Khi đó log x = log⁺x − log^{+ 1}_x.

Cho f là một hàm phân hình trên C, r > 0, với mỗi ϕ ∈ [0; 2π], ta có

log | f re^iϕ |= log⁺ | f re<small>iϕ</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

m (r, f ) = _2π¹ ^R₀^2πlog⁺ | f re<small>iϕ</small>

| dϕ

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f.

Kí hiệu n^r, ¹_f^ là số không điểm kể cả bội, n^r, ¹_f^ là số không điểm không kể bội của f trong D_r = {z ∈ _C :| z |≤ r}.

Định nghĩa 1.1.3. HàmT (r, f ) := m (r, f ) + N (r, f )được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f. Đây là hàm đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết Nevanlinna.

Các hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị và được gọi là các hàm Nevanlinna. Các bất đẳng thức sau đây là các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm đếm, hàm đặc

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Định lý 1.1.5. Cho f (z) là hàm phân hình trong | z |≤ R (0 < R < ∞)

Nhận xét 1.1.7. Định lý cơ bản thứ nhất cho ta cận trên của số khơng điểm của phương trình f (z) = a với a ∈ _C∪ {∞}.

Cho f là một hàm phân hình, r > 0. Kí hiệu:

Định lý 1.1.8. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a₁, ..., a_q ∈

C, (q > 2) phân biệt. Khi đó với mỗi ε > 0, bất đẳng thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

đúng với mọi r ≥ r₀ nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

1.2. Một số tính chất của hàm phân hình chung nhau một giá trị hay một hàm nhỏ

1.2.1. Một số khái niệm

Cho f là một hàm phân hình, a là một hàm nhỏ của f. Kí hiệu E(a, f )

là tập các khơng điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệt của f − a.

Định nghĩa 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a CM (kể cả bội), nếu E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a IM (không kể bội).

Trong định nghĩa trên nếu a là một giá trị hữu hạn thì ta nói f và g

chung nhau giá trị a. Định nghĩa 1.2.2. Nếu

N ^r,_{f −a}¹ ^+ N ^r,_g−a¹ ^− 2N_E (r, a; f, g) = S (r, f ) + S (r, g)

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a "CM". Nếu

N^r,_{f −a}¹ ^ + N^r,_g−a¹ ^− 2N₀(r, a; f, g) = S (r, f ) + S (r, g)

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a "IM".

Ta dễ dàng chứng minh được nếu f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị)

a CM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a "CM", chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a IM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a "IM". Do đó có thể nói điều kiện "CM" ("IM") lỏng hơn điều kiện CM (IM).

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Cho a là hàm nhỏ hoặc a ∈ _C ∪ {∞}, kí hiệu E_k(a, f ) là tập tất cả các không điểm của f − a với một không điểm bội m được tính m lần nếu

m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k.

Định nghĩa 1.2.3. Nếu E_k(a, f ) = E_k(a, g) thì ta nói f và g chung nhau giá trị a với trọng số k.

Từ định nghĩa trên ta có: Nếu f và g chung nhau giá trị a với trọng số k thì z₀ là khơng điểm của f − a với bội m (≤ k) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của g − a với bội m (≤ k) và z₀ là không điểm của f − a với bội m (> k) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của g − a với bội n (> k), với

m không nhất thiết bằng n. Ta viết f, g chung nhau (a, k) có nghĩa là f, g

chung nhau giá trị a với trọng số k. Ta thấy f và g chung nhau a giá trị a

IM ( hoặc CM) nếu và chỉ nếu f và g chung nhau (a, 0) hoặc ((a, ∞)).

trong đó ν(r, f ) là chỉ số trung tâm của f.

Bổ đề 1.2.5. Chof là một hàm nguyên siêu việt vàE ⊂ [1, ∞) có độ đo log-arit hữu hạn. Khi đó tồn tại {z_k = r_ke^iθ<small>k</small>} sao cho |f (z_k)| = M (r_k, f ), θ_k ∈

Bổ đề 1.2.6. Cho Q(z) = b<small>n</small>zⁿ + b<small>n−1</small>zⁿ⁻¹ + ... + b<small>0</small>, với n là số nguyên dương và b_n = |b_n|e^iϕ<small>n</small>, ϕ_n ∈ [0, 2π). Với mọi ε(0 < ε < π/(4n)) cho trước,

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

ta giới thiệu 2n hình quạt mở

A<small>k</small>(z)(6≡ 0), A<small>k−1</small>(z), ..., A<small>0</small>(z), B(z)là các đa thức và k là số nguyên dương. Nếu f (z) là một nghiệm của phương trình

Nhận xét 1.2.9. Với tập H ⊂ (1, +∞), nếu log densH > 0, thì độ đo logarit của H là vô hạn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Bổ đề 1.2.10. Gọi f là hàm phân hình siêu việt và α > 1 là hằng số cho trước.

(1) Tồn tại tập E ⊂ [0, 2π) với độ đo tuyến tính bằng 0 và hằng số B > 0

phụ thuộc vào α và i, j (0 ≤ i < j ≤ 2k), sao cho nếu ϕ₀ ∈ [0, 2π)\E,

thì với hằng số R = R(ϕ₀) > 1 và với mọi z thỏa mãn arg z = ϕ₀ và

(2) Tồn tại tập E ⊂ [1, ∞) với độ đo lôgarit hữu hạn và hằng số B > 0

phụ thuộc vào α và i, j (0 ≤ i < j ≤ 2k), sao cho với mọi z thỏa mãn

|z| = r /∈ [0, 1] ∪ E, khi đó bất đẳng thức trên đúng.

Bổ đề 1.2.11. Cho f (z) là một hàm nguyên siêu việt. Khi đó, tồn tại tập

E₂ ⊂ (1, ∞) với độ đo lôgarit hữu hạn sao cho |z| = r /∈ [0, 1] ∪ E₂ và

Bổ đề 1.2.14. Cho f và a là hai hàm nguyên sao cho 0 ≤ σ(a) < σ(f ) < ∞. Khi đó tồn tại tập E<small>1</small> có độ đo logarit vơ hạn và số dương K sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Bổ đề 1.2.15. Cho f là một hàm nguyên siêu việt và E ⊂ [1, ∞) là một tập hợp có độ đo logarit hữu hạn. Giả sử E<small>1</small> ⊂ [1, ∞) là tập hợp có độ đo logarit vơ hạn như trong Bổ đề 1.2.14. Khi đó tồn tại z<small>n</small> = r<small>n</small>e^iθ<small>n</small> sao cho

|f (z_n)| = M (r<small>n</small>, f ), θ<small>n</small> ∈ [0, 2π), lim_n→∞θ<small>n</small> = θ<small>0</small> ∈ [0, 2π) và r<small>n</small> ∈ E₁\E.

Hơn nữa, nếu 0 < σ(f ) < ∞, thì với ε(> 0) cho trước và r<small>n</small> đủ lớn

r_n^{σ(f )−ε} < ν(r<small>n</small>, f ) < r^{σ(f )+ε}_n .

Bổ đề 1.2.16. Cho P (z) = bz^p+ b₁z^p−1+ b₂z^p−2 + ... + b_p−1z + b_p(b 6= 0)

là đa thức bậc p(≥ 1). Khi đó với mọi ε(0 < ε < 1), tồn tại R(> 0) sao cho với mọi |z| > R bất đẳng thức sau đúng:

trong đó P [f ] là đa thức vi phân có bậc lớn nhất là n − 1 trong f có hệ số là các hàm nhỏ liên quan đến f. Giả sử N (r, f ) + N (r,_F¹) = S(r, f ). Khi đó F (z) = hⁿ(z), h(z) = f (z) + (_n¹)a(z) và hⁿ⁻¹(z)a(z) thu được bằng cách thay thế h(z) cho f (z), h⁰(z) cho f⁰(z) trong các số hạng có bậc n − 1 trong

P [f ].

Như vậy, F (z) có dạng (f +^a_n)ⁿ trong đó a được xác định bởi các số hạng có bậc n-1 trong P [f ] và F (z).

Bổ đề 1.2.18. Cho f là hàm phân hình khác hằng, n là số nguyên dương.

P [f ] và Q[f ] là hai đa thức vi phân trong f, trong đó bậc của P [f ] cao nhất là n. Nếu

fⁿQ[f ] = P [f ]

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

nhất của các đạo hàm của f trong P [f ] và Q[f ].

Bổ đề 1.2.19. Cho f là hàm phân hình khác hằng, k là số nguyên dương.

Bổ đề 1.2.20. Cho f là hàm phân hình, k là số nguyên dương. Giả sử f

là một nghiệm của phương trình vi phân sau:

Bổ đề 1.2.21. Cho g là hàm nguyên, n là số nguyên dương. Nếu tồn tại các hàm phân hình a₀(6≡ 0), a₁, ..., a_n sao cho

a₀gⁿ+ a₁gⁿ⁻¹+ ... + a_n−1g + a_n ≡ 0,

T (r, g) ≤ O^1 + T (r, a₀) +P<small>n</small>

<small>j=1</small>m(r, a_j)^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

A(z) → (λ_j)^s khi | z |→ ∞ và arg z = − arg λ<small>j</small>.

Bổ đề 1.2.23. Cho f là hàm nguyên khác hằng và k ≥ 2 là số nguyên dương. Nếu f^(k) 6= 0 thì f (z) = e^az+b trong đó a(6= 0), b là hằng số.

Bổ đề 1.2.24. Cho f là hàm nguyên khác hằng, cho a(6≡ 0) là hàm nhỏ liên quan tới f và số nguyên dương k. Giả sử rằng

Bổ đề 1.2.25. Cho f là hàm nguyên khác hằng, cho a là hàm nhỏ khác hằng liên quan tới f và số nguyên dương k ≥ 2. Giả sử rằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Chương 2

Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình và đa thức vi phân tuyến tính

2.1. Định lý duy nhất cho hàm nguyên

Ký hiệu: σ(f ), σ₂(f ) để biểu thị bậc và siêu bậc của f, trong đó:

Định lý 2.1.1. [3] GọiP (z)là một đa thức khác không,A<small>k</small>(z)(6≡ 0), ..., A<small>0</small>(z)

là đa thức vàf là hàm nguyên củaσ(f ) > 1+max_{0≤j≤k−1}

với hằng số c 6= 0, trong đó deg A_j là bậc của A_j(z), k là số nguyên dương. Chứng minh. Vì f và L₁(f ) có chung P CM nên ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Trường hợp 2. Q(z) là một đa thức với deg Q = n ≥ 1. Theo Bổ đề 1.2.7, ta được σ(F ) = ∞. Từ lý thuyết Wiman– Valiron, tồn tại tập

E₂ ⊂ [1, ∞) với độ đo logarit hữu hạn, sao cho với mọi z thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Khi đó theo (2.7) và Bổ đề 1.2.4, ta có σ₂(F ) ≥ n, điều này mâu thuẫn với

σ₂(F ) < ¹₂.

Trường hợp 3. Q(z) là một hàm nguyên siêu việt. Theo (2.1), ta được

σ(F ) = ∞. Áp dụng lập luận tương tự như trong chứng minh của Trường

Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.8 và Nhận xét 1.2.9, tồn tại tập H ⊂ (1, ∞) với độ đo lôgarit vô hạn, sao cho với mọi z_m thỏa mãn |z_m| = r_m ∈ H\E₂ và

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Định lý 2.1.4. [3] Cho A<small>k</small>(z)(6≡ 0), ..., A<small>2</small>(z) là các đa thức và f là hàm nguyên khác hằng của σ<small>2</small>(f ) < ∞, trong đó σ<small>2</small>(f ) khơng phải là số nguyên dương. Nếu f và L<small>2</small>(f ) := A<small>k</small>f^(k)+ + A<small>2</small>f ” + f chung nhau z CM, thì

L<small>2</small>(f )(z) − z f (z) − z ^{= c}

với hằng số c 6= 0, trong đó k(≥ 2) là một số nguyên dương. Chứng minh. Vì f và L₂(f ) chung nhau z CM nên ta có

Trường hợp 2. Q(z) là đa thức với deg Q = n ≥ 1 hoặc hàm nguyên siêu việt. Đặt F (z) = f (z) − z, khi đó

Theo Bổ đề 1.2.10, tồn tại tập E ⊂ [1, ∞) với độ đo lôgarit hữu hạn và hằng số B > 0, sao cho với mọi z thỏa mãn |z| = r /∈ [0, 1] ∪ E, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

trong đó M₁ là hằng số dương. Vì vậy

σ₂(F ) ≥ σ(e^Q). (2.16) Mặt khác, theo Lý thuyết Wiman- Valiron, tồn tại tập E₁ ⊂ [1, ∞) với độ đo logarit hữu hạn, sao cho với mọi z thỏa mãn |z| = r /∈ [0, 1] ∪ E₁ và

Do đó ta có σ₂(f ) = σ₂(F ) = n hoặc σ₂(f ) = σ₂(F ) = ∞, điều này mâu thuẫn với giả thuyết của Định lý 2.1.4. Do đó Định lý 2.1.4 được chứng minh.

Định lý 2.1.5 (5). Cho f là hàm nguyên khác hằng, cho a 6≡ 0 là hàm nhỏ liên quan đến f và số nguyên dương k. Nếu f, f^(k) và f^(k+1) chung nhau a

CM thì f ≡ f⁰.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Chứng minh. Vì f, f^(k) và f^(k+1) chung nhau hàm a CM nên tồn tại hàm nguyên α và β sao cho

Bây giờ, chúng ta xét 4 trường hợp sau.

Trường hợp 1. a − a^(k) ≡ a − a<small>(k+1)</small> ≡ 0. Khi đó a là hàm nguyên thoả

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

trong đó bA_j(e^β) và bB_j(e^β) là các đa thức trong e^β có hệ số là các hàm nhỏ liên quan tới F. Từ (2.29) và (2.30), ta biết A_j(0) và B_j(0) thoả mãn

A_j+1(0) = [A_j(0)]⁰ − α⁰A_j(0)

và

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Vế trái của (2.33) là đa thức trong e^β, được kí hiệu là P (e^β) trong đó các hệ số là các hàm nhỏ liên quan tới F.

Nếu T (r, e^β) 6= S(r, F ) thì theo Bổ đề 1.2.21, các số hạng hằng số của

Vậy α là hằng số. Theo phương trình đầu tiên của (2.24) và Bổ đề 1.2.20, ta có T (r, F ) = O(r). Ta thu được mâu thuẫn T (r, F ) = O(T (r, A)). Do đó ta chứng minh được rằng

T (r, e^β) = S(r, F )

</div>