Vấn đề duy nhất và phân bố giá trị cho một lớp hàm phân hình siêu việt

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.

Thái nguyên, tháng 04 năm 2021 Người viết luận văn

Phạm Đức Quốc

Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người HD

PGS. TS Hà Trần Phương

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Hà Trần Phương, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thiện luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể các thầy cơ giáo trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp q báu trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên tơi trong suốt q trình làm luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái nguyên, tháng 09 năm 2021 Người viết luận văn

Phạm Đức Quốc

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mở đầu

Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C và a là một số phức hoặc vơ cùng. Kí hiệu:

E_f(a) = f⁻¹(a) = {z ∈ _C : f (z) = a}

E_f(a) = {(z, n) ∈ _C×_N : f (z) = a, ord_{f −a}(z) = n} .

Cho f và g là hai hàm trên mặt phẳng phức C và a là một giá trị phức. Ta nói f và g chung nhau a kể cả bội (CM) nếu E_f(a) = E_g(a). Ta nói f

và g chung nhau a không kể bội (IM) nếu E_f(a) = E_g(a).

Năm 1920, Nevanlinna đã chứng minh định lý 4 điểm: Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu f và g chung nhau bốn giá trị phân biệt kể cả bội thì f là phép biến đổi Mobius của g. Chẳng hạn f = e^z,

g = e^−z chung nhau bốn giá trị 0, 1, −1, ∞ kể cả bội và f = ¹

g^{. Năm}

1997, Yang và Hua đã chứng minh: Cho hai hàm phân hình khác hằng

f, g và một số nguyên n ≥ 11. Nếu fⁿf⁰ và gⁿg⁰ chung nhau giá trị a

CM, trong đó a 6= 0 là một hằng số, thì hoặc f = dg với dⁿ⁺¹ = 1 hoặc

trong đó a_j là các hàm nhỏ đối với f. P (f ) được gọi là đa thức vi phân của f. Thời gian gần đây có một số tác giả mở rộng kết quả của Yang và

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Hua bằng cách thay thế lũy thừa fⁿ bởi đa thức vi phân của f và f⁰ được thay thế bởi đạo hàm cấp cao của f và thu được một số kết quả trong trường hợp này.

Với mong muốn được làm phong phú thêm các kết quả hướng tổng quát hóa kết quả của Yang và Hua, tôi chọn đề tài "Vấn đề duy nhất và phân bố giá trị cho một lớp hàm phân hình siêu việt". Mục đích của luận văn là giới thiệu một số nghiên cứu gần đây của H. P. Waghamore, V. Husna, S. Rajeshwari và một số tác giả khác theo hướng nghiên cứu nói trên. Luận văn được chia thành 2 chương, Chương 1 giới thiệu một số kết quả chuẩn bị trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna. Chương 2 là nội dung chính của luận văn, giới thiệu một số kết quả nghiên cứu về phân bố giá trị và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình thuộc lớp A.

Thái nguyên, tháng 09 năm 2021 Người viết luận văn

Phạm Đức Quốc

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm đếm tại cực điểm). Cho hàm f là hàm phân hình trên đĩa D(R) và r < R, kí hiệu n(r, f ) là số cực điểm của f kể cả bội trong đĩa đóng D(r). Khi đó hàm đếm tại cực điểm của f, kí hiệu

N (r, f ) được xác định như sau

log⁺
f (re^iθ)
Dθ,

trong đó log⁺(x) = max{log x, 0}, với x > 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Định nghĩa 1.1.3 (Hàm đặc trưng Nevanlinna). Hàm đặc trưng Nevan-linna của f, kí hiệu là T (r, f ), được xác định bởi:

là số các không điểm của f kể cả bội trong đĩa D(r). Khi đó hàm đếm tại các a - điểm của f , kí hiệu N

Định nghĩa 1.1.5. Ta định nghĩa A là lớp các hàm phân hình f trong C thỏa mãn điều kiện N (r, f ) + N

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

trong đó O(1) là đại lượng bị chặn.

Định lý 1.1.8 (Định lý cơ bản thứ hai). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C vàa₁, a₂, . . . , a_q là các số phức phân biệt, khi đó với mọi ε > 0 +(1 + ε) log⁺(log T (r, f )) + log T (r, f ) + O(1)

đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

Hiển nhiên N_ram(r, f ) ≥ 0. Một dạng khác của định lý cơ bản thứ hai thường được sử dụng trong chứng minh các kết quả về vấn đề duy nhất như sau:

Hệ quả 1.1.9. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a<small>1</small>, a<small>2</small>, . . . , a<small>q</small>

là các số phức phân biệt, khi đó ta có bất đẳng thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

đúng với mọi r > 0 và đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo Lebesgue hữu

Một hàm phân hình a(z) được gọi là hàm nhỏ của f (z) nếu T (r, a) = S(r, f ). Trong đó S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r → ∞ nằm ngồi một tập có độ đo hữu hạn.

Định lý 1.1.10. Chof là hàm phân hình khác hằng trên C vàa₁(z), a₂(z), . . . , a_q(z)

là các hàm nhỏ đối với f. Khi đó ta có bất đẳng thức sau

được gọi là chỉ số bội của hàm f tại giá trị a. Số

Θ_f(a) = 1 − lim sup

N_f(r, a) T_f(r)

được gọi là số khuyết không kể bội của hàm f tại a.

Dễ thấy, với mỗi hàm phân hình f và a ∈ _{C, ta ln có} 0 ≤ δ_f(a) ≤ Θ_f(a) ≤ 1.

Định lý 1.1.12. Giả sử f là hàm phân phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập các giá trị a mà Θ_f(a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Nhận xét: Nếuf là hàm phân hình mà phương trình f (z) = a vơ nghiệm thì N_f(r, a) = 0. Khi đó m_f(r, a) = T_f(r) + O(1) nên δ_f(a) = 1.

Nếu f là hàm chỉnh hình thì f khơng có cực điểm. Do đó, Θ_f(∞) = 1, suy ra P

Θ_f(a) ≤ 1.

Định lý 1.1.13 (Định lý Picard). Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C. Khi đó f nhận mọi giá trị trừ ra cùng lắm hai giá trị.

Bổ đề 1.2.1 ([5]). Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng mà có cùng chung bốn giá trị a<small>1</small>, a<small>2</small>, a<small>3</small>, a<small>4</small> CM thì khi đó f là phép biến đổi Mobius của g: hai trong các giá trị chung, chẳng hạn a₁ và a₂ là giá

thì khi đó f = e^az+b, với a 6= 0, b là hằng số.

Cho f là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng phức mở C. Kí

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

trong đó a<small>j</small> là các hàm nhỏ đối với f. P (f ) được gọi là đa thức vi phân

Bổ đề 1.2.4 ([1]). Cho f là một hàm phân hình bậc hữu hạn và P là đa thức vi phân thuần nhất bậc n của f. Nếu Θ(0, f ) = Θ(∞, f ) = 1, khi đó

với k là số nguyên dương.

Bổ đề 1.2.6 ([6]). Cho F và G là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng, cho c là một số phức (c 6= 0, 1). Nếu F và G có chung 1 và c IM, và nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Giả sử f<small>1</small> không phải là một hằng số và tại các không điểm của hàm f<small>j</small>(f = 1, 2, 3), tại đó một khơng điểm bội được tính hai lần và khơng điểm đơn được tính một lần. Khi đó f₂ = 1

hoặc f₃ = 1.

Bổ đề 1.2.9 ([3]). Cho f, g ∈ A, n ≥ m + k + 1 và k là số nguyên dương. Nếu fⁿ[P (f )]^(k) và gⁿ[P (g)]^(k) có chung nhau giá trị 1 CM, thì

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

+ N r, ¹

[P (g)]<small>(k)</small> + N r, ¹

g<small>n</small>[P (g)]<small>(k)</small>− 1 ^{+ S(r, g).}

Bởi vì fⁿ[P (f )]^(k) và gⁿ[P (g)]^(k) có chung nhau giá trị 1 CM. Nó có nghĩa làfⁿ[P (f )]^(k)− 1 và gⁿ[P (g)]^(k)− 1 có các không điểm chung với cùng bội số, sử dụng điều này và Mệnh đề 1.2.5, chúng ta có được

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Bổ đề 1.2.10 ([3]). Chof, g ∈ A, n ≥ m+1 vàk là số nguyên dương. Nếu

fⁿ[P (f )]^k và gⁿ[P (g)]^k chung nhau giá trị 1 CM, thì S(r, f ) = S(r, g).

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Từ (1.6) và việc f và g là các hàm siêu việt, suy ra

Sử dụng điều này cùng với Mệnh đề 1.2.5 với (1.5), (1.7) và (1.8), (1.9)

có thể được viết như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Theo (1.6), ta thấy F và G chung giá trị 1 và −1 IM, cùng với (1.16) và Mệnh đề 1.2.6 suy ra F và G chung giá trị 1; −1; 0; ∞ CM, do đó theo Mệnh đề 1.2.1, ta có 0 và ∞ là các giá trị Picard của F và G. Do vậy từ

(1.4) có thể suy ra rằng cả f và g là hàm siêu việt. Từ (1.7) ta có

Nếu k ≥ 2, giả sử rằng α là một hàm nguyên siêu việt. Từ Mệnh đề 1.2.2, ta cóf = e^α(z) = e^az+b, suy ra α(z) = az + b là một đa thức, điều này trái với giả thiết. Do đó α và β là các đa thức.

Ta suy ra từ (1.17) rằng

[P (f )]^(k) = [(α⁰)^k + P_(k−1)(α<small>0)</small>]p(e^α). [P (g)]^(k) = [(β⁰)^k + Q_(k−1)(β<small>0)</small>]p(e^β).

Trong đó P_(k−1)(α<small>0)</small> và Q_(k−1)(β<small>0)</small> là các đa thức vi phân theo α⁰ và β⁰ với bậc tối đa là (k − 1). Do đó, từ (1.6) ta suy ra

[(α⁰)^k + P_(k−1)(α<small>0)</small>][(β⁰)^k + Q_(k−1)(β<small>0)</small>]p(e^{(n+m−k)(α+β)}) = 1 (1.18)

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

ta suy ra từ (1.18) rằng α(z) + β(z) = c, c là một hằng số. Nếu k = 1, từ (1.17) ta có

(α⁰)(β⁰)p(e^{(n+m−k)(α+β)}) = 1. (1.19) Cho α + β = γ. Nếu α và β là các hàm nguyên siêu việt thì γ không phải là một hằng số và (1.19) tương đương với

Từ α và β là các hàm nguyên siêu việt và (1.20) ta có được T (r, α⁰) ≤ S(r, α⁰) và điều này có nghĩa là α⁰ là một hằng số (mâu thuẫn). Do đó α

và β đều là các đa thức và α(z) + β(z) = c, với c là một hằng số. Do đó từ (1.18), ta có

(α⁰)^2k = 1 + P_(2k−1)(α⁰) (1.21)

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

với P_(2k−1)(α⁰) là các đa thức vi phân tại α⁰. Từ (1.22), ta có

Nên T (r, α⁰) ≤ S(r, α⁰), điều này đồng nghĩa với α⁰ là hằng số. Do đó

α = pz + c₁, β = −pz + c₂. Từ (1.17) ta biểu diễn f và g như sau

f = c₃e^pz, g = c₄e^−pz.

Trong đóc₃, c₄ và plà các hằng số sao cho (−1)^k(c₃c₄)ⁿ⁺¹p^2k = 1. Mệnh đề được chứng minh.

Bổ đề 1.2.12 ([2]). Cho f, g ∈ A, d(P ) ≥ 2 và k là một số nguyên dương. Nếu f^{d(P )}f^(k) và g^{d(P )}g^(k) chung nhau giá trị 1 CM thì

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

≤ 2T (r, g) + (d(P ) + 1)T (r, f ) + S(r, g) (d(P ) − 1)T (r, g) ≤ (d(P ) + 1)T (r, f ) + S(r, g)

T (r, g) ≤ ^{(d(P ) + 1)}

(d(P ) − 1)^{T (r, f ) + S(r, g).}

Điều này kéo theo chứng minh của Mệnh đề.

Bổ đề 1.2.13 ([2]). Cho f, g ∈ A, d(P ) ≥ 2 và k là một số nguyên dương. Nếu f^{d(P )}f^(k) và g^{d(P )}g^(k) chung nhau giá trị 1 CM thì

Sử dụng hai bất đẳng thức trên ta dễ dàng thu được S(r, f ) = S(r, g). Điều này hoàn thành việc chứng minh mệnh đề.

Sử dụng phương pháp trong [6], ta chứng minh Mệnh đề sau.

Bổ đề 1.2.14 ([2]). Cho f, g ∈ A, d(P ) ≥ 2 và k là một số nguyên dương.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Từ(1.27), ta biết rằngF và Gchung 1 và−1 IM, điều này cùng với (1.37)

và Mệnh đề1.2.6, có nghĩa rằng F và Gchung 1, −1, 0; ∞ CM, do đó theo Mệnh đề 1.2.1, ta được 0 và ∞ là các giá trị Picard của F và G. Do đó từ

(1.26) ta suy ra cả f và g là là các hàm nguyên siêu việt. Theo (1.28) ta

Nếu k ≥ 2, giả sử rằng α là một hàm nguyên siêu việt. Từ Mệnh đề 1.2.3, ta có f = e^α(z) = e^az+b, suy ra α(z) = az + b, một đa thức (mâu thuẫn).

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

điều này suy raα⁰ là một hằng số, là một mâu thuẫn. Do đó α và β là các

Điều này suy ra α⁰ là một hằng số.

Do đó α = pz + c₁, β = −pz + c₂. Theo (1.38), ta biểu diễn f và g như sau

f = c₃e^pz, g = c₄e^−pz

trong đó c₃, c₄ và p là các hằng số sao cho (−1)^k(c₃c₄)^{d(P )+1}p^2k = 1. Điều này hoàn thành chứng minh Mệnh đề.

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Chương 2

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất

Định lý 2.1.1 ([3]). Nếu f, g ∈ A, n ≥ m + k + 1 và k là một số nguyên dương. Khi đó fⁿ[P (f )]^(k) = 1 có vơ số khơng điểm.

Chứng minh. ChoF = fⁿ[P (f )]^(k). Theo Mệnh đề1.2.4 và Mệnh đề1.2.7,

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Định lý 2.1.2 ([2]). Nếu f, g ∈ A, d(P ) ≥ 2 và k là số ngun dương thì

f^{d(P )}f^(k) = 1 có vô số không điểm.

Chứng minh. Cho F = f^{d(P )}f^(k). Theo Mệnh đề 1.2.2 và 1.2.4, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

CM, thì hoặc f ≡ tg với t là một hằng số thỏa mãn tⁿ⁺¹ = 1 hoặc

f (z) = c<small>3</small>e^pz, g(z) = c<small>4</small>e^−pz với c<small>3</small>, c<small>4</small>, p là các hằng số thỏa mãn thỏa

Từ (2.5) ta thấy rằng các không điểm và cực điểm của H(z) là các không điểm bội và cực điểm bội thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

bằng tính tốn đơn giản, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Điều này mâu thuẫn vì n ≥ m + k + 4. Do đó h là một hằng số. Vì f và

g là các hàm phân hình siêu việt, ta có h 6= 0.

Cho t = ¹_h, suy ra f = tg. Từ (2.10), ta có tⁿ⁺¹ = 1. Điều này kết thúc chứng minh Định lý 2.1.2.

Định lý 2.2.2 ([2]). Cho f, g ∈ A, d(P ) ≥ 5 và k là số nguyên dương. Nếu f^{d(P )}f^(k) và g^{d(P )}g^(k) có chung nhau giá trị 1 CM, thì hoặc f ≡ tg với một hằng số t thỏa mãn t^{d(P )+1} = 1 hoặc f = c<small>3</small>e^pz, g = c<small>4</small>e^−pz, trong đó

Khi đó H(z) là một hàm phân hình thỏa mãn T (r, H) = O(T (r, f ) + T (r, g)), theo định lý cơ bản đầu tiên và Mệnh đề 1.2.4.

Từ (2.13), ta thấy rằng các không điểm và cực điểm của H(z) là bội số thỏa mãn

N (r, H) ≤ N_L(r, f ), N (r, ¹

H^{) ≤ N}^L^{(r, g).} ^(2.14)

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

giả sử h không là hằng số. Theo (2.19), ta có

Điều này mâu thuẫn vì d(P ) ≥ 5. Do đó h là một hằng số. Vì f và g là các hàm phân hình siêu việt nên h 6= 0.

Đặt t = ¹

h^{, suy ra} ^{f = tg}^{. Từ} ^(2.18)^{, ta có} ^t

<small>d(P )+1</small> = 1. Điều này hoàn thành chứng minh Định lý.

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Kết luận

Trong luận văn này, ngoài việc tổng hợp một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna, chúng tôi đã giới thiệu một số kết quả nghiên cứu gần đây của các nhà toán học về số nghiệm của phương trình vi phân và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình. Cụ thể

1. Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2 về số nghiệm của các phương trình dạng fⁿ[P (f )]^(k) = 1 và f^{d(P )}f^(k) = 1, trong đó f là một hàm siêu việt đặc biệt. Các định lý cho thấy, với một số điều kiện đại số phù hợp thì hai phương trình trên có vơ số khơng điểm.

2. Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 về vấn đề duy nhất cho lớp các hàm phân hình thuộc lớp A khi một dạng đặc biệt (dạng fⁿ[P (f )]^(k)

và f^{d(P )}f^(k)) của đa thức vi phân của chúng chung nhau giá trị 1 kể cả bội. Các kết quả trong phần này là các mở rộng có ý nghĩa của kết quả Yang - Hua.

Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề này với các dạng khác của đa thức vi phân chung nhau một giá trị hay hàm nhỏ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Tài liệu tham khảo

[1] H. S. Gopalakrishna and S. S. Bhoosnurmath, One the deficiencies of differential polynomials, J. Karnatak Univ. Sci. 18 (1973), 329-335. [2] P. Waghamore1* Harina and V. Husna2, Uniqueness and

value-sharing of meromorphic functions in class A, Gulf Journal of Mathe-matics, Vol5, Issue 1 (2017) 49-62.

[3] P. Waghamore* Harina and S. Rajeshwari, Uniqueness and value sharing problems in class A of meromorphic functions, J. Appl. Math. & Informatics. Vol. 35 (2017), no. 1-2, pp. 131-145.

[4] W. K. Hayman, Meromorphic functions, Oxford Mathematial Mono-graphs, Clarendon Press, Oxford, 1964.

[5] R. Nevanlinna, “Einige Eindeutigkeitss atze in der theorie der Mero-morphic Functions”, Acta Math, 48 (1926), 367-391.

[6] C. -C. Yang and H. -X. Yi, “Uniqueness theory of meromorphic functions”, Mathematics and its Applications 557, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht, 2003.

[7] L. -Z. Yang and J. -L. Zhang, Non-existence of meromorphic solutions of a Fermat type functions equation, Aequationes Math. 76 (2008), no. 1-2, 140-150.

[8] X. B. Zhang, J. F. Xu and H. X. Yi, Value-sharing of meromorphic functions and Fany’s problem, arXiv: 1009. 2132v1 [math. CV] 11 Sep. 2010.

</div>