Bài tập lớn giải tích 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.77 MB, 35 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MƠN HỌC: Giải Tích 1

Nhóm: ....Lớp: CN01

Giáo viên hướng dẫn:Lê Thị Yến NhiNguyễn Quốc Lân

Lớp: CN01

Thành phố Hồ Chí Minh, 12/2023

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bài báo cáo, nhóm em chân thành cảm ơn giảng viên - cô Lê Thị Yến Nhi và thầy Nguyễn Quốc Lân đã dạy dỗ cũng như là truyền đạt cho chúng em những nền tảng kiến thức, kỹ năng cần thiết, cũng như bài học kinh nghiệm hữu ích để hoàn thiện bài báo cáo này.

Chúng em xin chúc quý cô, quý thầy mạnh khỏe, thành công trong công việc và cuộc sống.

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do trình độ chun mơn cịn hạn chế trong q trình thực hiện nhóm em cịn gặp nhiều khó khăn và khơng tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cơ để bài báo cáo của nhóm em được hồn thiện hơn.

Tập thể nhóm xin trân trọng cảm ơn!

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

LỜI CẢM ƠN...4

Chương 1: MỞ ĐẦU...6

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT...7

2.1 Các khái niệm cơ bản...7

2.1.1 Giới hạn, tính liên tục của hàm số...7

2.1.2 Đạo hàm...9

2.1.3 Nguyên hàm, tích phân...10

2.1.4 Vi phân...11

Chương 3: ỨNG DỤNG THỰC TIỄN...12

Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm diện tích đường cong...12

Ví dụ 2: Ứng dụng đạo hàm tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động...13

Ví dụ 3: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm thể tích khối trịn xoay...16

Ví dụ 4: Ứng dụng vi phân vào bài tốn tính độ hịa tan...17

Ví dụ 5: Ứng dụng phương trình vi phân cho sự gia tăng dân số...19

Ví dụ 6: Ứng dụng đạo hàm vào bài tốn chi phí trong kinh tế...21

Ví dụ 7: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tính tổng lượng điện qua mạch...24

Ví dụ 8: Ứng dụng của đạo hàm trong machine learning...26

Ví dụ 9: Ứng dụng của tích phân trong computer graphics:...30

Ví dụ 10:...31

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Chương 1: MỞ ĐẦU

Tại Trường Đại Học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ ChíMinh, chúng em được cơ Lê Thị Yến Nhi và thầy Nguyễn Quốc Lân giớithiệu và giảng dạy sâu hơn về bộ mơn giải tích đã được học ở trung học phổthơng. Qua mơn giải tích 1, chúng em được hiểu sâu hơn về đạo hàm, tíchphân, vi phân,...Cùng với đó là những kiến thức vơ cùng mới mẻ về các ứngdụng liên quan đến chúng, việc này góp phần không nhỏ cho tương lai saunày để giúp chúng em phát triển hơn và có một cái nhìn sâu sắc về Tốn học,đi đơi với việc ấy là tầm quan trọng khơng thể thiếu trong việc ứng dụngTốn học vào đời sống cũng như trong việc học, việc làm sau này của chúngem.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2 .1 Các khái niệm cơ bản

2.1.1 Giới hạn, tính liên tục của hàm số. 2.1.1.1 Giới hạn của hàm số

- Trong toán học, khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân. Người ta ký hiệu giới

hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy

số (

an

) ta viết lim(

an

) = a hoặc

an

→ a.

- Giả sử

f (x)

là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

x →cf ( x )=L

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này,ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cảkhi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Như vậy,

f (x)

có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

2.1.1.2 Tính liên tục của hàm số

- Một hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số khi biến đổi đến điểm đó từ cả hai phía bằng nhau và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Hình thức tốn học của định nghĩa này có thể được mơ tả như sau:

Một hàm

f (x)

được gọi là liên tục đại điểm c nếu thỏa mãn cả 3 điều kiện:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

2.1.2 Đạo hàm

- Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đạilượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó ( hay còn được gọi là độ

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

dốc của hàm tại điểm đó). Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại

Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).

2.1.3 Nguyên hàm, tích phân. 2.1.3.1 Nguyên hàm:

- Một nguyên hàm của một hàm số

f (x)

là một hàm

F (x)

có đạo hàmbằng

f (x)

, nghĩa là

F'(x )=f (x)

. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tíchphân bất định.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

- Ví dụ: Cho hàm số

f ( x )=2 x +3

- Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x )

trên là:

∫

(2 x +3) dx=x2+3 x +C

. Với C là một hằng số, vì khi đạo hàm một hằng số, ta luôn nhận giá trị là 0, nên khi tìm ngun hàm, chúng ta ln cộng một hằng số C

2.1.3.2 Tích phân:

- Tích phân là một khái niệm trong giải tích, liên quan đến việc tính tốn diện tích dưới đường cong hoặc diện tích giữa các đường cong trên một khoảng xác định. Nó được sử dụng để giải các vấn đề liên quan đến tổng hợp hoặc tích tụ thơng tin từ một quy trình liên tục.

- Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), tích phân từ a đến b của

xác định, liên tục trên [0; 4], để tính diện tíchgiới hạn bởi đồ thị

f ( x ) , x=0, x =4,

và trục hoành. Ta tính

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

2.1.4 Vi phân

- Vi phân dùng để nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Các đối tượng nghiên cứu chính trong vi phân là đạo hàm của hàm số, các khái niệm liên quan như vi phân hàm số và các ứng dụng của chúng. Đạo hàm của hàm tại một giá trị đầu vào được chọn mô tả tốc độ thay đổi của hàm gần giá trị đầu vào đó. Về mặt hình học, đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại điểm đó.

Chương 3: ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm diện tích đường cong

I. Cơ sở lý thuyết

Tích phân xác định được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của

diện tích giới hạn bởi đường cong f (x)và g(x ) như sau:

Với a, b là điểm cắt nhau giữa đường cong f (x)và g(x )

II. Bài toán cụ thể

Một mảnh đất sau khi được đo đạc và chiếu lên trục tọa độ Oxy. Người ta nhận thấy mảnh đất đó bị giới hạn bởi các đường y=−x2+9 và y=5.Hãy tính diện tích

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Với a, b là nghiệm của phương trình

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

area = integral( @(x) abs(f(x)-5), a, b)

Ví dụ 2: Ứng dụng đạo hàm tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động

I. Cơ sở lý thuyết

Quãng đường được xem như là đạo hàm của vận tốc vì đạo hàm là một khái niệm trong tính tốn vi phân, biểu thị sự biến đổi hay tốc độ biến đổi của một hàm số theo thời gian. Vận tốc là một đại lượng mơ tả sự thay đổi của vị trí đối với thời gian, và đây chính là một hàm số phụ thuộc vào thời gian.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Khái niệm đạo hàm vận tốc có nguồn gốc từ việc xem xét sự thay đổi của quãng đường theo thời gian. Khi tính đạo hàm của hàm số vận tốc theo thời gian, ta thu

quãng đường (S) như một hàm số đối với thời gian (t) cho phép chúng ta tính được đạo

vận tốc, và gia tốc là đạo hàm của vận tốc.

Vận tốc: là đạo hàm của quãng đường theo thời gian và được xác định bằng tỷ lệ của đạo hàm của quãng đường tới thời gian. Chính vì vậy, đạo hàm vận tốc đơn thuần là việc ứng dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng, xác định dựa trên phương trình tương ứng là:

v=dSdt

Gia tốc: là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Gia tốc tức thời của thời của vật tại thời điểm t0 là:

a=dvdt

II. Bài toán cụ thể:

“Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

s(t )=t3−3 t2+5 t+2

Ta có vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

v=dSdt=3 t

– 6 t+5

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Vận tốc của vật tại thời iểm t = 3s là:điểm t = 3s là:

v (3)=3.32−6.3+5=14 m/s

Gia tốc tức thời của vật là đạo hàm cấp hai của chuyển động, tức là đạo hàm của hàm vận tốc tại thời điểm t.

dt=6 t−6

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 3s là:

a (3 )=6.3−6=12 m/s2

Kết luận: Với đạo hàm, ta có thể tìm được vận tốc, gia tốc tức thời tại thời

điểm t0 cho trước.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Ví dụ 3: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm thể tích khối trịn xoay

I. Cơ sở lý thuyết

Trong khơng gian ba chiều, tích phân cũng được sử dụng để tính thể tích của các đối tượng. Bằng cách sử dụng tích phân, chúng ta có thể tính thể tích của vật thể khơng gian bằng cách tích diện tích cắt ngang với chiều dài của vật thể. Với đường cong f(x) > 0 với mọi x, ta có thể tạo thành một khối tròn xoay quanh trục Ox. Với diện tích mặt cắt tại một vị trí x0 là π

[

f

(

x0

)]

2, từ đó thành lập được cơng thức tính thể tích khối trịn

II. Bài tốn cụ thể

trịn xoay thỏa mãn đề bài như trên”

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Ví dụ 4: Ứng dụng vi phân vào bài tốn tính độ hòa tan

I. Cơ sở lý thuyết

Việc sử dụng phương trình vi phân để tính độ hịa tan của một chất là một ứng dụng quan trọng trong hóa học và khoa học môi trường. Để xác định độ hịa tan của một chất, ta có thể sử dụng các phương trình vi phân mơ tả q trình hịa tan của chất đó trong dung dịch. Dưới đây là một ví dụ cụ thể:

độ a kg/lít vào bể. Tốc độ bơm vào là M lít/phút. Dung dịch được hòa tan thành hỗn hợp

Gọi:

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

y(t) : là lượng muối còn lại trong bể sau t phút. (kg)

v1 : là tốc độ bơm muối vào. (kg/phút)

v2 : là tốc độ bơm muối ra. (kg/phút)

Từ đó có thể suy ra: y’(t) là tốc độ thay đổi lượng muối.

Ta có thể giải phương trình vi phân trên để xác định được y(t). Sau khi đã có y(t), việc thế t vào hàm số y(t) sẽ giải quyết được yêu cầu bài toán.

II. Bài toán cụ thể

Để giải bài tốn này, chúng ta có thể sử dụng phương trình vi phân để mơ tả q trình thay đổi lượng muối trong bể theo thời gian:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Để xác định hằng số C, ta xét điều kiện ban đầu. Khi t = 0 thì bể chỉ chứa nước tinh khiết (khơng có lượng muối nào) nên y(0) = 0. Thế t và y vào giải phương trình (*), ta có C = 0. Từ đó ta có hàm số y(t) hồn chỉnh:

y(t) = 10 - 10e−t10

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Sau khi có phương trình y(t), ta có thể tính y(6) để xác định lượng muối trong bể sau 6

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Ví dụ 5: Ứng dụng phương trình vi phân cho sự gia tăng dân số

I. Cơ sở lý thuyết

Nếu N(t) là số lượng cá thể tại thời điểm t và số lượng cá thể này thay đổi

t và t + h ( t+h là một thời gian tăng sau đó)

N(t + h) – N(t) = số lượng sinh – số lượng cái chết ( 1 )

Gọi r và m lần lượt là tỷ lệ sinh bình quân đầu người và tỉ lệ tử vong bình quân đầu người. Ta có:

Số lần sinh trong một đơn vị thời gian = r N Số người chết trong một đơn vị thời gian = m N

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Vậy hàm mô tả dân số theo thời gian là: N (t )=N0ekt

=N0e(r −m)t.

II. Bài toán cụ thể

gian t ( giây) kể từ thời điểm ban đầu được mô tả bằng phương trình vi phân

dt =0,2 y

và có quy mơ tại thời điểm ban đầu là 600.

Tìm quy mơ quần thể sinh vật vào thời điểm 5 giây sau đó ( làm trịn

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

title('Gia=i phương trình vi phân dy/dt = 0.2y');

ylabel('y');grid on;

final_value = y(end);

Ví dụ 6: Ứng dụng đạo hàm vào bài tốn chi phí trong kinh tế

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

C = f(Q) + F 4 . Lợi Nhuận Tối Ưu:

- Mục Tiêu là tìm giá trị của Q để tối đá hóa lợi nhuận.Điều này tương đương việc tìm giá trị của Q sao cho đạo hàm của hàm lợi nhuận theo Q bằng 0:

5 . Kiểm Tra Điều Kiện Biên:

- Kiểm tra đạo hàm hai lần để xác định xem điểm cực trị đó là điểm cực đại hay cực tiểu

6 . Kiểm Tra Điều Kiện Sự Linh Hoạt:

- Nếu có ràng buộc về số lượng sản phẩm,kiểm tra xem giải pháp tối ưu có thỏa mãn các ràng buộc đó không

7 . Tổng Hợp Kết Quả:

- Sau khi xác định giá trị tối ưu của Q, chúng ta có thể sử dụng nó để tính tốn giá trị tối ưu của P, R và C. Những giá trị này sẽ cung cấp thông tin về mức độ lợi nhuận tối ưu và phân phối tối ưu giữa doanh thu và chi phí.

II. Bài tốn cụ thể

“Một cửa hàng bán một loại sản phẩm cố định, giá bán của mỗi sản phẩmlà 10 ngàn đồng. Chi phí được tính theo hàm C = 2Q2 + 5Q + 2. Trong đó 2Q2 là chi phí

tối đa hóa lợi nhuận và lợi nhuận tối ưu?”

- Doanh thu: R = P.Q = 10Q - Chi phí: C = 2Q2 + 5Q + 2

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

% Định nghĩa giá bán và chi phí

% Giải phương trình để tìm giá trị tối ưu của Q

syms Q

equation = 10 - (4*Q + 5) == 0;optimalQ = solve(equation, Q);

% Tính lợi nhuận tối ưu

optimalProfit = P * optimalQ - (2 * optimalQ^2 + 5 * optimalQ + 2);

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

% Hiển thị kết quả

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Ví dụ 7: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tính tổng lượng điện qua mạch

I. Cơ sở lý thuyết

Tích phân là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến lượng điện. Khi áp dụng tích phân vào bài tốn tính tổng lượng điện qua mạch,

điện với biểu đồ dòng điện i(t). Tổng lượng điện (Q) qua mạch trong khoảng thời gian từ

t1 đến t2 có thể được tính bằng việc thực hiện tích phân của dòng điện theo thời gian:

i(t )dt

Với Q là lượng điện (đơn vị Coulomb), i(t) là dòng điện qua mạch tại thời điểm t, t1, t2 là thời điểm bắt đầu và kết thúc của khoảng thời gian cần tính tổng lượng điện.

II. Bài toán cụ thể

“Cho một mạch điện với dịng điện theo đổi theo thời gian, phương trình

i(t)=2t+3. Tính lượng điện qua mạch trong khoảng thời gian từ t1=3 s đến t2=10 s ”

Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng tích phân từ 3 đến 4 của i(t), từ đó giải tìm ra được lượng điện qua mạch trong khoảng thời gian 3s đến 10s:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

fprintf('Lượng điện qua mạch từ t = %d đến t = %d là: %.2f C', t0, tf, Q);

Ví dụ 8: Ứng dụng của đạo hàm trong machine learning

I. Cơ sở lý thuyết

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Trong machine learning, đạo hàm được sử dụng để cập nhật các trọng số của mơ hình dự đốn. Một ví dụ cụ thể là thuật toán gradient descent, được sử dụng để tối ưu hóa mơ hình. Gradient descent cập nhật trọng số bằng cách tính tốn đạo hàm của hàm mất mát (loss function) theo các trọng số và điều chỉnh các trọng số theo hướng ngược

với đạo hàm, từ đó giảm dần hàm mất mát và tìm được trọng số tối ưu. Gradient

Descent là cốt lõi của các thuật tốn Machine Learning thì đạo hàm chính là cốt lõi của Gradient Descent.

Giải thích:

Đạo hàm của hàm mất mát được tính để biết được hướng điều chỉnh của các trọng số khi cập nhật mơ hình. Nếu đạo hàm là dương, có nghĩa là hàm mất mát tăng theo hướng tăng trọng số và cần giảm trọng số. Ngược lại, nếu đạo hàm là âm, có nghĩa là

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

hàm mất mát giảm theo hướng tăng trọng số và cần tăng trọng số. Bằng cách lặp lại q trình này qua nhiều lần cập nhật, mơ hình dự đốn sẽ hội tụ đến trạng thái tối ưu.

II. Bài toán cụ thể

Giả sử chúng ta đang lạc ở trên đỉnh núi như trên, trời sắp tối và đỉnh núi rất lạnh, nên khi màn đêm dần buông xuống chúng ta cần phải đi xuống thung lũng để dựng trại. Nhưng mà xung quanh toànlà sương mù nên ta khơng thể xác định chính xác thung lũng ở đâu.Làm thế nào để đi xuống thung lũng khi ta biết được hình dạng củangọn núi được biểu diễn bằng đồ thị A?

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Trước hết chúng ta đạo hàm nó ra: f ' (x)=¿x¿sin( x)+2¿ ¿

Giải phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm được thung lũng gần đó:

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Thế nhưng chúng ta không thể nào mà bay theo quãng đường xiên xuống được, vì thế chúng ta phải chia nhỏ quãng đường ra để đi. Điều đó đồng nghĩa với việc xét giá trị hàm số với các bước nhỏ để tìm đường đi chính xác nhất.

Chúng ta khảo sát vị trí đang đứng và tất cả những vị trí xung quanh có thể nhìn thấy, sau đó xác định vị trí nào hướng xuống dốc nhiều nhất. Sau đó di chuyển đến vị trí đã xác định. Lặp lại các bước trên đến khi nào tới được thung lũng (hay nói cách khác là đi men theo dốc).

Ví dụ 9 : Ứng dụng của tích phân trong computer graphics:

I. Cơ sở lý thuyết

Grayscale, hay cịn được gọi là hình ảnh xám, là một dạng biểu diễn màu sắc trong lĩnh vực đồ họa và xử lý hình ảnh. Trong định dạng này, mỗi pixel không mang theo thông tin về màu sắc chi tiết mà chỉ đơn giản là một giá trị độ sáng. Ảnh grayscale thường chỉ sử dụng các tông màu xám, từ đen đến trắng, và giá trị của mỗi pixel thể hiện độ sáng tương ứng của nó. Điều này tạo ra một biểu

</div>

Bài tập lớn giải tích 1

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA</b>

<b>BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN</b>

<b>MƠN HỌC: Giải Tích 1</b>

<b>Nhóm: ....Lớp: CN01</b>

<b>Giáo viên hướng dẫn:Lê Thị Yến NhiNguyễn Quốc Lân</b>

<b>Lớp: CN01</b>

Thành phố Hồ Chí Minh, 12/2023

<b>Mục lục</b>

<b>Chương 1: MỞ ĐẦU</b>

<b>Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT</b>

2 .1 Các khái niệm cơ bản

2.1.1 Giới hạn, tính liên tục của hàm số. 2.1.1.1 Giới hạn của hàm số

<i><b>hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy</b></i>

số (

) ta viết lim(

) = a hoặc

→ a.

- Giả sử

là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

<b>Như vậy, </b>

<b> có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.</b>

2.1.1.2 Tính liên tục của hàm số

Một hàm

được gọi là liên tục đại điểm c nếu thỏa mãn cả 3 điều kiện:

2.1.2 Đạo hàm

- Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đạilượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó ( hay còn được gọi là độ

dốc của hàm tại điểm đó). Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại

Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).

2.1.3 Nguyên hàm, tích phân. 2.1.3.1 Nguyên hàm:

- Một nguyên hàm của một hàm số

là một hàm

có đạo hàmbằng

, nghĩa là

<b>. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tíchphân bất định.</b>

- Ví dụ: Cho hàm số

- Họ nguyên hàm của hàm số

trên là:

∫

. Với C là một hằng số, vì khi đạo hàm một hằng số, ta luôn nhận giá trị là 0, nên khi tìm ngun hàm, chúng ta ln cộng một hằng số C

2.1.3.2 Tích phân:

- Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), tích phân từ a đến b của

xác định, liên tục trên [0; 4], để tính diện tíchgiới hạn bởi đồ thị

và trục hoành. Ta tính

2.1.4 Vi phân

<b>Chương 3: ỨNG DỤNG THỰC TIỄN</b>

<i>Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm diện tích đường cong</i>

<i>Ví dụ 2: Ứng dụng đạo hàm tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động</i>

<i>Ví dụ 3: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tìm thể tích khối trịn xoay</i>

[

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>]

<i>Ví dụ 4: Ứng dụng vi phân vào bài tốn tính độ hòa tan</i>

gian t ( giây) kể từ thời điểm ban đầu được mô tả bằng phương trình vi phân

và có quy mơ tại thời điểm ban đầu là 600.

Tìm quy mơ quần thể sinh vật vào thời điểm 5 giây sau đó ( làm trịn

<i>Ví dụ 7: Ứng dụng tích phân trong bài tốn tính tổng lượng điện qua mạch</i>

<i>Ví dụ 8: Ứng dụng của đạo hàm trong machine learning</i>

<b>Giải thích:</b>

<i>Ví dụ 9 : Ứng dụng của tích phân trong computer graphics:</i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về