CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM CAO

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>PHỤ LỤC </b>

Chương 1: <small>GIỚI THIỆU</small>

1.4. Cấu trúc của chuyên đề

Chương 2: <small>CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MƠ HÌNH NGHIÊN CỨU </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>CHUYÊN ĐỀ: </b>

<b>RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN </b>

<b>Chương 1: <small>GIỚI THIỆU</small>1.1. Lý do chọn đề tài </b>

Các bài toán về rút gọn căn thức bậc hai là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình tốn của trường THCS. Việc biến đổi được những biểu thức đại số có chứa căn thức bậc hai khơng đơn giản chỉ là biến đổi thơng thường mà nó địi hỏi những hiểu biết lơgic và cách giải tốn có yếu tố sáng tạo, nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện khả năng tư duy phân tích, kỹ năng tính tốn. Đi kèm với rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai cịn có một số dạng tốn tính giá trị của biểu thức, chứng minh các biểu thức ...Trong phân môn đại số - chương trình toán lớp 9 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này đã chiếm

<b>một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán học. </b>

Khi giảng dạy cho các em HS ở bậc THCS mơn Tốn tơi nhận thấy các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài tốn liên quan đến rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai mà dạng toán này gặp rất nhiều trong các đề thi vào THPT, thi vào trường chuyên , lớp chọn. Vậy cách trình bày một bài tốn rút gọn biểu thức có chứa căn thức như thế nào? phương pháp giải bài tốn ra sao? Trước tình hình trên, chúng tơi đưa ra một số phương pháp pháp và

<i><b>cách giải dạng tốn “Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài </b></i>

<i><b>toán liên quan''. </b></i>

<b>1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 1.2.1. Mục tiêu </b>

<b> + Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc giải bài </b>

toán rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan, ứng dụng của toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích , tìm hiểu mơn tốn

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

cũng như các môn khoa học khác. Làm tài liệu tham khảo học tập cho các em học sinh khối 9 ôn thi vào THPT.

+ Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài tốn trong chương trình bồi dưỡng học sinh thi vào THPT, thi vào trường chuyên, lớp chọn, thi HSG

<b>1.2.2. Phạm vi nghiên cứu </b>

- Phạm vi nghiên cứu: Chương I mơn Tốn lớp 9 - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9

<b>1.3. Ý nghĩa thực tiễn </b>

Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho học sinh và chỉ ra các phương pháp giải.

<b>1.4. Cấu trúc của chuyên đề </b>

Chương 1: Giới thiệu đề tài

Chương 2: Cơ sở lý luận và mơ hình nghiên cứu Chương 3: Phương pháp nghiên cứu

Chương 4: Kết luận

<b>Chương 2: <small>CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MƠ HÌNH NGHIÊN CỨU </small>1. Cơ sở lý luận </b>

Dạy tốn là dạy cho học sinh biết phương pháp học toán và giải các bài tốn từ đó biết vận dụng tốn vào trong thực tiễn. Thơng qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy, kĩ năng trình bày từ đó nâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đốn của các em.

<b>2.Mơ hình nghiên cứu 2.1.Các bước tiến hành </b>

- Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết chuyên đề. Trao đổi thảo luận trong tổ. Xây dựng đề cương.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

- Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết chuyên đề. Qua các tài liệu, qua khảo sát các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập, các buổi học chuyên đề, buổi bồi dưỡng HSG.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b> III. Kiến thức bổ sung </b>

- Điều kiện của biến để biểu thức xác định. - Phân tích đa thức thành nhân tử

- Nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Biến đổi căn bậc hai dạng phức tạp:

b - Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn để:

+ Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) + Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) + Dạng 3: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = A (A là một biểu thức có chứa ẩn)

+ Dạng 4: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức P > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng số

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

+ Dạng 5: So sánh biều thức A với k ( hằng số) hoặc với biểu thức B ( chứa ẩn)

+ Dạng 6: So sánh biều thức rút gọn A với <i><small>A</small></i> hoặc A² với A

+ Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của x thì A > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng số

+ Dạng 8: Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > B (<; ≥ ; ≤ B) với B là một biểu thức chứa ẩn

+ Dạng 9: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên + Dạng 10: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTLN hoặc GTNN + Dạng 11: Chứng minh biểu thức luôn âm hoặc luôn dương

+ Dạng 12: Tìm x biết biểu thức A thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Vì thời gian có hạn nên trong bài giảng minh hoạ chúng tôi chỉ đề cập đến phần rút gọn biểu thức căn thức chứa các số và chứa chữ trong phần này chúng tôi lại phân loại ra một số dạng bài tập. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>Phương pháp giải : Đưa biểu thức trong căn về dạng bình phương của một tổng </b>

hoặc bình phương của một hiệu

- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức - Vận dụng thành thạo <i><small>A</small></i>² <small></small> <i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>1) Nhận thấy 15 = 3.5 = 15.1 ta chọn được cặp số 3 và 5 thoả mãn 3 + 5 = 8 do </b>

<small>5 2 5. 3 3 ( 53)5353</small>

<b>2) B = </b> <small>(53)</small>² <small>(53)</small>² <small>535323</small>

<b>Gợi ý: Nhân biểu thức trong căn với </b>²

<small>2</small><b> để đưa về cách giải của phần 1 </b>

<b>Cách 2: Nhận thấy (4-</b> <small>7</small><b>)(4 +</b> <small>7</small><b>) là một số chính phương nên ta có thể bình phương hai vế của biểu thức cần tính </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:

+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.

+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức

+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…

<b>II: Dạng toán tổng hợp Một số bước khi làm dạng toán tổng hợp </b>

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng… nếu bài tốn chưa cho)

<i><small>A</small></i> <small></small> <i><small>A</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)

+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung. + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không. Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.

+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương trình. + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận.

<b>Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức P khi cho x = k ( k là hằng số) </b>

<b>a) Phương pháp: </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức P và rút gọn k nếu cũng là một biểu thức chứa căn

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Vậy giá trị của B = <small>2</small> khi <small>x 38</small>

<b>Dạng 2: Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k (k là một hằng số) a) Phương pháp: </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức P

Bước 3: Giải phương trình P – k = 0

<b>Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

a). Điều kiện <small>0 </small><i><small>x</small></i> <small>1</small> Với điều kiện đó, ta có:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Bước 3: Giải phương trình P – A = 0

Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Bước 3: Giải phương trình P – k > 0

<b>Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận </b>

a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B b) Với giá trị nào của a thì B < 1?

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Vậy: Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Bước 2: So sánh A với 1 bằng cách xét hiệu A – 1 theo điều kiện x đã có Bước 3: Nếu 0 < A< 1 thì <i><small>A</small></i><b> > A </b>

Bước 4: Nếu A > 1 thì <i><small>A</small></i><b> < A </b>

Chú ý: Dạng này cịn có biến thể là so sánh biểu thức rút gọn A và A<small>2</small> (Chỉ xét với biểu thức A dương)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<b>Vậy: A<small>2</small> < A với mọi x ≥ 0 ; x ≠ 4 </b>

<b>Dạng 7: Chứng minh với mọi giá trị của x thì A > k (<; ≥ ; ≤ k) với k là một hằng </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Vậy : Với mọi x ≥ 0 và x≠1 thì A ≤ 1.

<b>Dạng 8: Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > B (<; ≥ ; ≤ B) với B là một biểu thức chứa ẩn </b>

<b>a) Phương pháp: </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Giải phương trình A – B > 0

<b>Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>Dạng 9: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên </b>

<b>a) Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng chứa phân thức mà tử nguyên, tìm giá trị của ẩn để mẫu là ước của tử. </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

Bước 2: Rút gọn biểu thức A và đưa về dạng phân thức có tử là số nguyện Bước 3: Lý luận để biểu thức là số nguyên thì mẫu số phải là ước của tử, từ đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

__ _{ }  _ a =1 (Loại vì khơng thỏa mãn điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Vậy: Với <i><small>a</small></i>



<small>16; 25;1; 49</small>



thì A nhận giá trị nguyên.

<b> b) Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được. </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị

<b>nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

<b>c) Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên của tham số giải ra tìm ẩn. </b>

Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị

<b>nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Vậy: Với x = 0 thì M nhận giá trị nguyên.

<b>Dạng 10: Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTLN hoặc GTNN a) Phương pháp: </b>

<b>Phương pháp 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 <i><small>x</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M ^{x 12 1}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

Vậy GTNN của P = -1 khi x = 0

<b>Dạng 11: Chứng minh biểu thức luôn âm hoặc luôn dương a) Phương pháp: </b>

<b>+ Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta chỉ ra A = A<small>2</small> + k ( k > 0) + Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta chỉ ra A = -A<small>2</small> - k ( k > 0) </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

Vậy: A không âm với mọi giá trị của x thuộc tập xác định

<b>Dạng 12: Tìm x biết biểu thức A thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối </b>

<b>*) Phương pháp: a) Tìm x để </b> <i><small>A</small></i> <b> = A </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

a) Rút gọn biểu thức A <b>b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. </b>

<i><b>Bài 2: Cho biểu thức: </b></i>A ¹ ¹ . 1 ¹

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A A.

<b>Bài 3: Cho biểu thức: </b>A ^x ^{2 x} ¹

a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A A

<b>Bài 4: Cho biểu thức: </b>P ^a ^{2 a} 1 : ^a ^a 1

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a nguyên để P nhận giá trị nguyên.

<b>Bài 5: Cho biểu thức: </b>

a) Rút gọn biểu thức B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.

<b>Bài 6: Cho biểu thức A = </b> ^x ^{x 7} ¹ <small>:</small> ^{x 2} ^{x 2} ^{2 x}

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=3+ <small>8</small>

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên?

<b>Bài 10: Cho biểu thức : P=</b>^_^ <i>_a</i>¹_₁^ ¹<i>_a</i>^_^^:<small></small>^_^ <i>_a^a</i>_^₂¹^ <i>^a_a</i>_^₁²<small></small>^_^

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của a để P> <small>61</small>

<b>Bài 11: Cho biểu thức : P=</b><i>^a_a</i>_<i>^a</i> ^<i>_a</i>¹^<i>^a_a</i>_<i>^a</i>^<i>_a</i>¹^^_^ <i>^a</i>^ ¹<i>_a</i>^_^<small></small>^_^ <i>_a^a</i> _^₁¹^ <i>_a^a</i> _^¹₁<small></small>^_^

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với giá trị nào của a thì P=7 c) Với giá trị nào của a thì P>6

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A khơng xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị ngun?

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 <small>3</small>

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. c) Tính các giá trị của A nếu a 20072 2006 .

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi <small>x 7 4 3</small>

c) Vói giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

<b>Bài 21: Cho biểu thức </b>

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P x<b> nhận giá trị nguyên Bài 23: Cho biểu thức : </b>

a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định. Rút gọn P. b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

a) Rút go ̣n P b) Tìm giá tri ̣ của x để P = -1 c) Tìm m để với mo ̣i giá tri ̣ x > 9 ta có: (<i>mx</i> 3)<i>P</i> <i>x</i> 1

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

<b>Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU </b>

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

<b>Chương 4: KẾT LUẬN </b>

Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy r

út gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài toán liên quan

có ý nghĩa ứng dụng rất cao , nó rèn luyện tư duy lô gic, khả năng sáng tạo , nó giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập trong chuyên đề đặc biệt là khi tham gia kì thi vào THPT, thi vào trường chuyên , lớp

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

<i><b>Chuyên đề: "Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai và các bài </b></i>

<i><b>toán liên quan'' có nhiều dạng bài tập được trình bày logic. Tuy nhiên trong </b></i>

nội dung chuyên đề này không tránh khỏi những thiếu sót,

do kinh nghiệm của chúng tơi cịn hạn chế xin được mạnh dạn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp

. Rất mong nhận được sự giúp đỡ của thầy giáo, cô giáo và sự góp

<b>ý của các đồng nghiệp để chuyên đề càng được phong phú hơn. </b>

<i><b> </b></i>

<b> </b>

</div>