bài tập lớn học phần toán học

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

<b>TRUNG TÂM NN,TH & ĐTTX</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>I. Phần lí thuyết </b>

<b>Câu 1: Trình bày các nội dung:</b>

<b>1.1. Định nghĩa, các tính chất của phép tốn 2 ngơia. Định nghĩa:</b>

Cho X là một tập hợp. Một phép tốn hai ngơi trên X là một ánh xạ T: X x X X

<i>x, y </i>

<i>Phần tử x yT </i><i> X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép </i>

toán T thực hiện trên hai phần tử x và y. Phép tốn hai ngơi cịn gọi tắt là phép toán.

Như vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập X là một qui tắc đặt tương ứng mỗi cặp phần tử (x,y) thuộc tập X x X một phần tử xác định duy nhất xTy thuộc X. Thay cho kí hiệu T ta cịn viết các kí hiệu khác như +, . , <small>, </small>,…

x + y được đọc là x cộng y và kết quả đó gọi là tổng của x và y. x.y (hay xy) được đọc là x nhân y và kết quả đó gọi là tích của x và y.

<b>b. Các tính chất của phép tốn 2 ngơi</b>

Phép tốn T gọi là có tính chất giao hốn nếu:

<i>a,b X aTb </i>: <i> bTa</i>

<i><b>Ví dụ: a. Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên có tính chất giao hoán </b></i>

và kết hợp

Thật vậy: a,b,c N ta có: 

a + b = b + a (tính chất giao hốn của phép cộng) a . b = b . a (tính chất giao hốn của phép nhân)

(a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp của phép cộng) ( a.b).c = a. (b.c) (tính chất kết hợp của phép nhân)

b. Phép cộng và phép nhân thông thường các số trên Z, Q, R có

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Ví dụ: - Tập hợp A các ngón tay từ bàn tay phải tương đương với tập hợp B các ngón tay của bàn tay trái. Thật vậy, tương ứng f: A B cho tương ứng ngón cái với ngón cái, ngón trỏ với ngón trỏ, ngón giữa với ngón giữa, ngón áp út với ngón áp út và ngón út với ngón út, rõ ràng f là một song ánh từ A đến B.

- Xét tam giác ABC. Kí hiệu AB và AC tương ứng là tập hợp các điểm của cạnh AB và AC. Ta có AB AC .

* Tính chất:

Quan hệ xác định ở trên có các tính chất sau: - Tính chất phản xạ: Với mọi tập hợp A ta ln có A A - Tính chất đối xứng: Với mọi tập hợp A, B nếu A B thì B A. - Tính chất bắc cầu: Với mọi tập hợp A, B, C nếu A B và B C thì A C

Chứng minh:

- Với mỗi tập A ánh xạ đồng nhất I : A A là một song ánh, nên ta ln<small>A</small>  có A A.

- Với mọi tập hợp A, B nếu A B, tức là có một song ánh từ tập A lên tập B. Khi đó ánh xạ ngược f : B A cũng là một song ánh nên suy ra B A.<small>1</small> 

- Với mọi A, B, C nếu A B và B C tức là có các song ánh f: A B và g: B C. Khi đó g0f: A C cũng là một song ánh. Suy ra A C. 

+ Chú ý:

Quan hệ có 3 tính chất đặc trưng của một hệ tương đương. Tuy nhiên ta 2

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

không thể nói đó là một quan hệ tương đương trên tập hợp các tập hợp. Do tính chất đối xứng nếu có A B thì cũng có B A. Vì vậy, khi có A B ta cũng nói A và B tương đương với nhau.

<i>b. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn.</i>

* Định nghĩa:

- Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A khơng tương đương với bất kì tập con thực sự nào của A.

- Một tập hợp không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập hợp vô hạn. (Nghĩa là: Tập hợp A được gọi là một tập hợp vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của A).

- Tập hợp tương đương với tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. - Tập con của một tập hữu hạn là một tập hữu hạn.

<b>Câu 2: Trình bày các nội dung:</b>

<b>2.1 Lý thuyết chia hết trên tập hợp số tự nhiên, ước chung lớn nhất,</b>

Kí hiệu: a b (đọc là a chia hết b, hay a là ước của b), hoặc b a (đọc là b chia hết cho a, hay b là bội của a).

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

 ƯC (12, 30) = 1; 2; 3; 6 số lớn nhất trong tập hợp ước chung là 6 Ta nói 6 là ước chung lớn nhất của 12 và 30, kí hiệu ƯCLN(12, 30) = 6. * Cách tìm ước chung lớn nhất

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa tố nguyên tố - Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích nó là ƯCLN cần tìm.

* Tính chất của ước chung lớn nhất

- Định lí 2. Cho r là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b. Nếu c <small>n</small>

là ước chung của a và b thì c là ước của r .<small>n</small>

- Định lí 3. Cho a, b ∈ . d = ƯCLN(a, b). Khi đó:<b>N</b><small>*</small>

(1) Với mọi số tự nhiên k thì ƯCLN(ka, kb) = kd

(2) Nếu c là một ước chung của a và b, thì ƯCLN(a/c;b/c)=d/c - Định lí 4. Cho a, b, c là ba số tự nhiên sao cho UCLN(a, b) = 1. Khi đó UCLN(ac, b) = UCLN(c, b)

<b>c. Bội chung nhỏ nhất</b>

* Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập 4

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

hợp các bội chung của các số đó.

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố - Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN cần tìm.

* Các tính chất của bội chung nhỏ nhất

1) Với mọi số tự nhiên c ≠ 0 ta có BCNN(ca, cb) = c.BCNN(a, b) 2) Nếu d là một ớc chung của a và b thì BCNN( a/d, b/d) =ƣ BCNN(a,b)/d 3) Cho m là một bội chung của a và b, m = BCNN(a, b) khi và chỉ khi m/a và m/b nguyên tố cùng nhau.

<b>2.2. Dấu hiệu chia hết ở tiểu học</b>

a. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Định lí: Một số chia hết cho 2 (hoặc 5) khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2 (hoặc 5). Cụ thể:

<b>- Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6</b>

hoặc 8.

<b>- Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5</b>

b. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Định lí: Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó <i>chia </i>hết cho 4 (hoặc 25).

c. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Định lí: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9)

d. Dấu hiệu chia hết cho 11

Định lí: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ là một bội của 11.

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì ( 5 + 2 + 7 + 9) – (1 + 3 + 8) = 23 – 12 = 11

5

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>II. Bài tậpA. Bài tập bắt buộcBài 1: </b>

a) Tuổi của hai anh em năm nay cộng lại bằng 16. Đến khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi anh bằng tuổi em. Tính tuổi anh và tuổi em hiện nay.

Bài giải:

Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì nếu tuổi em là 3 phần thì tuổi anh là 5 phần.

Do đó hiện nay tuổi anh là 3 phần thì tuổi em là 1 phần Tuổi của em hiện nay là:

b. Lớp 5A có số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Sang đầu học kỳ II có 4 bạn nữ từ lớp khác chuyển đến nên số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Hỏi đầu năm học lớp 5A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam?

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

b. Khối lượng công việc tăng 32%. Hỏi phải tăng số người lao động thêm bao nhiêu phần trăm để năng suất lao động tăng 10%.

Bài giải:

Nếu xem khối lượng cơng việc cũ là 100% thì khối lượng cơng việc mới so với công việc cũ là:

7

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

100% + 32% = 132%

Nếu xem năng suất lao động cũ là 100% thì năng suất lao động mới so với năng suất lao động cũ là:

100% + 10% = 110%

Để thực hiện được khối lượng công việc mới với năng suất lao động mới thì số công nhân phải đạt tới mức là:

132% : 110% = 120%

Vậy tỉ số phần trăm số công nhân phải tăng thêm so với số cũ là: 120% - 100% = 20%

Đáp số: 20%

c. Tính tuổi hai anh em biết 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi và 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi.

Bài giải:

Vì 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi nên 100% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 14 tuổi. Mà 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi.

 100% tuổi anh sẽ lớn hơn 62,5% tuổi anh là: 14 – 2 = 12 (tuổi) Số tuổi của anh là:

Đáp số: tuổi anh: 32 tuổi Tuổi em: 24 tuổi

d. Lượng nước trong hạt tươi chiếm tỷ lệ 19%, trong hạt khô chiếm tỉ lệ 10%. Hỏi phơi 500kg hạt tươi sẽ được bao nhiêu kg hạt khô?

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ta biết rằng một số và một tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9.

n = 7a5 + 8b4 chia hết cho 9

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

+ Nếu p = 3k + 1 => p + 20 = 3k + 21 = 3(k +7) chia hết cho 3 Mà p > 3 => p + 20 không là số nguyên tố (vô lý)

+ Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 Mà p >3 => p + 10 không là số nguyên tố (vô lý)

Vậy p =3

10

</div>