GIÁO TRÌNH HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.09 MB, 49 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TỐN

------

LÊ ĐỨC MẠNH

NHĨM ABEN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô giáo trường Đại học Quảng Nam đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và rèn luyện bốn năm học tại trường.

Xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Tốn, q thầy cơ giáo của khoa đã chỉ dạy tôi, giúp tôi hồn thành tốt khóa học của mình.

Đặc biệt, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo, giảng viên hướng dẫn

Thạc sĩ Võ Văn Minh đã tận tình giúp đỡ tơi hồn thành bài khóa luận tốt nghiệp này.

Quảng Nam, tháng 5 năm 2017

Tác giả khóa luận

Lê Đức Mạnh

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan khố luận này là cơng trình nghiên cứu của tơi, dưới sự hướng dẫn khoa học của Thạc sĩ Võ Văn Minh. Khóa luận được thực hiện theo yêu cầu, quy định của Khoa Toán, Trường Đại học Quảng Nam đề ra.

Quảng Nam, tháng 05 năm 2017

Tác giả khóa luận

Lê Đức Mạnh

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ... 1

1. Lý do chọn đề tài ... 1

2. Mục tiêu của đề tài ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

5. Đóng góp của đề tài ... 1

6. Cấu trúc đề tài ... 1

B. NỘI DUNG ... 2

CHƯƠNG1:KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ ... 2

1.1. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu nhóm. ... 2

1.1.1. Nhóm, nhóm aben ... 2

1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc ... 3

1.1.3. Nhóm thương ... 3

1.1.4. Đồng cấu nhóm ... 4

1.2. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm. ... 5

1.2.1. Tích trực tiếp của hai nhóm ... 5

1.2.2. Tổng trực tiếp của hai nhóm ... 5

1.2.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm ... 6

2.2.1. Phần tử tuần hồn, p-nhóm ngun sơ, nhóm con xoắn, nhóm tuần hồn ... 20

2.2.2. Định nghĩa về nhóm aben hữu hạn ... 22

2.2.3. Tính chất của nhóm aben hữu hạn ... 22

2.3. Nhóm Aben hữu hạn sinh. ... 28

2.3.1. Định nghĩa và ví dụ ... 28

2.3.2. Một số tính chất của nhóm aben hữu hạn sinh ... 28

2.4. Một số bài tập liên quan. ... 33

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ... 43

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 44

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết nhóm là một phần kiến thức quan trọng của Đại số đại cương, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc trong đại số như vành, trường… Nhóm Aben là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện đại, có nhiều ứng dụng trong Tốn học cũng như các ngành khoa học khác.

Là sinh viên đang học chuyên ngành Sư phạm Toán nên nhất thiết cần phải trang bị cho bản thân một nền tảng vững chắc về Đại số đại cương, cụ thể là nắm được các cấu trúc cơ bản của đại số và những kiến thức liên quan. Trong quá trình học tập nghiên cứu học phần Đại số đại cương, tôi được tiếp cận các kiến thức về lí thuyết nhóm và đặc biệt là nhóm aben. Để tìm hiểu sâu sắc hơn về cấu trúc nhóm, tơi chọn

“Nhóm Aben” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu của đề tài

Nội dung chính của khóa luận này là nghiên cứu một số tính chất cơ bản nhất của Nhóm Aben.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Nhóm Aben và những kiến thức liên quan - Phạm vi: Nghiên cứu trong lý thuyết nhóm.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu.

- Tổng hợp, phân tích. - Hỏi ý kiến chuyên gia.

5. Đóng góp của đề tài

Qua đề tài khóa luận này, tơi muốn đi sâu vào nghiên cứu về “Nhóm aben”, từ đó làm rõ thêm các nội dung có liên quan.

6. Cấu trúc đề tài

Khóa luận được trình bày gồm có 4 phần: phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo.

Cấu trúc phần nội dung gồm 2 chương: - Chương 1.Kiến thức chuẩn bị.

- Chương 2. Nhóm Aben.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

B. NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu nhóm. 1.1.1. Nhóm, nhóm aben

a) Định nghĩa: Tập hợp G cùng với phép toán nhân (.) (tương ứng phép cộng (+)) lập thành một nhóm nếu thỏa các điều kiện sau đây:

m là nhóm aben đối với phép (.)

(4) Tập

S

n các phép thế bậc n cùng với phép tốn là tích các phép thế lập thành

một nhóm hữu hạn phần tử. Nhóm này khơng phải là nhóm giao hốn khi n3. Nhóm

S

được gọi là nhóm đối xứng bậc n.

(5) Tập hợp ( , )G n các ma trận vuông cấp n, không suy biến với hệ số thực

cùng với phép toán nhân ma trận lập thành một nhóm (khơng giao hốn với n1). Nhóm này được gọi là nhóm tuyến tính tổng qt.

c) Tính chất:

Cho

G

là một nhóm

(i) Phần tử trung lập của G là duy nhất

(ii) Mỗi phần tử a của G chỉ tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo 1

a . (iii) Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi a,b,cG, ta có:

abac hay baca thì bc

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

d) Các điều kiện tương đương:

Cho G là một nhóm. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i). G là một nhóm

(ii). Các phương trình

a x.b

và

x a.b

có nghiệm trong G, a b, G

(iii).

x

có phần tử đơn vị trái và phần tử nghịch đảo trái hoặc

x

có phần tử đơn vị phải và phần tử nghịch đảo phải.

1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc a) Nhóm con

Cho nhóm

 

G, . và A là một tập con khác rỗng ổn định với phép toán trên G. Tập A được gọi là nhóm con của G nếu A cùng với phép toán cảm sinh trên G lập

xA Ax Kí hiệu AG Trong đó xA và Ax lần lượt là lớp ghép trái và lớp ghép .

phải của nhóm con A .

c) Định nghĩa chuẩn hóa

Cho G là một nhóm hữu hạn và A là nhóm con của G.

Ta có NA



xG xA:  Ax



là nhóm con lớn nhất của G nhận A làm nhóm con chuẩn tắc, nó được gọi là chuẩn hóa của A trong G.

A   cùng với phép tốn hai ngơi ( ).(xAyA)xyA là một

nhóm, gọi là nhóm thương của G trên A. Nhận xét: Nếu G là nhóm Aben thì G

A cũng là nhóm Aben.

Chú ý:

- Cho A là nhóm con của nhóm G, nếu phần tử xA thì xA Ax A.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

- Một nhóm G với phần tử đơn vị e ln tồn tại ít nhất hai nhóm con chuẩn tắc là

- Nếu X Ythì đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu của X.

- Đồng cấu f là đơn cấu (hay toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng

b) Ảnh và hạt nhân của đồng cấu

Giả sử f X:Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Các phần tử đơn vị của X và Y lần lượt được kí hiệu là e và Xe . Khi đó ảnh và hạt nhân của đồng cấu f Y

lần lượt được kí hiệu là Im f và K fer , hơn nữa ta có định nghĩa sau:

Kerf  xX f x e  f e

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

c) Một số tính chất của đồng cấu nhóm

Tính chất 1: Giả sử X,Y,Z là nhóm. Cho f X: Yvà g Y: Zlà đồng cấu. Khi đó ánh xạ tích: fg X: Z cũng là một đồng cấu. Đặc biệt tích hai đẳng cấu là

Tính chất 3: Giả sử :f X Y là một đồng cấu nhóm, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi đó:

Khi đó: i) Có duy nhất một đồng cấu __f: XY

Kerf  sao cho

1.2. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm. 1.2.1. Tích trực tiếp của hai nhóm

Giả sử A và B là các nhóm với phép tốn (.).

Trên tập đích Đề các A B 



( , ) :a baA b, B



ta định nghĩa phép toán như sau: ( , ).( , )a bc d (ac bd, ) ; ( , ),( , )a bc d  A B

Khi đó A B cùng với phép tốn trên lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của

A và B. Kí hiệu: A B .

1.2.2. Tổng trực tiếp của hai nhóm

Tích trực tiếp của nhóm A và B cũng được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm này,

Kí hiệu: A B .

Chú ý: Các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng

được áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

1.2.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm a) Tích trực tiếp của nhiều nhóm

Giả sử

 

Gii I là một họ các nhóm với phép tốn (.). Trên tập tích i

 là một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của họ nhóm

 

Gii I .

b) Tổng trực tiếp của nhiều nhóm

Tổng trực tiếp của họ nhóm

 

Gii I kí hiệu là i

(6) Nhóm A B được sinh bởi tập AB tức là A B  AB(7) A và B là các nhóm con chuẩn tắc của A B

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.3. Định lý Lagrange. 1.3.1. Tập sinh của nhóm

Giả sử U là một bộ phận của nhóm X. Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con của X chứa U được gọi là nhóm con sinh bởi U.

Kí hiệu:

U

Trong trường hợp AXta nói rằng U là một tập sinh của X hay X được sinh bởi U. Nếu

U a

thì ta viết

Xa

Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của U thì ta nói U là tập sinh cực tiểu của X.

1.3.2. Cấp của nhóm, cấp của phần tử a) Định nghĩa

Cấp của một nhóm X, kí hiệu bởi X là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử, bằng vơ cùng nếu X có vơ hạn phần tử.

Cấp của phần tử a X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi a, kí hiệu: Ord(a).

Chú ý:

i) Cấp của a bằng 1 khi và chỉ khi ae.

ii) Cấp của a là m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn m

1.3.3. Định lý Lagrange và mợt số hệ quả

a) Định lí: Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S là một nhóm con của nó. Khi đó

G là một bội của S .

b) Hệ quả: Cho X là nhóm hữu hạn. Khi đó:

i) Cấp của mọi phần tử của nhóm hữu hạn G đều là một ước số của cấp của G. ii) Nếu G có cấp ngun tố thì G là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử aX,

ae.

Hay nói cách khác, mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic.

iii) Nếu G có cấp n thì mọi phần tử aX ta có an e.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1.4. Tác động của một nhóm lên mợt tập, cơng thức các lớp 1.4.1. Tác đợng của mợt nhóm lên mợt tập

Cho G là một nhóm, S là một tập hợp. Khi đó ánh xạ: : G S S cho bởi

 

x s, xs

  được gọi là tác động bên trái của G trên S nếu thỏa hai điều kiện sau:

i) x ys

   

= xy s, x y,   G; sS. ii) ess, e là phần tử đơn vị của G.

Tương tự ta cũng có khái niệm tác động phải. Khi có một tác động trái từ G lên S thì ta nói S là một Gtập. Để thuận tiện ta gọi chung là các tác động.

Cho G là một nhóm và S là một G-tập. Với xG, đặt Gs 



aG ass



. Khi đó Gslà nhóm con của G. Hơn nữa Gslà nhóm con đẳng hướng của G ứng với phần tử s

.

1.4.4. Công thức các lớp

Định nghĩa. Cho G là một nhóm và S là G-tập, s S . Đặt Gs



xs xG



Khi đó Gs là bộ phận của S. Ta gọi Gs là quỹ đạo của s trong G.

Tính chất.

(i) Nếu x y, cùng nằm trên một lớp ghép H Gs thì xsys và ngược lại. (ii) Ta được ánh xạ f G H: / S cho bởi công thức f xH

 

xs.

Ánh xạ này là một cấu xạ của các Gtập, nghĩa là thỏa mãn điều kiện

f xs  xf s ,    xG, sS, thực ra nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớp ghép trái G H/ trên quỹ đạo Gs.

(iii) Nếu G là một nhóm tác động trên S,sS thì cấp (hoặc độ dài) của quỹ đạo

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Cho S là một tập khác rỗng. Nhóm aben tự do trên S hay nhóm aben tự do với cơ sở S là một cặp(A,f)trong đó A là nhóm aben, f :S  A là một ánh xạ sao cho với mọi nhóm aben G và mọi ánh xạ g:S G, tồn tại duy nhất một đồng cấu

GA

h: sao cho giản đồ sau giao hoán, tức là gh.

S nào đó. Khi đó S là một cơ sở củaA.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu B là nhóm con của nhóm aben A sao cho nhóm

thương A B/ là nhóm aben tự do thì B là hạng tử trực tiếp của A.

Thật vậy, ta có nhóm con B của nhóm A được gọi là hạng tử trực tiếp của A nếu tồn tại nhóm con C của A sao cho A B C và B C



0A



Giả sử nhóm aben tự do A B/ có cơ sở là



xiB/ iI



</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Ví dụ 2: Chứng minh rằng mọi nhóm aben tự do G trên tập đơn tử thì G.

Chứng minh:

Giả sử G là nhóm aben tự do trên tập S 



a



Khi đó



a



là cơ sở của G và do đó    xG z,:xza.

Suy ra G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a, tức là G  a .

Xét tương ứng f :G xác định bởi ( )f z za.

Ta chứng minh f đẳng cấu.

Thật vậy, zaG luôn  z : ( )f z za suy ra f là toàn ánh.

Từ các kết quả trên suy ra G .

Ta chứng minh A là nhóm aben tự do trên S.

Vì các nhóm Hs là aben với mọi sS nên A là nhóm aben. Ký hiệu f :S  A là ánh xạ cho bởi f(r)(ns)sS, trong đó:

nếu sr

nếu s r.

Giả sử g:S G là một ánh xạ, trong đó G là một nhóm giao hốn. Với mỗi (ns)sS A, chỉ có hữu hạn chỉ số s sao cho ns 0.

Vì thế tương ứng :h AG cho bởi

  

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

2.1.1.3. Mệnh đề. Cho



A,f



là nhóm aben tự do trên một tập S. Khi đó f là đơn ánh và f

 

S là một hệ sinh của A.

Vậy f là đơn ánh. Gọi G là nhóm con của A sinh bởi f

 

S .

Với ánh xạ g:S  f

 

S cho bởi g

 

a  f

 

a với mọi aS, tồn tại duy nhất đồng cấu h:AG sao cho g h.

Gọi i:GA là đồng cấu nhúng. Dễ thấy ig.

Hay i là toàn cấu. Suy ra i là đẳng cấu. Vì thế AG, hay A sinh bởi f

 

S .

Giả sử



A,f



là nhóm tự do trên S. Theo mệnh đề trên, f là đơn ánh. Vì thế người ta thường đồng nhất phần tử sS với phần tử f

 

s A.

2.1.1.4. Định lý. (Về tính chất xạ ảnh của nhóm Aben tự do)

Cho A là nhóm aben tự do trên S. Khi đó với mọi nhóm giao hốn G, mọi tồn cấu nhóm :GH và mọi đồng cấu nhóm  :AH, tồn tại một đồng cấu nhóm

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Hệ quả: Cho G là nhóm giao hốn và H là nhóm con của G. Nếu G /H là nhóm aben tự do thì tồn tại nhóm con K của G sao cho GHK và KG/ H.

Do tính chất của tổng trực tiếp, ta có được: GImhKerp.

Do phid, ta suy ra h là đơn cấu.

Do đó G/H Imh. Rõ ràng KerpH.Vì thế GHK với KImhG/H.

2.1.1.5. Định lý. (Về lực lượng của một cơ sở)

Nếu A là nhóm aben tự do với cơ sở hữu hạn thì mọi cơ sở của A đều có phần tử

bằng nhau.

Chứng minh:

Giả sử nhóm aben A có cơ sở hữu hạn là S 



x x1, 2,...,xn



và S’ là một cơ sở khác của A (Khơng giả sử rằng S’ có hữu hạn phần tử)

Vì S là cơ sở của A nên ta có đẳng cấu nhóm A x1 x2 ... xn

Bây giờ ta lấy y y1, 2,...,y là các phần tử đôi một khác nhau trong S’. rVì S’cũng là cơ sở của A nên tương tự ta có: y1 y2 ... yr

p  p suy ra rn (điều phải chứng minh).

Từ định lý trên, ta thấy rằng nếu A là nhóm aben tự do với cơ sở S thì nó cũng là nhóm aben tự do với cơ sở là một tập tùy ý có cùng lực lượng với S.

Điều này dẫn đến một định lý về hạng của nhóm aben tự do.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Định nghĩa: Hạng của một nhóm aben tự doA, kí hiệu là rankA, là lực lượng của một cơ sở của nó.

sở S của A và một cơ sở E củaB sao cho SE .

Khi đó AB cũng là nhóm aben tự do với cơ sở SE. Do đó: rank(AB)rank(A)rank(B).

2.1.1.6. Định lý. (Về hạng của nhóm aben tự do)

Mỗi nhóm con H của một nhóm aben tự do G hạng n là một nhóm aben tự do.

Hơn nữa, rank(H)n.

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Nếu n1 thì A . Do đó nếu H là nhóm con của A thì tồn tại m để .

H m Suy ra H 0 hoặc

H

là nhóm aben tự do hạng tối đa là 1.

Cho n1 và giả thiết định lý đúng cho n1. Giả sử S 



s1,...,sn



là cơ sở của A.

Cho H là nhóm con của A. Đặt SS\

 

sn .

Gọi

A

là nhóm aben tự do với cơ sở S. Khi đó HHA là nhóm con của

DoH/HH/



HA

 

 HA



/AnênH/Hđẳng cấu với nhóm con của . Suy ra H/H0 hoặc H H/   . Nếu H/H0 thì HH và do đó nó là nhóm aben tự do hạng tối đa là n1.

Giả sử H H/   . Khi đó H/H là nhóm aben tự do. Theo Hệ quả của định lý

2.1.1.4, H H là nhóm aben tự do hạng tối đa là n.

2.1.2. Nhóm con Sylow

2.1.2.1. Định nghĩa.

Cho G là nhóm cấp n và p là số nguyên tố. Ta nói: (i) G là p-nhóm nếu n là một lũy thừa của p.

(ii) Một nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là p-nhóm.

(iii) Một p-nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow nếu cấp của H là lũy thừa cao nhất của p chia hết n.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ví dụ: Trong một nhóm cấp 100, các nhóm con cấp 5 và cấp 25 là các 5-nhóm

con, trong đó các nhóm con cấp 25 là các 5-nhóm con Sylow.

2.1.2.2. Định lí. Cho G là nhóm có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó G

chứa ít nhất một p-nhóm con Sylow.

Để chứng minh Định lí này thì trước hết chúng ta cần sử dụng 2 Bổ đề sau:

Bổ đề 1. Cho G là nhóm giao hốn cấp n. Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các

cấp của các phần tử của G. Khi đó n là ước của một lũy thừa nào đó của k.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Trường hợp n1 là hiển nhiên.

Cho n1. Khi đó tồn tại aG a, e. Kí hiệu H là nhóm con xyclic sinh bởi a. Vì G giao hốn nên H chuẩn tắc. Do đó ta có nhóm thương G H/ . Vì cấp của H là cấp của a nên nó lớn hơn 1 và là ước của k. Suy ra cấp của G H/ nhỏ hơn n.

Gọi n1 là cấp của G H/ , m là cấp của H và bội chung nhỏ nhất của các cấp của

các phần tử của G H/ là k1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại số tự nhiên t sao cho n1 là ước của 1t

k . Cho HxG H/ . Vì cấp của x trong nhóm G H/ là ước của k. Suy ra k1 là

ước của k. Vì m là ước của k và nn m1 nên n là ước của t 1

k  .

Bổ đề 2. Cho G là nhóm giao hốn có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó

G chứa ít nhất một nhóm con cấp p.

Chứng minh.

Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các cấp của các phần tử của G. Theo Bổ đề 1, tồn tại t sao cho n là ước của t

k .

Vì p là ước của n nên p là ước của tk .

Do p nguyên tố nên p là ước của k.

Theo định nghĩa của k, tồn tại phần tử aG sao cho cấp của a là bội của p. Gọi

a e do đó is là bội của ps, suy ra i là bội của p. Vì thế b có cấp là p, tức là (b) là nhóm con cấp p của G.

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi n p thì G chính là p-nhóm con Sylow của G. Cho n p , n là bội của p, và giả sử định lí đã đúng cho các nhóm có cấp là bội của p và nhỏ hơn n.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Xét trường hợp G chứa một nhóm con HG sao cho chỉ số của H nguyên tố với p. Khi đó cấp của H nhỏ hơn n và là bội của p.

Theo giả thiết quy nạp, H chứa một p-nhóm con Sylow và nó cũng là p-nhóm con Sylow của G.

Giả sử tất cả nhóm con thực sự của G đều có chỉ số là bội của p. Xét tác động của G lên G bằng phép liên hợp. Kí hiệu C là tâm của G. Cho aC. Khi đó Ga G, trong đó Ga là nhóm con đẳng hướng của a, do đó Ga có chỉ số 1.

( : )C elà cấp của C và L là tập con của G sao cho (Ga a L) là họ các quỹ đạo đôi một rời nhau. Cho aL C/ . Vì aC nên tồn tại xGa sao cho xaax, tức là 1

xax a. Do đó xGa, tức là ( :G Ga) 1 .

Theo giả thiết, ( :G Ga) là bội của p. Từ đẳng thức trên ta suy ra cấp của C là bội của p. Do C là nhóm giao hốn nên theo Bổ đề 2, C chứa một nhóm con H cấp p.

Suy ra H là nhóm con chuẩn tắc của G và nhóm thương G H/ có cấp n p/ . Vì

n p nên H là nhóm con thực sự của G. Do đó chỉ số của H là bội của p, tức là n

p chia hết cho p.

Vì thế, áp dụng giả thiết quy nạp, tồn tại p-nhóm con Sylow K của G H/ . Giả sử n p/  p mt, trong đó m khơng là bội của p. Khi đó cấp của K là t

K  f K , trong đó f G:G H/ là tồn cấu chính tắc.

Khi đó K’ là nhóm con của G chứa H. Vì f là toàn cấu nên

p Suy ra K’ là p-nhóm con Sylow của G.

Chú ý. Wielandt đã dùng tính chất sau đây của lí thuyết số để chứng minh sự tồn

tại của các p-nhóm con Sylow.

Nếu p là số nguyên tố không là ước của m và k là một số tự nhiên thì p khơng là

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Cụ thể, giả sử G là nhóm cấp k

p m , trong đó p khơng là ước của m. Gọi X là tập các tập con của G gồm đúng k

Card Xlà bội của p, vơ lí. Vì thế tồn tại SX sao cho quỹ đạo G S 



xS xG



của

S trong X có số phần tử khơng là bội của p.

Do đó chỉ số của nhóm con đẳng hướng GS 



xG xS S



khơng là bội của p.

Vì thế cấp của GS là p mk ' , trong đó m’ là ước của m.

Mặt khác, với mỗib0S, nếu x y, GS vớix y thìxb yb0, 0xSS và xb0  yb0. Vì thế có đơn ánh :GS S cho bởi ( )x xb0 Suy ra Card(G )S Card(S) pk.

Do đó Card(G )S  pk. Vậy GS là p-nhóm con Sylow của G.

2.1.2.3. Định lí. (Định lý Sylow)

Cho G là nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n. Các điều kiện sau là

tương đương:

(i) Mỗi p-nhóm con của G được chứa trong một p-nhóm con Sylow. (ii) Các p-nhóm con Sylow liên hợp với nhau.

(iii) Số các p-nhóm con Sylow đồng dư với 1 theo môđun p.

Chứng minh.

Để chứng minh định lý này, ta cần có bổ đề sau

Bổ đề. Cho G là một nhóm hữu hạn và A là nhóm con của G. Giả sử H là nhóm

con của G sao cho H NA, trong đó NA là chuẩn hóa của A. Khi đó HA là nhóm con

của G chứa A và nhận A làm nhóm con chuẩn tắc.

Chứng minh.

Rõ ràng AeAHA. Cho haHA với hH và aA. Vì hNA nên hahA AhAH. Vì thế HA AH.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Tương tự AHHA, và vì thế HA AH. Suy ra HA là nhóm con của G chứa A.

Cho aA và hbHA với hH, bA. Vì hNA nên hAAh.

Theo Định lí 2.1.2.2, tồn tại p-nhóm con Sylow P của G. Gọi S là tập các nhóm con liên hợp với P. Xét tác động từ G lên S bằng phép liên hợp: 1

G  xG xPx P là nhóm con đẳng hướng của P. Chú ý rằng GP P

và ( : )G P nguyên tố với p. Vì thế ( :G GP) nguyên tố với p. Do đó theo cơng thức các

lớp, Card S( ) nguyên tố với p. Bây giờ ta chứng minh Định lí.

(i). Cho H là p-nhóm con của G. Xét tác động của H lên S bằng phép liên hợp.





, trong đó S'S là họ các đại diện của các quỹ đạo. Với mỗi QS', do H là p-nhóm nếu HQ H thì (H H: Q) là bội của

p. Vì Card S( ) nguyên tố với p nên tồn tại QS' sao cho HQH .

Kí hiệu N Q( ) là nhóm con chuẩn hóa của Q trong G. Do HQ H nên. Theo Bổ

đề trên, HQ là nhóm con của G nhận Q làm nhóm con chuẩn tắc. Ta có nhóm thương

HQ QHHQ. Vì H là p-nhóm nên HQ Q/ là p-nhóm. Do Q là p-nhóm nên HQ là p-nhóm chứa Q. Vì Q liên hợp với P nên Q là p-nhóm con Sylow của G. Suy ra

HQQ. Vì thế H Q.

(ii). Giả sử H là p-nhóm con Sylow của G. Theo chứng minh (i), tồn tại QS

sao cho H Q. Do cấp của H và Q bằng nhau nên H Q. Do đó H liên hợp với P. (iii). Xét tác động của P lên S bằng phép liên hợp. Quỹ đạo của P là

xPx xP , nó gồm đúng 1 phần tử. Với QS, nếu quỹ đạo của Q gồm đúng 1

phần tử thì ( :P PQ) 1 , trong đó PQ là nhóm con đẳng hướng.

Vì thế, PQ P. Theo chứng minh (i), PQ. Suy ra QP vì chúng có cùng cấp. Vì thế, nếu QP thì quỹ đạo của Q gồm nhiều hơn 1 phần tử với mọi QS, và do đó

( :P PQ) là bội của p (do P là p-nhóm). Theo (ii), số các p-nhóm con Sylow là Card S( ). Theo công thức các lớp ta có kết quả.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Một số ứng dụng của Định lí Sylow:

Bổ đề. Cho G là nhóm cấp n. Giả sử p là một ước nguyên tố của n và P là một p- nhóm con Sylow của G. Khi đó

(i) Số các p-nhóm con Sylow của G là một ước của n, nguyên tố cùng nhau với p. (ii) P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P là chuẩn tắc.

Xét tác động của G lên S bằng phép liên hợp. Tác động này chỉ có 1 quỹ đạo.

Theo công thức các lớp, Card S( )sp ( :G GP) với



1



G  xG xPx P là nhóm

con đẳng hướng ứng với P. Do đó sp là ước của n. Vì sp 1(mod )p nên sp nguyên tố

cùng nhau với p.

(ii) Theo chứng minh (i), P là p-nhóm con Sylow duy nhất nếu và chỉ nếu

( :G GP) 1 , tức là xPPx với mọi xG. Vậy P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P là chuẩn tắc.

Mệnh đề. Cho G là nhóm cấp pq, trong đó p<q là 2 số nguyên tố. Khi đó

(i) G có q-nhóm con Sylow chuẩn tắc, vì thế G khơng là nhóm đơn.

(ii) Nếu q1(mod )p thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này, G là nhóm xyclic.

Chứng minh.

(i) Gọi s là số các q-nhóm con Sylow của G. Theo Bổ đề trên ta có: qs là ước qcủa pq, và theo Định lí Sylow sq 1(mod )p . Vì thế sq 1 hoặc sq  p.

Do pq nên p1(mod ).p Do đó sq 1. Theo Bổ đề trên, có một q-nhóm con Sylow chuẩn tắc Q của G.

(ii) Vì p1(mod )p nên tương tự như chứng minh (i), G có duy nhất một p-nhóm con Sylow P và nhóm con này là chuẩn tắc.

Vì P,Q là các nhóm con chuẩn tắc nên PQ là nhóm con của G. Xét ánh xạ

f P Q PQ cho bởi f x y( , )xy,( , )x y  P Q.

Vì P cấp p và Q cấp q nên P Q

 

e. Do P,Q là chuẩn tắc nên

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

 

(xy yx)( ) (xyx )y x yx y(   )  PQe ,

Vì thế xy yx,   xP, yQ. Suy ra f là đồng cấu. Rõ ràng f là tồn cấu.

Vì P Q

 

e nên f là đơn ánh. Vậy f là đẳng cấu.

Do P Q là nhóm xyclic cấp pq nên PQ là xyclic cấp pq. Vì thế PQ = G là nhóm xylic.

Mệnh đề. Cho G là nhóm cấp 2

p q, trong đó p,q là các số ngun tố phân biệt.

Khi đó G khơng là nhóm đơn và ít nhất một trong hai trường hợp sau xảy ra

(i) G có p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. (ii) G có q-nhóm con Sylow chuẩn tắc.

Chứng minh.

(i) Gọi s sp, q lần lượt là số các p-nhóm con Sylow và số các q-nhóm Sylow. Giả

sử cả (i) và (ii) đều sai.

Khi đó sp 1 và sq 1. Theo kết quả ở trên, s là ước của q 2

p q và nguyên tố

cùng nhau với q. Vì thế 2

s  p hoặc sq  p. Ta xét hai trường hợp.

- Trường hợp sq  p2. Chú ý rằng nếu Q là q-nhóm con Sylow thì Q có cấp q và do đó x có cấp q với mọi e xQ. Vì thế, mỗi q-nhóm con Sylow chứa đúng q-1 phần tử cấp q.

Giả sử Q Q1, 2 là hai q-nhóm con Sylow.

Nếu Q1Q2 

 

e thì ( )x Q1Q2 với mọi e  xQ1 Q2. Vì thế hai q-nhóm con

Sylow tuỳ ý hoặc là bằng nhau, hoặc có giao là nhóm con tầm thường. Do đó số phần

tử có cấp q của G là s qq(1). Gọi L là tập các phần tử của G khơng có cấp q. phần tử của P đều khơng có cấp q. Suy ra P=L.

Do đó G chỉ có duy nhất một p-nhóm con Sylow, tức là sp 1, vơ lí.

- Trường hợp sq  p. Theo Định lí Sylow, sq 1(mod )p , vì thế p1(mod )p . Suy ra pq. Theo kết quả trên, sp là ước của 2

p q và nguyên tố cùng nhau với p, vì thế

s q. Theo Định lí Sylow, sp 1(mod )p , do đó q1(mod )p . Vì thế q p, vơ lí.

</div>

GIÁO TRÌNH HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

<b>LÊ ĐỨC MẠNH </b>

<b>NHĨM ABEN </b>

<i><b>KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

<i>S</i>

<i>S</i>

<i>G</i>

<i>a x</i>.<i>b</i>

<i>x a</i>.<i>b</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

 









 

 

 

<i>U</i>

<i>U</i> <i>a</i>

<i>X</i><i>a</i>

 

   





.





 

















  





 

 

 

 

 

 





 





<i>H</i>





 

<i>A</i>



 

















 

 

 

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về