Báo cáo khoa học: Hệ cộng dồn mùi cải tiến trong Hệ cộng dồn mùi cải tiến pot

Báo cáo khoa học
Hệ cộng dồn mùi cải tiến trong tối ưu hóa bầy kiến






Tạp chí KHKT Nông nghiệp 2007: Tập V, Số 4: 60-66 Đại học Nông nghiệp I

Hệ CộNG DồN MùI CảI TIếN TRONG TốI ƯU HóA BầY KIếN
An Improved Aggregation Pheromone System in the Ant Colony Optimization
Nguyễn Hoàng Huy
*
, Nguyễn Hải Thanh
*
SUMMARY
As a bio-inspired computational paradigm, Ant colony optimization (ACO) has been
applied with great success to a large number of discrete optimization problems. However, up to
now, there are few adaptations of ACO to continuous optimization problems, whereas these
problems are frequent occurrence. Moreover, almost all of the adaptations use marginal
distribution models and the pheromone update rules used are quite different than those of the

original ACO algorithms. In some recent papers, Shigeyoshi Tsutsui and colleagues have
proposed two algorithms for continuous optimization called the Aggregation Pheromone
System (APS) and the enhanced APS (eAPS). These algorithms apply the same pheromone
update rule in a way similar to those of the original ACO algorithms, and as a result the
aggregation pheromone density eventually becomes a mixture of multivariate normal
probability density functions. However, both of the above algorithms do not guarantee to find
out a solution converging to an optimal solution. Based on an insight into the mathematical
techniques used to prove convergence of ACO algorithms on the discrete domain, we propose
an improved APS (iAPS). iAPS inherits APSs ant-colony based approaches and allows a
stronger exploration of better solutions found and at the same time; it can prevent premature
stagnation of the search. Consequently, iAPS has a higher probability of finding out an optimal
solution. We hope iAPS will be applied for realistic optimization problems in agricultural fields.
Keywords: Aggregation pheromone system, Ant colony optimization (ACO), approximation
algorithm, metaheuristics.

1. ĐặT VấN Đề
Trong các nghiên cứu về nông nghiệp và
sinh học, chúng ta gặp nhiều bài toán tối u.
Nhiệm vụ chính của các bài toán này là phải
xây dựng một phơng pháp hiệu quả để tìm ra
những giải pháp tối u nhất. Vấn đề này, thực
chất đợc đa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
của một hàm số
()
f
x
trên miền
n
X
R .

Trong những năm gần đây, một số nghiên cứu
(Bilchev G. and Parmee I. C., 1995; Dreo J.
and Siarry P., 2002; Pourtakdoust S.H. and
Nobahari H., 2004; Socha K., 2004; Tsutsui S.,
2006; Wodrich M. and Bilchev G., 1997) đã
triển khai một số phơng pháp tiếp cận phơng
pháp tối u hóa bầy kiến (ACO) để giải bài
toán tối u liên tục trên.
Phơng pháp ACO là một phơng pháp
tính toán hiệu quả trong lĩnh vực tính toán tự
nhiên mới mẻ hiện nay: trí tuệ bầy đàn (swarm
intelligence) (Engelbrecht A.P., 2005). Mục
đích của những mô hình tính toán trí tuệ bầy
đàn là mô phỏng tập quán đơn giản và những
tác động cục bộ đối với môi trờng xung quanh
của từng cá thể, từ đó thu đợc những tập quán
của bầy đàn phức tạp hơn có thể đợc sử dụng
để giải quyết những bài toán khó trong thực tế,
chủ yếu là những bài toán tối u. Phơng pháp
ACO mô phỏng tập quán tìm đờng đi ngắn
nhất của bầy kiến khi kiếm ăn. Khi đi đến
nguồn thức ăn, từng con kiến tiết ra mùi
(pheromone) trên đờng đi và thích chọn
những đờng đi có nồng độ mùi cao. Do đó,
những đờng đi ngắn nhất có nhiều khả năng
càng ngày nồng độ mùi càng tăng và đợc
nhiều kiến lựa chọn hơn.
Phơng pháp ACO, về nghiên cứu thực
nghiệm, đã đợc áp dụng rất thành công trong
*

Khoa Công nghệ thông tin, Đại học Nông nghiệp I .

66
Hệ cộng dồn mùi cải tiến trong tối u hóa bầy kiến

nhiều bài toán tối u rời rạc NP-khó. Tuy
nhiên, về cơ sở lý thuyết toán học, chỉ có một
số thuật toán trong những nghiên cứu đó đảm
bảo sẽ tìm đợc lời giải tối u toàn cục
(Engelbrecht A.P., 2005). Một số nghiên cứu
thực nghiệm về phơng pháp ACO cho những
bài toán tối u liên tục cũng bắt đầu đợc công
bố trong những năm gần đây, trong đó có hai
thuật toán APS và eAPS (Tsutsui S., 2006). APS
và eAPS thay thế dấu vết mùi trong ACO cổ
điển bằng hàm cộng dồn mùi, còn quy luật
cập nhật hàm cộng dồn mùi" hoàn toàn tơng
tự với quy luật cập nhật dấu vết mùi trong
ACO đã đợc áp dụng cho các bài toán tối u
rời rạc. Lúc này, hàm mật độ cộng dồn mùi
trở thành tổ hợp tuyến tính của những hàm mật
độ phân phối chuẩn nhiều chiều. APS cũng nh
eAPS có thể giải quyết thành công một số bài
toán tối u liên tục NP-khó. Tuy nhiên, hai
thuật toán trên cũng nh tất cả các thuật toán
áp dụng phơng pháp ACO cho những bài toán
tối u liên tục khác (Bilchev G. and Parmee I.
C., 1995; Dreo J. and Siarry P., 2002;
Pourtakdoust S.H. and Nobahari H., 2004;
Socha K., 2004; Wodrich M. and Bilchev G.,

1997) do quá chú trọng vào tìm kiếm sâu nên
không đảm bảo luôn tìm đợc lời giải tối u
toàn cục (theo các tài liệu chúng tôi thu thập
đợc cho tới nay).
Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một
lớp thuật toán iAPS cải tiến của thuật toán APS
cho những bài toán tối u liên tục. Lớp thuật
toán iAPS là lớp thuật toán xấp xỉ với thuật
toán APS. Hơn nữa, nhờ sự cân bằng giữa tìm
kiếm rộng và tìm kiếm sâu mà lớp thuật
toán này có khả năng tìm kiếm đợc lời giải tối
u toàn cục tốt hơn so với hai thuật toán APS

và eAPS đặc biệt trong những bài toán tối u
liên tục có nhiều cực trị địa phơng. Các mục
tiếp theo của bài báo đợc sắp xếp nh sau.
Mục 2 giới thiệu mô hình cơ bản hệ cộng dồn
mùi APS. Trên cơ sở mục 2, mục 3 trình bày
những cải tiến của lớp thuật toán iAPS. Mục 4
kết luận bài báo này.
2. MÔ HìNH CƠ BảN Hệ CộNG DồN MùI
APS

Thuật toán APS đợc S. Tsutsui, M.
Peklikan, A. Ghosh đa ra lần đầu tiên vào
năm 2005 và sau đó, đợc S. Tsutsui nâng cấp
thành thuật toán eAPS vào năm 2006 (Tsutsui
S., 2006).
2.1. Sự cộng dồn mùi
Trong thực tế, sự cộng dồn mùi đợc

sinh bởi một số loài côn trùng để chia sẻ thông
tin về nguồn thức ăn, nơi ẩn nấp an toàn, sự thu
hút giới tính hoặc kẻ thù. Ngời ta đã quan sát
đợc rất nhiều chức năng của hành động cộng
dồn mùi nh đánh dấu nguồn thức ăn, tìm
kiếm nơi ẩn nấp, kết bạn hoặc tự vệ. Khi một
con gián thấy một chỗ ẩn nấp an toàn, nó sẽ
tiết ra một loại mùi đặc biệt trong phân của
nó để thu hút những con gián khác. Sự khác
biệt giữa ACO và APS chính là ở chức năng của
mùi trong không gian tìm kiếm. Trong ACO
nồng độ mùi đợc xác định là dấu vết trên
mỗi đỉnh hoặc trên mỗi cạnh giữa các đỉnh của
đồ thị tìm kiếm. Còn trong APS, hàm mật độ
cộng dồn mùi đợc xác định là hàm mật độ
trong không gian tìm kiếm
n
X
R . Mỗi vòng
lặp của APS gồm hai bớc cơ bản:
Cập nhật hàm mật độ cộng dồn mùi
Sinh ra các kiến mới nhờ vào hàm mật
độ cộng dồn mùi tại thời điểm hiện tại.
2.2. Cập nhật hàm mật độ cộng dồn mùi
Đặt
(
)
,tx

là hàm mật độ (density) cộng

dồn mùi trong vòng lặp
t
. APS khởi
tạo
(
)
min
(0, )= 0,x = cx

. Do đó, kiến
mới ban đầu đợc sinh ra ngẫu nhiên theo phân
phối đều trên toàn bộ không gian tìm kiếm
m
X
.
Để đảm bảo kiến đợc sinh ra nhiều hơn tại
những vị trí có mật độ cộng dồn mùi cao,
trong vòng lặp
, các kiến mới đợc sinh ra
ngẫu nhiên theo phân phối xác suất
t
(, )
p
tx


xác định nh sau:
(
)
()

,
(, )
,
X
tx
ptx
txdx



=

(1)
Sau khi đợc sinh ra, mỗi kiến mới sẽ
phát ra mùi trong lân cận của nó. Để đảm
bảo nồng độ (intensity) mùi càng tăng khi
càng gần mỗi kiến, đặc biệt là với các kiến
tốt nhất, cũng nh để giảm bớt những biến đổi
tuyến tính trong không gian tìm kiếm, có thể
cập nhật mùi cho kiến
,tr
x
nh sau:

67
Nguyễn Hoàng Huy, Nguyễn Hải Thanh

()
2
', ,

1
,; ; (; ; )
tr tr t
m
k
C
trx x rNxx
k




=
=



(2)
Trong đó
là số điểm đạt đợc của
kiến trong vòng lặp
(số điểm
r
của kiến
r
t
,tr
x
càng tăng khi giá trị của hàm số
()

f
x
càng nhỏ, kiến tốt nhất trong kiến ở
vòng lặp này đợc
điểm còn kiến tồi nhất
đợc
1 điểm).
m
m
2
,
(; ; )
tr t
Nxx


là hàm mật độ phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn

chiều:
n
()
()
()
21
,,
1/21/2
11
;; exp ( )
2

2
T
tr t tr t tr
t
Nxx x x x x



,


=





t

là ma trận hiệp phơng sai của mẫu
{
}
1
;,
,
m
r
tr
x

=
là các tham số điều khiển
.
()
,0

>
C là tổng nồng độ mùi trên toàn không gian tìm kiếm
.
X
Khi đó, cộng dồn mật độ mùi tiết ra bởi tất cả
kiến ở vòng lặp thứ
t
sẽ có: m
()
()
',
1
,;;
m
tr
r
tx trx x

=
=

;
với (3) và đặt

1t
(0, )
x
c


=
(4)
Với cách xây dựng nh trên, thuật toán APS luôn đảm bảo
() ()
min
0, 0, (0, )
XXXX
x
dx x dx x dx cdx C


===

=
(5) và
()
,
X
tx C


=

(6)

Điều này rất quan trọng trong quá trình
sinh ngẫu nhiên kiến mới. Sự cộng dồn mật
độ mùi đợc cập nhật trong công thức sau:
( ) () (
1, , ,tx tx tx


+= +
)
)
1
(7)
Trong đó hằng số
là tỷ lệ
bay hơi của mùi.
(
0

<
2.3. Sinh ngẫu nhiên các kiến mới
Từ quy luật cập nhật mật độ mùi trong
phơng trình (7), hàm mật độ cộng dồn mùi
của APS đợc xác định bởi công thức sau:
() ()
1
0
1, 0, ( , )
t
th
h

tx x thx


+
=
+= +


(8)
Để thực hiện quá trình sinh ngẫu nhiên
các kiến mới, cần phải có hàm mật độ phân
phối xác suất
(
)
1,
p
tx

+ từ hàm mật độ cộng
dồn mùi
(
)
1, .tx

+
Từ phơng trình (1),
(5), (6), (8) ta có:
()
(
)

(
)
1
11
0
00
,0
1, . .
ht
t
tt
kk
h
kt
thx x
pt x
CC





+
++
=
==

+= +

,
(9)
Xét hàm mật độ phân phối xác suất
()
f
x

tổng quát dới dạng tổ hợp tuyến tính của các
hàm mật độ phân phối xác suất
() ()
(
)
11 2 2
( )
ss
f
xpfxpfx pfx=+ ++. (10)

68
Hệ cộng dồn mùi cải tiến trong tối u hóa bầy kiến

Với thì quá trình sinh ngẫu
nhiên các kiến mới theo hàm mật độ phân
phối xác suất
1
1
s
i
i
p

=
=

()
f
x
đợc tiến hành nh sau:
Chọn thành phần
()
i
f
x
với xác suất
i
p
.
Sinh ngẫu nhiên các kiến mới theo hàm
mật độ phân phối xác suất
()
i
f
x
vừa chọn.
Chú ý rằng
(
1,
)
p
tx

+ là tổ hợp tuyến
tính của phân phối chuẩn nhiều chiều và
một phần phối đều. Do đó các kiến mới có
thể đợc sinh ngẫu nhiên bằng cách sử dụng
thủ tục vừa nêu trong đó xác suất chọn thành
phần thứ
là:
1t +
i
1
0
t
i
i
k
p
k


+
=
=

(11)
và thành phần thứ
là:
i
()
(0, ) 1
(,)

i
xCkhii t
fx
tixCkhiit


=+

=




(12)
Quá trình sinh ngẫu nhiên các kiến mới
theo thành phần cuối cùng
1
()
t
f
x
+
là đơn giản
vì
1
()
t
f
x
+

là hàm hằng, nên nó là hàm mật độ
của phân bố đều trên toàn không gian tìm
kiếm. Những thành phần còn lại
()
i
f
t
với
it

là tổ hợp tuyến tính của
m
thành phần:
(
)
(
2
,
1
1
,
.;;
m
tir ti
m
r
k
tix
r
Nxx

C
k





=
=

=


)


(13)
Do đó, việc sinh ngẫu nhiên các kiến
mới theo hàm mật độ phân phối xác suất
()
i
f
t

với
có thể đợc làm tơng tự nh trên với
xác suất chọn thành phần thứ r
là :
it
2

t-i,r
N(x, x , )
ti



1
m
r
k
pr k


=
=

(14)
Do mỗi thành phần thứ
của vế phải
(13) là hàm mật độ phân phối chuẩn, việc sinh
các kiến mới có thể sinh ngẫu nhiên nhờ
phân hoạch Cholesky (Suli E. and Mayers
D.F., 2003).
r
Khi
đủ lớn, việc tính
t
(
1,
)

p
tx

+ theo
phơng trình (9) đòi hỏi phải lu trữ một số
lợng lớn các dữ liệu
. Trong
trờng hợp này,
với
t
và đủ
lớn, nên để khắc phục điều đó thuật toán APS
xấp xỉ
2
,
;
thr th
x




)
0
t


H
H
(

1,
p
tx

+ trong (9) bởi:
()
(
)
1
1
0
0
,
1, .
h
H
H
k
h
k
thx
pt x
C






=

=

+=


(15)
2.4. Sơ đồ thuật toán APS
Các bớc của thuật toán APS
Khởi tạo vòng lặp của APS:
.
:0t =
Khởi tạo hàm mật độ cộng dồn mùi
(0, )xc

=
,
(0, )
x
c


=
và khởi tạo sinh
ngẫu nhiên m kiến mới
theo phân phối
đều.
()Pt
Đánh giá
và đa ra số điểm r của
mỗi kiến.

()Pt
Tính ma trận
t

của m kiến .
()Pt
Cập nhật hàm mật độ cộng dồn mùi
(
)
1,tx

+
theo phơng trình (7).
Lu trữ
kiến vào . m
()Et
Sinh ngẫu nhiên
kiến mới theo
hàm mật độ phân phối xác suất xác định ở
phơng trình (9) đối với
t
, trong phơng
trình (15) tới
tH

m
()Pt
H<

Chọn

kiến nhân tạo tốt nhất từ
kiến
m
2m
(
)
(
)
{
}
Nt Et+ để sinh ra
m
kiến
mới trong
(1Pt )
+
.
:1tt
=
+

69
Nguyễn Hoàng Huy, Nguyễn Hải Thanh

Nếu điều kiện kết thúc thoả mãn thì dừng
thuật toán, nếu không quay lại bớc 4.
3. MÔ HìNH CƠ BảN Hệ CộNG DồN MùI
iAPS

Do hoàn toàn tập trung vào tìm kiếm sâu

nên APS rất dễ hội tụ nhanh tới lời giải tối u
địa phơng đủ tốt. Để khắc phục những nhợc
điểm trên của APS, bài báo này xin đề xuất một
lớp thuật toán cải tiến của thuật toán APS, đó là
lớp thuật toán iAPS. Lớp thuật toán này không
làm mất đi bản chất bầy kiến của APS cũng
nh của phơng pháp ACO nói chung. Hơn
nữa, về mặt thực nghiệm, iAPS là lớp thuật toán
xấp xỉ với thuật toán APS và khá linh hoạt
trong việc điểu chỉnh tìm kiếm rộng và tìm
kiếm sâu. Dới đây là những điều chỉnh của
lớp thuật toán iAPS so với thuật toán APS.
3.1. Cập nhật hàm mật độ cộng dồn mùi
Sau khi kiến
,tr
x
đợc sinh ra iAPS cập
nhật mùi cho kiến
,tr
x
nh sau:
()
()
()
min
2
', ,
1
11,
,; ; . (; ; )

tr tr t
m
k
Ctxr
trx x Nxx
k





=
+
=


(2)
(
)
min
,tx

đợc chọn sao cho
()
min
,
log
t
c
tx

t

=
khi đủ lớn và .
tN 0
t
t
limc a

=>
Khi đó, cộng dồn mật độ mùi tiết ra bởi
tất cả
kiến ở vòng lặp thứ sẽ có: m
t
()
()
',
1
,;;
m
tr
r
tx trx x


=
=

;
(3)

Để đảm bảo sự tìm kiếm rộng ta xác
định mật độ mùi thêm vào không gian tìm
kiếm trong vòng lặp thứ
là:
t
() () ( )
min
,, 1,tx tx t x c



=++.
(3)
3.2. Sinh ngẫu nhiên các kiến mới
Từ quy luật cập nhật mật độ mùi trong
phơng trình (7) ta có hàm mật cộng dồn
mùi trong iAPS là:
( ) () ( ) () ()
()
() ( )
11
00
1
min min
000
1, 0, ; 0, ,
1, . 1,
tt
thth
hh

ttt
hhh
hhh
tx x thx x thx
thx th thx





++
==
+
===
+= + = +
++=+ +


(8)
Để thực hiện quá trình sinh ngẫu nhiên
các kiến mới trong iAPS, cần phải có hàm
mật độ phân phối xác suất
(
1,
)
p
tx

+ từ hàm
mật độ cộng dồn mùi

(
)
1, .tx

+ Từ phơng
trình (1), (5), (6), (8) ta có:
()
()
()
(
)
()
()
()()
min
1
0
min
0
1
min
1
0
0
11,
,
1, .
11,
.1,0,

h
t
t
k
h
k
h
t
t
k
h
k
thx
thx
pt x
Cth
thx x
C







+
=
=
+
+

=
=
+

+=
+
+
+




x
(9)

70
Hệ cộng dồn mùi cải tiến trong tối u hóa bầy kiến

Chú ý rằng
(
1,
)
p
tx

+ là tổ hợp tuyến
tính của
phân phối chuẩn nhiều chiều và
một phân phối đều. Do đó, các kiến mới có
thể đợc sinh ngẫu nhiên bằng cách sử dụng

thủ tục vừa nêu trong đó xác suất chọn thành
phần thứ
là:
1t +
i
()
()
min
1
0
1
min
0
1
1
0
11,
0,1,2, ,
.1,
i
i
t
k
k
t
h
h
t
t
k

k
tix
p
it
thx
p




+
=
+
=
+
+
=

+


==





+

=






(11)
và thành phần thứ
là:
i
()
()
()
()
()
min
0,
1
,
11,
i
x
khi i t
C
fx
tix
khi i t
Ctix

=+


=





+

(12)
Quá trình sinh ngẫu nhiên các kiến mới
theo thành phần cuối cùng
1
()
t
f
x
+
là đơn giản
vì
1
()
t
f
x

+
là hàm hằng, nên nó là hàm mật độ
của phân phối đều trên toàn không gian tìm
kiếm. Những thành phần còn lại
()
i
f
t
với
it

là tổ hợp tuyến tính của
m
thành phần:
()
()
()
(
2
,
1
min
1
,
.;;
11,
m
tir ti
m
r

k
tix
r
Nxx
Ctix
k






=
=

=
+


)


(13)
Do đó, việc sinh ngẫu nhiên các kiến
mới theo hàm mật độ phân phối xác suất
()
i
f
t

với
có thể đợc làm tơng tự nh trong
APS.
it

Khi
t
đủ lớn, iAPS xấp xỉ:
() ()
(
)
()
()
()
1
min
1
0
0
1
min
1
0
min
0
0,
1, 1 , .
,
11,.
11,

h
H
H
k
h
k
h
H
H
k
h
k
x
pt x t hx
C
thx
thx
Cth

=
=


=
=
+= +

++


+
x








(15)
3.3. Sơ đồ lớp thuật toán iAPS
Sơ đồ lớp thuật toán iAPS gồm các bớc
tơng tự sơ đồ thuật toán APS. iAPS khác APS
ở bớc cập nhật hàm mật độ cộng dồn mùi
và bớc sinh ngẫu nhiên các kiến mới. Trong
iAPS, điều kiện kết thúc có thể là: số vòng lặp
vợt quá một số cho phép, số vòng lặp liên tiếp
mà không cải thiện đợc lời giải vợt quá số

lần cho phép Hơn nữa, trong lớp thuật toán

71
Nguyễn Hoàng Huy, Nguyễn Hải Thanh

iAPS, ngoài các điều kiện kết thúc nh trên còn
có bổ sung một điều kiện kết thúc khác. Do khi
lớp thuật toán iAPS hội tụ đến lời giải tối u
toàn cục, nồng độ mùi hầu nh tập trung
xung quanh lời giải đó nên thuật toán iAPS có
thể kết thúc khi tổng nồng độ mùi trong một
lân cận của lời giải tốt nhất vợt quá một số
cho phép.
4. KếT LUậN
So với hai thuật toán APS và eAPS, lớp
thuật toán iAPS cân bằng đợc sự tìm kiếm
sâu và tìm kiếm rộng một cách hiệu quả.
Do đó, khi áp dụng lớp thuật toán iAPS, khả
năng tìm đợc lời giải tối u toàn cục là cao
hơn APS và eAPS. Trong khi đó, do chỉ chú
trọng đến khả năng tìm kiếm sâu, nên các
thuật toán APS và eAPS rất dễ bị mắc cạn tại
lời giải tối u địa phơng.
Chúng tôi đề xuất tiếp tục hoàn thành
những định lý về cơ sở lý thuyết toán học nhằm
chỉ ra những điều kiện làm cho thuật toán APS
và eAPS không hội tụ tới lời giải tối u toàn
cục. Đồng thời, tiếp tục hoàn thành chứng
minh tính hội tụ của lớp thuật toán iAPS cũng
nh đánh giá về độ phức tạp của lớp thuật toán

này nhằm cải tiến lớp thuật toán iAPS có tốc độ
hội tụ tốt hơn. Hơn nữa, cũng cần có những
nghiên cứu tính toán so sánh lớp thuật toán này
với các thuật toán tối u khác trên các bài toán
tối u mẫu.
Hy vọng lớp thuật toán iAPS sớm đợc cài
đặt, khai thác sử dụng để giải quyết các bài
toán tối u trong những lĩnh vực khác nhau
trong đó có các bài toán tin sinh học.
TàI LIệU THAM KHảO
Bilchev G., I. C. Parmee (1995). The ant
colony metaphor for searching
continous design spaces. Proc. of the
AISB Workshop on Evo. Comp, p. 24 -
39.
Dreo J., P. Siarry (2002). A new ant colony
algorithm using the heterarchical
concept aimed at optimization of
multiminima continuous functions. Proc.
of the Third Int. Workshop on Ant
Algorithms, p. 216 - 221.
Engelbrecht A.P. (2005). Fundamentals of
Computational Swarm Intelligence. John
Wiley & Sons, Chichester, p. 361-510.
Pourtakdoust S.H., H. Nobahari (2004). An
extension of ant colony system to
continuous optimization problems. Proc.
of Fourth Int. Workshop on Ant Colony
Optimization and Swarm Intelligence, p.
294-301.

Socha K. (2004). ACO for continuous and
mixed-variable optimization. Proc. of
Fourth Int. Workshop on Ant Colony
Optimization and Swarm Intellgence, p.
25-36.
Suli E., D. F. Mayers (2003). An Introduction
to Numerical Analysis. Cambridge
University press, Cambridge, p. 39-91.
Tsutsui S. (2006). An Enhanced Aggregation
Pheromone System for Real-Prameter
Optimization in the ACO Metaphor.
Proc. of the Fifth Int. Workshop on Ant
Colony Optimization and Swarm
Intelligence, p. 60-71.
Wodrich M., G.Bilchev (1997). Cooperative
distribution search: the ants way.
Control Cybernetics 3, p. 413-446.


72