Bai tap c2 xstk

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (216.24 KB, 11 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

Bài Tập C2 - xstk

Nguyên lí kế tốn (Trường Đại Học Giao Thơng Vận Tải TP HCM)

Scan to open on Studocu

Bài Tập C2 - xstk

Nguyên lí kế tốn (Trường Đại Học Giao Thơng Vận Tải TP HCM)

Scan to open on Studocu

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Một thùng hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm

loại B. Mỗi sản phẩm loại A có giá 250 ngàn đồng, mỗi sản phẩm loại B có giá 200

ngàn đồng. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ thùng hàng. Gọi X là tổng trị giá 3 sản

phẩm được lấy ra.

Hãy lập bảng phân phối xác suất của X .

2.2. Một lô hàng có 7 sản phẩm đạt chuẩn và 3 sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên từ lô

hàng ra 4 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm đạt chuẩn có trong 4 sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X và của Y  5 2X .

2.3. Có 3 thùng hàng vỏ ngoài giống nhau, mỗi thùng đều chứa 10 sản phẩm. Trong

đó: thùng thứ nhất có 1 sản phẩm kèm vé thưởng trị giá 50 ngàn đồng; thùng thứ hai

có 2 sản phẩm kèm vé thưởng trị giá 30 ngàn đồng cho mỗi sản phẩm; thùng thứ ba có

3 sản phẩm kèm vé thưởng trị giá 20 ngàn đồng cho mỗi sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên một thùng và từ thùng đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.

Gọi X là trị giá tiền thưởng có được từ sản phẩm được lấy ra (nếu sản phẩm lấy

ra khơng có vé thưởng thì X 0). Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X.

2.4. Ba khẩu súng cùng bắn vào một mục tiêu độc lập nhau với xác suất bắn trúng của

mỗi khẩu là 0,8; 0,6; 0,7. Gọi X là số viên đạn trúng mục tiêu. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

2.5. Một phân xưởng có 4 máy hoạt động với xác suất để mỗi máy bị hỏng trong một

ca sản xuất là 0,1. Gọi X là số máy bị hỏng trong một ca sản xuất. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.

2.6. Để thử sức chịu nén của một loại vật liệu người ta tiến hành theo ba mức sau: Mức 1: Tiến hành thử với áp lực 200 kg/cm2. Nếu vật liệu chịu được áp lực này thì chuyển sang mức hai. Mức 2: Tiến hành thử với áp lực 230 kg/cm2. Nếu vật liệu chịu được áp lực này thì chuyển sang mức ba. Mức 3: Tiến hành thử với áp lực 250

kg/cm2.

Biết các lần thử độc lập và xác suất để vật liệu chịu được các mức thử trên tương

ứng là 0,9; 0,6 và 0,4. Gọi X là số lần thử, Y là số lần thử thành công. Hãy lập bảng

phân phối xác suất của X và của Y.

2.7. Có hai vận động viên bắn cung A và B tập bắn. Mỗi người bắn hai lần. Xác suất

bắn trúng hồng tâm của A trong mỗi lần bắn là 0,6; của B là 0,55. Gọi X là số lần bắn trúng hồng tâm của A trừ đi số lần bắn trúng hồng tâm của B.

Hãy lập bảng phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên X và của | |X .

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

2.8. Khả năng xuất hiện một loại vi trùng (mà ta quan tâm) ở mỗi thí nghiệm là 0,1.

Một cán bộ nghiên cứu đã làm từng thí nghiệm một cho đến khi nào thành cơng (nhận được loại vi trùng trên) thì dừng. Nhưng cán bộ này chỉ được cấp kinh phí để làm tối đa 15 thí nghiệm. Gọi Z là số thí nghiệm khơng thành cơng mà cán bộ trên đã làm.

a) Tìm quy luật phân phối xác suất của Z.

b) Tính xác suất cán bộ này thành cơng trong 5 thí nghiệm đầu. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên rời rạc

2.9. Một cửa hàng điện máy lời 2,5 triệu đồng khi bán 1 máy giặt, nhưng nếu máy giặt

bị hỏng trước thời hạn bảo hành thì bị lỗ 4,5 triệu. Biết rằng cửa hàng lời trung bình 1,94 triệu đồng khi bán được 1 máy giặt. Tính tỷ lệ máy giặt phải bảo hành.

2.10. Theo thống kê dân số thì xác suất để một người ở độ tuổi nào đó sống thêm một

năm nữa là 98,5%. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán thẻ bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với giá 60 ngàn đồng. Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi thường là 2 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán một thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu?

2.11. Nhu cầu hàng ngày (X : kg) về một loại thực phẩm tươi sống của một khu phố

có bảng phân phối xác suất:

0,15 0, 25 0, 45 0,15

XP

Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 38kg loại thực phẩm này với giá 30 ngàn/kg và bán ra với giá 45 ngàn/kg. Nếu bị ế, cuối này cửa hàng phải hạ giá còn 20 ngàn/kg mới bán hết. Giả sử cửa hàng ln bán hết hàng. Tính tiền lời trung bình của cửa hàng về loại thực phẩm trên trong một ngày.

2.12. Một người tung đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi X là tổng số

chấm ở hai mặt xuất hiện. Nếu X  anh ta mất 10 ngàn đồng. Nếu 54  X 10 anh ta mất 5 ngàn đồng. Nếu X 10 anh ta được 20 ngàn đồng. Gọi Y là số tiền anh ta

nhận được sau một lần chơi. Lập bảng phân phối xác suất của Y, tính E(Y). Bạn có kết

luận gì về trị chơi này?

2.13. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.14. Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

b) Lập bảng phân phối xác suất của bnn Y  2X212X  9

c) Viết hàm phân phối xác suất ( )F x , vẽ đồ thị hàm yF x( ).

d) Tìm ( ), ( ),mod( ),E X D XX med X( ).

2.15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị ( ) {1,2,3}X   và E X( )2,15 và 2

( ) 5, 25

E X  . Hãy lập bảng phân phối cho X.

2.16. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị X( ) { , , }  x x x123 (x1x2 x3) với xác suất tương ứng là p p p1, 2, 3.

Hãy tìm p x x3, ,1 2. Biết x3  3; p10,3;p2 0,5; ( ) 1,9; ( ) 0,49E X  D X  .

2.17. Có hai lơ sản phẩm. Lơ I có 7 sản phẩm A và 3 sản phẩm B; Lơ II có 6 sản phẩm

A và 4 sản phẩm B. Lấy ngẫu nhiên từ lô I ra 3 sản phẩm và lô II ra 2 sản phẩm. Bán

hết 5 sản phẩm này với giá bán 30 ngàn/sản phẩm A và 15 ngàn/ sản phẩm B. Gọi X là

c) Lập bảng phân phối xác suất của Z X Y  và của T XY .

Biến ngẫu nhiên liên tục

2.19. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

b) Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x .

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

2.21. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( )f x trong mỗi trường hợp sau. Tìm hàm phân phối xác suất ( )F x của X.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.29. Thời gian X (phút) chờ phục vụ của khách hàng ở một hệ thống phục vụ là một

biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là:

a) Tìm giá trị của tham số a .

b) Thời gian chờ phục vụ của mỗi khách hàng ở hệ thống này trung bình là bao

nhiêu ?

c) Tìm tỷ lệ khách hàng có thời gian chờ phục vụ khơng q 1 phút ở hệ thống phục

vụ này.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

d) Tìm xác suất để trong 6 khách hàng được phục vụ, có ít nhất một khách hàng

không phải chờ phục vụ quá 1 phút.

2.30. Thu nhập hàng năm của một người dân ở địa phương H là biến ngẫu nhiên liên

tục X (đơn vị: triệu đồng) có hàm mật độ xác suất

b) Mức thu nhập bình quân của mỗi người dân địa phương H là bao nhiêu? c) Tính tỉ lệ người có mức thu nhập khơng dưới 12 triệu đồng ở địa phương H. Phân phối nhị thức

2.31. Ông B trồng 45 cây bạch đàn với xác suất cây sống là 0,79. a) Tính xác suất có từ 35 đến 37 cây bạch đàn sống.

b) Tìm số cây bạch đàn sống trung bình và số cây sống có khả năng cao nhất. 2.32. Một nhà vườn trồng 87 cây lan quý, xác suất nở hoa của mỗi cây hoa trong một

năm là 0,63. Giá bán một cây lan quý nở hoa là 5 triệu đồng.

a) Giả sử bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm nhà vườn thu được số tiền có

khả năng cao nhất là bao nhiêu?

b) Nếu muốn trung bình mỗi năm có khơng dưới 100 cây lan q nở hoa thì nhà

vườn phải trồng tối thiểu bao nhiêu cây lan quý?

2.33. Một nhân viên tại một trung tâm trò chơi điện tử phụ trách 35 máy hoạt động

độc lập. Xác suất để mỗi máy cần sự giúp đỡ của nhân viên trong một giờ là 0,1.

a) Gọi X là số máy cần sự giúp đỡ của nhân viên trong một giờ. Tìm quy luật phân

phối xác suất của X.

b) Tìm xác suất để trong một giờ làm việc có ít nhất một máy cần sự giúp đỡ của

nhân viên.

2.34. Xác suất chữa khỏi bệnh B của một phương pháp điều trị là 0,8. Có 5 người được

điều trị bằng phương pháp này. Gọi X là số người được chữa khỏi bệnh.

a) Lập bảng phân phối xác suất của X.

b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

2.35. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau.

Giả sử XB(1;0,4),YB(2;0,3).

a) Hãy lập bảng phân phối xác xuất của ,X Y và X  Y

b) Tính (E X Y D X), ( Y) bằng hai cách.

2.36. Hai máy sản xuất tự động với tỷ lệ làm ra sản phẩm loại 1 lần lượt là 82% và

85%, sản phẩm còn lại là loại 2. Cho máy thứ nhất làm ra 600 sản phẩm, máy thứ hai

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

làm ra 400 sản phẩm. Sản phẩm làm ra của hai máy đem bán với giá 50 ngàn đồng/ sản phẩm loại 1 và 30 ngàn đồng/ sản phẩm loại 2. Hãy tính kỳ vọng và phương sai cho tổng số tiền bán được của 1000 sản phẩm này.

Phân phối Poisson, xấp xỉ Poisson

2.37. Trong một thành phố nhỏ, trung bình một tuần có 2 người chết. Biết rằng số

người chết trong một khoảng thời gian t (ngày) ở thành phố này là biến ngẫu nhiên có

phân phối Poisson. Tính xác suất để:

a) Khơng có người nào chết trong vịng 1 ngày. b) Có ít nhất 3 người chết trong vòng 2 ngày.

2.38. Tại một trạm kiểm sốt giao thơng trung bình một phút có 2 ơ tơ đi qua. a) Tính xác suất để có đúng 6 xe ơ tơ đi qua trong vịng 3 phút.

b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ơ tơ đi qua. Tìm

t để xác suất này là 0,99.

2.39. Quan sát tại siêu thị A thấy trung bình 5 phút có 18 khách đến mua hàng. a) Tính xác suất để trong 7 phút có 25 khách đến mua hàng.

b) Tính xác suất để trong 2 phút có từ 3 đến 5 khách đến.

c) Tính số khách đến mua hàng tại siêu thị A trong 1 giờ có khả năng cao nhất. 2.40. Giả sử tỷ lệ ung thư gan của trẻ em Việt Nam là 0,0001. Tính xác suất để trong

20000 có:

a) Đúng 3 em bị ung thư gan. b) Hơn 2 em bị ung thư gan.

c) Số trẻ bị ung thư gan có khả năng cao nhất là bao nhiêu?

2.41. Ở một trường học, người ta nhận thấy rằng xác suất để một học sinh khi đi học

bị bệnh và phải nằm điều trị tại phòng y tế là 0,0006. Biết rằng trong một buổi học, trung bình có 8000 học sinh.

a) Tính xác suất trong một buổi học có 5 học sinh phải nằm điều trị tại phịng y tế. b) Theo bạn thì phịng y tế cần trang bị khoảng bao nhiêu giường điều trị?

2.42. Xác suất bắn trúng máy bay của một viên đạn súng trường là p0,001. Có 5000 viên được bắn vào một chiếc máy bay. Nếu có từ ba viên trở lên trúng máy bay thì máy bay sẽ bị hạ; cịn nếu chỉ có hai viên trúng thì khả năng máy bay bị hạ là 0,8; nếu chỉ có một viên trúng thì khả năng máy bay bị hạ là 0,4. Tính xác suất máy bay bị hạ do trúng đạn.

Phân phối mũ

2.43. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất ( )f x trong mỗi

trường hợp sau. Hãy tìm k , tìm hàm phân phối F(x), tính ( ), ( )E X D X .

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

2.44. Một máy tính cá nhân có thời gian sống (Life time – thời gian máy làm việc liên

tục cho đến lúc hỏng) tuân theo luật phân phối mũ với tham số  0, 2 (đơn vị tính thời gian là năm).

a) Thời gian sống trung bình của máy tính là bao nhiêu?

b) Biết thời gian bảo hành là 1,5 năm. Tính tỷ lệ máy tính phải bảo hành. c) Tính tỷ lệ máy tính có thời gian sống từ 3 đến 6 năm.

2.45. Thời gian chờ phục vụ của một khách hàng ở một hệ dịch vụ là bnn X (đơn vị:

phút) có phân phối mũ với với tham số 0,0513.

a) Hãy tính thời gian chờ phục vụ bình quân mỗi khách hàng ở hệ dịch vụ này.

b) Tỉ lệ khách hàng có thời gian chờ phục vụ không quá 15 phút ở hệ dịch vụ này.

2.46. Gọi Y là thời gian nói chuyện điện thoại của một khách hàng (đơn vị: phút). Giả

sử Y có luật phân phối mũ với 0,25. Hãy tính tỷ lệ khách hàng nói chuyện điện thoại khơng ít hơn 10 phút.

2.47. Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu

nhiên có phân phối mũ, với 3. Giả sử vừa có một khách hàng đến. Tính xác suất để trong vịng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.

Phân phối chuẩn, xấp xỉ chuẩn

2.48. Cho hai bnn độc lập XN(2;0,09) và YE( ), 0,2.

a) ( 3E  X 2Y  7)

b) (4DX 2Y  5)

c) E



2X23Y25XY 7X 2Y  9



2.49. Người ta đã phát ra 480 giấy mời dự hội nghị khách hàng. Biết rằng sức chứa

của khán phịng là 400 hách và thường chỉ có 80% khách hàng đến dự. Tính xác suất tất cả khách hàng đến dự đều có chỗ ngồi.

2.50. Lãi suất (%) của cổ phiếu của công ty A và của cơng ty B là các bnn có phân

phối chuẩn X1 N(11;16), X2 N(10,7;6,95). Một người đang cân nhắc để mua cổ phiếu của một trong hai công ty này. Vậy nếu muốn đạt lãi suất tối thiểu là 10,3% thì người đó nên mua cổ phiếu của công ty nào?

2.51. Thu nhập hàng tháng của một lao động ở thành phố H là biến ngẫu nhiên X

(triệu đồng/ tháng) có phân phối chuẩn N(8,5;0,16).

a) Tính tỷ lệ người lao động ở thành phố này có mức thu nhập từ 7,5 đến 9,2 triệu

đồng/tháng.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

b) Tính tỷ lệ người lao động ở thành phố này có mức thu nhập chưa tới 7,4 triệu

đồng/tháng.

c) Hầu hết 99,73% người lao động ở thành phố này có mức thu nhập vào khoảng

bao nhiêu?

2.52. Đường kính của một loại trục máy do cùng một máy sản xuất là biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn với đường kính trung bình (theo như thiết kế) là  20mm và độ lệch tiêu chuẩn  0,04 mm. Trục máy được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu đường kính của nó sai lệch so với đường kính thiết kế khơng q 0,072mm. Tìm tỉ lệ trục máy đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy.

2.53. Thời gian khách phải chờ được phụ vụ tại một cửa hàng là bnn XN(4,5;1, 21) (đơn vị: phút).

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến 5 phút. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của t để cho (P X  t) 0.05.

2.54. Tuổi thọ của một sản phẩm là bnn XN(4, 2;3, 24) (đơn vị: năm). Thời gian bảo hành được qui định là 3 năm. Nếu bán một sản phẩm thì lãi 150 ngàn đồng. Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải chi mức phí 500 ngàn đồng cho việc bảo hành. Tính số tiền lãi trung bình khi cửa hàng bán một sản phẩm.

2.55. Thời gian đi từ nhà đến trường là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn

(28; 4)

N . Biết rằng thời gian vào lớp là 12h30.

a) Anh ta xuất phát từ nhà lúc 12h. Tính xác suất bị trễ học.

b) Nếu muốn xác suất không bị trễ giờ ít nhất là 0,95 thì anh ta phải xuất phát từ

nhà muộn nhất là mấy giờ?

2.56. Trong một đợt thi tuyển viên chức tại Tp.HCM có 1000 người dự thi với tỷ lệ thi

đạt là 80%. Tìm xác suất:

a) Có 172 người khơng đạt.

b) Có khoảng từ 170 đến 180 người khơng đạt. c) Có nhiều nhất 190 người khơng đạt

d) Có ít nhất 780 người đạt

2.57. Trọng lượng X (đơn vị: kg) của mỗi con bị trong một đàn bị là biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn 2 (300;50 )

N . Chọn ngẫu nhiên một con bị trong đàn bị. Tính xác suất để con bị được chọn:

a) Có trọng lượng trên 350 kg.

b) Có trọng lượng từ 250 kg đến 350 kg.

c) Chọn ngẫu nhiên 4 con bị trong đàn bị nói trên. Tính xác suất để 2 trong 4 con

bị được chọn có trọng lượng từ 250 kg đến 350 kg.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

2.58. Trong một ngày hội, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại súng và

với khẩu súng đã chọn được sẽ bắn 100 viên đạn. Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thì được thưởng. Giả sử đối với chiến sĩ A, xác suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng loại I là 0,6 và bằng khẩu súng loại II là 0,5.

a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng.

b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần. Tinh1 số lần được thưởng tin chắc nhất.

c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một

lần được thưởng không nhỏ hơn 0,98?

Vector ngẫu nhiên

2.59. Xác suất sinh con trai là 0,5 với mỗi người mẹ. Một gia đình dự định có 3 con.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con trai trong gia đình có 3 con. Y là biến ngẫu nhiên

chỉ dãy các trẻ em có giới tính liền nhau, chẳng hạn nếu có 3 đứa trẻ đều là gái hoặc đều là trai thì Y 1. Nếu đứa đầu là gái, đứa thứ 2 là trai, đứa thứ 3 là gái thì Y  . 3

a) Lập bảng phân phối xs đồng thời của vector ( , )X Y .

b) Lập bảng phân phối xác suất của bnn Z 3X 2Y  . 1

c) Tính ( ), ( )E X D X .

d) Tìm phân phối xác suất của X khi Y  . 2

e) Tìm hệ số tương quan XY và cho nhận xét về sự phụ thuộc tương quan tuyến

tính của X và Y.

2.60. Điều tra thu nhập hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) của các cặp vợ chồng đang

làm việc, với X: thu nhập của chồng, Y : thu nhập của vợ. Có bảng phân phối đồng

thời như sau:

c) Tính hệ số tương quan rXY. Cho nhận xét về sự phụ thuộc tương quan tuyến tính giữa thu nhập của vợ chồng.

d) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Z X Y  .

</div>