MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN </b>

------

<b>HỒ VĂN DŨNG </b>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ</b>

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<i><b>Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TỐN </b>

------

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<i><b> Tên đề tài: </b></i>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ</b>

Sinh viên thực hiện

<b>HỒ VĂN DŨNG </b>

MSSV: 2114010105

<b>CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN </b>

KHĨA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn

<i><b>ThS. HUỲNH THỊ MAI TRÂM MSCB: </b></i>

<i><b>Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Huỳnh Thị Mai Trâm, cơ đã trực tiếp hướng dẫn để tơi hồn thành bài khóa luận tốt nghiệp. Tơi xin cảm ơn cơ đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ góp ý kiến trong q trình nghiên cứu và làm bài để tơi hồn thành khóa luận tốt hơn.

Mặc dù đã cố gắng trong q trình nghiên cứu khóa luận được hồn chỉnh, nhưng do thời gian và khả năng cũng như còn hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm và đóng góp quý báu từ các thầy cơ và các bạn để bài khóa luận được hồn chỉnh hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

<i>Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 </i>

Sinh viên

Hồ Văn Dũng

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>LỜI CAM ĐOAN </b>

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của Th.S Huỳnh Thị Mai Trâm. Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp do chúng tơi tự tìm hiểu, thực hiện khách quan. Các kết quả này chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác.

<i><b>Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 </b></i>

Sinh viên

Hồ Văn Dũng

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>MỤC LỤC </b>

MỞ ĐẦU ... 1

1. Lí do chọn đề tài ... 1

2. Mục tiêu của đề tài ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

1.1.2. Điều kiện xác định của phương trình ... 3

1.1.3. Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình ... 3

1.1.3.1. Nghiệm của phương trình một ẩn ... 3

1.1.3.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm ... 5

1.1.3.3. Khoảng phân ly nghiệm ... 6

1.1.4. Tính chất nghiệm của phương trình ... 7

1.1.4.1. Định lý Franscois Viete ... 7

1.1.4.2. Định lý Michel Rolle ... 8

1.1.4.3. Tiêu chuẩn Eisenstein ... 8

1.1.4.4. Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất) ... 8

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

1.2.2.7. Phương trình chứa trị tuyệt đối ... 16

1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình ... 16

1.3.1. Bất đẳng Auguste Louis Cauchy ... 16

1.3.2. Bất đẳng thức Victor Iakovlevitch Bouniakovski ... 18

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ... 27

2.1. Phương pháp “điểm khơng” ... 27

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

2.6. Phương pháp Isaac Newton ... 59

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

1

<b> MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài </b>

Khi nói tới phương trình thì chắc hẳn đây là một mảng kiến thức khơng hề xa lạ với từng học sinh trung học. Phương trình gồm rất nhiều loại như phương trình đại số, phương trình lượng giác, phương trình mũ... mỗi loại đều có cách tiếp cận và phương pháp giải khác nhau. Những bài tốn về phương trình thường xun xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, kì thi Olympic, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thơng và tuyển sinh đại học cao đẳng,…Đây cũng là một phần làm khó khăn trong việc giải đề thi của các em. Việc tìm ra cách giải, hướng đi đúng cho bài giải khơng phải học sinh nào cũng có thể làm được.

Trong quá trình học tập cũng như trong thời gian tôi đi làm gia sư, tôi nhận thấy rằng việc giải phương trình cịn khó khăn đối với nhiều học sinh kể cả tôi khi gặp những phương trình mới và lạ đặc biệt là những phương trình khơng mẫu mực. Tơi ln đặt câu hỏi làm thế nào để có phương pháp giải chung cho các bài tốn khó về phương trình này hay khơng? Học sinh gặp khó khăn gì trong việc giải phương trình của mình? Phương pháp giải hay là có sai sót gì trong cách trình bày? Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp học sinh giải thành thạo các loại phương trình đại số này? Và khi gặp các bài tốn này thì các em cũng có thể tìm ra cách giải phù hợp nhất. Là một sinh viên chun ngành tốn tơi nhận thấy việc tìm ra một phương pháp giải cho một bài tốn là vơ cùng quan trọng. Vậy nên tôi

<i><b>quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số” </b></i>

để làm khóa luận tốt nghiệp cho mình.

<b>2. Mục tiêu của đề tài </b>

Nghiên cứu nội dung lý thuyết về phương trình đại số.

Trình bày có hệ thống các phương pháp giải phương trình đại số.

<b>3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu </b>

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đại số và phương pháp giải phương trình.

Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đại số một ẩn.

<b>4. Phương pháp nghiên cứu </b>

Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

2 Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

<b>5. Đóng góp của đề tài </b>

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học từ các chuyên đề toán cho học sinh, đem lại niềm say mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất.

Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức.

<b>6. Cấu trúc của đề tài </b>

Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i><b>Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng </b>f x</i>

 

 <i>g x</i>

 

.

Trong đó <i>f x và </i>

 

<i><b>g x là những biểu thức của x . Ta gọi </b></i>

 

<i>f x là vế trái, </i>

  

<i>g x là vế phải của phương trình. </i>

<i><b>1.1.2. Điều kiện xác định của phương trình </b></i>

Điều kiện xác định của phương trình tức là điều kiện để phương trình có nghĩa. Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì mẫu phải khác 0. Còn đối với phương trình chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0.

<i><b>1.1.3. Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình </b></i>

<i>1.1.3.1. Nghiệm của phương trình một ẩn </i>

Với <i>f x</i>( )<i>a x_nⁿ</i><i>a_n</i>_₁<i>xⁿ</i>^¹ ... <i>a x</i>₁ <i>a</i>₀, <i>a_n</i> 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<i>n</i> thì <i>x gọi là nghiệm kép của </i>₀ <i>f x</i>

 

0. Nếu <i>x là một nghiệm nhưng </i>₀

không phải là nghiệm bội của <i>f x</i>

 

0 thì khi cần ta sẽ nói nó là nghiệm đơn. Để xem một nghiệm có phải là nghiệm bội hay khơng, ta có thể sử dụng định lý sau.

<b>Định lý. Phương trình ( ) 0</b><i>f x</i>  có bậc <i>n</i>1<b> trên trường số P đều có không quá </b>

<i><b>n nghiệm phân biệt trên P. </b></i>

<b>Chứng minh. </b>

Giả sử phương trình ( )<i>f x</i> 0 có <i>n</i>1 nghiệm phân biệt <i>x</i>₁, ,...,<i>x</i>₂ <i>x_n</i>, <i>x_n</i>_₁. Khi đó <i>f x</i>( )



<i>x</i><i>x</i>₁



<i>x</i><i>x</i>₂



...



<i>x</i><i>x_n</i>



<i>x</i><i>x_n</i>_₁



Do đó <i>f x</i>( )



<i>x</i><i>x</i><small>1</small>



<i>x</i><i>x</i><small>2</small>



...



<i>x</i><i>x_n</i>



<i>x</i><i>x_n</i>_<small>1</small>

  

.Q <i>x</i> với <i>Q x</i>

 

0. Suy ra deg



<i>f x</i>

 

 <i>n</i> 1 (Trái giả thiết).

Vậy suy ra điều cần chứng minh.

<b>Định lý. Giả sử </b> <i>x là một nghiệm của phương trình </i>₀ <i>f x</i>( )0. Khi đó <i>x là </i>₀

nghiệm bội của <i>f x</i>( )0 nếu và chỉ nếu <i>x là nghiệm của đạo hàm </i>₀ <i>f x</i>'( )0.

<b>Chứng minh. </b>

Nếu <i>x là nghiệm bội của phương trình </i>₀ <i>f x</i>( )0 thì <i>n</i>2 sao cho

 

<small>0</small>

  

<i>ⁿ</i>.

<i>f x</i>  <i>x</i><i>xg x</i> với <i>g x</i>

 

0. Suy ra <i>f</i> '

 

<i>x</i><small>0</small> 0.

Ngược lại, <i>x là nghiệm của </i>₀ <i>f x</i>( )0 nên ta có: <i>f x</i>

 





<i>x</i><i>x</i>₀



<i>^m</i>.<i>g x</i>

 

với <i>g x</i>

 

0, <i>g x không chia hết cho </i>

 

<i>x</i><i>x</i><small>0</small>



tức là <i>g x</i>

 

<small>0</small> 0.

Cần chứng minh nếu <i>x là nghiệm của đạo hàm </i>₀ <i>f</i> '

 

<i>x</i>₀ 0 thì <i>m</i>2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

5

Thật vậy, nếu <i>m</i>1 thì <i>f</i>'

  

<i>x</i>₀  <i>x</i><i>x</i>₀

    

. '<i>g x</i> <i>g x</i> Do đó <i>f</i> '

 

<i>x</i><small>0</small> <i>g x</i>

 

<small>0</small> 0 (trái giả thiết)

Vậy suy ra điều cần chứng minh.

<i>1.1.3.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm </i>

Ta vẽ đồ thị hàm số <i>y</i> <i>f x</i>

 

<i> trong hệ trục tọa độ vng góc Oxy (như hình vẽ). Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại một điểm M thì điểm M này có tung </i>

độ <i>y</i>0 và hoành độ <i>x</i> <i>x</i>₀. Thay chúng vào <i>y</i> <i>f x</i>

 

ta được 0 <i>f x</i>

 

<small>0</small> . Vậy hoành độ <i>x của giao điểm M chính là nghiệm của phương trình ( )</i>₀ <i>f x</i> 0<small>.</small>

<b><small>O</small></b> <small>x</small>₀<small>M</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i>1.1.3.3. Khoảng phân ly nghiệm </i>

<b>Định nghĩa. Khoảng </b>



<i>a b nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệm của </i>,



phương trình (1) nếu nó chỉ chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.

<b>Định lý. Nếu </b>



<i>a b là một khoảng trong đó hàm số </i>,



<i>f x liên tục và đơn điệu, </i>

 

đồng thời <i>f a và </i>

 

<i>f b trái dấu tức là </i>

 

<i>f a f b</i>

   

.  0 thì



<i>a b là một </i>,



khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1).

Ta có thể mơ tả định lý bằng đồ thị như sau:

Nếu <i>f x có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện </i>

 

khơng đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm khơng đổi dấu thì hàm số đơn điệu. Ta có định lý sau:

<b>Định lý. Nếu </b>



<i>a b là một khoảng trong đó hàm </i>,



<i>f x liên tục, đạo hàm </i>

 

<i>f</i> '

 

<i>x </i>

không đổi dấu và <i>f a , </i>

 

<i>f b trái dấu thì </i>

 

<i>a b là một khoảng phân ly nghiệm </i>,



của phương trình (1).

<b>Ví dụ. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình </b><i>x</i>² 3 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Hàm số <i>f x liên tục và đơn điệu vì </i>

 

<i>f</i> '

 

<i>x</i> 2<i>x</i>0 trên đoạn [1, 2]. Vậy đoạn [1, 2] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho.

<i><b>1.1.4. Tính chất nghiệm của phương trình </b></i>

<i>1.1.4.1. Định lý Franscois Viete </i>

- Đối với phương trình bậc hai <i>ax</i>²<i>bx</i> <i>c</i> 0, (<i>a</i>0).

Nếu <i>x</i>₁, <i>x là hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của phương trình bậc </i>₂

- Đối với phương trình bậc ba <i>ax</i>³<i>bx</i>²<i>cx</i> <i>d</i> 0,(<i>a</i>0).

Nếu <i>x</i>₁, , <i>x</i>₂ <i>x là ba nghiệm của phương trình </i>₃ <i>ax</i>³<i>bx</i>²<i>cx</i> <i>d</i> 0,(<i>a</i>0) thì ₁ ₂ ₃ <i>b</i>

... .

              

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

8

<small>31 231 241 21 341 351 3</small>

... . . ... . . ...

             

So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa của <i>x ở hai vế, ta được các </i>

hệ thức phải chứng minh.

<i>1.1.4.2. Định lý Michel Rolle </i>

<b>Định lý. Nếu hàm </b> <i>f x liên tục trên đoạn </i>

  

<i>a b , khả vi trong khoảng </i>,

 

<i>a b và </i>,

  

<i>f a</i>  <i>f b</i> thì tồn tại một điểm <i>c</i>



<i>a b</i>,



sao cho <i>f</i> '

 

<i>c</i> 0.

<i>1.1.4.3. Tiêu chuẩn Eisenstein </i>

<b>Giả sử </b> <i>f x</i>( )<i>a x_nⁿ</i><i>a_n</i>_₁<i>xⁿ</i>^¹ ... <i>a x</i>₁ <i>a</i>₀ 0, <i>a_n</i> 0 là một đa thức với

<i>hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p không phải là ước của a nhưng _np là ước của các hệ số cịn lại và p khơng phải là ước của các số hạng tự do </i>²

<i>a . Thế thì đa thức f x bất khả quy trên </i>

 

.

<i>1.1.4.4. Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất) </i>

<i>Nếu có hai số thực a và b </i>



<i>a</i>  <i>b</i>



sao cho <i>f a và </i>

 

<i>f b trái dấu tức là </i>

    

. 0

<i>f a f b</i>  đồng thời <i>f x liên tục trên </i>

 

<i>a b thì có ít nhất một điểm </i>,





,



<i>c</i> <i>a b</i> sao cho <i>f c</i>

 

0.

<b>Chứng minh. </b>

Giả sử <i>f a</i>( )0, ( )<i>f b</i> 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

  ^{thì định lý được chứng minh với} 2

<i>abc</i>_ 

.

<i>abf</i> _   _

  ^{thì có hai khả năng:}

<i>abf</i>_   _

  ^{. Khi đó ta gọi}^{[ , ] =}¹ ¹ ^, 2

  

<i>(để cho giá trị của của hàm số f ở hai đầu vẫn trái dấu) </i>

Lại chia đoạn [a , b ] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia ₁ ₁ ¹ ¹2

Ta sẽ áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt vào đẳng thức trên. Trước hết ta nhắc lại bổ đề về dãy các đoạn thắt:

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

  

 _{   } _

Áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt, tồn tại một điểm <i>c</i>[<i>a_n</i>, b ],<i>_n n</i> 

suy ra lim <i>_n</i> lim <i>_n</i>

với <i>a b là hai số đã cho, x được gọi là ẩn. </i>,

- Nếu <i>a</i>  0 thì phương trình <i>ax b</i> 0có nghiệm duy nhất <i>bx</i>

  . - Nếu <i>a</i>  0 và <i>b</i>  0 thì phương trình <i>ax b</i> 0 vơ nghiệm.

- Nếu <i>a</i>  <i>b</i>  0 thì phương trình <i>ax b</i> 0<i> nghiệm đúng với mọi x (hay </i>

vô số nghiệm).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

* Có hai nghiệm phân biệt khi <i>a</i>0,  0.

trong đó , , , <i>a b c d là các số cho trước và x gọi là ẩn. </i>

Khi giải ta thường đưa phương trình bậc ba về dạng

<i>x</i>³<i>ax</i>²<i>bx</i> <i>c</i> 0 (1) Để giải phương trình (1), ta đặt:

<i>ay</i> <i>x</i> hay

<i>ax</i> <i>y</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

12 Khi đó thay vào phương trình (1), ta được:

<i>p</i>  <i>b q</i>  <i>c</i>

Ta được phương trình <i>y</i>³<i>py</i> <i>q</i> 0, , <i>p q</i> (2) Dạng (2) gọi là dạng thu gọn của phương trình bậc ba.

Ta chỉ xét , <i>p q khác 0 vì p</i>0 hay <i>q</i>0 thì đưa về trường hợp đơn giản. Đặt <i>y</i>  <i>u</i>  <i>v</i> thay vào phương trình (2) ta được

<i>pu v</i>

   

 

Theo định lý Franscois Viete, <i>u và </i><small>3</small> <i>v là nghiệm của phương trình: </i>³

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép:

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

+ Khi  0 thì phương trình (5) có nghiệm phức.

Gọi <i>u</i>₀³ là một nghiệm phức của phương trình (5), <i>v là giá trị tương ứng </i>₀³

sao cho _{0 0}3

 _  _ 

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<b>Định lý 3. Xét phương trình </b> <i>f x</i>

 

0, trong đó <i>f x là đa thức hệ số nguyên </i>

 

có bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Nếu <i>f là đa thức bất khả quy trên </i> và có đúng hai nghiệm phức trong thì phương trình khơng được giải bằng căn thức.

Để minh họa cho định lý 3, ta xét ví dụ sau.

<b>Ví dụ. Phương trình </b>

 

<small>52</small>

<i>f x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  không được giải bằng căn thức.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

15

Thật vậy, theo tiêu chuẩn Eienstein, thì đa thức <i>f x</i>

 

<i>x</i><small>5</small>9<i>x</i><small>2</small>3 là đa thức bất khả quy với số nguyên tố <i>p</i>3. Do đó ta chỉ cần chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phức hay chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thực.

<i>1.2.2.6. Phương trình chứa tham số </i>

Cho hàm số <i>f x ngồi biến ra cịn có các chữ cái , , ,</i>

 

<i>a b c</i> gọi là các tham số. Giả sử <i>a</i> , <i>b</i> ,..., <i>c</i>  là tập hợp các giá trị bằng số nào đó của các chữ cái <i>a b</i>, ,, <i>c</i>. Nếu thay các giá trị đó vào hàm <i>f thì ta được </i>

( , , ,..., )

<i>f x</i>    xác định một hàm số nào đó của biến <i>x thì , ,..., </i>   được gọi là hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số. Nếu <i>f x</i>( , , ,..., )   khơng có

<i>nghĩa với giá trị bằng số của x trên trường số đã cho thì , ,..., </i>   là một hệ

<b>thống giá trị không thừa nhận được của các tham số. </b>

Phương trình ( , , ,.., )<i>f x a bc với x là ẩn và các tham số , ,a b</i>, <i>c</i> được gọi là phương trình chứa tham số.

Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận của các tham số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

16

<i>1.2.2.7. Phương trình chứa trị tuyệt đối </i>

<b>a. Phương trình dạng </b> <i>f x</i>

 

<i>a</i><b>, (</b><i>a</i>0)Cách giải: <i>f x</i>

 

<i>a</i><b>, (</b><i>a</i>0)

 

 

  

   

 

  

 _

 _ _{ }

 _

<b> </b>

<b>d. Phương trình dạng </b> <i>f</i>

 

<i>x</i> <i>g x</i>

 

Cách giải: <i>f</i>

 

<i>x</i> <i>g x</i>

 

    

 _ _{ }

 _

<b> </b>

<b>e. Phương trình dạng </b> <i>f x</i>

 

 <i>g x</i>

 

<b> </b>

Cách giải: <i>f x</i>

 

 <i>g x</i>

     

  

 

<b>1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình </b>

<i><b>1.3.1. Bất đẳng Auguste Louis Cauchy </b></i>

Cho <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a là các số không âm. </i>₃

Khi đó:

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Tổng quát. Cho <i>n số thực không âm bất kỳ a</i>₁, <i>a</i>₂,..., <i>a thế thì trung bình cộng _n</i>_,

của <i>n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. </i>

   _

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i>₁<i>a</i>₂  ... <i>a_n</i>

Bất đẳng thức Auguste Louis Cauchy còn gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân.

<i>a aak</i>

  

 . Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với <i>n</i> <i>k</i> 1.

<i>a aak</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

          



 



 





Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ¹ ²

Nếu <i>A</i>  0 thì <i>a</i>₁<i>a</i>₂ ... a<i>_n</i> 0thì bất đẳng thức được chứng minh. Cũng tương tự nếu 0<i>B</i>  <i>. Do đó ta chỉ xét trường hợp A và B khác không. </i>

(<i>a x b_n</i>  <i>_n</i>)  0 <i>a x_n</i> 2<i>a b x b_{n n}</i>  <i>_n</i> 0. Cộng vế theo vế của bất đẳng thức trên ta được:

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Xét phương trình <i>f x</i>

 

0 (1) có khoảng phân ly nghiệm là [ , ]<i>a b </i>

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương <i>x</i> 

 

<i>x</i> (2) Với giá trị ban đầu <i>x</i>₀

 

<i>a b</i>, ta xây dựng dãy

 

<i>x_{n n}</i>_{ }_0, dựa vào hệ thức



<small>1</small>



, 1, 2,...

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Khi phương pháp lặp hội tụ thì <i>x càng gần _n</i>  nếu <i>n càng lớn. Cho nên ta </i>

xem <i>x với _nn xác định là giá trị gần đúng của </i>. Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị.

Để kiểm tra một phương pháp lặp có hội tụ khơng ta có định lý sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

21

<b>Chứng minh. </b>

Vì  là nghiệm của phương trình <i>x</i> 

 

<i>x</i> nên ta có    

 

Trừ vế theo vế của biểu thức này cho biểu thức <i>x<small>n</small></i>  



<i>x<small>n</small></i>_<small>1</small>



ta được:

Khi đó:  <i>x_n</i>  '

 

<i>c</i>  <i>x_n</i>_<small>1</small>   <i>qx_n</i>_<small>1</small> Vậy có:  <i>x_n</i>   <i>qx_n</i>_₁.

Bất đẳng này đúng với mọi <i>n . Do đó ta có: </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

  

<i>Trong đó m là số dương xác định bởi f</i> '

 

<i>x</i>  <i>m</i> 0 tại <i>x</i>

 

<i>a b</i>,

<b>1.5. Phương pháp Isaac Newton </b>

Đầu tiên ta nhắc đến định lý về khai triển Taylor của một hàm như sau:

<b>Định lý. Cho hàm số </b> <i>f x xác định và có đạo hàm cấp </i>

 

<i>n</i>1 tại <i>x và lân cận </i>₀

của <i>x . Giả sử h là một giá trị sao cho </i>₀ <i>x</i>₀<i>h</i> cũng thuộc lân cận này. Ta có cơng thức sau đây được gọi là khai triển Taylor bậc <i>n của f x tại </i>

 

<i>x : </i>₀

Giả sử <i>x là nghiệm của phương trình (1), cịn x là nghiệm xấp xỉ tại bước _n</i>

<i>thứ n . Ta đặt x</i><i>x_n</i> <i>x_n</i>. Theo khai triển Taylor ta có:

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<i>f xx</i>

  

Vì   <i>x_nxx_n</i>, do đó

  

<i>f xxx</i>

 

Khi đó ta suy ra cơng thức lặp đơn cho phương pháp Isaac Newton

  

<i><small>nnn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

24 .

<b>Định lý. (Điều kiện đủ để phương pháp Isaac Newton hôi tụ) </b>

Giả sử

 

<i>a b là khoảng phân ly nghiệm </i>,  của phương trình (1), <i>f x có </i>

 

đạo hàm <i>f</i> '

   

<i>x</i> , ''<i>fx đồng thời f</i> '

 

<i>x , f</i> ''

 

<i>x liên tục và không đổi dấu trên </i>

 

<i>a b . Xấp xỉ đầu </i>, <i>x chọn là a hay b sao cho </i>₀ <i>f x</i>

   

<small>0</small> . ''<i>fx</i><small>0</small> 0. Khi đó <i>x _n</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Hình 1.5bHình 1.5a</small>

<small>f' < 0, f'' <0</small>

<small>Hình 1.5dHình 1.5c</small>

<small>f' < 0, f'' > 0f' > 0, f'' < 0</small>

<small>a</small> ^x<small>1x2</small>

<i><b><small>OO</small></b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

26

<b>Định lý. Nếu phương trình </b> <i>f x</i>

 

0 có

 

<i>a b là khoảng phân ly nghiệm, đồng </i>,thời <i>f</i> '

 

<i>x</i> , ''<i>f</i>

 

<i>x liên tục và không đổi dấu trên đoạn </i>

 

<i>a b , với </i>, <i>x</i>₀

 

<i>a b</i>, sao cho <i>f x</i>

   

<small>0</small> . ''<i>fx</i><small>0</small> 0 (<i>x được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một </i>₀

<i>trong hai đầu mút a hoặc b ). Khi đó dãy </i>

 

<i>x_{n n}</i>_{ }_0, xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm  của phương trình <i>f x</i>

 

0 và ta có ước lượng

<i><small>nnn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<i>x</i>  <i>a b</i>

<b>Giải </b>

Đặt <i>A</i><i>x x b a</i>







 <i>x</i>

 

<i>b b a</i>



<i>x b</i> 

 

<i>a a</i><i>x b a</i>







Từ <i>x</i>  <i>a b</i> 0 cho <i>x</i>0 ta có được <i>a</i> <i>b</i> nên <i>A</i> 0 <i>b b b</i>





    

  <i>bb</i> <i>b b b</i>



= 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

28

Nếu .<i>a b</i>0 thì phương trình có nghiệm <i>x</i>0.

<b>Bài 2. Giải phương trình </b><i>bc b c</i>



 



<i>cx c</i>



 <i>x</i>



<i>xb x b</i>







0 .

<b>Giải </b>

Đặt <i>M</i> <i>bc b c</i>



 



<i>cx c</i>



 <i>x</i>



<i>xb x b</i>







Cho <i>x b</i> 0<i> hay x</i><i>b</i>

<i>Do đó M trở thành M</i> <i>bc b c</i>



 



<i>cb c b</i>



  



0 0Vậy <i>M</i> (<i>x b</i> )

<i>Trong M vai trò của , , b c x là như nhau nên M b c</i>(  ), <i>M</i> (<i>x c</i> )Suy ra <i>M</i>   



<i>x b</i>



<i>x c b c</i>







<i>Vì M có bậc là ba đối với , , b c x nên </i> là hằng số không phụ thuộc vào , ,

<i>b c x . </i>

Cho <i>b</i>1, <i>c</i>2, <i>x</i>3 ta được:

2. 1 2



 

 

6 2 3 



3. 3 1



   



3 1 3 2 1 2











1

  _

 

<i>- Nếu b</i><i>c</i> thì (*) trở thành:

0. <i>x b</i> <i>x c</i> 0  0 0 (đúng)

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

29 Suy ra phương trình có vơ số nghiệm. Kết luận.

Nếu <i>b</i>0, <i>c</i>0 thì phương trình có nghiệm <i>x</i>0, <i>x</i><i>c</i>. Nếu <i>b</i>0, <i>c</i>0 thì phương trình có nghiệm <i>x</i>0, <i>x</i>b. Nếu <i>b</i> <i>c</i> 0 thì phương trình có nghiệm <i>x</i><i>b x</i>, <i>c</i>.

<i>Nếu b</i><i>c</i> thì phương trình có vơ số nghiệm.

<b>Bài 3. Giải phương trình </b>2<i>x a</i>^{2 2}2<i>x b</i>^{2 2}2<i>a b</i>^{2 2}<i>x</i>⁴<i>a</i>⁴<i>b</i>⁴ 0

<i>Mặt khác M là hàm số chẵn đối với , , a b x nên thay a</i> <i>a b</i>,  <i>b</i>,

<i> x</i> <i>x thì biểu thức của M khơng thay đổi. </i>

Do đó <i>M</i>



<i>x a b</i> 



, <i>M</i>



<i>x</i> <i>a b</i>



, <i>M a b</i>



 <i>x</i>



<i>Mà M là biểu thức có bậc bốn nên </i>

<i>M</i>    <i>a bxx a b</i>  <i>x</i> <i>a b a b</i> <i>x</i> với  là một hằng số không phụ thuộc vào <i>a b x . </i>, ,

Cho <i>a</i>  <i>bx</i> 1 ta được: 3 3   1

Hay <i>M</i> 



<i>a b</i> <i>x</i>



<i>x a b</i> 



<i>x</i> <i>a b a b</i>



 <i>x</i>



Khi đó phương trình được viết lại:



<i>a b</i> <i>x</i>



<i>x</i> <i>a b</i>



<i>x</i> <i>a b a b</i>



 <i>x</i>



0

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

30 0

   

      

  

     

<i>Vì trong M vai trị của , , a b x là như nhau nên M</i>



<i>x</i><i>a</i>



, <i>M b</i>



<i>x</i>



<i>Khi đó M được viết lại M</i> 



<i>a b</i>



<i>x a b</i>



<i>x Q</i>



.

<i>Vì M có bậc cao nhất là bốn suy ra Q có bậc là một đối với , , a b x . </i>

<i>Trong Q vai trò của , , a b x là như nhau nên Q có dạng Q</i><i>k a b</i>



 <i>x</i>



với k là hằng số không phụ thuộc vào <i>a b x . </i>, , Suy ra <i>M</i> <i>k a b</i>







<i>x</i><i>a b</i>



<i>x a b</i>



 <i>x</i>



Cho <i>x</i>1, <i>a</i>2, <i>b</i>3 ta được



12



60 



60



<i>k</i>.12

  

</div>