Các phương pháp đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÒA BÌNH
NGUYỄN VĂN MẬU (CHỦ BIÊN)
ĐẶNG HUY RUẬN, NGUYỄN MINH TUẤN
KỶ YẾU
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ IV - 2008
HÒA BÌNH 18-21/2008






Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 8
1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 . . . . . . . . . . . . 10
2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 12
2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4 . . . . . . . . . . . . . 22
3 Một số phương pháp giải toán 26
3.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số và số học . . 28
3.1.4 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải bà i tập hình học . . . . . 37
3.2 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn được phát biểu dưới nhiều dạng tương tự
khác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không
mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Phương pháp mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2






MỤC LỤC 3
3.4.1 Khái niệm về logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Công thức của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.4 Các luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Phương pháp bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Phương pháp sơ đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết đồ thị . . . . . 66
3.7.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 73
4.1 Phương pháp nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Phương pháp đưa về hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Phương pháp đảo ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức . . . . . . . . . 90
4.6 Phương pháp Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.2 Trình tự lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6.3 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Sử dụng định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8 Sử dụng định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.10 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.2 Sử dụng tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 12 8
4.10.3 Đẳng cấp hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.10.5 Sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Số đối xứng và một số quy luật của phép nhân 139
5.1 Số đối xứng và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Nhận xét về một số quy luật trong bản cửu chương . . . . . . . . . . . . 142
6 Một số phương pháp giải bài toán chia hết 146

MỤC LỤC 4
6.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Các định lý về chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.1 Phép đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . 161
6.6.1 Sự tuần hoàn của các số dư khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . . . 161
6.6.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải cá c bà i toán chia hết . . . 168
6.8 Tiêu chuẩn chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.1 Phương pháp đồng dư với 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.2 Phương pháp dãy số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.8.3 Phương pháp nhóm chữ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 Biểu diễn toạ độ của các phép biến hình phẳng 182
7.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.1 Các khái niệm đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.2 Các khái niệm bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Biểu diễn toạ độ của phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.3 Phép biến hình tuyến tính (affin) và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 1 90

7.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Một số phép biến hình phẳng thường gặp 196
8.1 Các phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197






MỤC LỤC 5
8.1.1 Phép tịnh tiến song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.1.3 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.4 Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2 Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2 Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Một số phép biến hình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.1 Phép co trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.2 Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.1 Bài tập lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 Sử dụng phép biến hình giải bài tập hình học . . . . . . . . . . . 215

8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 220
Bài toán 152. 8 Trên đoạn AB lấy điểm M và dựng các nửa đường tròn C
1
, C
2
, C
2
với các đường kính AB, AM, BM Đường tròn C(O; r) tiếp xúc với các nửa đường tròn
trên. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (AB) (Hình 3).
Bài toán 153. 9 Hãy dựng đường tròn T đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc
với một đường thẳng d cho trước.
Lời giải .
Phân tích: Giả sử đã dựng được T. Xét N[A; 1] : T −→ T

; B −→ B

; d −→ d

.
Trong đó, T

là đường thẳng chứa B

, còn d

là đường tròn chứa A. Đường thẳng T

tiếp
xúc với đường tròn d


. Từ đó suy ra cách dựng T:
Cách dựng: Dựng B

, d

là ảnh của B, d qua N[A; 1]. Từ B

kẻ tiếp tuyến T

tới d

.
Khi đó, T = N[A; 1](T

). Nói chung, bài toán sẽ có hai nghiệm hình.
Bài toán 154. 10 Dựng đường tròn đi qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với một đường
tròn cho trước.
Bài toán 155. 11 Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường tròn C cho trước tại một
điểm A cho trước và: a) với một đường thẳng d cho trước. b) với một đường tròn T cho
trước.
Bài toán 156. 12(Bài toán Apollonia) Dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho
trước.
Bài toán 157. 13 Trên mặt phẳng cho ba điểm A, B, D. Dựng hai đường tròn C
1

A, C
2
 B sao cho C
1

, C
2
tiếp xúc với nhau tại D.






8.4. Bài tập áp dụng phép biến hình 221
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Đăng Phất
Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học. NXB Giáo
dục 2005.
2. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải và các tác giả khác.
Toán bồi dưỡng Hình học 10. NXB Hà Nội 1998.
3. Phụ san tạp chí KBANT 5/97.
4. Lê Hải Châu.
Các bài thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc. NXB GD 1995.
5. Hội Toán học Việt Nam.
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.
6. Tuyển các đề đề nghị IMO các năm từ 1984 đến 2000.
7. Đề thi vô địch 19 nước. NXB Hải Phòng.
8. KBAHT. Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985.
9. Toán học trong nhà trường. Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985.
10. Đ. O. Scliarxki ; N. N. Trenxop và I. M. Iaglom.
Tuyển tập các bài tập và Định lý của Toán sơ cấp. NXB Hayka 1976.
11. Selected Problems from IMO XXX - XXXVI. NXB ĐHQG Hà Nội 1995.
12. J. Kurshac và các tác giả khác.
Tuyển các đề thi vô địch Hungary (Bản tiếng Nga). NXB Mir 1976.

13. Thực hành giải toán sơ cấp . NXB Giáo dục 1987.