ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhBộ mơn Tốn Ứng Dụng_.

ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH 1Ngày thi: 07-01-2019

Thời gian: 90 phútCa thi : CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.

Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin

1 − ¹x

.Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √

2x − x<small>2</small>, y = √

2x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diệntích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy).Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I =

Z <small>10</small>

1(x + 1)√

x arctan x<small>α</small>dx.Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = ¹

Câu 6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối. Người ta bơm vào bể chứa dung dịchnước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch đượcđưa ra ngồi với tốc độ 12 lít/phút

a/ Hãy xác định thể tích dung dịch trong bể chứa sau t phút.

b/ Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau t phút, hãy xác định nồngđộ muối trong bể sau t phút theo t và y(t).

c/ Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút là nghiệm của phương trình viphân: y⁰ = 0.05 − ^12y

2000 − 2t ^{với điều kiện đầu y(0) = 50.}

d/ Tìm y(t), từ đó tính lượng muối cịn lại trong thùng sau 10 phút.

Chủ nhiệm bộ mơn duyệt

TS. Nguyễn Tiến Dũng

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhKhoa Khoa Học Ứng Dụng

1 − ¹

C2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : L.O.1.1 - Nắm vững cách tínhy =√

Z <small>10</small>

1(x + 1)√

x arctan x<small>α</small>dx hội tụ

L.O.1.1 - Nắm vững cách tínhC4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = ¹

2^. ^{tích phân suy rộng.}

C5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân L.O.1.1 - Nắm được cách giải các ptvp cấp 1,2hệ phương trình vi phân.

y⁰⁰ = 2e^−2x− 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4yvới điều kiện đầu : y(0) = ⁵

4^{, y}

<small>0</small>(0) = ⁹2^.

C6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối. L.O.1.1 - Hiểu được một số mơ hìnhNgười ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối kĩ thuật đưa về bài tốn ptvp.

nồng độ 0.005kg / lít với tốc độ 10 lít / phút, đồng thờidung dịch được đưa ra ngồi với tốc độ 12 lít / phút

a. Hãy xác định thể tích dung dịch L.O.2.1 - Tự xây dựng

trong bể chứa sau t phút. và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng.b. Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau

t phút, hãy xác định nồng độ muốitrong bể sau t phút theo t và y(t).

c. Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút lànghiệm của phương trình vi phân : y⁰ = 0.05 − ^12y

2000 − 2tvới điều kiện đầu y(0) = 50.

d. Tìm y(t), từ đó tính lượng muối cịn lạitrong thùng sau 10 phút.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

ĐÁP ÁN CA 1Câu 1 MXĐ : −1 ≤ 1 − ¹

x ≤ 1 ⇔ x ≥ ¹2f⁰(x) = 1 − ¹

2x − 1^{, f}

<small>0</small>(x) = 0 ⇔ x = 1 (0.25đ)TCX : y = x − π/2. (0.25đ)

BBT (0.5đ)

y ¹₂ + ^π₂ & 1 % +∞Đồ thị (0.5đ)

Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm

Kết luận đúng về cực trị và TCX nhưng sai BBT hoặc không có hay sai TCX: cảbài tối đa 0.75đ

Câu 2 S₁ = 2πZ <small>1</small>

r1 + ¹

2x^{dx = 2π}√

3 − ¹3

= 8.8874(0.25đ+0.25đ)

S₂ = 2πZ <small>1</small>

S₃ = 2π − π = π(diện tích hình vành khăn, R₁ = 1, R₂ =√

2)(0.5đ)S = 2π

√3 + ⁷

= 18.2132(0.5đ)Câu 3 TH1 : α ≤ 0, 0 ≤ f (x) ∼ √^a

x^{, x → 0}

<small>+</small> : Hội tụ (0.5đ)TH2 : α > 0, 0 ≤ f (x) ∼ ¹

, I hội tụ ⇔ ^{1 + α}

2 ^{< 1, α > 0 ⇔ 0 ≤ α ≤ 1 (0.5đ)}Câu 4 I = I =

Z <small>10</small>

(x + 1)^px arctan√x^dx.Đặt t = arctan√

x ⇒ dx = ^dt2√

x(1 + x) ^(0.5đ)I = 2

Z ^π₄

t^{(0.5đ)= 4}√

<small>−2x</small>+ x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ)Thay điều kiện đầu: C₁ = 1, C₂ = 2 (0.5đ)

Câu 6 a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ)b/ Nồng độ muối sau t phút là : ^y(t)

V (t)^{(kg/lít) (0.25đ)}

c/ Tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể là y⁰(t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muốira (0.25đ)

d/ y(t) = 10⁻²(1000 − t) + C ∗ (1000 − t)<small>6</small> (0.5đ)C = 4 ∗ 10⁻¹⁷ (0.25đ)

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhBộ mơn Tốn Ứng Dụng_.

ĐỀ THI CHK181 - Mơn: GIẢI TÍCH 1Ngày thi: 07-01-2019

Thời gian: 90 phútCa thi : CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.

Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

xe<small>x</small>¹, x > 0x²

x<small>3</small>− 1^{, x ≤ 0}..

Câu 2 : Cho miền D giới hạn bởi y ≥ 0, x²+ y<small>2</small> ≤ 2, x<small>2</small>+ y<small>2</small> ≥ 2y. Tính thể tích vật thểtạo trịn xoay tạo ra khi quay miền D quanh trục Oy

Câu 3 : Tính tích phân I =Z <small>+∞</small>

4 − x<small>2</small>

Câu 4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân I =Z <small>+∞</small>

x<small>α</small>− ln<small>α</small>(1 + x)

(x<small>3</small>+ arctan x<small>2</small>)^α^{dx HỘI TỤ.}Câu 5 : Giải hệ phương trình

x⁰(t) = −2x + 5y + e^3ty⁰(t) = 2x + y + 8e^3t ^.

Câu 6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, 1 người đã cho nhầm cả bao10kg hóa chất. Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước tinhkhiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phútliên tục đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ cịn 5 kg.

1/ Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng sau t phút thì tỉ lệ hóa chấttrong thùng sau t phút là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?

2/ Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tại thời điểm t<small>0</small> là y⁰(t₀) đượctính bằng cơng thức nào?

3/ Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của phương trình vi phân y⁰(t) = − ^y

60 ^{với điều}kiện đầu y(0) = 10. Tìm y(t)?

4/ Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?

Chủ nhiệm bộ môn duyệt

TS. Nguyễn Tiến Dũng

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhKhoa Khoa Học Ứng Dụng

xe¹<small>x</small>, x > 0x²

4 − x<small>2</small>

dx L.O.1.1 - Nắm vững cách tính tp suy rộngC4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân L.O.1.1 -Nắm vững cách khảo sát sự

I =Z <small>+∞</small>

x⁰(t) = −2x + 5y + e<small>3t</small>

y⁰(t) = 2x + y + 8e<small>3t</small>

C6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, L.O.1.1 - Hiểu được một số mơ hình1 người đã cho nhầm cả bao 10kg hóa chất. Do đó, kĩ thuật đưa về bài tốn ptvp.người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước

tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịchchảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phút liên tục

đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ cịn 5 kg.

a. Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng L.O.2.1 - Tự xây dựng

sau t phút thì tỉ lệ hóa chất trong thùng sau t phút và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng.là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?.

b. Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tạithời điểm t₀ là y⁰(t₀) được tính bằng cơng thức nào?c. Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của pt vi phâny⁰(t) = −^y

60 ^{với điều kiện đầu y(0) = 10.Tìm y(t)?.}d. Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất

trong thùng đạt u cầu là 5kg?.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

ĐÁP ÁN CA 2Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y⁰ = 0 : x = −√

2, x = 1(0.25đ).TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d)

<small>3</small> % 0| + ∞ & e % +∞Đồ thị (0.5đ)

Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểmKết luận đúng về cực trị và TC nhưng sai BBT: cả bài tối đa 0.75đ

Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay Oy do các pt chẵn với x nên chỉ cần tính nửa bênphải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), (√

2, 0) hoặc vẽ hình đúng (0.5d)V_y = 2π

Z <small>10</small>

x^1 −√

1 − x<small>2</small>^dx + 2πZ

2 − x<small>2</small>dx(0.5d) = π(0.5d)

Câu 3: I =Z <small>2</small>

4 − x<small>2</small>dx+Z <small>+∞</small>

x<small>2</small>− 4^{dx (0.5d)=}Z ¹₂

4t<small>2</small>− 1⁺Z <small>0</small>

1 − 4t<small>2</small>(0.5đ)I = ¹

2^{ln 2t +}√

3
+^π

4 ≈ 1, 444 (0.5d)Câu 4: I =

Z <small>10</small>

f (x)dx +Z <small>+∞</small>

f (x)dx = I<small>1</small>+ I<small>2</small>

Khi x → 0⁺ : f ∼

x<small>2α</small> = ²α^.

x<small>α−1</small> > 0 nên tp I<small>1</small> HT ↔ α < 2(0.5d)Khi x → +∞ : f ∼ ^x

x<small>3α</small> = ¹

x<small>2α</small> > 0 nên tp I₂ HT ↔> ¹2Vậy tp đã HT ↔ ¹

2 ^{< α < 2(0.5d)}Câu 5: Khử 1 hàm:  x<small>00</small>+ x⁰− 12x = 42e<small>3t</small>

y⁰⁰+ y⁰− 12y = 42e<small>3t</small>

(0.5d) →  x = C₁e^3t+ C<small>2</small>e^−4t+ ate^3ty = C₁e<small>3t</small>+ C₂e^−4t+ ate<small>3t</small>

x = C<small>1</small>e^3t+ C<small>2</small>e^−4t+ 6te^3ty = C₁e<small>3t</small>− ²

<small>−4t</small>+ 6te<small>3t</small>+ e<small>3t</small> hoặc

x = C₁e<small>3t</small>−⁵2^C²^e

300^{.5 (0.5d)}3/y = 10e^−t<small>60</small> (0.5d)

4/y = 5 ↔ t = 60 ln 2 ≈ 42 (phút) (0.5d)

</div>