Đề thi cao học Giai tich 2005 2009

Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:

Đại Học Huế Số báo danh:

Tr-ờng Đại học S- phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét chuỗi hàm


n=1
u
n
với u
n
(x)=
x
2
n
1 x
2
n+1
, |x| < 1.
a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u
n
(x)|
a
n
1 a

x [a, a]. Từ đó suy ra


n=1
u
n
hội tụ
đều trên [a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm


n=1
u
n
trên (1, 1).
Câu 2. Cho hàm hai biến:
f(x, y )=





1 nếu y<x
2
0 nếu y = x
2
1 nếu y>x
2
Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính

D
f(x, y )dxdy.
Câu 3. Cho (X,d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x
0
X và x
0
/ A. Đặt
d(x
0
,A) = inf
aA
d(x
0
,a).
a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x
0
,A) > 0.
b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0
,y
0
).
c) Giả sử X = R
n
với mêtric Euclide thông th-ờng và A R
n

là tập đóng. Chứng minh tồn tại
y
0
A sao cho d(x
0
,A)=d(x
0
,y
0
).
Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x
n
) C[0, 1] với x
n
(t)=
2nt
n
4
+ t
2
,
t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi:
Ax(t)=
t

0
x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
b) Chứng minh (Ax
n

) hội tụ về 0 trong C[0, 1].
Câu 5. Giả sử {e
n
} là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả
sử A L(H, X) sao cho chuỗi


n=1
Ae
n

2
hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
BO GIAO
DAI
VA
DAO TAO
HUE
Ho vd, ten
thi sinh:
56
b6o danh:
DVC
HQC
KV
Sv
THI
TUYEN
SrNH

SAU
DAr HOC
NAM
2AO7
M6n
thi:
Giai
tich
(dd,nh
cho
Cao
hpr)
Thdi
gi,an
ld,m
bd,i,;
180
phirt
CAu
I.
1.
Cho
hdm
hai
bi6n
f
(r,a)
KliAo s6t
tinh
liOn tuc

cria
hilm
/
1x
',
A2f
lr6n
hsp
d;N(O,0)
khong tbn
n6u
(*,y)
+
(0,0),
n6u
(*,a)
-
(0,0).
Chirng
minh
rHng dao
hA"m
riOng
cia
R.
hoi
tu
vb
0
-I

-I
2ra
,2
+
a''
0,
tai didm
(0,0)
tai
(huu hat)
2
F_{i
1I
I
P'
^
tz'J')4)s)"
Cdu
III. Kj'
liiOu X
:
co
z. KhAo s6,t su
hoi
tu dbu cria
chu6i
hd,m
f
," .i"
,,fu

tr6n c6,c
tAp
sau:
fl':L
,)
A:
lp,+-),
p
)
0i
ii) B
-
(0,
+oo).
Cdu
II. Trong
khong
gian
metric
IR. v6i khoAng
c6ch
thong
thulng,
chitng
minh
rXng,
1. E
-
{t,2,
1, 1, 1,

.
!.u-L^'-,2,3)4) 1n' ).*^^^Y""7
.
,
1,
. . . .
)
U.Ong
phai
th, mot
t6,p con
compact
)
th, khong
gian
dinh
chudn
gbm
c6c
day
s6 thuc
llrll
-
sup
lrnl,,
Yr
-
(r.)n
e
co

chudn
Euclide
rL
llsll
-
WiZ,
va
-
(ar,.
. .,un)
eY.
V6i
m6i s6
tu nhien k
ta x6t 5nh
x?
An
:
X
*
Y x6"c dinh
bdi
Anr
-
("n+r,
fr1xa2t''
)
rk+n),
Yr
:

(rt)zeN
€
X.
1.
Chirng
minh
Ap
lit" c6,c
6nh
xa tuy6n
tinh
lien tuc
tri
X vh,o
Y.
2. Chirng
td
rXng
J*
Ann
-
0
€
R.'
v6i moi z
e
X.
CAu
IV.
Tren

khong
gian Hilbert
phitc
12
vsi tich
vo hu6ng
/ \ S
@,il
:2*^y,,
*ong d6
,:
(r,-)n
e
{2,
U
:
(Un)-
e
12.
'"_
:
Cho
o
-
(a),
ie
mQt duy
c5,c s6
phric
bi

ch5,n
vA, ,4.
:
12
-
t2
Ib" mot to5,n trl
ducvc
x6c
dinh
bdi
Ar
-
(onrn)n,
Yr
e
!2.
1.
Chirng
minh
rXng
,4 th mQt to6n
trl
tuy6n tinh
lien
tuc
vd,
tinh chudn
c:d:a
A.

2.
Tim to6n
trl
liOn
hiep A*
cia
A. Khi
nb,o
thi A ld mQt
to6n
tr] tu
lien
hiep?
v6i
chudn
vb,Y-lR'v6i
Ghi
chri
z
Cd,n
bo coi,
thi,
khong
gi,d,i,
thi,ch
gi,
th€m
no
cteo DIJC
vA DAO

T4O
Ho
ud,
t€n
thi, sinh:
,
DAI HQC
HUE
55
b(t"o d"anh
KV
rHr
ruyEN
srNH
sAU DAr
Hec
wAtra 2008
MOn
thi:
Giei tich
(ddn,h
cho
Cao
hqc)
Thdi gian
ld"m
bdz:
180
phrlt
CAu

1. (a
dicm)
a)
Kh6o
sat
cuc
tri dia
phuong
cria ham hai
bi€n:
z
-
(r
+
a)t
-
rn
-
yn.
b)
Kh6o
s6t
su hOi
tU d€u
cria chu6i
hdrn
@
\-
-L
(r"

+r-")
?rvfr*
4
/
trOn
rni€n
D
-{"
e
R
|
1
<
lrl
<
3}
CAu 2.
(2
dicm)
Xet
tOp
hop
11
c6c day
so
thuc
kh6
tdng
tu_v*€t d6i:
11 :-

{,
-
(r,)n>rc
R
I i
lr,
|
<
+-}
,a
V6i
m6i
cflp
r
:
(rn),,
A

(An),,
€
/r
ta
dinh nghia
dr(r,a) :-[
f
r,
-
y,];
dr(r.a) ::
(p

(r,
-
r,)')+
a)
Chrlng
minh
dr, dz.ld
c6c metric
tr€n 11.
b)
Bdng
c6ch
khSo
s6t day
(€o)o
C
li, v6i
€o
:
(1,+,
,f
,0,0,
,0, ),
chrrng
minh
khOng gian
(lr,dr)
khOng
day
dri.

CAu
3. (2
di€m)
Cho
ll
llr
"u
ll
.llz
la
hai
chudn tr€n
cung
mOt khOng gian
X
sao cho
(X,
li
'lir)
.'d
(X,
ll
llz)
dcu la khong
gian
Banach.
Chfing
minh rang,
hai
chudn

nd-l,tuong
drrong
khi la
chi
khi
diOu kiOn
sau
thoA
m5n:
V(",,)",
C
X,
llt,llr
" ,Q
a
ll""ll,
" ,0.
CAu 4.
(2
diem)
GiA
sri
{e,,},,ex
ia
rnQt
irO tnlc
chudn trong khong gian
Hilbert
11.
Chr'rng

rninh
rhng
a)
Da}'
(#",),,ex
hoi
tu
ycu
nhung
khong
hoi
tu ma'h
trong 11.
b) Day (ne,,),,e
x
khOng hoi
tu
you
tron g
H
.
Ghi
chfi:
Can b0
coi thi
klt,Ang
gzdi
thfclL gi
tlt€m.
1

BQ
crAO
DVC
vA
DAO
T4O
2
DAI
HOC }IUE
!'
KV rur ruy6N
srNH
sAU
DAr
HQC
xAvr
200e
(Dqt
I)
M6n thi:
crAr
rfCll
(dd,nh
cho Cao
hqr)
d(r,
a)
:
2009
.

lr
-
1+ir-al
Ch'3ng
minh rXng
1. d lb mgt m6tric
tr6n t6,p
10,
1],
2.
(10,
1], d) Ie mQt
kh6ng
gian
m6tric
dhy
dri.
Ch,1ns minh rXng n6u X
ld
khong
gian
dinh
chudn
vo
han chibu
thi moi tAp
con
cd-a
X
co

phhn
trong khd,c r5ng
dbu khong
phai
lb tAp compact.
1.
Gie
s,3
M
-
{*t,nz, ,,rn}
la
m6t
h0 c6c
vecto
truc
giao
khd,c
vecto
0
cri.a mQt khong
gian
Hilbert
I/.
Chung
minh
rXng
vcvi
m5
t

vecto r
e
H
tbn tai
duy nhdt
cilc
sd e1,e2,
,,en
€
K
(trulng
co s&
cria khong
gian
Hilbert
I/)
sao
cho
v6i
bdt
kj' c6c
s6
h,02i
,0n
€
K ta c6
ii"
-
L"*rll=
ll"

-
Lt"-ll
2.
Cho
{r,in
e
N}
le mQt
hO truc
chuAln
trong
khong
gian
Hilbert,H.
Chirng
minh
rXng
d*y
(q")Pr
hQi
tu
y6u vE
0
trong.I/.
Ho
vd
t6n
thf sinh:
56 b5o danh:.
C6-rr

f.
C5.u II.
Thdi
gian
ld,m bd,i:
180
phrit
oo
Cho
chu6i
hA,m
D@'"
-
*2n+2).
n:1
a ) Tim miEn
h6i
tu
cria chu5i
fram d5, cho.
b/
Khdo s5,t su
hoi
tu
dEu cria
chu6i hbm
dd cho
tr6n
doan
l-1,1].

trlrf
Tinn tfch
phAn
| | | {r'
*
y2
*
z2
drdydz,,
JdJ
ong d6V
-
{(*,a,2)
eRtl"' +y2 *
z2
<
r}.
6t
5,nh xa
d:
[0,
1]
x
[0,
1]
+
R.
x6c
dinh boi
1.

2.
tr
X
al
C,5'" III.
CAU
trV.
Ghi chri: C6n
b6
coi thi kh6ng
giAi
thich
gi
thOm.