Tích Phân: Chuỗi Số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 45 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
1.CHUỖI LŨY THỪA
2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
2. Số hạng tổng quát của chuỗi là u<sub>n</sub>
3. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : S<sub>n</sub>=u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+…+u<sub>n </sub>
4. Tổng của chuỗi là <i>giới hạn hữu hạn </i>(nếu có)
. Khi đó, ta nói <i>chuỗi hội tụ. </i>
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
1. Chuỗi số là tổng tất cả các số hạng của dãy
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
<small>Bông tuyết Koch (Koch snowflake) </small>
<small>Diện tích hữu hạn được bao quanh bởi đường biên vơ hạn </small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">Ví dụ: Chuỗi CSN
| | 1
<i>dq</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
<i>Điều kiện cần của sự hội tụ</i> :
2. lim
<i><small>nn</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
<i>Tính chất 1</i>: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử đầu tiên của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi không âm, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 3 tiêu chuẩn :
1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2.Tiêu chuẩn so sánh 1
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
<i>Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: </i>
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). Khi ấy, chuỗi
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Vì tích phân
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Mặt khác
<i><small>n</small>nn</i> HT khi β>1 và PK khi β≤1
</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
nên hội tụ
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
<i>Kv</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
<i>q</i> Hội tụ khi |q|<1 Phân kỳ khi |q|≥1
<i>Chuỗi điều hòa</i> : <small>1</small>
Hội tụ khi α>1 Phân kỳ khi α≤1
<b>Để dùng tiêu chuẩn so sánh, ta sẽ so sánh khi </b>
chuỗi không âm với 1 trong 2 chuỗi cơ
<i>n</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi <sup>2</sup><small>31</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi <sub>2</sub><small>1</small>
<i>nnn</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Vậy chuỗi đã cho PK
</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
<i>0 VCB</i>
<i>n</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
<i><small>n</small>n</i> phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">§1. Chuỗi số - Chuỗi khơng âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
<i>nn</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có 1 trong 2 dạng sau:
<i>Tiêu chuẩn Leibnitz : </i>
<i><small>nn</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
<i>n</i> đơn điệu giảm và dần về 0
Suy ra: Chuỗi đã cho là chuỗi HT theo t/c Leibnitz
11 /
Suy ra: Chuỗi đã cho là chuỗi HT theo t/c Leibnitz
</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:
Số hạng tổng quát của chuỗi <sup>( 1)</sup>
</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK
Chuỗi <sub>là chuỗi đan dấu hội tụ </sub><small>1</small>
( 1)1
Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ <small>2</small>
<i><small>n</small>n</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
( 1)ln
</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert
<i><sub>C</sub></i><sub>1:</sub>
Chuỗi HTC 1:
Chuỗi PKC 1:
<sub>Chưa kết luận được </sub><i>Tiêu chuẩn d’Alembert</i>: Cho chuỗi số thỏa
<small>1</small> <i><sup>n</sup></i>
lim <i><sup>n</sup></i> <small>1</small> <sub>. Ta có kết luận </sub>
<i>Du</i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert Một số giới hạn cơ bản
3 / lim 1
2 / lim <i><sup>n</sup><sup>p</sup></i> 1,
</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert Ví dụ: Khảo sát sự HT của các chuỗi số sau
<small>2</small> <sub>3</sub> <sub>4</sub><small>21</small>
<i><small>n nn</small></i>
11/ u
<i><small>n nn</small></i>
1lim 1
Vậy chuỗi HT
</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert <small>2</small> <sub>3</sub> <sub>4</sub>
<small>2</small> <sub>3</sub> <sub>4</sub><small>2</small>
<i><small>nn</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert Ví dụ: Khảo sát sự HT của các chuỗi số sau
Vậy chuỗi PK <small>22</small>
<small>22</small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert <small>1</small>
Vậy chuỗi HT
</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Vậy chuỗi đã cho PK
</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34"><i>Không dùng được t/c Cauchy, t/c d’Alembert </i>
Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e
§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi <sup>ln</sup>
<small>1ln 1</small>
<small></small> <sub></sub> <small></small> <sub></sub> <small></small>
<small></small>
</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">1. u<sub>n</sub> chỉ có dạng “lũy thừa” tức là số mũ phụ thuộc n thì dùng t/c Cauchy
§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert
Nhận dạng chuỗi để sử dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu chuẩn d’Alembert
2. u<sub>n</sub> có chứa dạng “tích” tức là số các thừa số trong tích phụ thuộc n thì dùng t/c d’Alembert (có thể có cả dạng “lũy thừa”)
Nếu Thì
lim
<i><sub>n</sub></i>0 :
chuỗi PK theo đkccshtNếu thì ta làm tiếp 1 trong 2 cách sau
lim
<i><sub>n</sub></i>0 :
</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
<i>Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối</i>: Nếu chuỗi
</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">HT khơng suy ra chuỗi
</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1( 1)
Rõ ràng dãy {u<sub>n</sub>} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz
1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với
Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT
§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Nên
khi n2
Vậy chuỗi đã cho HTTĐ
§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Vậy tổng của chuỗi
§1. Chuỗi số - Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">§1. Chuỗi số - Tóm tắt
<i><b><small>Các bước khảo sát sự HT của chuỗi số </small></b></i>
<small>1. Nếu </small>
<small>1lim</small> <i><sub>n</sub></i> <small>0</small> <i><sub>n</sub></i><small> </small>
<small>Chuỗi số là chuỗi HT vì nó là </small><i><b><small>chuỗi đan dấu </small></b></i>
<small>2.2. Nếu (chuỗi đan dấu) thì dùng t/c Leibnitz hoặc t/c Cauchy, d’Alembert tính để được chuỗi số dương rồi dùng t/c so sánh </small>
<small>1</small><i><sup>n</sup><small>u</small><sub>n</sub></i> <small>0,1</small><i><sup>n</sup><small>u</small><sub>n</sub></i> <small>0</small> <i><small>nN</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43"><small>§1. Chuỗi số - Bài tập </small>
<small>Khảo sát sự HT của các chuỗi sau </small>
<small> </small>
<small>3</small> <sub>2</sub><small>2</small>
<small>1.3.5... 21 23.</small>
<small>71 !!</small>
<i><small>nnne n</small></i>
<small> </small>
<small>31 !7.</small>
<i><small>n</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">§1. Chuỗi số - Bài tập
<small>1.4.7... 31 217.</small>
<small>2120.1 ln</small>
<i><small>nn</small></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">
<small>2.5.8... 31</small> <sub>1</sub>
<small>211 !</small>
<small>21 !!1ln26 /</small>
<small>3 . 2!!27 /</small>
<small>! 21428 /</small>
<small>29 /arctan11 !</small>
<small></small> <sub></sub> <small></small>
</div>
