tich phan ham so luong giac

Tích phân hàm lượng giác

Tích phân hàm lượng giác

Thầy giáo : Tuấn Điệp
Cộng tác viên truongtructuyen.vn


Tích phân hàm lượng giác
Nội dung
1. Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx

3. D¹ng Ι = ∫

a sin x + b cos x + c
dx
a1 sin x + b1 cos x + c1

4. Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác và các phép biến đổi khác


Tích phân hàm lượng giác
1. Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N


Nếu m lẻ ta đặt t = cosx



Nếu n lẻ ta đặt t = sinx



Nếu m, n cùng chẵn đặt t = tanx hoặc t = cotx hoặc dùng biến đổi lượng
giác .


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx


Nếu f(−sinx, cosx) = − f(sinx, cosx) thì đặt t = cosx



Nếu f(sinx, −cosx) = −f(sinx, cosx) thì đặt t = sinx



Nếu f(−sinx, −cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt t = tanx hoặc t = cotx



Tổng quát thì đặt: t = tan

x
2


Tích phân hàm lượng giác

2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
π
2

Ví dụ 1: Tính Ι = ∫ sin7 x.cos2 xdx
0


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 1 (tt)
Lời giải


dt = −sin xdx

ÐỈt t = cosx ⇒  x = 0 ⇒ t = 1

π
x = ⇒ t = 0

2
0

Ι = −∫ ( t − t
1

2

)

3

1

t td = ∫ ( 1 − 3t 2 + 3t 2 + 3t 4 − t 6 ) t 2 + dt
2

0

1

 1 3 3 5 3 7 1 9  1 1 3 3 1 16
= ∫ ( t − 3t + 3t − t ) dt =  t − t + t − t ÷ = − + − =
5
7
9  0 3 5 7 9 315
3
0
16
VËy Ι =
315
2

4

6

8

Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
π
4

Ví dụ 2: Tính Ι = ∫ 16.sin4 2x.cos 4 2xdx
0


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 2 (tt)
Lời giải

NhËn xét : 16sin 4 2x cos 4 2x = ( 2sin2xcos2x ) = sin 4 4x
4

1
1
1 + cos16x 
2
( 1 − cos8x ) = 1 − 2cos8x +

4
4
2


3 1

1
= − cos8x + cos16x
8 2
8
=

π
4

π
1
1
1
3π
3 1

3

Ι = ∫  − cos8x + cos16x ÷ =  x −
dx
sin8x +
sin16x ÷ 4 =
8 2
8
16
128

8
 0 32
0

V Ëy Ι =

3π
32


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
dx
Tính Ι = ∫
Ví dụ 3:
sin2 x − 3 sinxcosx + 2sin2 x


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 3 (tt)
Lời giải
dx
d tan x
cos2 x
Ι=∫
=∫
tan2 x − 3 tan x + 2
( tan x − 1) ( tan x − 2 )
1
1
tan x − 2



= ∫
−
d tan x = ln
+C
tan x − 2 tan x − 1 ÷
tan x − 1


tan x − 2
VËy Ι =
+C
tan x − 1


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
π
4

sin2 xdx
Ví dụ 4: Ι =
∫ cosx 2sin3 x + 3cos3 x
0

(

)


Tích phân hàm lượng giác

2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 4 (tt)
Lời giải
π
dx
2
4
cos2 x = tan x d tan x
∫ 2 tan3 x+ 3
2 tan3 x + 3
0

π
4

tan2 x

0

(

Ι=∫

π
4

)

(

)

π
3
1 d 2 tan x + 3
1
1 5
= ∫
= ln 2 tan3 x + 3 4 = ln
6 0 2 tan3 x + 3
6
6 3
0
VË y Ι =

1 5
ln
6 3

(

)


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
π
2 3

Ví dụ 5: Tính Ι = ∫

π
3

sin3 x − sin x
.cot x dx
sin3 x


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 5 (tt)
Lời giải
π
2 3

Ι=∫
π
3

π
2

sin3 x − sin x
dx
1
.cot x.
= ∫ 3 −1 +
.cot x d ( cot x )
− sin x
− sin2 x π

sin2 x
3

π
2

= ∫ ( cot x )

5
3

π
3

V Ëy Ι =

1
83 3

8
3
d ( cot x ) = ( cot x ) 3
8

π
1
2
=
π 83 3
3

Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
π
3

Ví dụ 6: Tính Ι = ∫
0

sin3 xdx
cosx 3 cosx


Tích phân hàm lượng giác
2. Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt)
Ví dụ 6 (tt)
Lời giải
π
3

Ι=∫
0

( cos x − 1) d ( cosx ) =  3 ( cosx )

3

( cosx )

4
3

5



5
3

 π

+
1  3
( cosx ) 3  0

3

3  3
 3
 3 3 2 3 3 4 19
=  3 + 3 ÷−  + 3 ÷ =
+
−
6
5
2  5
 20
 10 4
3 3 2 3 3 4 19

VËy Ι =
+
−
20
6
5


Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx
a1sinx + b1cosx + c1

Nhận xét:
(asinx + bcosx + C) = A(a1sinx + b1cosx + c1  + B (a1cosx – b1 sinx) + c
Viết gọn: Tổng số = A. Mẫu số + B (Mẫu số)' + C
Việc tìm lại số A, B, C nhờ đồng nhất thức hai vế.
Khi ®ó Ι = Ax + B ln a1sinx + b1cosx + c 1 + C
Víi tích phân Ι1 = ∫

dx
∫ a1 sin x + b1 cos x + c1

dx
x
được tớnh bằng đổi biến t = tan
a1 sinx + b1cosx + c1
2

hoặc nhờ cỏc phộp biến đổi lượng giỏc.


Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx (tt)
a1sinx + b1cosx + c1

Ví dụ 1: Tính Ι = ∫

dx
2 + 3cosx − sinx


Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx (tt)
a1sinx + b1cosx + c1

Ví dụ 1 (tt)
Lời giải

Ι=

1

2∫

dx

=

1
2∫

dx
1
dx
= ∫
π 2

x π 
1 + cos  x + ÷
2cos2  + ÷
6

 2 12 

3
1
cosx − sinx
2
2
x π 
d + ÷
1

 2 12  = 1 tan  x + π  + C
⇒Ι= ∫
 2 12 ÷
π  2
2
2 x


cos  + ÷
 2 12 
1
x π 
VËy Ι = tan  + ÷+ C
2
 2 12 
1+


Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx (tt)
a1sinx + b1cosx + c1

Ví dụ 2: Tính Ι =

cos2x − 7 sin 2x + 1
∫ 4cos2x − 3 sin2x + 5

Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx (tt)
a1sinx + b1cosx + c1

Ví dụ 2 (tt)
Lời giải

NhËn xét :
cos2x − 7sin2n + 1 = A ( 4cos2x − 3sin2x + 5 ) + B ( −4sin2x − 3cos2x ) + C
4A − 3B = 1
A = 1


⇒ −3A − 4B = −7 ⇒ B = 1
5A + C = 1
C = −4


Ι = x + ln 4 cos 2 x − 3 sin2 x + 5 − 4 ∫

dx
5 + 4 cos 2 x − 3 sin2 x


Tích phân hàm lượng giác
3. D¹ng I = ∫

asinx + bcosx + c
dx (tt)
a1sinx + b1cosx + c1

Ví dụ 2 (tt)

TÝnh Ι1 = ∫

dx
5 + 4cos2x − 3sin2x

1
dx
1
dx
4
3

= ∫
;  cosα = ; sin α = ÷
5 ∫ 1 + 4 cos2x − 3 sin2x 5 1 + cos ( 2x + α ) 
5
5
5
5
1
dx
1
α


Ι1 = ∫
=
tan  x + ÷+ C
α  10
5
2


2cos2  x + ÷
2

1
α

VËy Ι = x + ln 4 cos 2 x − 3 sin 2 x + 5 +
tan  x + ÷+ C
10
2

Ι1 =


Tích phân hàm lượng giác
4. Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác và các phép biến đổi
khác
Ví dụ 1: Tính Ι = ∫

4 cos5 x.sin 2 x
x

1 + tan x.tan
2


Tích phân hàm lượng giác
4. Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác và các phép biến đổi
khác (tt)
Ví dụ 1 (tt)
Lời giải

4 cos5 x.sin 2 x 4cos5 x.sin2 x
=
x
x

1 + tan x.tan
cos  x − ÷
2
2

x
cos x.cos
2
= 4cos5x.sin2x.cosx = 2 ( cos6x + cos4x ) .sin2x

NhËn xét :

= 2cos6x.sin2x + 2cos4x.sin2x = sin8x − sin4x + sin6x − sin2x
Ι = ∫ ( sin8x − sin 4x + sin 6x − sin2x ) dx
1

1
1
1
VËy Ι = − cos8x + cos4x − cos6x + cos2x + C
8
4
6
2


Tích phân hàm lượng giác
4. Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác và các phép biến đổi
khác (tt)

π
2

(

)

4
4
Ví dụ 2: Tính Ι = ∫ cos2x sin x + cos x dx
0