Tích Phân: Chương 1 phần 1

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Mơn học : GIẢI TÍCH 2

<i><b>Tài liệu tham khảo: </b></i>

1. Giải tích 2 (Nhóm tác giả BM Toán – ĐHBKTpHCM) 2. Calculus – James Stewart (Bản pdf miễn phí trên Bkel)

3. Điểm BT: Làm theo lớp bài tập – 5% tổng điểm môn học 4. Điểm CHK: thi tự luận chung tồn khóa, sau tuần học thứ 15 – 50% tổng điểm môn học

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD CHƯƠNG 2 : TÍCH PHÂN BỘI

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN MẶT

CHƯƠNG 5: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM - VI PHÂN VÀ ƯD 1.1. Các khái niệm cơ bản

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện 1.3. Đạo hàm cấp cao

1.4. Đạo hàm hàm hợp 1.5. Đạo hàm hàm ẩn

1.6. Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient và vecto pháp

1.7. Công thức Taylor – Maclaurint 1.8. Mặt bậc hai

1.9. Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

1.1. Các khái niệm cơ bản

<i>Miền (Tập) xác định của hàm là tập tất cả các giá trị của </i>

(x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

<i>Miền (Tập) giá trị</i> của hàm là tập tất cả các giá trị mà hàm có thể nhận đƣợc

Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ

<i>Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của </i>

( , )<i>x yf x y</i>( , ) <i>z</i>

<i>f D</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i>Ví dụ : Một công ty du lịch cho thuê xe ô tơ các loại với cách </i>

tính tiền theo ngày và số km xe chạy. Họ cho thuê xe 7 chỗ với giá 500.000 đồng mỗi ngày và 3.000 đồng mỗi km.

1/ Lập hàm doanh thu R theo số ngày và số km xe chạy 2/ Tính R(2,250) và giải thích ý nghĩa của kết quả này.

1.1. Các khái niệm cơ bản

<i>Ví dụ : Khi một loại thuốc đƣợc tiêm vào mơ, nó sẽ khuếch </i>

tán vào máu. Nồng độ của thuốc trong máu tăng cho đến khi đạt đến mức tối đa, và sau đó giảm dần. Nồng độ C (tính bằng mg/lít) của thuốc trong máu là hàm theo hai biến: x, lƣợng (mg) thuốc đƣợc tiêm vào và t, thời gian (giờ) kể từ khi tiêm đƣợc cho bởi <small>(5)</small>

( , ) <i>^t^x</i> ,0 4, 0

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả <i>f</i> 4, ;<i>t f x</i>,3

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<i>Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm </i> <small>22</small>( , ) 9

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

1.1. Các khái niệm cơ bản

<i>Ví dụ : Chiều cao của sóng biển ở đại dương h (feet)</i> phụ thuộc vào tốc độ gió <i>v</i> và thời gian mà gió thổi <i>t</i> với tốc độ đó. Giá trị của <i>_h_{h v t}</i>_, _{được cho ở bảng dưới đây}

1/ h(15,10)=? Ý nghĩa của kết quả này?

2/ Ý nghĩa của hàm h(v,15) là gì?

3/ Ý nghĩa của hàm h(20,t) là gì?

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là 1 phần mặt cong S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là 1 phần đường cong.

Cho f(x, y) là hàm 2 <i>biến với MXĐ là D. Đồ thị của hàm f là tập </i>

tất cả các điểm , với (x,y)D, z= f(x, y)

1.1. Các khái niệm cơ bản

<small>M( , , )</small><i><small>x y z</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

1.1. Các khái niệm cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

1.1. Các khái niệm cơ bản

1/ Ta cho lần lƣợt <i>x=0, y=0</i> thì đƣợc 2 giao tuyến với 2 mặt

<i>tọa độ Oyz, Oxz là 2 đường Parabola</i>

3/ Cho <i>z=k: k=0,</i> ta đƣợc gốc tọa độ<i> O(0,0,0) </i>

<i> k>0 tùy ý ta đƣợc các đường Ellipse</i>.

2/ Các giao tuyến với các mặt phẳng <i>x=k, y=k; k tùy ý </i>cũng

<i>là các đường Parabola</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Vẽ đường 2 parabola trên 2 mp Oxz, Oyz

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<i>Vẽ thêm đường parabol x<small>2</small> = z trên mặt phẳng y = 0 </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Nếu a=b, ta được giao tuyến với mặt z=k là đường trịn; do đó ta cịn gọi tên mặt trong trường hợp đặc biệt là

<i><b>Paraboloid tròn xoay </b>(Mặt được tạo ra khi quay đường parabol quanh trục đối xứng của nó) </i>

Ta gọi tên mặt này theo tên các giao tuyến:

<i><b>2 parabol, 1 ellipse nên mặt được gọi tên là Paraboloid Elliptic </b></i>

Các <i><b>Paraboloid tròn xoay </b>trong thực tế được sử dụng để thu và phản xạ ánh sáng, âm thanh và các tín hiệu vơ tuyến và truyền hình </i>

1.1. Các khái niệm cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

1.1. Các khái niệm cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Các giao tuyến với mặt z=k là các đường <i><b>Ellipse </b></i>

Ta nói thêm về các giao tuyến của mặt Paraboloid Elliptic với các mặt phẳng z=k (k>0, tùy ý)

1.1. Các khái niệm cơ bản

Chiếu các giao tuyến này xuống <i>mp Oxy, ta được các đường ellipse đồng tâm </i>

Ta gọi các đường <i>ellipse này là các đường mức của mặt Paraboloid Elliptic </i>

Tổng quát: Để hình dung tương đối trực quan về đồ thị của hàm 2 biến, người ta sẽ vẽ các đường mức của hàm

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<i>Đường mức của hàm 2 biến f(x,y) là đường cong f(x,y)=k</i> (k là hằng số tùy ý thuộc tập giá trị của hàm) trong mặt phẳng Oxy

1.1. Các khái niệm cơ bản

Như vậy: trên đồ thị của hàm tập hợp các điểm có cùng độ cao bằng k thỏa pt đường mức f(x,y)=k

Khi có tập hợp các đường mức của hàm 2 biến, hình dung ra chúng được nâng lên ở từng độ cao tương ứng, ta có hình dung về đồ thị của hàm.

Đường mức (x,y)=k là hình chiếu của giao tuyến của đồ thị của hàm với mặt phẳng z=k.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

1.1. Các khái niệm cơ bản

Ta được các đường hyperbol như hình vẽ

<i>Ví dụ: </i>Cho hàm <i>_{f x y}</i>_{( , )} <i>_y</i>² <i>_x</i>²Cho <i><small>zky</small></i>² <i><small>x</small></i>² <i><small>k</small></i>

Hình dung nâng các đường hyperbol lên cao để có đồ thị của hàm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

1.1. Các khái niệm cơ bản

<i>Ví dụ: </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<i>Ví dụ:</i> Cho bản đồ đường mức của hàm f(x,y) dưới đây.

1.1. Các khái niệm cơ bản

a/ Ước tính f(2,3), f(-3,3)

b/ Phác họa mặt cong tương ứng

<i>Ví dụ:</i> Bản đồ đường đẳng nhiệt, bản đồ đường đồng mức trong thực tế.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Hình trịn (khơng tính đường trịn) mở này còn được gọi là một r

<b>- lân cận của điểm M₀</b>

<b>Hình trịn mở tâm M₀(x₀,y₀), bán kính r – kí hiệu B(M</b>₀,r) là tập

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<b>Điểm trong : M</b>₁ gọi là điểm trong của D nếu tồn tại ít nhất r₁>0 sao cho r₁- lân cận của M₁ là B(M₁,r₁) nằm hoàn toàn trong D.

<b>Điểm biên : M</b>₂ gọi là điểm biên của D nếu với mọi r₂> 0, hình cầu mở B(M₂,r₂) chứa những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D.

Cho tập D và 1 điểm M thuộc ℝ<small>2</small>. Ta định nghĩa 2 loại điểm nhƣ sau :

• M

₁

• M

₂

1.1. Các khái niệm cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Tập D được gọi là <b>tập đóng </b>nếu D chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là <b>tập mở </b>nếu ℝ<small>2</small>\𝐷 là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất kỳ điểm biên nào

Ví dụ: Hình vẽ ở slide trước là tập khơng đóng, khơng mở

1.1. Các khái niệm cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x<small>2 </small>+ y<small>2 + </small>z<small>2 </small>= 4, do đó D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mở

Biên của D là 2 đường tròn x<small>2</small> + y<small>2</small>=1 và x<small>2</small>+y<small>2</small> = 4 nằm hoàn toàn trong D nên <b>D là tập đóng </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

O B

A

Biên của D là 3 đoạn OA, OB,

AB. Miền D không chứa đoạn AB tức là D không chứa mọi điểm biên nên D không là

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Giới hạn hàm : Hàm f(x,y) với miền xác định D đƣợc gọi là có giới hạn bằng L khi M(x,y) dần đến M₀(x₀,y₀), kí hiệu

<i>Định nghĩa này tương tự định nghĩa giới hạn hàm 1 </i>

<i>biến: Khoảng cách giữa M và M</i>

<i>₀</i>

<i> giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần </i>

1.1. Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<i>Ý nghĩa: Khi khoảng cách giữa M và M</i>

<i>₀</i>

<i> giảm dần thì khoảng cách giữa f(x,y) và L cũng giảm dần </i>

1.1. Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x₀,y₀) nếu f (x₀,y₀) xác định và

<small>00( , )</small>

lim

<small>(,)</small>

( , )(,)

<i><small>x yx y</small></i>

<i>f x yf x y</i>

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

1.1. Các khái niệm cơ bản (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Ta có:

Cho hàm 2 biến f(x,y), 1 điểm (x₀,y₀) thuộc miền xác định của hàm f.

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Tương tự, ta có định nghĩa đhr của hàm f theo biến y

<i>Quy tắc</i>: Khi tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo 1 biến nào đó, ta coi các biến khác là hằng số

Các đạo hàm riêng của hàm n biến x₁, x₂, …, x_n (nói chung) lại là các hàm n biến x₁, x₂, …, x_n

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<i>Ví dụ:</i> Nhiệt độ (<small>0</small>C) tại một điểm (x,y) trên một tấm kim loại trong mặt phẳng Oxy là:

Giả sử rằng khoảng cách được đo bằng cm. Tìm tốc độ

thay đổi nhiệt độ theo khoảng cách nếu chúng ta bắt đầu tại điểm (1, 2) và di chuyển:

(a) Sang bên phải và song song với trục x (b) Hướng lên và song song với trục y.

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<i>Ví dụ:</i> Ở những nơi lạnh giá, người ta sử dụng khái niệm Chỉ số gió lạnh (The Wind Chill Index). Đây là khái niệm rất quan trọng cần biết nếu bạn đang trải qua một khoảng thời gian dài ngoài trời lạnh. Nó cũng có thể được gọi là "cảm giác về nhiệt độ“, nó phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế và tốc độ gió.

13.12 0.6215 0.3965 11.37

Cơng thức tính chỉ số gió lạnh chuẩn ở Canada là:

Trong đó: T là nhiệt độ tính bằng <i><small>0</small>C và v là tốc độ gió tính </i>

bằng km/h

Tính và giải thích ý nghĩa của các kết quả này

20,5 , <i>_v</i> 20,5 , <i>_T</i> 20,5

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<i>Ví dụ:</i> Hình bên cho thấy bản đồ đường mức cho nhiệt độ H (<small>0</small>F) trong phòng dưới dạng hàm theo khoảng cách x (feet) từ lò sưởi và thời gian t (phút) sau khi bật lò sưởi .

b/ Ước tính các đhr này và giải thích kết quả.

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

a/ Xác định dấu của 2 đhr tại M(10,20): <i>H_xM H M</i>, <i>_t</i>

a/ Điểm M nằm trên đường mức H = 80. Khi x tăng, chúng ta di chuyển về phía đường mức H = 75, do đó H giảm và H_x(M) là âm. Điều này có ý nghĩa là khi chúng ta di chuyển ra xa lò sưởi, nhiệt độ giảm xuống.

Tương tự, H_t(M) mang dấu dương (thời gian bật lị sưởi tăng thì nhiệt độ phịng tăng

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

b/ Ƣớc tính 2 đhr tại M

0.36 /14

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<i>Ví dụ:</i> Trong những ngày nóng, ta sẽ cảm thấy nóng hơn khi độ ẩm trong khơng khí thấp (khơ hanh) và mát mẻ hơn khi độ ẩm trong khơng khí cao hơn.

Người ta đặt ra khái niệm chỉ số nhiệt I (The heat index) để mô tả sự kết hợp giữa nhiệt độ thực tế (T) và độ ẩm trong khơng khí (H). Vậy I là hàm theo 2 biến T và H :

Dưới đây là bảng các giá trị của chỉ số nhiệt I theo nhiệt độ thực tế T (<small>0</small>F) và độ ẩm khơng khí H (%)

<i>Lưu ý:</i> Nhiệt độ đóng băng của nước là <i>0<small>0</small>C=32<small>0</small>F</i> và quy đổi 1<small>0</small>C=1.8<small>0</small>F

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

T: Nhiệt độ thực tế (<small>0</small>F)

H: Độ ẩm (%)

Cho H=70% cố định, ta xem xét tốc độ thay đổi của chỉ số nhiệt I khi cố định độ ẩm H=70%. Lúc này I chỉ còn phụ thuộc vào T

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Điều này có nghĩa là khi độ ẩm khơng khí là 70% và nhiệt độ

thực tế là thì chỉ số nhiệt tăng khoảng

96

<small>0</small>

<i>F</i>35.6

<small>0</small>

<i>C</i>

3,75 <i>F</i> 2.1 <i>C</i> cho mỗi độ tăng thực tế

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

Tức là <i>f_x’(x₀,y₀) là tốc độ biến thiên của đường cong C₁tại thời điểm x=x₀, ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Ox tại điểm P(x₀,y₀,f(x₀,y₀)) </i>

<i>Xét trong mp y=y₀:</i> C₁ là giao tuyến của mp với mặt S thì <i>pt C₁ là z=f(x,y₀), T₁ là tiếp tuyến của C₁ tại P(x₀,y₀)</i> thì đạo hàm

<i>f_x’(x₀,y₀) là </i>hệ số góc của tiếp tuyến T₁

<i>Gọi S là mặt cong z=f(x,y) </i>

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Ý nghĩa hình học của đhr của hàm f(x,y) tại (a,b):

<i>Xét trong mp x=x₀:</i> C₂ là giao tuyến của mp với mặt S thì <i>pt C₂ là z=f(x₀,y₀), T₂ là tiếp tuyến của C₂tại P(x₀,y₀), </i> thì

<i>đạo hàm f_y’(x₀,y₀) là </i>hệ số góc của tiếp tuyến T₂

<i>Tương tự cho dhr theo y: </i>

Tức là <i>f_y’(x₀,y₀) là tốc độ biến thiên của đường cong C₂tại thời điểm y=y₀, ta gọi là tốc độ biến thiên (hoặc là hệ số góc) của mặt cong S theo phương Oy tại điểm P(x₀,y₀,f(x₀,y₀)) </i>

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

<i>Tiếp diện của mặt cong:</i>

Cho mặt cong S có pt z=f(x,y). Xét tại điểm P(x₀,y₀,z₀) trên mặt cong: 2 giao tuyến với 2 mặt phẳng x=x₀, y=y₀có 2 tiếp tuyến T₁, T₂; qua 2 tiếp tuyến này có 1 mặt phẳng được gọi là tiếp diện của mặt cong tại P

Pt tiếp diện có dạng: <i>_z_z</i>₀ <i>_{a x}_x</i>₀ <i>_{b y}_y</i>₀Giao tuyến của tiếp diện với mp y=y₀ là T₁, có pt là:

Tương tự: <i>bf_yx y</i>₀, ₀

<small>T</small>₁<small>T</small>₂

<i><small>z</small>₀<small>=f(x</small>₀<small>,y</small>₀<small>) </small></i>

Vậy pt tiếp diện là: <i>_z_z</i>₀ <i>_f_x_x_x</i>₀ <i>_f_y_y_y</i>₀

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Ví dụ: Tìm pt tiếp diện với mặt cong z=2x<small>2</small>+y<small>2</small> tại điểm (1,1,3).

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

Định lý: Nếu hàm f(x,y) có các đhr theo x, y trong lân cận của (x₀,y₀) và liên tục tại đó thì hàm khả vi tại (x₀,y₀).

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

Nhắc lại: Với hàm 1 biến y=f(x) khả vi tại x₀, ta coi dx như biến độc lập có thể lấy các giá trị thực bất kỳ thì vi phân của hàm được định nghĩa là:

Tương tự: Nếu hàm 2 biến z=f(x,y) khả vi tại (x₀,y₀) ta cũng coi dx, dy là các biến độc lập và gọi vi phân của hàm là

Ta còn gọi đó là vi phân tồn phần của hàm 2 biến z=f(x,y)

<small>pt tiếp tuyến: y=f(x</small>₀<small>)+f’(x</small>₀<small>)(x-x</small>₀<small>) </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

<small>Mặt cong z=f(x,y) </small>

<small>Tiếp diện </small>

Ví dụ: Cho hàm f(x,y)=2x<small>2</small>+y<small>2</small>-3xy. Cho x biến thiên từ 2 đến 2.03 và y từ 3 đến 2.98, tính và so sánh ∆f với df tại (2,3)

Nhƣ vậy: ∆f xấp xỉ với df nhƣng tính df dễ dàng hơn tính ∆f.

1.2. Đạo hàm riêng – Vi phân – Tiếp diện

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

. f(x,y,z)=ln(x+e )

<i><small>xy</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

Nếu tính bằng cách thơng thường, ta sẽ khơng tính được đhr tại điểm đặc biệt (0,0). Do đó, ta sẽ tính các đhr trên bằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

<i><b>Đạo hàm cấp 2: </b></i>Hàm f(x,y) có các đhr (nói chung) cũng lại là các hàm 2 biến. Ta định nghĩa đh cấp 2 là đh của đhr cấp 1 Đạo hàm cấp 2 theo x:

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

<i><b>Định lý Schwarz : Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng f’</b></i>_x, f’_y, f”_xy, f”_yx trong miền mở chứa (x₀,y₀) và liên tục tại (x₀,y₀) thì f”_xy(x₀,y₀) = f”_yx(x₀,y₀)

1.3. Đạo hàm cấp cao

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp n

Ví dụ: Tính đhr cấp 1, 2, 3 của hàm: f(x,y)=x<small>2</small>y–3e<small>x+y</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

<i>Ghi nhớ</i>: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz. Tính đhr đến cấp 2. 3 đạo hàm cấp 1:

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

<small>33</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xy<i><small>2</small> – 2yz<small>2 </small>+ e<small>x+y+z</small></i>. Tính df, d<small>2</small>f Giải: Sử dụng công thức vi phân:

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

<i>Ví dụ:</i> Chiều cao h, chiều dài l và chiều ngang w của 1 cái hộp biến thiên theo thời gian. Tại thời điểm t=t₀, các chiều là l=1m, h=w=2m; h giảm với tốc độ 3m/s, w và l tăng với tốc độ 2m/s. Tại thời điểm t₀, tìm tốc độ biến thiên của:

a. Thể tích hộp V=h.l.w.

Vì h, l, w đều phụ thuộc thời gian nên V cũng vậy. a. Thể tích hộp

b. Độ dài đường chéo hộp c. Diện tích tồn phần hộp

Ta đặt h=h(t), l=l(t), w=w(t) thì V(t)=h(t).l(t).w(t)

1.4. Đạo hàm hàm hợp

Tốc độ biến thiên của thể tích tại thời điểm t₀ chính là đạo hàm của hàm thể tích V(t) khi t=t₀.

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

<i><b>Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp </b></i>

Khi đó, z là hàm hợp <i>z = z(x(t),y(t))</i> (là hàm theo 1 biến z=z(t))

<i>cũng khả vi trong khoảng (t₁,t₂) và </i> đạo hàm của hàm z(t) đƣợc tính bởi cơng thức:

<i>x=x(t), y=y(t)</i> khả vi trong khoảng (t<i>₁,t₂). </i>

1.4. Đạo hàm hàm hợp

<i>Định lý</i> :

Cho hàm <i>z = z(x,y)</i> khả vi trong miền D; 2 biến x, y không là biến độc lập mà là 2 hàm theo 1 biến t:

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

Vậy:

1.4. Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

1.4. Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

</div><span class="text_page_counter">Trang 61</span><div class="page_container" data-page="61">

Ví dụ : Sử dụng cơng thức vừa chứng minh để tính lại câu c.

1.4. Đạo hàm hàm hợp

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

1.4. Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

Ví dụ: Cho mạch điện có 2 điện trở R₁ và R₂ được mắc song song. Giả sử rằng cường độ dòng điện là 3A và đang tăng ở mức 10<small>-2</small> A/s, R₁ là 2Ω và đang tăng ở mức 0,4 Ω/s, R₂ là 5Ω và đang giảm ở mức 0,7Ω/s. Tính tốc độ thay đổi điện áp trong mạch.

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

<i>Tổng quát hơn</i>:

Cho <i>z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v)</i> tức là <i>z là hàm hợp của </i>

2 biến <i>u, v</i>. Ta có cơng thức tương tự:

z <i>zy</i>

Cần tính đạo hàm của z theo biến nào ta đi theo đường đến biến đó

1.4. Đạo hàm hàm hợp

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

<i>Ví dụ : Cho hàm z = xe<small>y</small>, trong đó x=cosu+sinv, y=u<small>2</small>+v<small>2</small></i>. Tính

1.4. Đạo hàm hàm hợp

</div><span class="text_page_counter">Trang 65</span><div class="page_container" data-page="65">

<i>Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x<small>2</small>-y<small>2</small>). Tính </i>

<i>z z z</i>

<i>_x</i>

,

<i>_y</i>

,

<i>_xy</i>Giải:

Ta đặt <i>t = x<small>2</small>-y<small>2</small>, thì f là hàm theo 1 biến t: z=y.f </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 67</span><div class="page_container" data-page="67">

Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z

1.4. Đạo hàm hàm hợp

</div><span class="text_page_counter">Trang 68</span><div class="page_container" data-page="68">

Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của v theo x

Lấy đhr theo u thì nhân với đhr của u theo x

Tương tự: <i>z”</i>

<i>_xy</i>

<i> = f”</i>

<i>_uu</i>

<i>-f”</i>

<i>_uv</i>

<i>-6f”</i>

<i>_vv</i>

<i>, z”</i>

<i>_yy</i>

<i> = f”</i>

<i>_uu</i>

<i>-6f”</i>

<i>_uv</i>

<i>+9f”</i>

<i>_vv</i>

1.4. Đạo hàm hàm hợp (Tự đọc)

</div>