Định lý green

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<small>1</small> Định lý Green

Định hướng đường cong phẳng đơn kínỨng dụng của định lý Green

Định lý cơ bản của tích phân đường

Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường đi

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Định nghĩa

không tự cắt nhau ở giữa hai đầu mút, tức là

a < t₁< t₂ < b =⇒⁻^→r (t₁) 6=⁻^→r (t₂).

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Định nghĩa

điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau, tức là

→_{r (a) =}−→_{r (b).}

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Cho đường cong phẳng đơn kín C và gọi D là miền phẳngđược giới hạn bởi C .

Ta quy ước chiều dương của đường cong phẳng đơn kín C làchiều mà nếu ta đi theo chiều đó thì ta sẽ thấy miền D luônnằm bên tay trái. Chiều ngược lại được gọi là chiều âm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Định lý (Green’s theorem)

Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc và D làmiền phẳng giới hạn bởi C . Nếu P và Q có các đạo hàm riêngliên tục trên một miền mở chứa D, thì

Pdx + Qdy = ±Z Z

∂Q∂x ⁻

dxdy ,

trong đó, lấy dấu (+) nếu chiều của C là chiều dương, lấy dấu(−) nếu chiều của C là chiều âm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Ứng dụng tính diện tích hình phẳng

Hệ quả

Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc, theo chiềudương, và D là miền phẳng giới hạn bởi C . Khi đó, diện tíchcủa miền phẳng D là

S (D) =I

xdy = −I

ydx = ¹2

xdy − ydx .

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

So sánh với định lý cơ bản của Giải tích hàm một biến

dxdy =I

<small>biên D</small>

Pdx + Qdy

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ví dụ

Hãy tính tích phân đườngI

(3y − e^{sin x})dx + (7x +^py<small>4</small>+ 1)dy ,

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Ví dụ

Hãy tính diện tích của miền được giới hạn bởi đường elipx²

a<small>2</small> + ^y<small>2</small>b<small>2</small> = 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Định lý

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Giả sử C1 và C2 là hai đường đi có cùng điểm đầu và điểmcuối.

Nói chung, ta cóZ

F · d⁻^→r 6=Z

F · d⁻^→r =Z

F · d⁻^→

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Định nghĩa

phân đườngZ

(independent of path) nếu ta ln có

F · d−→_{r =}^Z

F · d−→_{r ,}

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Định nghĩa

Một miền phẳng D được gọi là miền đơn liên

(simply-connected region) nếu D liên thơng và mọi đườngcong đơn kín trong D đều chỉ bao bọc các điểm thuộc D.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Định lý

Giả sử⁻^→F (x , y ) = P(x , y )−→

i + Q(x , y )−→

j là một trường vectơ khảvi liên tục trên miền mở đơn liên D. Khi đó, 3 mệnh đề sau đâytương đương:

<small>C</small>−→

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Ví dụ

Tính tích phân đường I =Z

</div>