Sự tương đương của định lý Cêva và định lý Menênaúyt

Gửi tới các thầy cô yêu môn Hình THCS một dạng bài tập mà tôi thích:
Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba điểm thẳng
hàng và ngợc lại .
Tôi đã biết cách chứng minh sự tơng đơng giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhng
không dành cho học sinh trung học cơ sở. Tôi cha thấy cách chứng minh tơng đơng giữa
hai định lý này bằng kiến thức của THCS ở bất cứ tài liệu nào. Hiện nay tôi đã chứng
minh nhng cha chắc chắn lắm, tôi đa một số bài tập tơng tự lên cho các thầy cô tham
khảo.
Nghỉ hè có nhiều thời gian hơn tôi xem xét lại và upload phần chứng minh tổng quát rất
mong đợc sự giúp đỡ của các thầy cô!
Một số ví dụ:
Bài tập1:
Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng
minh: CF, BE , AM đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét:
KM
AK
BF
AF
=
;
AK
KM
AE
CE
=
; và
1

=
CM
BM
Suy ra
BF
AF
.
CM
BM
.
AE
CE
= 1
áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I
Ta có
BF
AF
=
BC
AN
;
MC
BC
=2;
AI
MI
=

AN
BM
Suy ra
BF
AF
.
MC
BC
.
AI
MI
=
BC
AN
.2.
AN
BM
=1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng.
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.
Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E,
F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
BF
AF
.

CD
BD
.
AE
CE
=
BD
AE
.
CE
BD
.
AE
CE
=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
A
F
M
B
C
K
E
E
A
F
M
B

C
N
I
B
C
F
A
E
D
B
C
F
A
E
D
I
N
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD CF = I. Ta có :
CE
AE
.
DB
CB
.
AI
DI
=
CD
AF

.
BF
CB
.
AN
CD
=
BF
AF
.
AN
CB
=
AN
CB
CB
AN
.
=1
áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì
AD, BE, CF đồng quy.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là
phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên
AM = AN
Có:
BH

MA
BD
AD
=
;
AN
CH
AE
CE
=

1....
==
AN
CH
CH
BH
BH
MA
AE
CE
CH
BH
BD
AD
.
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K

Gọi AH BE = I
Ta có:
BD
AD
=
BH
MA
=
BH
AN
và
AK
BH
AI
HI
=

.
BD
AD
CH
BH
.
AI
HI
=
AK
BH
HC
BC

BH
AN
..
=
AK
BC
HC
AN
.
=
AE
CE
CE
AE
.
=1
áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng.
Vậy AH, BE, CD đồng quy.
Bài tập 4:Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình
vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB CE, I = AC BG
Đặt AB = c, AC = b.
Có c
2
= BK.BC; b
2
= CK.BC
CK

BK
=
2
2
b
c
và
BD
AD
=
c
b
;
AI
CI
=
c
b
(do AIB CIG)

BD
AD
.
CK
BK
.
AI
CI
=
c

b
.
2
2
b
c
.
c
b
=1
A
B
C
D
M N
H
E
A
B
C
D
M N
H
E
K
I
H
A
B
G

E
C
K
D
I
F
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
M
O
¸p dông ®Þnh lý Ceva cho ∆ABC
th× AK, BG, CE ®ång quy.

C¸ch 2: (chøng minh th¼ng hµng)
Tõ A kÎ ®êng th¼ng song song víi BC
c¾t BG t¹i M. AK ∩ BG t¹i O.
Ta cã
BD
AD
=
c
b

;
AO
KO
=
AM
BK
suy ra
BD
AD
.
CK
BC
.
AO
KO
=
c
b
.
CK
BC
.
AM
BK
=
c
b
.
AM
BC

.
CK
BK
=
c
b
.
AI
CI
.
2
2
b
c
=
c
b
.
c
b
2
2
b
c
=1
¸p dông ®Þnh lý Menenauyt cho ∆ABK th× D, O, C th¼ng hµng.
VËy AK, BG, CE ®ång quy.