Tích phân đường loại 2

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Tích phân đường loại 2

<small>TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm</small>

<small>Bộ Mơn Tốn</small>

<small>Trường Đại học Bách Khoa TPHCM</small>

<small>TPHCM, Tháng 5 năm 2020.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Nội dung</small>

1. Định nghĩa tích phân đường 22. Cách tính tích phân đường 23. Định lý Green

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>Nội dung</small>

1. Định nghĩa tích phân đường 2

2. Cách tính tích phân đường 23. Định lý Green

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>Nội dung</small>

1. Định nghĩa tích phân đường 22. Cách tính tích phân đường 2

3. Định lý Green

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

1. Định nghĩa tích phân đường 22. Cách tính tích phân đường 23. Định lý Green

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

1. Định nghĩa tích phân đường 22. Cách tính tích phân đường 23. Định lý Green

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small>1. Định nghĩa tích phân đường 2</small>

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<small>1. Định nghĩa tích phân đường 2</small>

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>1. Định nghĩa tích phân đường 2</small>

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>1. Định nghĩa tích phân đường 2</small>

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>1. Định nghĩa tích phân đường 2</small>

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .

Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector ⁻^→F <small>= (</small>P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>))</small>

<small>[</small>P<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>x_k <small>+</small>Q<small>(</small>x_k<small>,</small>y_k<small>)∆</small>y_k<small>]</small>.+ Nếu <small>lim</small>

<small>n→∞</small>S_n tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phânđường loại 2 của hàm P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>),</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small> dọc theo cung BC .Kí hiệu là:

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dx <small>+</small>Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>)</small>dy

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<small>2. Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung</small>

<small>AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)</small>

<small>t = a ứng với điểm đầu của</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>2. Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung</small>

<small>AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)</small>

<small>t = a ứng với điểm đầu của</small>

<small>AB, t = b ứng với điểm cuối của cung</small>

<small>AB.Khi đó,Z</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>2. Cách tính tích phân đường 22.1 Trường hợp cung</small>

<small>AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)</small>

<small>t = a ứng với điểm đầu của</small>

<small>AB, t = b ứng với điểm cuối của cung</small>

<small>AB.Khi đó,Z</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>2.1 Trường hợp cung</small>

<small>AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)</small>

<small>t = a ứng với điểm đầu của</small>

<small>AB, t = b ứng với điểm cuối của cung</small>

<small>AB.Khi đó,Z</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>2.1 Trường hợp cung</small>

<small>AB có phương trình tham sốx = x (t), y = y (t)</small>

<small>t = a ứng với điểm đầu của</small>

<small>AB, t = b ứng với điểm cuối của cung</small>

<small>AB.Khi đó,Z</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b. I =</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b. I =</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b. I =</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong không gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong khơng gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b. I =</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>2.3 Trường hợp cungAB có phương trình x = x (y ), với y = a</small>^_<small>là tung độ điểm đầu, y = b là tung độ điểm cuối, khi đó</small>

<small>2.4 Tích phân đường loại 2 trong khơng gian</small>

<small>Cho cung trơnAB có phương trình tham số trong khơng gian với</small>^_<small>x = x (t), y = y (t), z = z(t). Điểm đầu A ứng với t = a, điểm cuối Bứng với t = b. I =</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

2. Cách tính tích phân đường loại 2

Ví dụ 1: Tính I=Z

2xydx−x

²

dy , C là đoạn nối từO(0,0)đến A(2,1)theo các đường cong sau.

a) Đoạn thẳng OAb) Parabol x=2y

²

.

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

43b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

43b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

43b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

43b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

2. Cách tính tích phân đường loại 2

Giải.a) Đoạn thẳng OA<small>:</small>y <small>=</small> x

2^, ^x ^:⁰^→²

I <small>=2</small>

<small>[</small>2x<small>.</small>x2 ⁻^x

43b) Parabol x <small>=</small>2y<small>2,</small> y <small>:</small>0<small>→</small>1

I <small>=1</small>

<small>[</small>2<small>.</small>2y²<small>.</small>y<small>.</small>4y <small>− (</small>2y²<small>)</small>²<small>]</small>dy <small>=1</small>

12y⁴dy <small>=</small> 125

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<small>2. Cách tính tích phân đường 2</small>

Chú ý:

Những bài tham số hóa theo góc, ngược chiều kim đồng hồlà tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham sốgiảm dần.

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Chú ý:

Những bài tham số hóa theo góc, ngược chiều kim đồng hồlà tham số tăng dần, cùng chiều kim đồng hồ là tham sốgiảm dần.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>[</small>2<small>cos</small>t<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.(−</small>2<small>sin</small>t<small>) +</small>2<small>.(</small>2<small>cos</small>t<small>)</small>²<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.</small>2<small>cos</small>t<small>]</small>dt

I <small>=2π</small>

<small>(−</small>8<small>sin</small>²t<small>. cos</small>t<small>+</small>32<small>. cos</small>³t<small>. sin</small>t<small>)</small>dt

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

x <small>=</small>2<small>cos</small>ty <small>=</small>2<small>sin</small>t

t <small>:</small>0<small>→</small>2<small>π</small>

I <small>=2π</small>

<small>[</small>2<small>cos</small>t<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.(−</small>2<small>sin</small>t<small>) +</small>2<small>.(</small>2<small>cos</small>t<small>)</small>²<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.</small>2<small>cos</small>t<small>]</small>dt

I <small>=2π</small>

<small>(−</small>8<small>sin</small>²t<small>. cos</small>t<small>+</small>32<small>. cos</small>³t<small>. sin</small>t<small>)</small>dt

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

x <small>=</small>2<small>cos</small>t

y <small>=</small>2<small>sin</small>t ^t ^:0<small>→</small>2<small>π</small>

I <small>=2π</small>

<small>[</small>2<small>cos</small>t<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.(−</small>2<small>sin</small>t<small>) +</small>2<small>.(</small>2<small>cos</small>t<small>)</small>²<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.</small>2<small>cos</small>t<small>]</small>dt

I <small>=2π</small>

<small>(−</small>8<small>sin</small>²t<small>. cos</small>t<small>+</small>32<small>. cos</small>³t<small>. sin</small>t<small>)</small>dt

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

x <small>=</small>2<small>cos</small>t

y <small>=</small>2<small>sin</small>t ^t ^:0<small>→</small>2<small>π</small>

I <small>=2π</small>

<small>[</small>2<small>cos</small>t<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.(−</small>2<small>sin</small>t<small>) +</small>2<small>.(</small>2<small>cos</small>t<small>)</small>²<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.</small>2<small>cos</small>t<small>]</small>dt

I <small>=2π</small>

<small>(−</small>8<small>sin</small>²t<small>. cos</small>t<small>+</small>32<small>. cos</small>³t<small>. sin</small>t<small>)</small>dt

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

x <small>=</small>2<small>cos</small>t

y <small>=</small>2<small>sin</small>t ^t ^:0<small>→</small>2<small>π</small>

I <small>=2π</small>

<small>[</small>2<small>cos</small>t<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.(−</small>2<small>sin</small>t<small>) +</small>2<small>.(</small>2<small>cos</small>t<small>)</small>²<small>.</small>2<small>sin</small>t<small>.</small>2<small>cos</small>t<small>]</small>dt

I <small>=2π</small>

<small>(−</small>8<small>sin</small>²t<small>. cos</small>t <small>+</small>32<small>. cos</small>³t<small>. sin</small>t<small>)</small>dt

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<small>3. Định lý Green</small>

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂_R

<small>2</small>

chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái. Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

<small>3. Định lý Green</small>

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂_R

<small>2</small>

chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái. Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Định nghĩa:

Nếu C là đường cong kín (chu tuyến) là biên của miềnD⊂_R

<small>2</small>

chiều dương của Clà chiều mà khi người đi dọctrên biên, miền D nằm bên tay trái. Tích phân đường loại 2trên đường cong kín được kí hiệu:

Pdx+Qdy

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

<small>3. Định lý Green</small>

3. Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc. Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

<small>3. Định lý Green</small>

3. Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc. Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

3. Định lý Green

Cho miền D đóng và giới nội trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc. Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y)liên tụccùng với các đạo hàm riêng của chúng trong miền D thì tacó.

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương.

Chú ý: C có thể bao gồmnhiều chu tuyếngiới hạn miền D

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

<small>3. Định lý Green</small>

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒P

_y⁰

=xQ(x,y) =2x

²

y⇒Q

_x⁰

=4xy

I

^Green

= +

[4xy−x]dxdy , với D:x

²

+y

²

≤4I=0

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

<small>3. Định lý Green</small>

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒P

_y⁰

=xQ(x,y) =2x

²

y⇒Q

_x⁰

=4xy

I

^Green

= +

[4xy−x]dxdy , với D:x

²

+y

²

≤4I=0

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

<small>3. Định lý Green</small>

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒P

_y⁰

=xQ(x,y) =2x

²

y⇒Q

_x⁰

=4xyI

^Green

= +

Z Z

[4xy−x]dxdy , với D:x

²

+y

²

≤4

I=0

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

Ví dụ 3: Tính I=Z

P(x,y) =xy⇒P

_y⁰

=xQ(x,y) =2x

²

y⇒Q

_x⁰

=4xyI

^Green

= +

Z Z

[4xy−x]dxdy , với D:x

²

+y

²

≤4I=0

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x<small>−</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>= −</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x³<small>+</small>y³ <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>3x<small>2</small>

I ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>3x²<small>+</small>3y²<small>]</small>dxdy <small>=π/2</small>

3r²<small>.</small>rdr <small>=</small> 3<small>π</small>

8

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x<small>−</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>= −</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x³<small>+</small>y³ <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>3x<small>2</small>

I ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>3x²<small>+</small>3y²<small>]</small>dxdy <small>=π/2</small>

3r²<small>.</small>rdr <small>=</small> 3<small>π</small>

8

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x<small>−</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>= −</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small> x³<small>+</small>y³ <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>3x<small>2</small>

I ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>3x²<small>+</small>3y²<small>]</small>dxdy <small>=π/2</small>

3r²<small>.</small>rdr <small>=</small> 3<small>π</small>

8

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>=</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>x²y <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>2xy

I ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>2xy <small>−</small>y²<small>]</small>dxdy <small>=2π</small>

<small>−</small>3r²<small>. sin</small>²<small>ϕ.</small>rdrd<small>ϕ =−</small>45<small>π</small>

4

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>=</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>x²y <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>2xy

I ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>2xy <small>−</small>y²<small>]</small>dxdy <small>=2π</small>

<small>−</small>3r²<small>. sin</small>²<small>ϕ.</small>rdrd<small>ϕ =−</small>45<small>π</small>

4

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>y³ <small>⇒</small>P_y⁰ <small>=</small>3y²Q<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =</small>x²y <small>⇒</small>Q_x⁰ <small>=</small>2xyI ^Green<small>= +</small>

Z Z

<small>[</small>2xy <small>−</small>y²<small>]</small>dxdy <small>=2π</small>

<small>−</small>3r²<small>. sin</small>²<small>ϕ.</small>rdrd<small>ϕ =−</small>45<small>π</small>

4

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

a) Với C đường tròn <small>(</small>x<small>−</small>2<small>)</small>²<small>+ (</small>y<small>−</small>1<small>)</small>²<small>=</small>1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x²<small>+</small>y² <small>=</small>1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải. a) P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =−</small>y

Z Z

<small>(</small>Q_x⁰ <small>−</small>P_y⁰<small>)</small>dxdyZ Z

0dxdy <small>=</small>0

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

a) Với C đường tròn <small>(</small>x<small>−</small>2<small>)</small>²<small>+ (</small>y<small>−</small>1<small>)</small>²<small>=</small>1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x²<small>+</small>y² <small>=</small>1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải. a) P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =−</small>y

Z Z

<small>(</small>Q_x⁰ <small>−</small>P_y⁰<small>)</small>dxdyZ Z

0dxdy <small>=</small>0

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

Ví dụ 6: Tính I <small>=</small>

xdy <small>−</small>ydxx<small>2+</small>y<small>2</small>

a) Với C đường tròn <small>(</small>x<small>−</small>2<small>)</small>²<small>+ (</small>y<small>−</small>1<small>)</small>²<small>=</small>1 theo chiều ngượcchiều KĐH.

b) Vơi C là đường tròn x²<small>+</small>y² <small>=</small>1 theo chiều ngược chiều KĐH.Giải. a) P<small>(</small>x<small>,</small>y<small>) =−</small>y

Z Z

<small>(</small>Q_x⁰ <small>−</small>P_y⁰<small>)</small>dxdyZ Z

0dxdy <small>=</small>0

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

Giải. b)(C)là đường tròn x

²

+y

²

=1 theo chiều ngượcchiều KĐH

x= cost

y= sint^t^:⁰→2πI=

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

Giải. Công của lực ⁻^→F được tính theo cơng thức

I <small>=C</small>

3r²<small>.</small>rdrd<small>ϕ = −</small>12<small>π</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

Giải. Công của lực ⁻^→F được tính theo cơng thức

<small>(</small>3x²<small>+</small>3y²<small>)</small>dxdy với D <small>:</small>x<small>2+</small>y<small>2≤</small>4<small>,</small>y <small>≤</small>0

I <small>= −</small>

3r²<small>.</small>rdrd<small>ϕ = −</small>12<small>π</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 61</span><div class="page_container" data-page="61">

Giải. Công của lực ⁻^→F được tính theo cơng thức

<small>(</small>3x²<small>+</small>3y²<small>)</small>dxdy với D <small>:</small>x<small>2+</small>y<small>2≤</small>4<small>,</small>y <small>≤</small>0

I <small>= −</small>

3r²<small>.</small>rdrd<small>ϕ = −</small>12<small>π</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

Giải. Công của lực ⁻^→F được tính theo cơng thức

3r²<small>.</small>rdrd<small>ϕ = −</small>12<small>π</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

Ví dụ 7: Tính cơng của lực ⁻^→F <small>= (</small>x<small>,</small>x³<small>+</small>3xy<small>2)</small> di chuyển mộtchất điểm đi từ điểm bắt đầu <small>(−</small>2<small>,</small>0<small>)</small> dọc theo trục Ox đến

<small>(</small>2<small>,</small>0<small>)</small>, sau đó đi theo nửa đường trịn y <small>= −√</small>

4<small>−</small>x<small>2</small> về điểmxuất phát.

Giải. Cơng của lực ⁻^→F được tính theo cơng thức

3r²<small>.</small>rdrd<small>ϕ = −</small>12<small>π</small>

</div>