bài tập tích phân đường loại 1 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
1.
C
xydl,
∫
C là chu vi hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2).
2.
C
(x y)dl,−
∫
C :
2 2
x y ax.
+ =
3.
2 2 2
C
(x y z )dl,+ +
∫
C:
x acost, y asin t, z bt,0 t 2π (a,b,c 0).= = = ≤ ≤ >
4.
C
(x y)dl+
∫
, C có dưới dạng vectơ
r t. i (1 t). j, 0 t 1.
→ → →
= + − ≤ ≤

5.

C
xyzdl
∫
, C là giao tuyến của
2
2 2 2 2 2 2
R
x y z R , x y
4
+ + = + =
lấy phần
x 0,y 0,z 0.≥ ≥ ≥
6.
C
xydl,
∫
C:
2 2
2 2
x y
1, x 0, y 0.
a b
+ = ≥ ≥
7.
2 2
C
2y z dl,+
∫
C: giao tuyến của
2 2 2 2

x y z a , x y.+ + = =
8.
2
C
x dl,
∫
C: giao tuyến của
2 2 2 2
x y z a , x y z 0.+ + = + + =
9. Tính khối lượng cung parabol
2
1
y 2x,0 x
2
= ≤ ≤

nếu hàm mật độ của cung
parabol là
(x,y) |y|.
ρ =
10. Xác định tọa độ trọng tâm của cung Cycloit đồng chất
x a(t sint),= −
y a(1 cost),0 t= − ≤ ≤ π

với
(x,y) 1.ρ =
Đáp án:

2
2 2 2 2 2

a 2
1) 24 2) 3) a b (3a 4b )
2 3
π
π + + π
4 2 2
R 3 ab(a ab b )
4) 2 5) 6)
32 3(a b)
+ +
+
3
2
0 0
2 a 2 4a
7) 2 a 8) 9) (2 2 1) 10) x y
3 3 3
π
π − = =
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
1.
2 2
C
(x y) dx (x y) dy,− + +
∫
C là biên tam giác OAB với O(0,0), A(2,0), B(4,2)
theo chiều dương
a) Tính trực tiếp.
b) Dùng công thức Green.
2.

2
C
ydx (y x )dy,− +
∫
C :
2
y 2x x , y 0= − ≥
ngược chiều kim đồng hồ.
3.
2
C
(xy 1)dx x ydy,− +
∫
C đi từ A(1,0) đến B(0,2) theo các đường
a) Đường thẳng nối A và B.
b) Đường parabol
2
y
x 1
4
= −
.
4.
C
|x y|dy,−
∫
C là một phần tư đường tròn
2 2 2
x y R+ =
đi từ (R,0) đến (0,R).

5.
2 2 2
C
xy dx yz dy x zdz,+ −
∫
C là đoạn OA với O(0,0,0), A(-2,4,5).
6.
2 2
C
x ydx x dy,+
∫
C là biên của miền giới hạn bởi
2 2
y x, x y= =

theo chiều
dương.
7.
C
xydx ydy yzdz,+ +
∫
C là giao tuyến của
2
y x , x z 0= − =

đi từ (0,0,0) đến
(1,1,1).
8.
3
2 2

C
x
(x ycos(xy))dx ( xy x xcos(xy))dy,
3
+ + + − +
∫
C là nửa trên đường tròn
2 2 2
x y a , y 0+ = ≥
lấy ngược chiều kim đồng hồ.
9. Tính các tích phân đường
a)
(3,2)
2 2
(1,1)
xdx ydy
x y
+
+
∫
theo đường cong không đi qua gốc O.
b)
(1,2)
2
(2,1)
ydx xdy
x
−
∫
theo đường cong không cắt trục Oy.

c)
(a,b)
x
(0,0)
e (cosydx sinydy)−
∫
.
10. Tìm số a,b để tích phân
2
2 2 2
C
(1 ax )dy 2bxydx
(1 x ) y
− +
− +
∫
không phụ thuộc vào đường
đi với C là đường cong không đi qua điểm (1,0) và (-1,0).
11. Tìm số
m N
∈

để tích phân
2 2 m
C
(x y)dx (x y)dy
(x y )
− + +
+
∫

không phụ thuộc vào
đường đi với C là đường cong không đi qua gốc O và chỉ rõ hàm U(x,y) sao cho

dU Pdx Qdy.
= +
12. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong sau nhờ tích phân
đường:
a)
2
y 0,y 1 x .= = −
b)

2
y x,y x .= =
c
)
1 x
y x, y ,y (x 0,y 0).
x 4
= = = ≥ ≥
d
)
x acost, y bsin t,0 t 2π.= = ≤ ≤
Đáp án:

2
17 R
1)16 2) 4 3) a)1 b) 4)
15 2
−

4 2 3
3 a a 2a
5) 91 6) 7) 1 8)( )
14 4 2 3
π π
− −
a
3
9) a)ln 13 ln 2 b) c)e cosb 1 10) a b 1
2
−
− − = =
2 2
1 y
11) m 1, U(x, y) ln(x y ) arctg C
2 x
= = + + +
4 1
12) a) b) c)ln 2 d) ab
3 6
π