ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN</b>

<b><small>Phần 2</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Nội dung</small>

<small>1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp.2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn3. Ứng dụng</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP<small>Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến</small>

<small>Cho </small><i>z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)<small>. Nếu z, x, </small></i>

<i>z =f _x</i> ^.<i>^x_v</i> + <i>f_y</i> . ,<i>y_v</i>

<small>C1:C2:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<i><small>Cho z = f(x) và x = x(u, v) </small></i><small>(hợp của 1 biến và 2 biến)Trường hợp riêng 1</small>

<i>dz</i>₌<i>z du</i>₊<i>z dv</i>

<i>dz</i>₌<i>f x dx</i>₌<i>f x x du</i>₊<i>x dv</i>

<i><small>u</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i>dz</i>₌<i>z t dt</i>

<small>(liên kết z và biến cuối)C1:</small>

<small>C2:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<i><small>z = f(x, y) và y = y(x)(</small></i><small>hợp 2 biến và 1 biến)Trường hợp riêng 3:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

2/ Cho:

<i>zf x</i>( )sin(<i>xx</i>

²

),<i>x</i>arctan<i>^u</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

4/ Cho:

<small>22</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

5/ Cho: <i>z</i> = <i>f x</i>( − <i>y xy</i>, ),

<i>Tính z’_x, z’_y</i>

với f là hàm khả vi

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<small>6/ Cho:</small>

<i>xzxf</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<b><small>Ứng dụng:</small></b> <small>Áp suất P(Kilopascal), thể tích V(lít) và nhiệt độT(kelvin) của một mol chất khí lý tưởng có liên hệ với nhauqua phương trình PV=8.31 T. Tìm tốc độ biến thiên của ápsuất khi nhiệt độ là 300K và tăng với tốc độ là 0.1K/s và thểtích là 100 L và tăng với tốc độ là 0.2 L/s.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>Từ quy tắc đạo hàm hàm hợp suy ra</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp

<i><small>Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự.</small></i>

<i><small>Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<i>Các đhàm (f’_x)’_u, (f’_x)’_v, (f’_y)’_u, (f’_y)’_vphải tính theo hàm hợp.</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN</small>

Hàm ẩn 1 biến <i>: Giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x).</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Hàm ẩn 2 biến : <i>z = z(x, y) xác định từ pt :F(x, y, z) = 0 (1).</i>

,<i> </i>

<i><small>yx</small></i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

(1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<i>2. Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1 của hàm ẩn y = </i>

<i>Lấy đạo hàm (1) theo x</i>

<i>Lấy đạo hàm (2) theo x</i>

3 2 .<i>y y</i>_₊<i>y y</i>_

 2(⁺<i>^y</i>⁺<i>^xy</i>⁾⁺<i>^2xy</i>^⁺<i>^{x y}</i>

²

^⁼⁰

⁽³⁾

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Cách 2:</small>

 = −

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<i>3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<i><small>4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:</small></i>

<i>F x y z</i>=<i>xy</i>−<i>x</i>+ −<i>yz</i>=

<small>Tìm </small><i>z’’_xx, z’’_xy</i> <small>tại </small><i>(x, y) = (1, 0).</i>

<small>(1)Ví dụ</small>

<i>5/ Cho z = z(x, y), thỏa pt:</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>Chú ý</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<i><small>x</small></i> <small>+</small> <i><small>y</small></i> <small>+</small> <i><small>z</small></i> <small>−</small> <i><small>x</small></i> <small>+</small> <i><small>z</small></i> <small>− =</small>

</div>