Đạo hàm - Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Chương V – ĐẠO HÀM
A. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa đạo hàm : cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
.Nếu tồn tại giới hạn
được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0.
Ký hiệu là : f’(Xo) hay y’(Xo)

2.Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên một khoảng (a,b) nếu nó có đạo
hàm tại mỗi điểm x thuộc (a,b)
3. Quan hệ giữa sự liên tục và sự có đạo hàm
f(x) có đạo hàm tại x0 => f(x) liên tục tại x0

( ; ), ( ; )
o o
x a b x x a b∈ + ∆ ∈
0 0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
∆
0
0 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim

o
x x x
f x x f x f x f x
f x
x x x
∆ → →
+ ∆ − −
= =
∆ −
Chương V – ĐẠO HÀM
4 .Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Xét hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và có đạo hàm tại x0
* Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(x0;f(x0)) có hệ số góc k = f’(x0)
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(x0,f(x0)) là :
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
5.Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Ví dụ : Vận tốc tức thời của một chuyển động s = S(t) là : V(t) = S’(t)
....

Chương V – ĐẠO HÀM
B. Các dạng toán
I . Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp : 1. Tính
2. lập tỉ số
3. Tính
Bài tập
Bài 1:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa
a) b) tại

c) với x> 1/2 d)

e) Tại x0 = 0 f)
0 0
( ) ( )y f x x f x
∆ = + ∆ +
y
x
∆
∆
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
2
( ) 2 3 1f x x x= + + ( ) sin( )f x x=
0
6
x
Π
=
2
( ) 2 3 1f x x x= + +
1
( )f x
x
=
1

( )
1 | |
f x
x
=
+
( ) os( )f x c x=
Chương V – ĐẠO HÀM
Giải:
a)
b)
2
0
( 1 ) ( 1) 2( )y y y f x f x x∆ = − = − + ∆ − − = ∆ − ∆
( ) sin( )f x x=
6 6
x x x x
π π
∆ = − ⇔ = + ∆
( ) ( ) sin( ) sin( ) 2cos sin
6 6 6 6 6 2 2
x x
y f x f x
π π π π π
∆ ∆
   
∆ = + ∆ − = + ∆ − = +
 ÷  ÷
   
0

1 1x x x x x x∆ = − = + ⇔ = − + ∆
2
( ) 2 3 1f x x x= + +
2
0 0 0
2( )
'( 1) lim lim lim(2 1) 1
x x x
y x x
f x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ − ∆
− = = = ∆ − = −
∆ ∆
Chương V – ĐẠO HÀM
e)
Ta có

0 0 0
2cos sin 2cos sin
6 2 2 6 2 2
'( ) lim lim lim
6
2
x x x
x x x x
y
f
x

x x
π π
π
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆
       
+ +
 ÷  ÷  ÷  ÷
∆
       
= = =
∆
∆ ∆
0 0
sin
3
2
lim cos lim cos .1
6 2 6 2
2
x x
x
x
x
π π
∆ → ∆ →
∆
 
 ÷
∆

   
 
= + = =
 ÷  ÷
∆
   
1
( )
1 | |
f x
x
=
+
1
1
1
( )
1 | |
x
x
x
x
f x
x
+
−

= =

+


§M
Nếu
Nếu
0x ≥
0x ≤
Chương V – ĐẠO HÀM
Ta có:
Nên
Vậy
c) d) f)


0 0 0
(0 ) (0) 1 1
lim lim lim 1
1 1
x x x
f x f x
x x x x
+ + +
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆
 
= = =
 ÷
∆ ∆ + ∆ + ∆
 
0 0 0
(0 ) (0) 1 1

lim lim lim 1
1 1
x x x
f x f x
x x x x
− − −
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆
 
= = =
 ÷
∆ ∆ − ∆ − ∆
 
0 0
(0 ) (0) (0 ) (0)
lim lim 1
x x
f x f f x f
x x
− −
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −
= =
∆ ∆
0
(0 ) (0)
'(0) lim 1
x
f x f
f

x
−
∆ →
+ ∆ −
⇒ = =
∆
1
'( )
2 1
f x
x
=
−
2
1
'( )f x
x
=
'( ) sin( )f x x= −
Chương V – ĐẠO HÀM
Bài 2:Tính các đạo hàm sau bằng định nghĩa
a)
b) Tại x0=2 ;x0=-2
Hàm số có đạo hàm tại x0=1 không?

c) d)
e) f)
g) h)
i) k)
3

2 2
4x 8 8 4
0
1
( )
1 | |
x
x
f x
x
+ − +


= =

+


§M
Nếu
Nếu
0x ≠
0x =
2
( ) 3| 1|f x x x= + −
( ) 5 7f x x= −
2
( ) 3 4 9f x x x= − +
( ) sin xf x = ( )f x x x= +
Chương V – ĐẠO HÀM

Giải
a)

3
2 2
2
0 0
(0 ) (0) 4 x 8 8 4
'(0) lim lim
x x
f x f x
f
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆ + − ∆ +
= = =
∆ ∆
3
2 2
3
2 2
2 2
0 0
4 x 8 2 2 8 4 1
lim lim ( 4 x 8 2 2 8 4)
x x
x
x
x x
∆ → ∆ →

∆ + − + − ∆ +
= = ∆ + − + − ∆ +
∆ ∆
2 2
2
2
0
3
2 2 2
3
1 4 8
lim
2 8 4
(4 x 8) 2 4 x 8 4
x
x x
x
x
∆ →
 
∆ ∆
 ÷
= −
 ÷
∆
+ ∆ +
∆ + + ∆ + +
 
2
0

3
2 2 2
3
4 8
lim
2 8 4
(4 x 8) 2 4 x 8 4
x
x
∆ →
 
 ÷
= −
 ÷
+ ∆ +
∆ + + ∆ + +
 
1 5
2
3 3
= − = −