lý thuyết về hội tụ biến phân để xấp xỉ trong tối ưu hóa

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<small>ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA</small>

HỒ THỊ THƯ

LÝ THUYẾT VỀ HỘI TỤ BIẾN PHÂN ĐỂXẤP XỈ TRONG TỐI ƯU HÓA

<small>Chuyên ngành: Toán ứng dụngMã số: 8460112</small>

LUẬN VĂN THẠC SĨ

<small>TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2024</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCMCán bộ hướng dẫn khoa học:

TS. Phạm Duy KhánhTS. Huỳnh Thị Hồng Diễm

Cán bộ chấm Phản biện 1: TS. Lê Xuân Đại

Cán bộ chấm Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách khoa, ĐHQGTp. HCM ngày 05 tháng 01 năm 2024.

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:1. Chủ tịch: PGS. TS Nguyễn Đình Huy

2. Thư ký: TS. Phan Thị Hường3. Phản biện 1: TS. Lê Xuân Đại

4. Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn5. Ủy viên: PGS.TS Cao Thanh Tình

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lýchuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS Nguyễn Đình Huy TS. LÊ XUÂN ĐẠI

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: HỒ THỊ THƯ Mã số học viên: 2170960Ngày, tháng, năm sinh: 23/3/1999 Nơi sinh: Quảng NgãiChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/9/2023

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 18/12/2023

V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. Phạm Duy Khánh - TS. Huỳnh Thị HồngDiễm

TP Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 12 năm 2024

TS. PHẠM DUY KHÁNHTS. HUỲNH THỊ HỒNGDIỄM

TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

TS. LÊ XUÂN ĐẠI

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy hướng dẫn TS. PhạmDuy Khánh và Cô hướng dẫn TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm đã nhiệt tìnhhướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.

Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy PGS.TS Nguyễn Đình Huyđã tạo điều kiện, hỗ trợ giúp đỡ tơi hồn thành tốt luận văn.

Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn ở bên cạnh độngviên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gian học tập, nghiêncứu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy, cô trong Bộ mơn Tốn Ứng Dụng,khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa thành phố Hồ ChíMinh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành luận văn.

Cuối cùng, trong q trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của tất cả thầy cô, và các bạnđồng nghiệp.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 12 năm 2023.Tác giả

Hồ Thị Thư

<small>i</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các dạng hội tụ biến phân dạngmới giảm nhẹ của hàm và song hàm. Luận văn trình bày định nghĩa, vídụ, tính chất các dạng hội tụ biến phân của hàm và song hàm. Hội tụbiến phân của song hàm được xét trên miền tổng quát. Bên cạnh đó, luậnvăn nêu chi tiết định hướng ứng dụng vào các bài toán tối ưu rất phổbiến đó là bài tốn tựa cân bằng và bài toán tựa cân bằng Nash.

In this dissertation, we investigate new types of variational convergencein terms of functions and bifunctions . In specific, the dissertation willpresent definitions, examples, and features of all varitational convergence’stypes. The variational convergence of bifunctions is considered in a gen-eral domain. Additionally, the dissertation will also provide detailed di-rections for the application to two widely studied optimization problems,namely the equilibrium and the Nash equilibrium problem.

<small>ii</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Hồ Thị Thư, mã học viên: 2170960, học viên cao học chuyênngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách khoa thành phố Hồ ChíMinh khóa 2021 - 2023. Tơi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quảtham khảo từ các cơng trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các cơngviệc trình bày trong luận văn này là do chính tơi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS. Phạm Duy Khánh và TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm và tơi hồntồn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 12 năm 2023Học viên thực hiện

Hồ Thị Thư

<small>iii</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Mục lục

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU vii

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian metric . . . . 2

2.1.2 Tính chất của hội tụ epi . . . . 12

2.2 Hội tụ hypo và các tính chất hội tụ hypo . . . . 20

2.2.1 Hội tụ hypo . . . . 20

2.2.2 Tính chất hội tụ hypo . . . . 21

2.3 So sánh hội tụ epi với các loại hội tụ khác . . . . 21

Chương 3. HỘI TỤ EPI/HYPO 253.1 Các loại hội tụ epi/hypo . . . . 25

<small>iv</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

3.2 Tiêu chuẩn của hội tụ epi/hypo . . . . 293.3 Tính chất biến phân của hội tụ epi/hypo . . . . 31

Chương 4. HỘI TỤ LOP 434.1 Hội tụ Lop . . . . 434.2 Tiêu chuẩn của hội tụ lop . . . . 464.3 Tính chất biến phân của hội tụ lop . . . . 50

Chương 5. ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU 545.1 Bài toán tựa cân bằng và bài toán tựa cân bằng Mạnh . . . 545.2 Hội tụ của bài toán tựa cân bằng xấp xỉ Nash . . . . 55

<small>v</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

N Tập các số tự nhiênR Tập số thực

epif Trên đồ thị của hàm f

hypof Dưới đồ thị của hàm f

gphf Đồ thị của hàm f

domf Miền xác định của hàm fB(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính rA<small>n</small>

<small>P −K</small>

−→ A Dãy A<small>n</small> hội tụ Painlevé-Kuratowski đến Af^k −→ f^e Dãy {f<small>k</small>}_k hội tụ epi đến hàm f

f^k −→ f^h Dãy {f<small>k</small>}_k hội tụ hypo đến hàm f

fv-biv(_Rⁿ×_R<small>m</small>) Lớp các song hàm có giá trị hữu hạn trên khơng gian tích Rⁿ×_R<small>m</small>

biv(_Rⁿ ×_R<small>m</small>) Lớp các song hàm xác định trên khơng gian tích Rⁿ ×_R<small>m</small>Φ^{k e/h}−→ Φ Dãy Φ^k hội tụ epi/hypo đến Φ

Ls LimsupLi Liminf

elif Giới hạn epi dưới của hàm f<small>vi</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

elsf Giới hạn epi trên của hàm f

e/h-liΦ Giới hạn epi/hypo dưới của song hàm Φ

e/h-lsΦ Giới hạn epi/hypo trên của song hàm Φsup A Cận trên đúng của tập số thực A

inf A Cận dưới đúng của tập số thực A

argminf Tập các điểm cực tiểu của hàm f

argmaxf Tập các điểm cực đại của hàm f

<small>vii</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

LỜI MỞ ĐẦU

Hội tụ biến phân là cơng cụ rất mạnh cho xấp xỉ tồn cục trong lĩnhvực tối ưu. Vấn đề xấp xỉ là vấn đề quan trọng trong tốn học. Xấp xỉ địaphương có rất nhiều kết quả sâu sắc, dựa vào nhiều khái niệm khác nhaucủa tiệm cận và đạo hàm, hướng này chúng ta có thể tham khảo sách của([7], [10], [23], [24]). Những nghiên cứu về xấp xỉ toàn cục của bài toántối ưu theo hướng dùng hội tụ biến phân. “Hội tụ biến phân” là thuậtngữ chung cho những dạng hội tụ (khơng có một định nghĩa chính xác)của dãy hàm hoặc song hàm, là hội tụ mà bảo toàn tính chất biến phân.Việc bảo tồn tính chất này được áp dụng vào xấp xỉ cho bài toán tốiưu để nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm của bài toán gốc. Hướng nghiêncứu này đã được phát triển hơn nửa thế kỷ nay. Hội tụ epi cho hàm đượcgiới thiệu trong tài liệu ([27], [29]) và hội tụ epi/hypo được viết tắt làe/h (bắt đầu ở ([3])) và hội tụ lopside (một phía) được viết tắt là hội tụlop cho song hàm (được đề xuất trong ([4])) là những dạng hội tụ biếnphân cơ bản. Có một vài dạng hội tụ mạnh hơn như là hội tụ đồ thị, hộitụ liên tục cũng bảo tồn tính chất biến phân, nhưng điều kiện để thỏacác loại hội tụ này rất nặng và khó để thỏa mãn. Trong suốt thời gianđầu hàm và song hàm giá trị thực mở rộng xác định trên tồn khơnggian được quan tâm và được đóng góp với các bài báo xem ([2]) và sách([7], [24]) cũng như một vài bài báo quan trọng ([4], [5], [30]). Từ bài báo([18], [19]) vào năm 2009, việc nghiên cứu thay đổi song hàm giá trị hữuhạn tích hai tập con của hai không gian (thường gọi là miền chữ nhật).Lý do cho việc thay đổi này được giải thích rất rõ trong ([18], [20]). Đồngthời xem ([13], [17], [22]) cho nhiều dạng ứng dụng khác. Những nghiêncứu gần đây ([13], [25], [26]) xét hội tụ e/h, hội tụ lop cho song hàm trên

<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

miền tổng quát trong khơng gian tích (trường hợp này gọi là miền khôngchữ nhật). Động cơ cho việc nghiên cứu trên miền khơng chữ nhật là chobài tốn tựa biến phân với u cầu của bài tốn, vì trong miền ràng buộcbiến thứ hai phụ thuộc vào biến thứ nhất. Chúng ta có thể thấy nhữngtrường hợp áp dụng vào cho bài toán thực tế như bài toán tựa cân bằngNash, hoặc bài tốn mạng giao thơng. Với sự đóng góp của những cơngtrình tham khảo, luận văn xin trình bày về ba loại hội tụ epi, epi/hypo,hội tụ lop bên trong, yếu, và bên trong yếu; bên cạnh đó có đưa ra nhữngví dụ phân tích và so sánh. Tiếp theo, luận văn cũng xét các tính chấtcủa các loại hội tụ đã nêu được trình bày ở chương 2, 3, 4. Để trọn vẹnnội dung của luận văn, ở chương cuối, chương 5 luận văn cũng đã trìnhbày định hướng ứng dụng của chuỗi lý thuyết về loại hội tụ biến phânmới đưa ra ở các chương trước, xem như phần kết luận và định hướngphát triển nghiên cứu cho hướng xấp xỉ toàn cục theo nghĩa dùng hội tụbiến phân.

<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và các kiếnthức cần thiết về giải tích biến phân, giải tích đa trị và giải tích lồi. Nộidung của chương này chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu ([21], [16]).

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. (Không gian metric)

Cho tập X ̸= _{∅. Một ánh xạ} d : X × X → _{R được gọi là một metric}

trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

∀x, y, z ∈ X:(i) d(x, y) ≥ 0

d(x, y) = 0 ⇔ x = y.(ii) d(x, y) = d(y, x).

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x) (bất đẳng thức tam giác).

Nếu d là metric trên X thì (X, d) là một khơng gian metric.Nếu d là metric trên X thì ta có tính chất sau:

|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v)

Ví dụ 1.1.1. Ánh xạ d : _R^m ×_R<small>m</small> → _{R, định bởi:}d(x, y) = ^hP<small>m</small>

<small>i=1</small>(x_i − y_i)²ⁱ

, x = (x₁, x₂, ..., x_m) , y = (y₁, y₂, ..., y_m)<small>2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

là một metric trên R^m, gọi là metric thông thường trên R^m.

Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| . Trên R^m ta cũng có các metric khácnhư:

d<small>1</small>(x, y) = P<small>m</small>

<small>i=1</small>|x_i − y_i|d₂(x, y) = max

<small>1≤i≤m</small>|x_i − y_i|

Ví dụ 1.1.2. Ký hiệu C_[a,b] là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tụctrên [a, b]. Ánh xạ

d(x, y) = sup<small>a≤t≤b</small>

|x (t) − y (t)| , x, y ∈ C_[a,b]

là metric trên C_[a,b] được gọi là metric hội tụ đều.

Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian metric)

Cho khơng gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {x_n} ⊂ X hội tụ (hộitụ theo metric d) về phần tử x ∈ X nếu lim

<small>n→∞</small>d (x_n, x) = 0. Khi đó taviết:

<small>n→∞</small>x_n = x trong (X, d)x_n → x^d

Mệnh đề 1.1.1. (i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

(ii) Nếu dãy (x_n) hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.(iii) Nếu lim

<small>n→∞</small>x_n = x, lim

<small>n→∞</small>y_n = y thì lim

<small>n→∞</small>d (x_n, y_n) = d (x, y).Ví dụ 1.1.3. Trong R^m , ta xét metric thông thường .

Xét phần tử a = (a₁, a₂, ..., a_m) và dãy {x<small>n</small>} với xⁿ = (xⁿ₁, xⁿ₂, ..., xⁿ_m). Tacó

<small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

{x<small>k</small>}_k, kí hiệu là

lim_m→+∞y^m := limsup_k→+∞x^k, lim_m→+∞z^m := liminf_k→+∞x^k.

Nếu dãy {x<small>k</small>}_k khơng bị chặn trên thì ta viết limsup_k→+∞x^k = +∞,

khơng bị chặn dưới thì liminf_k→+∞x^k = −∞.

Mệnh đề 1.2.2. Cho các dãy số {x<small>k</small>}_k và {y<small>k</small>}_k. Khi đó,

(i) inf{x^k | k ≥ 0} ≤ liminf_k→+∞x^k ≤ limsup_k→+∞x^k ≤ sup{x<small>k</small> | k ≥0}.

(ii) Dãy {x<small>k</small>}_k hội tụ nếu và chỉ nếu

liminf<small>k→+∞</small>x^k = limsup_k→+∞x^k ∈ _R.

(iii) Nếu x^k ≤ y<small>k</small> với mọi k thì

liminf_k→+∞x^k ≤ liminf_k→+∞y^k; limsup_k→+∞x^k ≤ limsup_k→+∞y^k.

(iv) liminf_k→+∞x^k + liminf_k→+∞y^k ≤ liminf_k→+∞(x^k + y^k);

limsup_k→+∞x^k+ limsup_k→+∞y^k ≥ limsup_k→+∞(x^k + y^k).

<small>4</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

1.3 Sự hội tụ của dãy tập

Tập hợp các số thực kí hiệu là R, tập R^¯ := _R∪ {+∞} được gọi là tậpsố thực mở rộng. Tập A ⊂ ¯_{R gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn}

tại M ∈ _{R để} M ≥ a với mọi a ∈ A (M ≤ a với mọi a ∈ A, tương ứng).Trong trường hợp ngược lại, ta nói A khơng bị chặn trên (khơng bị chặndưới). Tập A được gọi là bị chặn nếu A bị chặn trên và bị chặn dưới.Định nghĩa 1.3.1. Cho A ⊂ _{R, cận trên đúng (nhỏ nhất) của} A đượckí hiệu là sup A, tức là

x = sup A ⇔ x ≥ a, ∀a ∈ A và ∀y ≥ a, với a ∈ A, ta có y ≥ x.

Nếu x = sup A ∈ A thì ta nói rằng x là giá trị lớn nhất (cực đại) của A,kí hiệu là x := max A. Nếu tập A không bị chặn trên thì sup A := +∞.

Tương tự, cận dưới đúng (lớn nhất) của A được kí hiệu là inf A, tức là

x = inf A ⇔ x ≤ a, ∀a ∈ A và ∀y ≤ a, ∀a ∈ A, ta có y ≤ x.

Nếu x = inf A ∈ A thì ta nói rằng x là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của A,kí hiệu là x := min A. Nếu tập A khơng bị chặn dưới thì inf A := −∞.

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử X là khơng gian metric và {A<small>k</small>}_k ⊂ X. Khiđó, giới hạn trên của dãy tập {A<small>k</small>}_k được xác định bởi công thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

KhiLim_kA^k tồn tại và bằngA, ta nói rằngA^k hội tụ Painlevé-Kuratowskiđến A và kí hiệu là A = Lim_kA^k hoặc A^{k P −K}→ A.

Sau đây ta thường dùng các viết tắt li<small>k</small>, ls<small>k</small>, Li<small>k</small> và Ls<small>k</small> thay cho

liminf_k→+∞, limsup_k→+∞, Liminf_k→+∞ và Limsup_k→+∞.

Mệnh đề 1.3.3. (theo bài báo [1])

(i) Li_kA^k ⊂Ls_kA^k.

(ii) Giới hạn trên và giới hạn dưới đều là các tập đóng.

(iii) Giới hạn trên của dãy tập {A<small>k</small>}_k và dãy tập {clA<small>k</small>}_k là như nhau.Tương tự cho giới hạn dưới.

(iv) Nếu A^k là dãy giảm, tức là A^k ⊂ A<small>l</small> khi l < k, luôn tồn tại giới hạn

Lim_kA^k và ta có

Lim_kA^k = ^\<small>k>0</small>

λa + (1 − λ)b ∈ A với mọi a, b ∈ A và λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.4.3. Cho{x_i}^m_i=1 là một tập gồm hữu hạn các điểm trongkhông gian định chuẩn X. Một tổ hợp lồi của {x_i}^m_i=1 là một điểm códạng

λ_ix_i, λ_i ≥ 0,<small>m</small>

λ_i = 1.<small>6</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Mệnh đề 1.4.1. Tập con A của không gian định chuẩn X là lồi nếu vàchỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử nằm trong nó.

Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên.

Để chứng minh điều kiện cần, ta dùng phương pháp quy nạp để chỉ rarằng bất kỳ tổ hợp lồi x = P<small>m</small>

<small>i=1</small>λ_iw_i trong A cũng là một phần tử của

A. Theo định ngh¯ıa điều này đúng với m = 1, 2. Cố định một số nguyêndương m ≥ 2 và giả sử rằng mỗi tổ hợp lồi của k ∈ _{N phần tử trong} A,trong đó k ≤ m, đều thuộc vào A. Xét tổ hợp lồi có dạng

y :=<small>m+1</small>

λ_i = 1, λ_i ≥ 0.

Nếu λ<small>m+1</small> = 1 thì λ<small>1</small> = λ<small>2</small> = . . . = λ<small>m</small> = 0, do đó y = ω<small>m+1</small> ∈ A.Trong trường hợp λ_m+1 < 1 ta có thể biểu diễn

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Định nghĩa 1.4.4. Cho f : A → _R = _R∪ {+∞}. Khi đó, hàm f đượcgọi là lồi trên A nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) với mọi x, y ∈ A và λ ∈ [0, 1].(1.1)

Ví dụ 1.4.2. Chứng minh f (x) = |x| là một hàm lồi.Với mọi x<small>1</small>, x<small>2</small> ∈ _{R và} λ ∈ [0, 1], ta có:

f ((1 − λ)x₁ + λx₂) = |(1 − λ)x₁ + λx₂|≤ |(1 − λ)x₁| + |λx₂|= (1 − λ) |x₁| + λ |x₂|= (1 − λ)f (x₁) + λf (x₂) .

Vì vậy, f là hàm lồi.

1.5 Hàm một thành phần

Định nghĩa 1.5.1. Cho X, Y là hai không gian metric. Ánh xạ D đi từ

X vào tập hợp các tập con của Y, kí hiệu là D : X ⇒ Y, được gọi làánh xạ (toán tử) đa trị. Nếu tập D(x) chỉ gồm đúng một phần tử thuộc

Y với mọi x ∈ X thì ta nói D là ánh xạ đơn trị và kí hiệu như thơngthường là D : X → Y.

Lớp những hàm một thành phần f : X → ¯_R := _R∪ {+∞} có giá trịthực mở rộng xác định trên Rⁿ được kí hiệu là fcn(_Rⁿ). Lớp những hàmmột thành phần f : A → _{R có giá trị thực hữu hạn xác định trên tập}

khác rỗng A ⊂_Rⁿ được kí hiệu là fv-fcn(_Rⁿ).Ta có các kí hiệu sau cho hàm f :_Rⁿ → ¯_R:

arg min

<small>A</small> f (x) :=



</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

f (x)} nếu sup<small>A</small>

(b) Trên đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả những điểm thuộc X ×_R

nằm trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif, tức là tập sau đây

epif := {(x, α) ∈ X ×_R | f (x) ≤ α}.

(c) Dưới đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả những điểm thuộc X ×_R

nằm dưới đồ thị của hàm f, kí hiệu là hypof, tức là tập sau đây

hypof := {(x, α) ∈ X ×_R | f (x) ≥ α}.

(d) Đồ thị của hàm f, kí hiệu là gphf, được xác định như sau

gphf := {(x, α) ∈ X ×_R | f (x) = α}.

Định nghĩa 1.5.3. Cho hàm f : X → ¯_{R, giới hạn trên và giới hạn dưới}

của hàm f khi x → ¯x lần lượt được xác định như sau

li_x→¯_x := lim<small>δ↘0</small>

f (x)

= inf<small>δ>0</small>

f (x)

<small>9</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Chương 2

HỘI TỤ EPI

Trong chương này chúng tơi trình bày sự hội tụ biến phân của hàmmột thành phần trong fv-fcn(X), bao gồm hội tụ epi, hội tụ hypo và mộtsố loại hội tụ cổ điển quan trọng. Bên cạnh việc nhắc lại một số kháiniệm đã biết, chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa các loại hội tụ này vềcả giải tích và hình học. Từ nay về sau , nếu khơng có chỉ định gì khácthì ta ln giả sử rằng X là khơng gian metric, A^k, A ⊂ X là tập khácrỗng, φ^k, φ : X → _R ∪ {+∞} , φ<small>k</small> và φ hữu hạn trên A^k và A. Ta nóirằng φ^k và φ xác định trên toàn bộ A^k và A và được viết φ^k : A^k → _R

và φ : A → _{R. Ta thường kí hiệu} φ^k, φ ∈ fv-fcn(X) có nghĩa là hàm xácđịnh hữu hạn trên tập X đang được xét.

2.1 Hội tụ epi và các tính chất biến phân

<small>2.1.1Hội tụ epi</small>

Định nghĩa 2.1.1. (Hội tụ epi)

φ^k được gọi là hội tụ epi đến φ, kí hiệu là φ^k → φ^e hoặc φ =e-lim_kφ^k,nếu thỏa hai điều kiện sau:

(a) Với mọi dãy con x^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> → x, li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≥ φ(x) nếu x ∈ A và

φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>→ +∞ nếu x /∈ A;

(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x^k ∈ A<small>k</small> → x sao cho ls_kφ^k x^k≤ φ(x).

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Ví dụ 2.1.1. Xét dãy hàm ^φ^k : [0, ∞) → _R_k xác định như sau:

φ^k(x) =

−k<small>2</small>x nếu 0 ≤ x < k⁻¹,k²x − 2k nếu k⁻¹ ≤ x < 2k<small>−1</small>,0 nếu x ≥ 2k⁻¹,

và hàm φ : [0, ∞) → _{R xác định bởi}

φ(x) =

0 nếu 0 < x < +∞,−∞ nếu x = 0.

Kiểm tra trực tiếp cho thấy epiφ^{k P −K}−→epiφ. Do đó, φ^k −→ φ.^e

Định nghĩa 2.1.2. (Hội tụ epi-trong)

φ^k được gọi là hội tụ epi-trong đến φ, kí hiệu là φ^{k i−e}→ φ hoặc φ =lim_kφ^k, nếu thỏa hai điều kiện sau:

i-e-(a) Với mọi dãy con x^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> → x, li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≥ φ(x) nếu x ∈ A;(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x^k ∈ A<small>k</small> → x sao cho ls_kφ^k x^k≤ φ(x).Định nghĩa 2.1.3. (Hội tụ epi-yếu)

φ^k được gọi là hội tụ epi-yếu đến φ, kí hiệu là φ^{k w−e}→ φ hoặc φ =lim_kφ^k, nếu thỏa hai điều kiện sau:

w-e-(a) Với mọi dãy con x^k ∈ A<small>k</small> → x, li_kφ^k x^k ≥ φ(x) nếu x ∈ A và

φ^k x^k → +∞ nếu x /∈ A;

(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x^k ∈ A<small>k</small> → x sao cho ls_kφ^k x^k≤ φ(x).Định nghĩa 2.1.4. (Hội tụ epi-trong-yếu)

φ^k được gọi là hội tụ epi-trong-yếu đến φ, kí hiệu là φ^{k w−i−e}−→ φ hoặc

φ =w-i-e-lim_kφ^k, nếu thỏa hai điều kiện sau:

(a) Với mọi dãy x^k ∈ A<small>k</small> → x, li_kφ^k x^k ≥ φ(x) nếu x ∈ A;

(b) Với mọi x ∈ A, tồn tại x^k ∈ A<small>k</small> → x sao cho ls_kφ^k x^k≤ φ(x).

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Bên cạnh hội tụ epi, có ba khái niệm yếu khác được giới thiệu cho ứngdụng xấp xỉ tối ưu các bài tốn liên quan, vì mỗi khái niệm đều bổ íchtrong các trường hợp cụ thể với giả thiết dẫn đạt đến cực tiểu. Các địnhnghĩa trên cũng như các kết quả sau đó vẫn cịn đúng trong trường hợp

A^k = A = X với mọi k và R được thay thế bởi R ∪ {+∞}. Tập biểudiễn argmin_Aφ := {x ∈ A|φ(x) = inf_Aφ}. Cho ε ≥ 0, ¯x_ε ∈ A được gọi làđiểm ε nhỏ nhất nếu φ(¯x_ε) ≤ inf_Aφ + ε, kí hiệu bởi x ∈ ε¯ -argmin_Aφ.

<small>2.1.2Tính chất của hội tụ epi</small>

Mệnh đề 2.1.1. (Tính chất cơ bản của hội tụ epi)

(a) Nếu φ^{k w−i−e}−→ φ thì ls_k inf_A<small>k</small>φ^k ≤ inf_Aφ.

(b) Nếuφ^k → φ^e thì với bất kỳε, ε^k ≥ 0vàε^k → ε, Lim_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k) ⊂ε-argmin_Aφ.

(c) Nếu φ^{k w−e}→ φ, ε<small>k</small> → 0<small>+</small>, khi đó tồn tại x^k ∈ argmin_A<small>k</small>φ^k hội tụ về x

thì x ∈ argmin_Aφ và lim_k inf_A<small>k</small>φ^k = inf_Aφ.

Chứng minh. (a) Giả sử ^x^k_k ⊂ A là dãy inf của φ với φ x^k →inf_Aφ.Theo điều kiện (b) của hội tụ epi-yếu-trong

Với mọi k tồn tạix^k<small>j</small>

<small>j</small> ∈ A<small>j</small> → x<small>k</small> sao cho ls_jφ^j x^k_j ≤ φ x<small>k</small>
. Khi đó,với mọi giá trị k, ls_j inf_A<small>j</small>φ^j ≤ ls_jφ^j x^k_j ≤ φ x<small>k</small>
. Cho k → +∞

khi đó ls_j inf_A<small>j</small>φ^j ≤ inf_Aφ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>Tốn ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

ls_kφ^k x^k≤ ls_k inf_A<small>k</small>φ^k + ε^k ≤ inf_Aφ < +∞.Do đó, x ∈ A do điều kiện (a) của hội tụ epi-yếu của φ^k.

Hơn nữa, với mọi dãy con φ^k<small>j</small>, φ(x) ≤ li_kφ^k x^k ≤ li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≤

ls_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≥ ls_kφ^k x^k ≤ ls_k inf_A<small>k</small>φ^k + ε^k≤ inf_Aφ.Vì vậy, x ∈ argmin_Aφ và

φ(x) ≤li_kφ^k x^k≤li_k inf_A<small>k</small>φ^k + ε^k ≤inf_Aφ,nghĩa là lim_k inf_A<small>k</small>φ^k
= inf_Aφ.

Từ những điều trên ta kết luận rằng, lim_k inf_A<small>k</small>φ^k
= inf<small>A</small>φ.

Ví dụ 2.1.2. (Khơng thỏa hội tụ epi cịn một vài hội tụ khác thì thỏa)

(a) (Khơng thỏa hội tụ epi, nhưng ba dạng yếu hơn thì thỏa)

Cho A^k bằng {0, 1} với k lẻ và {0} với k chẵn, A = {0} , φ^k(x) = 0

với mọi k ∈ _{N và} x ∈ A^k và φ(x) = 0 với x ∈ A. Khi đó, φ^k khơnghội tụ epi vềφ. Ta có,ε^k → 0<small>+</small>, Ls_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>ε^k) khơng chứa trongargmin_Aφ bởi vì argmin_Aφ = {0}, nhưng

ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k =

{0, 1} nếu k là số lẻ;{0} nếu k là số chẵn.

Ví dụ này minh họa Mệnh đề 2.1.1 (a), (c) cho hai loại hội tụ epiyếu hơn. Chứng minh được kết quả tương tự lim_k inf_A<small>k</small>φ^k = 0 =

inf_Aφ; cho ε^k ≡ 0, 0 ∈ ε<small>k</small>-argmin_A<small>k</small>φ^k dần về 0 ∈ argmin_Aφ.(b) (Không thỏa hội tụ-epi-yếu nhưng thỏa hội tụ-epi-trong)

Cho α ∈ (0, 2), φ : [α, 2] → _R, φ^k : [0, 2] → _{R được xác định}φ(x) ≡ 0, và

φ^k(x) =

−k<small>2</small>x + k với 0 ≤ x ≤ k⁻¹;(2k − 1)⁻¹ x − k⁻¹ vớik⁻¹ ≤ x ≤ 2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Khi đó, φ^k khơng hội tụ epi-yếu đến φ vì β ∈ (0, α) (nằm ngồi miềncủa φ) và x^k ∈ A^k → β, li_kφ^k x^k = 0 không phải +∞ như yêucầu (a) của hội tụ epi-yếu. Tuy nhiên, φ^k hội tụ epi-trong với tất cả

Chứng minh. Từ Ls_kepiφ^k ⊂epiφvới mọix^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> với x^k<small>j</small>, φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small><sup>

</sup> →(x, α) , x ∈ A và α ≥ φ(x) (x ∈ A và li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>≥ φ(x)) hoặc x /∈ A và

α = +∞. Khi đó, (a) thỏa mãn.

Ngược lại, từ (a), x^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> → x ∈ A và li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> = α thỏa α ≥ φ(x).Khi đó, nếu x^k<small>j</small>, φ^k<small>j</small> ∈ epiφ^k<small>j</small> → (x, α^′), khi đó, α^′ ≥ α ≥ φ(x) khi

x ∈ A và x^k<small>j</small>, α^k<small>j</small>→ (x, +∞) khi x /∈ A. Vì vậy, Ls_kepiφ^k ⊂ epiφ.Xét (b) epiφ ⊂ Li_kepiφ^k có nghĩa là với mọi (x, α) ∈ epiφ, tồn tại

x^k, α^k ∈ epiφ^k → (x, α). Đặc biệt, với (x, φ(x)), tồn tại x^k, α^k →(x, φ(x)) với φ^k x^k≤ α<small>k</small> với mọi k.

Khi đó, ls_kφ^k x^k ≤ ls_kα^k = φ(x). Ngược lại, với mọi (x, α) ∈ epiφ với

x ∈ A, ý (b) cho thấy rằng α ≥ φ(x) ≥ ls_kφ^k x^k
với mỗi x^k ∈ A<small>k</small> → x.Ta lấy α^k ≥ φ<small>k</small> x^k
như vậy α^k → α.

Khi đó, x^k, α^k ∈epiφ^k → (x, α). Nếu(x, α) ∈epiφ = epiζφvớix /∈ A,khi đó α = +∞. Ta lấy tùy ý x^k, +∞∈ epiζφ^k = epiφ^k → (x, α).Vì vậy, epiφ ⊂ Li_kepiφ^k.

Định nghĩa 2.1.5. (Tính chặt của hội tụ epi)

(i) ^φ^k được gọi là hội tụ epi-chặt đến φ, nếu và chỉ nếu φ^k hội tụ epi

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B_ε và chỉ số trên k_ε

thỏa với mọi k ≥ k_ε,

inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ inf_A<small>k</small>φ^k+ ε

(ii) ^φ^k được gọi là hội tụ epi-trong-chặt đến φ, nếu φ^k hội tụ epi-trongđến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B_ε và chỉ số trên k_ε

thỏa với mọi k ≥ k_ε,

inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ inf_A<small>k</small>φ^k+ ε

(iii) ^φ^k được gọi là hội tụ epi-yếu-chặt đến φ, nếu φ^k hội tụ epi-yếuđến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B<small>ε</small> và chỉ số trên k<small>ε</small>

thỏa với mọi k ≥ k_ε,

inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ inf_A<small>k</small>φ^k+ ε

(iv) ^φ^k được gọi là hội tụ epi-trong-yếu-chặt đến φ, nếu φ^k hội tụ trong-yếu đến φ và với mọi ε > 0, tồn tại tập compact B_ε và chỉ sốtrên k_ε thỏa với mọi k ≥ k_ε,

epi-inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ inf_A<small>k</small>φ^k+ ε

Mệnh đề 2.1.3. (Tính chất biến phân với điều kiện hội tụ chặt)

(a) Nếuφ^k hội tụ epi-chặt đếnφ, khi đó inf_Aφ > −∞và inf_A<small>k</small>φ^k →inf_Aφ.Nếuφ^k hội tụ epi-yếu hay hội tụ epi đếnφ, inf_Aφ > −∞và inf_A<small>k</small>φ^k →

inf_Aφ, khi đó hội tụ có tính chặt.

(b) Nếuφ^k → φ^e chặt thì với mọiε > 0, argmin_Aφ ⊂Li_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k).(c) Choφ^k hội tụ epi đếnφ. Nếu tồn tạiε^k → 0<small>+</small> sao cho ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k

hội tụ Painlevé-Kuratowski đến argmin_Aφ, khi đó hội tụ epi là chặt.Ngược lại, nếu φ^k → φ^e chặt, thì tồn tại ε^k → 0<small>+</small> sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

với mọi dãy con ^x^k<small>j</small>

<small>j</small> và x ∈ B. Trong điều kiện (a) hội tụ epi,li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≥ φ(x) ∈ _{R hoặc là} φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> → +∞, mâu thuẫn với

φ^k x^k → −∞. Do đó, inf_Aφ > −∞.

Chúng ta chứng minh rằng với mọi ε > 0 và B_ε được cho bởi tínhchặt, ^inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k|k ∈ _N ngoại trừ trường hợp k hữu hạn, bị giớihạn bởi −∞, mâu thuẫn.

Giả sử với mọi r > 0, ta tìm dãy con {k_j}_j sao cho inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k < −r

với mọi j. Khi đó, tồn tại x^k<small>j</small> ∈ B_ε ∩ A<small>kj</small> sao cho φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> < −r vớimọi j. B_ε là tập compact, khi đó tồn tại điểm tụ x¯ của ^x^k<small>j</small>

<small>j</small>. Dođó, φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
khơng dần về +∞, bởi ý (a) của hội tụ epi,x¯phải nằmtrong A và li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> ≥ φ (¯x) ≥ inf_Aφ, điều này là mâu thuẫn. Khiđó, giới hạn −∞ của ^inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k|k ∈ _N là thỏa mãn. Giới hạn nàycho thấy x^k ∈ ε-argmin_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k với mọi k. Cho x¯ là điểm tụ trong

B_ε của ^x^k_k. Theo ý (a) hội tụ epi φ (¯x) ≤ li_kφk_j x^k
. Khi đó,argmin_Aφ =Li_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k)

inf_Aφ − ε ≤ φ (¯x) − ε ≤ li_kφ x^k− ε ≤ li_kinf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k.Mặc khác, theo Mệnh đề 2.1.1(a)

li_kinf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ li_kinf_A<small>k</small>φ^k + ε ≤ ls_kinf_A<small>k</small>φ^k + ε ≤ inf_Aφ + ε ≤ +∞.

ε tuỳ ý và đảm bảo các bất đẳng thức trên luôn đúng và vì vậyinf_A<small>k</small>φ^k → inf_Aφ.

Bây giờ, ta chứng minh khẳng định thứ hai cho trường hợp hội tụ epi

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

yếu, trong các trường hợp khác là tương tự. Với ε > 0, tồn tại x ∈ A

sao cho φ(x) < inf_Aφ + ε/3 và theo giả thiết, inf_Aφ ≤ inf_A<small>k</small>φ^k+ ε/3

với mọik. Theo điều kiện (b) của hội tụ epi yếu, tồn tạix^k ∈ A<small>k</small> → x

sao cho φ^k x^k≤ φ(x) + ε/3 với mọi k. Hơn nữa, ta có tập compact

B_ε ⊂ X chứa ^x^k_k. Khi đó với k đủ lớn,

inf_B_ε_∩A<small>k</small>φ^k ≤ φ<small>k</small> x^k ≤ inf_A<small>k</small>φ^k + ε.Vì vậy, hội tụ epi-yếu có tính chặt.

(b) Theo điều kiện (b) của hội tụ epi, với x ∈ argminφ, tồn tại x^k ∈A^k → x sao cho ls_kφ^k x^k ≤ φ(x) và vì vậy ta tìm k₁ sao cho

φ^k x^k ≤ φ(x) + ε/2 với mọi giá trị k ≥ k₁. Theo ý (a) ở trên cho

k₂ ≥ k₁ thỏa mãn inf_Aφ ≤ inf_A<small>k</small>φ^k + ε/2 với mọi giá trị k ≥ k₂.Vì vậy với mọi giá trị k ≥ k₂,

φ^k x^k ≤ φ(x) + ε/2 = inf_Aφ + ε/2 ≤ inf_A<small>k</small>φ^k + ε,nghĩa là, x ∈ Li_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k).

(c) Cho x ∈ argmin_Aφ, theo giả thiết tồn tại x^k ∈ ε<small>k</small>-argmin_A<small>k</small>φ^k → x.Điều kiện (a) của hội tụ epi cho thấy

inf_Aφ = φ(x) ≤ li_kφ x^k ≤ li_k inf_A<small>k</small>φ^k+ ε^k = li_k inf_A<small>k</small>φ^k
.Do đó, inf_A<small>k</small>φ^k → inf_Aφ. Kết quả là, khẳng định (a) cho ta thấy hộitụ epi có tính chặt .

Cho x ∈ argminφ và ε^j → 0<small>+</small>. Theo ý (b) ở trên, tồn tại

x^k_j ∈ ε<small>j</small>−argmin_A<small>k</small>φ^k dần về x với j cố định. Ta có x^k_j(k) ∈ ε<small>j(k)</small>

-argmin_A<small>k</small>φ^k dần về x. Ta đặt x^k := x^k_j(k) và ε^k := ε^j(k) thì x^k ∈ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k và x ∈ Li_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k). Khi đó, argmin_Aφ =

Lim_k(ε^k-argmin_A<small>k</small>φ^k).

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Định nghĩa 2.1.6. (Các loại giới hạn của hội tụ epi trên và dưới)Cho φ^k ∈ fv-fcn(_Rⁿ).

(a) Giới hạn hội tụ epi dưới của ^φ^k_k tại x là eliφ^k(x)

eli φ^k(x) := inf_{x<small>kj∈A</small>^kj<small>→x}</small>li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
,

trong đó kí hiệu {x^k<small>j</small> ∈ A^k<small>j</small> → x} có nghĩa là chúng ta quan tâm đếncác dãy con {k_j}_j sao cho x^k<small>j</small> → x.

Giới hạn hội tụ epi trên của^φ^k_ktạixlà elsφ^k(x) := inf_{x_kj_∈A<small>kj→x}</small>ls_jφ^kj x^kj

(b) Nếu trong điều kiện (a) ta chỉ giới hạn x ∈ A, thì ta đạt được kháiniệm yếu hơn có ở phía trong và "i-" là kí hiệu cho khái niệm phíatrong.

(c) Nếu^x^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> → x trong (a), (b) được thay thế bởi x^k ∈ A<small>k</small> → x,thì ta có hội tụ yếu hơn và kí hiệu tương ứng là "w" hoặc "w-i".

Ví dụ 2.1.3. (Giới hạn hội tụ epi trên và dưới) Ta sử dụng lại hàm φ^k

và φ trong Ví dụ 2.1.2(a) để xét giới hạn epi trên và dưới:eliφ^k(0) =inf _{x_kj_∈A_kj_→0}li_jφ^k<small>j</small>(x^k<small>j</small>) = 0,

elsφ^k(0) =inf _{x_kj_∈A_kj_→0}ls_jφ^k<small>j</small>(x^k<small>j</small>) = 0,eliφ^k(1) = inf_{x_kj_∈A_kj_→1}li_jφ^k<small>j</small>(x^k<small>j</small>) = 0,elsφ^k(1) = inf_{x<small>kj∈A</small>^kj<small>→1}</small>ls_jφ^k<small>j</small>(x^k<small>j</small>) = 0.

Hơn nữa ta có: eliφ^k(0) = inf_{x<small>k∈Ak→0}</small>li_kφ^k(x^k) = +∞, w-elsφ^k(0) =w − eliφ^k(1) = w − elsφ^k(1) = +∞. Với mọi x ∈ _R\{0, 1}, tập {x<small>k</small>_j ∈A^k<small>j</small> → x} là tập rỗng và khi đó, mọi giá trị liên quan đến 0 hoặc 1 đượcthay bởi x là +∞.

Mệnh đề 2.1.4. (Đặc tính của các dạng hội tụ epi)

(a) eliφ^k(x) =min{<small>x</small>^kj<small>∈A</small>^kj<small>→x</small>} ^li<small>j</small>φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
và

elsφ^k(x) =min{<small>x</small>^kj<small>∈A</small>^kj<small>→x</small>}^ls<small>j</small>φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
với x ∈ X.

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Các tính chất chất của ba loại hội tụ epi là tương tự nhau, được thaythế bởi inf trong định nghĩa thành min.

(b) φ^k → φ^e nếu và chỉ nếu eliφ^k(x) = elsφ^k(x) = φ(x) với x ∈ A vàeliφ^k(x) = +∞ với x /∈ A.

Đặc trưng của ba loại của hội tụ epi là eliφ^k và elsφ^k có dạng hình họcepi eliφ^k =Ls_k eliφ^k
và epi elsφ^k=Li_k eliφ^k
.

Chứng minh. (a) Vì việc chứng minh đẳng thức trong các trường hợp làtương tự nhau nên ta chỉ chứng minh đẳng thức trong trường hợp hộitụ epi-yếu. Nếu w-els φ^k(x) < +∞, thì với giá trị γ^j, tồn tại x^k_j ∈ A<small>k</small>

dần về xsao cho ls<small>k</small>φ^k x^k_j≤ w − elsφ<small>k</small>(x) + γ^j kể cả trường hợp els

φ^k(x) = −∞. Cho γ^j → 0<small>+</small>, ta có ls_jls_kφ^k x^k_j ≤ elsφ<small>k</small>(x). Với mỗi

k, tồn tại j(k) sao cho ls_kφ^k^x^k_j(k)^ ≤ w − elsφ<small>k</small>(x). Hiển nhiên,n

<small>k</small> là tập nhỏ nhất để xác định w-elsφ^k(x).Nếu w-elsφ^k(x) = +∞ với mọi dãy ^x^k ∈ A<small>k</small>

<small>k</small> hội tụ đến x nhỏnhất.

(b) Khẳng định (b) hiển nhiên suy ra từ định nghĩa.

(c) Khẳng định thứ nhất là dựa vào khẳng định (a) và định nghĩa hội tụepi, bởi vì ln có eliφ^k ≤ elsφ<small>k</small>. Khẳng định thứ hai , ta chứng minhtính chất đầu tiên. Từ khẳng định (a) cho thấy rằng (x, α) nằm bênphải nghĩa là có sự tồn tại x^k<small>j</small> ∈ A<small>kj</small> → x sao cho α ≥ eliφ^k(x) =li_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small> = lim_jφ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
với mọi dãy {k_j}_j. Với mọi ε^k<small>j</small> > 0 saocho α^k<small>j</small> := φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>+ ε^k<small>j</small> → α, ta có x^k<small>j</small>, α^k<small>j</small> ∈ epiφ<small>kj</small> và hội tụvề (x, α).

Ví dụ 2.1.4. Chúng tôi áp dụng Mệnh đề 2.1.4, vẫn lấy lại dữ liệu trongVí dụ 2.1.2 (a), với x = 1 /∈ A, ta có eliφ^k(1) = 0 khác +∞, hội tụ epi

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

khơng thỏa. Nhưng có hội tụ epi-trong. Khi giới hạn epi-yếu-trên và dướitại 0 và 1 là +∞, thì hội tụ epi-yếu là thỏa mãn và hội tụ epi-yếu-trongcũng thỏa.

Mệnh đề 2.1.5. (Tính chất của hội tụ epi-yếu)

(a) eliφ^k(x) =inf{<small>x</small>^kj<small>∈A</small>^kj<small>→x</small>} ^li<small>j</small>φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
và

elsφ^k(x) = inf{<small>x</small>^kj<small>∈A</small>^kj<small>→x</small>} ^ls<small>j</small>φ^k<small>j</small> x^k<small>j</small>
với x ∈ X.

(b) Điều kiện (a) của hội tụ epi nghĩa là elsφ^k(x) ≤ φ(x) và điều kiện(b) là eliφ^k(x) ≥ φ(x).

(c) φ^k → φ^e nếu và chỉ nếu eliφ^k(x) = elsφ^k(x) = φ^k(x) với x ∈ A vàeliφ^k(x) = +∞vớix /∈ A.φ^k và elsφ^k có dạng hình học epi eliφ^k=Ls<small>k</small> eliφ^k
và epi elsφ^k= Li<small>k</small> eliφ^k
.

Tính chất hội tụ epi-trong, epi trong-yếu cũng tương tự hội tụ epi-yếu.

2.2 Hội tụ hypo và các tính chất hội tụ hypo

<small>2.2.1Hội tụ hypo</small>

Hội tụ biến phân liên quan đến vấn đề cực tiểu của hàm là hội tụ trênđồ thị (hội tụ epi). Nếu quan tâm đến vấn đề cực đại của hàm thì phảilàm như thế nào? Do đó, người ta đưa ra khái niệm hội tụ dưới đồ thị.Mặt khác, ta có max(φ) = − min(−φ) nên ta chỉ cần xét trên đồ thị củahàm −φ. Từ đó, định nghĩa hội tụ hypo như sau

Định nghĩa 2.2.1. Dãy hàm ^φ^k_k được gọi là hội tụ hypo đến hàm φ

nếu dãy hàm ^−φ<small>k</small>

<small>k</small> hội tụ epi đến hàm −φ, kí hiệu là φ^k −→ φ^h hoặc

φ = h-lim_kφ^k.

Ví dụ 2.2.1. Giả sử rằng A^k = ^−1 − ¹_k, 1 + ¹_k^, k ∈ _{N và} A = [−1, 1].Dãy hàm ^φ^k : A^k →_R

<small>k</small> được xác định bởi

φ^k(x) = −(x⁴ + ²k^),

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

Định nghĩa 2.2.2. (Giới hạn hypo trên và dưới)

(i) hliφ^k(x) := sup_{x<small>k∈Ak→x}</small>li_kφ^k(x^k);

(ii) hlsφ^k(x) := sup_{x<small>k∈Ak→x}</small>ls_kφ^k(x^k).

<small>2.2.2Tính chất hội tụ hypo</small>

Mệnh đề 2.2.3. (Tính chất của hội tụ hypo)

(i) hliφ^k(x) = max_{x<small>k∈Ak→x}</small>li<small>k</small>φ^k(x^k) và hlsφ^k(x) = max_{x<small>k∈Ak→x}</small>ls_kφ^k(x^k) với x ∈ X;

(ii) φ^k → φ^h nếu và chỉ nếu hliφ^k(x) = hlsφ^k(x) = φ(x) với x ∈ A và

hlsφ^k(x) = −∞ với x ̸∈ A;

(iii) hypo(hlsφ^k) = Ls^k(hypoφ^k) và hypo(hliφ^k) = Li_k(hypoφ^k);(iv) φ^k → φ^h nếu và chỉ nếu hypoφ^{k P −K}−→ hypoφ.

2.3 So sánh hội tụ epi với các loại hội tụ khác

Ta sẽ so sánh mối liên hệ giữa hội tụ epi và hội tụ hypo và hội tụ thôngthường.

Định nghĩa 2.3.1. Cho φ^k : A^k → _{R và} φ : A → _R.

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

(e) Khi A^k ≡ A, φ<small>k</small> được gọi liên tục hầu khắp nơi nếu, với mọi x ∈ A

và ε bất kì, tồn tại chỉ số trên k<small>0</small>(x, ε) sao cho 
φ^k(y) − φ^k(x)
≤ ε

(a₂) Dãy hàm ^φ^k_k hội tụ epi và hypo đến hàm φ;

(a₃) Dãy hàm ^φ^k_k hội tụ epi-yếu và hypo-yếu đến hàm φ;

(a₄) Dãy hàm ^φ^k_k hội tụ liên tục đến hàm φ khi A^{k P −K}−→ A;

(a₅) hlsφ^k ≤ φ ≤ eliφ<small>k</small>;

(a₆) w-hlsφ^k ≤ φ ≤ w-eliφ^k;

(b) Nếu A^k ≡ A thì mỗi khẳng định sau là tương đương với các khẳngđịnh trong (a)

(b<small>1</small>) Dãy hàm ^φ^k_k hội tụ đều đến hàm φ và hàm φ liên tục.

(b₂) Dãy hàm ^φ^k_k liên tục đều và hội tụ điểm đến hàm φ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>

hypoφ^k = −epi(−φ^k) ^{P −K}−→ −epi(−φ) = hypoφ.

(a₂) ⇒ (a₃). Điều này hiển nhiên.

(a₃) ⇒ (a₄). Đây là một hệ quả rõ ràng của định nghĩa. (Chú ýđồng thời hội tụ epi-yếu và hội tụ hypo-yếu của φ^k đến φ, thì khi đó

A^{k P −K}−→ A).

(a₄) ⇒ (a₅). Hội tụ liên tục cho ta eliφ^k = elsφ^k = φ = hliφ^k =hlsφ^k.Điều phải chứng minh.

(a₅) ⇒ (a₆). Điều này hiển nhiên.

(a₄) ⇒ (a₁). Với mọi x^k ∈ A dần về x, (x phải nằm trong A),

φ^k(x^k) → φ(x). Khi đó, x^k, φ^k(x^k) ∈ gphφ<small>k</small> dần về (x, φ(x)) ∈gphφ. Vậy cuối cùng rõ ràng (a₆) ⇒ (a₃). Vì vậy, sáu khẳng địnhtrên tương đương nhau.

(b) Ta chứng minh (b₁) ⇒ (a₄) ⇒ (b₂) ⇒ (b₁).

(b₁) ⇒ (a₄). Với mọi x ∈ A, x^k ∈ A dần về x, D := ^x, x^k|k ∈ _N làtập compact chứa chính nó. Vìφ là hàm liên tục, nó liên tục đều trên

D, nghĩa là∀ε > 0, ∃δ > 0, , y ∈ D : d(x, y) < δ,
φ^k(x) − φ(x)
≤ ε.Vì φ^k hội tụ đều trong D với mọi giá trị k, ∀ε > 0, ∃k_ε, ∀k >

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

<small>Toán ứng dụngLuận văn Thạc sĩ</small>k_ε,
φ^k(y) − φ^k(x)
≤ ε và khi x^k → x cho thấy tồn tại bk_ε với

d(x^k, x) < ε với mọi k > bk, với mọi k > maxⁿk_ε,bk_ε^o,

φ(x) − φ^i(k)(y^k)
≤ 
φ(x) − φ(x^k)
+
φ(x^k) − φ^k(x^k)
< 2ε,

nghĩa là, φ^k(x^k) → φ(x).

(a₄) ⇒ (b₂). Với mọi x ∈ A cố định, chọn x^k ≡ x, φ^k(x) → φ(x),nghĩa là hội tụ điểm thỏa. Giả sử tính liên tục hầu khắp nơi khơngthỏa, nghĩa là tồn tạix ∈ Asao cho∀k₀, ∃y^k ∈ B(x, 1/k)∩A, ∃i(k) >k₀ tăng với mọi k,<sup>