Tài liệu Toán dành cho sinh viên ngành GDTH

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>Chương 1 SỐ TỰ NHIÊN </b>

<b>(1) Sự hình thành khái niệm số tự nhiên </b>

<i>Khái niệm về số tự nhiên (number) (còn gọi là số đếm) đã ra </i>

đời từ rất lâu, trước khi ngơn ngữ nói và viết ra đời. Người ta cũng chẳng rõ từ khi nào các con số cùng với tên gọi và ký hiệu của chúng được đưa vào sử dụng. Khi ta viết các số bằng

<b>ký hiệu nào đó như |, 1, I, , ta gọi đấy là các chữ số (numeral). </b>

Ý niệm về chữ số thậm chí ra đời trước cả khi con người biết

<i>viết từ số đếm như thế nào, bởi vì việc khắc lên các cành cây dễ </i>

dàng hơn nhiều lần việc xây dựng vốn từ ngữ về những con số. Nếu ta thu gom các chữ số lại với nhau và xếp đặt chúng theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn |, ||, |||, |||| hoặc I, II, III, IIII, ta sẽ

<b>có một bộ các chữ số hay một hệ thống số (numeration system). </b>

Những hệ thống số thuở sơ khai được dựng nên bởi các vết khắc. Trong các hệ thống ấy, 1, 2 và 3 được biểu diễn bởi , và . Khoảng 3400 năm trước Công Nguyên, người Ai Cập đã xây dựng cho mình một hệ thống với các con số lên đến một triệu và còn hơn thế nữa. Cách họ ký hiệu những con số đầu tiên thể hiện ảnh hưởng sâu sắc của các vết đục khắc ban đầu đó (xem Hình 1.1).

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>Ví dụ 1. Hãy dùng hệ thống “đếm bàn tay” để tìm tên gọi của </b>

những con số sau đây, biết rằng chúng được biểu diễn bởi các bộ gồm những dấu chấm tròn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>Gợi ý. (i) hai bàn tay và 2. </b>

Trong quá trình gộp kể trên, ta gọi số lượng của các phần tử

<b>trong một nhóm là cơ số (base). Cơ số ở Ví dụ 1 là cơ số năm. </b>

Bằng cách dùng các chữ số 1, 2, 3 và 4 cho bốn con số đầu tiên

<i>và bàn tay làm tên gọi của cơ số, ta có thể gọi tên cho số lượng </i>

của các đối tượng kể từ 1 cho đến 24. (Tại sao?)

<b>Cơ số 10. Trải qua thời gian, khi người xưa đã quen với </b>

cách đếm dùng các ngón tay trên một bàn tay, họ bắt đầu chấp nhận cách đếm dùng những ngón tay trên cả hai bàn tay và việc gộp các đối tượng thành từng nhóm mười phần tử. Hầu hết những hệ thống số hiện đại đều dùng cách gộp này. Trong tiếng Việt, cách ta gọi các con số cũng phản ánh lên điều ấy.

<i>Mười một đồng nghĩa với thêm một vào (mười), mười hai có thể </i>

<i>hiểu là thêm hai vào mười. Các số từ 13 đến 19 cũng có cùng cách hiểu như vậy. Hai mươi thực ra chính là hai mười (mười rồi mười lần nữa), cịn một trăm có nghĩa là mười lần mười (mười </i>

rồi mười lần nữa, …, rồi lại mười: Tất cả 10 lần).

<b>Các hệ thống số cổ đại </b>

<b>Hệ thống số Ai Cập. Người Ai Cập cổ đại sử dụng các </b>

ký hiệu hình vẽ cho các số mà chúng ta thường gọi là

<b>chữ tượng hình (hieroglyphics). Hệ thống số này là hệ thống </b>

cơ số mười, trong đó mỗi ký hiệu tương ứng với một lũy thừa của mười.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>1000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1 </small>

<small>(Người) </small>

<small>kinh ngạc </small> ^{Nòng nọc} ^{Ngón tay} ^{Hoa sen} ^{Cuộn dây}

<small>Xương gót chân </small>

<small>(cái) Gậy </small>

<b>Hệ thống số La Mã. Ta thường bắt gặp những chữ số La Mã </b>

trên đồng hồ, các tòa nhà, mộ bia và ở những trang đầu của các quyển sách. Cũng giống như Ai Cập, người La Mã dùng cơ số mười. Tuy nhiên, họ lại sử dụng hệ thống số cộng cách tân: Ngoài những ký hiệu cho các lũy thừa của cơ số, họ cịn có

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

các ký hiệu riêng cho 5, 50 và 500. Sau đây là bảy ký hiệu phổ biến nhất.

<small>Hệ thống số La Mã</small>

<i>Các nhà khảo cổ đã chỉ ra rằng C là cách viết tắt của centum</i><small>1</small>,

<i>nghĩa là một trăm, và M là viết tắt của milli</i><small>1</small><i>, nghĩa là một ngàn (hay là một nghìn). Dù vậy, nguồn gốc của các ký hiệu còn lại </i>

cho đến nay vẫn còn là một ẩn số. Người La Mã viết các chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái sang phải. Khi một chữ số La Mã được đặt ở bên trái của chữ số đại diện cho một số lớn nào đó, ta nhận được phép trừ, chẳng hạn như IX là 9, XL là 40, XC là 90, CD là 400 và CM là 900. La Mã là khởi nguồn cho ý tưởng về phép trừ nhưng họ lại chẳng mấy khi dùng đến nó<small>2</small>. (Trên thực tế, phép trừ chỉ được dùng phổ biến cách đây hơn 200 năm.) Để viết số 1996, họ sẽ ký hiệu như sau:

MCMXCVI.

Khác với Ai Cập, người La Mã hầu như khơng có nhu cầu dùng những số lớn, vì vậy họ khơng có cách viết nào tổng qt cho số lớn. Trên tượng đài tưởng niệm chiến thắng của La Mã với Carthage<small>3</small> vào năm 260 trước Công Nguyên (TCN), họ đã

<small>1 Tiếng Latin. </small>

<small>2 Tài liệu tiếng Anh: [3, Smith], trang 60. </small>

<small>3 Carthage là một thành phố cổ ở Bắc Phi của người Phoenica, được xây dựng vào những năm 800 TCN và bị người La Mã tàn phá năm 146 TCN. </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

khắc 23 lần ký hiệu (tức là 100 000) để thể hiện cho con số hai triệu ba trăm ngàn.

<b>Hệ thống số Babylon. Người Babylon sử dụng cơ số 60. </b>

Cách họ viết các số từ 1 đến 59 tương tự như ở hệ thống số cộng: Lặp lại số lần tương ứng cần thiết cho (là 1) và (là 10).

Để viết những số từ 60 trở về sau, người ta dùng kết hợp hai ký hiệu cơ bản nêu trên cùng với ý tưởng về “trị số theo vị trí”

<b>(place value). Trị số theo vị trí chính là các lũy thừa của cơ số: </b>

1, 60, 60<small>2</small>, 60<small>3</small>, … Ta xác định giá trị của các ký hiệu cơ bản dựa trên vị trí của chúng hay thứ tự chúng xuất hiện. Cụ thể, nếu ta xem

135 = 2(60) + 15(1) và 79 410 = 22(60²) + 3(60) + 30(1) thì người Babylon sẽ viết hai số 135 và 79410 như sau

<small>2(60) </small>  <small>15(1)22(602) </small>  <small>3(60) </small>  <small>30(1) </small>Nói chung, vị trí đầu tiên tính từ phải sang trái đặc trưng cho các số từ 1–59, vị trí thứ hai tương ứng với bội số của 60, vị trí thứ ba biểu diễn cho bội số của 60<small>2</small>, v.v…

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>Ví dụ 3. Hãy viết các số sau bằng cách dùng hệ thống số </b>

<b>Hệ thống số Maya. Người Maya đã sáng tạo nên hệ thống số </b>

riêng biệt sử dụng cơ số 20 và kèm theo đó là sự xuất hiện của ký hiệu tương ứng với chữ số 0 hiện đại. Ta có thể xem những ký hiệu họ dùng để viết các số từ 0 đến 19 qua Hình 1.3 sau.

<small>Hình 1.3 Chữ số Maya</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Khi xem Hình 1.3, bạn có nhận thấy cách người xưa dùng nhóm năm khi viết 20 con số đầu tiên ấy chăng?

Tương tự với Babylon, người Maya viết các số lớn hơn 19 bằng cách kết hợp những ký hiệu biểu diễn từ 0 đến 19 với trị số theo vị trí. Họ viết mỗi số theo chiều thẳng đứng, tính từ dưới lên trên như ở Ví dụ 4.

<b>Ví dụ 4. Cách viết ba số 326, 2776 và 65 526 như sau </b>

<small> 9(18 × 202) 7(18 × 20) 2(18 × 20) 16(20) 12(20) 0(20) </small>

Chữ số nằm ở dưới cùng đại diện cho hàng đơn vị. Chữ số ở hàng thứ hai tương ứng với bội số của 20. Một đặc điểm thú vị của hệ thống số Maya là người xưa dùng hệ thống này chủ yếu để tính tốn ngày tháng. Mỗi năm Maya gồm 365 ngày được chia thành 18 tháng và mỗi tháng có 20 ngày; 5 ngày cịn lại là ngày lễ. Chính vì vậy, chữ số nằm ở hàng thứ ba tương ứng với bội số của 18 × 20 thay cho 20<small>2</small>. Ở những hàng tiếp theo, trị số theo vị trí tương ứng sẽ lần lượt là 18 × 20², 18 × 20³, v.v…

<b>Ví dụ 5. Hãy viết các số sau đây bằng chữ số Maya. </b>

Chú ý rằng trong cách viết số 65 526, người xưa mơ tả con số này bởi tổng của chín lần 18 × 20<small>2</small> với hai lần 18 × 20 và thêm

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

sáu đơn vị, trong đó khơng có chữ số nào ứng với bội số của 20. Qua đó, ta thấy được ý nghĩa của ký hiệu tương ứng với chữ số 0 trong hệ thống số Maya.

<b>Hệ thống số Hinđu–Ả-rập. Hầu hết các quốc gia hiện tại đều </b>

dùng hệ thống số Hinđu–Ả-rập (Hindu–Arabic). Người Hinđu

<i>đã phát minh ra hệ thống số vị trí (positional numeration system) </i>

này còn người Ả-rập truyền bá hệ thống ấy vào Âu châu. Đây là hệ thống sử dụng cơ số 10 với trị số theo vị trí của mỗi chữ số 0, 1, 2, 3, …, 8 và 9 được xác định theo vị trí xuất hiện. Các chữ số

<i>này còn được gọi là các ký số (digit). Khi viết một số nào đó, </i>

ta ghi một hoặc nhiều chữ số liền nhau và vị trí của mỗi chữ số ấy đặc trưng cho sự tăng dần về lũy thừa của cơ số. Tương ứng theo vị trí, ta đều có tên riêng cho mỗi chữ số.

<b>Ví dụ 6. Sau đây là tên gọi và giá trị của mỗi ký số trong số </b>

75 063.

<small>Hình 1.4 Tên gọi và giá trị các ký số của 75 063 </small>

Cách chúng ta viết số 75 063 như trên dưới dạng tổng của những con số đặc trưng bởi chính các chữ số 7, 5, 0, 6 và 3 là

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>hình thức khai triển (expanded form). Một cách viết phổ biến </b>

khác là ta viết lũy thừa của cơ số bằng số mũ. Chẳng hạn, 7(10<small>4</small>) + 5(10<small>3</small>) + 0(10<small>2</small>) + 6(10<small>1</small>) + 3(1).

<b>Ví dụ 7. Tìm giá trị của mỗi chữ số in đậm dưới đây cùng </b>

Các số từ 11 đến 19 có tên gọi là các từ ghép hai tiếng: Mười một, …, mười bốn, mười lăm, …, mười chín. Chú ý rằng, với số 15 ta đọc “mười lăm” thay cho “mười năm”. Cách đọc như vậy tuân theo quy luật hài âm, hài thanh của tiếng Việt: Thay phụ âm đầu và đổi thanh bằng để từ ngữ xuôi hơn <small>4</small>.

Chúng ta thường gặp quy luật nêu trên khi đọc những số có hai chữ số lớn hơn 19. Cụ thể, ta có một số quy ước sau

<small>4 Trích từ phần trả lời phỏng vấn của PGS. TS. Phạm Văn Tình (Hội Ngơn ngữ học </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Số (cách viết)

Tên gọi

(cách đọc) ^{Ghi chú}20

… 90

hai mươi … chín mươi

“hai mươi” cịn gọi là “hai chục”<small>5</small>

21 … 91

hai mươi mốt … chín mươi mốt 24

… 94

hai mươi tư … chín mươi tư 25

… 95

hai mươi lăm … chín mươi lăm

“hai mươi lăm” còn gọi là “hai mươi nhăm” <small>Bảng 1.5 Quy ước tên gọi một số các số có hai chữ số </small>

Một cách gọi tên khác cho số 25 mà bạn hay gặp ở khu vực phía Bắc của Tổ quốc là “hai mươi nhăm”. Chúng ta còn bắt gặp sự khác biệt như thế về tên gọi khi đọc các số từ 101 đến 109 và những số từ 1000 trở lên. Trong giáo trình này, ta thống nhất cách đọc theo Bảng 1.6.

Số (cách viết)

Tên gọi

(cách đọc) ^{Ghi chú}101

… 109

một trăm lẻ một …

một trăm lẻ chín

có thể đọc “linh” thay cho “lẻ”

<small>5 SGK Toán 1, trang 107, NXB Giáo dục Việt Nam, Tái bản lần thứ 14, năm 2016. </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

1000 một ngàn

“một ngàn” còn gọi là “một nghìn” <small>Bảng 1.6 Quy ước tên gọi một số các số có từ ba chữ số trở lên </small>Như vậy, bạn có thể thấy rằng mục Ghi chú của Bảng 1.6 nêu những cách đọc thường gặp ở các tỉnh Bắc bộ.

Với mỗi số có từ bốn chữ số trở lên, ta đọc số ấy bằng cách

<b>tách nó thành từng lớp, từ lớp đơn vị, đến lớp ngàn rồi lớp triệu</b><small>6</small>.

<b>Mỗi lớp gồm 3 ký số (the period of the digits). Trong mỗi lớp, </b>

các ký số được gọi tên theo cách bạn đọc các số từ 1 đến 999, sau đó bạn nhắc lại tên của lớp, trừ lớp đơn vị. Ví dụ 8 bên dưới nêu một vài lớp phổ biến.

<b>Ví dụ 8. Hãy đọc con số sau đây </b>

<b>Gợi ý. Tên gọi của số đã cho là “hai mươi ba tỷ bốn trăm bảy </b>

mươi tám triệu năm trăm lẻ sáu ngàn không trăm bốn mươi hai”. Mời bạn chú ý đến cách chúng ta dùng khoảng trắng giữa các lớp trong khi viết số 23 478 506 042. Viết như thế giúp cho việc đọc những con số lớn trở nên dễ dàng hơn. Ta thường gặp cách viết ấy ở các nước châu Âu ngày nay. Cách này được quy định theo chuẩn ISO 80000-1:2009<small>7</small>, và được Bộ GD&ĐT đưa vào

<small>6</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

chương trình SGK Tiểu học<small>8</small> những năm gần đây. Cũng theo chuẩn này, ta không thêm khoảng trắng vào giữa lớp ngàn và lớp đơn vị khi viết các số chỉ có đúng bốn chữ số, tức là ta sẽ viết 1000 mà không phải là 1 000.

<b>Nguồn gốc của số 0 </b>

Cũng như những chữ số khác, từ khi nào chữ số 0 ra đời vẫn ln là một câu hỏi cịn bỏ ngỏ bấy lâu. Dù vậy, nếu khơng có số 0, chúng ta sẽ chẳng có gì để tự hào về hệ thống số vị trí Hinđu–Ả-rập nữa cả. Qua những phần trước, ta đã cùng nhau làm quen với khái niệm trị số vị trí cũng như cách người xưa dùng nó trong hệ thống số của riêng mình. Từ đó, ta thấy rằng khái niệm về số khơng đã xuất hiện rất lâu từ trước. Chẳng hạn, người Babylon dùng khoảng trắng để đánh dấu sự thiếu hụt một bội số nào đó của 60 như ở Ví dụ 3-(iii) khi viết con số 10 821 dưới dạng . Tuy nhiên, họ chỉ đánh dấu phần thiếu nằm bên trong con số và “sơ sảy” bỏ qua việc này khi phần thiếu ấy nằm ở cuối của số cần viết. Vì thế, ký hiệu khoảng trắng chỉ đóng vai trị như một số 0 bán phần. Số 0 hồn chỉnh phải chỉ ra được sự vắng mặt của lũy thừa của cơ số cả bên trong lẫn phần cuối của các số, giống như khi bạn viết số 304 và 340 vậy.

<small>8 SGK Toán 4, trang 8, trang 12–14, NXB Giáo dục Việt Nam, Tái bản lần thứ 14, năm 2016. </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Số 0 cổ xưa nhất được tìm thấy trên một bia đá tưởng niệm ở Gwalior<small>9</small> vào năm 876. Theo đó, người xưa đã dùng chữ số 0 để viết các số 50 và 270<small>10</small>.

<b>Tập hợp các số tự nhiên ℕ </b>

Trong Toán học, số tự nhiên được hiểu là những số dùng để đếm (như “lớp học có 50 sinh viên”) và sắp thứ tự (như “nước ta là nước xuất khẩu gạo đứng thứ hai thế giới”). Chính vì thế, “số đếm” là một tên gọi khác của số tự nhiên mà bạn đã gặp ở phần đầu chương.

Ta ký hiệu tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên là ℕ và gọi nó

<i>một cách ngắn gọn là tập các số tự nhiên. Như những gì bạn đã </i>

học từ nhà trường phổ thơng, tập các số tự nhiên là tập hợp gồm các số 0, 1, 2, 3, … Trên thực tế, việc “có hay khơng có” sự xuất hiện của số 0 trong tập số tự nhiên là một vấn đề đã từng được tranh luận. Có thể là bởi vì người ta chỉ có thể đếm những đối tượng nào đó khi đối tượng ấy tồn tại và phép đếm luôn bắt đầu bởi 1. Ở tài liệu này, ta quy ước với nhau về cách hiểu và cách ký hiệu tập số tự nhiên như sau

ℕ₀ = ℕ = {0, 1, 2, 3, … } và ℕ₁ = ℕ^∗= {1, 2, 3, … }.

Trên thế giới, ký hiệu ℕ₀, ℕ₁ được dùng khá phổ biến trong nghiên cứu và giảng dạy, giúp tránh đi “mâu thuẫn” và có tác dụng linh hoạt khi giải tốn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>(2) Mơ hình và phép tốn trên số tự nhiên Phép cộng </b>

Thuở thiếu thời, trong chúng ta ai cũng đã biết về phép cộng dựa trên việc tính tốn số lượng các vật thể. Nếu bạn để 2 vỏ sị trên bàn rồi tơi để vào đấy thêm 3 vỏ sị nữa thì tất cả số vỏ sị ta

<b>có chính là tổng của 2 + 3. Ý tưởng của phép cộng chính là việc </b>

<i>ta gộp các tập hợp (chẳng hạn gộp tập hợp có 2 vỏ sò của bạn </i>

với tập hợp gồm 3 vỏ sị của tơi). Nói cách khác, ấy là ta dùng

<i>phép hợp trong lý thuyết về tập hợp. Từ đó, ta có định nghĩa sau </i>

Cho hai tập hợp rời nhau ℛ và 𝒮, trong đó tập ℛ có 𝓇 phần tử cịn tập 𝒮 gồm 𝓈 phần tử. Khi đó, tổng của 𝓇 cộng 𝓈 (sum of 𝓇 plus 𝓈), ký hiệu 𝓇 + 𝓈, là số phần tử của hợp của ℛ và 𝒮. Các số

<b>𝓇 và 𝓈 được gọi là các số hạng (addend). </b>

Ở định nghĩa vừa nêu, bạn hãy chú ý đến tính chất rời nhau của hai tập hợp ℛ, 𝒮. Nếu hai tập đã cho không thỏa điều kiện trên, ta khơng thể tìm được tổng số phần tử của hai tập hợp bằng cách cộng số phần tử của tập hợp này với số phần tử của tập kia.

<b>Ví dụ 9. Một nhóm nhạc cơng chỉ gồm tám người chơi guitar </b>

và sáu người chơi piano. (Ngoài những người ấy ra, nhóm này khơng có thêm thành viên nào khác.)

(i) Nhóm đó có thể có ít nhất bao nhiêu người? (ii) Nhóm đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu người?

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

(iii) Trong hai câu hỏi (i) và (ii) nêu trên, ở trường hợp nào kết quả nhận được là tổng của số người chơi guitar với số người chơi piano?

<b>Gợi ý. (iii) Trường hợp câu hỏi (ii), như ở hình minh họa </b>

dưới đây.

<small>Nhạc cơng chơi guitar </small>

<small>Nhạc cơng chơi piano </small>

<small>Hình 1.7 Tổng số nhạc công = nhạc công guitar + nhạc công piano </small>

<b>Mơ hình của phép cộng </b>

<i>Để tính tổng các đối tượng, ta cần tuân theo một quy trình </i>

<i>tính tổng (addition algorithm) nào đó. Một quy trình tính tổng </i>

luôn chia làm hai bước: (1) cộng các ký số và (2) gộp (regroup) chúng lại thông qua hệ thống số vị trí. Nắm vững quy trình tính tổng khơng những giúp bạn dễ dàng làm tốn nhẩm mà cịn giúp bạn dạy mơn Tốn cho học sinh Tiểu học tốt hơn.

Có nhiều mơ hình (model) hay cách thực hiện giúp bạn hiểu được các quy trình tính tổng. Ví dụ 10 bên dưới mơ tả cách tính tổng hai số dùng que tính. Mỗi nhóm que tính đại diện cho một con số; ta xếp chúng theo vị trí trên dưới giống như khi tính

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

nháp hai số bất kỳ vậy. Tổng (hay kết quả thu được) chính là tổng số các que tính ở mỗi bó cùng những que tính riêng lẻ.

<b>Ví dụ 10. Các số 26 và 38 được biểu diễn như ở hình dưới </b>

đây. Để tìm tổng 𝟐𝟔 + 𝟑𝟖, ta cần xác định số lượng của tất cả các que tính. Có tổng cộng 5 bó que tính (5 chục) và 14 que riêng lẻ (14 đơn vị). Từ 14 que ấy, ta có thể gộp chúng lại và nhận được 1 bó que (1 chục) gồm 10 que tính, và 4 que lẻ. Trong quy trình tính tổng, 4 que đó được ghi lại bằng chữ số 4 ở hàng đơn vị còn 10 que thêm được ghi bởi chữ số 1 ở hàng chục.

<small>Hình 1.8 Mơ hình tính tổng từng phần </small>

Mơ hình tính tổng ở Ví dụ 10 có cách thực hiện từ phải sang trái, bắt đầu từ việc kết hợp những que tính riêng lẻ với nhau, tiếp theo là việc kết hợp các bó que và cuối cùng là gộp nhóm.

<i>Cách tính như thế cịn gọi là tính tổng từng phần (partial sums). </i>

Ở mơ hình này, bạn cộng các ký số ở mỗi phần (nghĩa là theo từng cột hay hàng) với nhau trước, rồi mới gộp nhóm. Ta có thể viết tổng từng phần theo hai cách sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Như bạn đã biết, chúng ta viết từ trái sang phải. Do đó, ta cịn có thể tính tổng (như ở Ví dụ 10) bằng cách kết hợp các bó 10 que với nhau trước (rồi mới đến các bước khác). Ví dụ 12 sau đây sẽ giới thiệu với bạn cách tính ấy.

<b>Ví dụ 12. Để tìm tổng </b>𝟖𝟗𝟕 + 𝟓𝟑𝟕 từ trái sang phải, trước tiên ta cộng 8 với 5 ở cột hàng trăm (hundreds column). Bước thứ hai, ta cộng 9 với 3 ở cột hàng chục rồi gộp nhóm. Do đó, ta gạch 3 đi, sửa lại thành 4. Bước kế tiếp, ta cộng các ký số đơn vị rồi gộp nhóm thêm một lần nữa, tức là ta gạch đi ký số 2 ở cột hàng chục và thay bởi 3. Cụ thể

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Hình 1.9 Mơ hình xóa từ trái sang phải. </small>

Người Hinđu xưa dùng cách tính tổng từ trái sang phải này

<i>rồi truyền nó vào châu Âu. Người ta gọi nó là mơ hình xóa (scratch method). </i>

<i>Chú ý. Một biến thể khác và là hình thức cải tiến của mơ hình </i>

xóa trên là ta thực hiện quy trình tính tổng từ phải sang trái. Đó chính là mơ hình tính quen thuộc của chúng ta lâu nay.

<b>Tính chất của phép cộng các số tự nhiên </b>

Trong phần này, ta sẽ nêu một số tính chất quan trọng của phép cộng các số tự nhiên. Mỗi tính chất đều có một tên gọi riêng tương ứng.

<i>Tính chất đóng kín (closure property). Ta biết rằng, tổng của </i>

hai số tự nhiên cũng là một số tự nhiên, tức là, ℕ_𝟎 đóng kín với phép cộng. Một cách tổng quát, ta bảo một phép toán nào đó

<b>(như cộng, trừ, nhân, chia, lấy mũ, v.v…) là đóng kín (closed) </b>

khi ta thực hiện phép tốn ấy trên hai phần tử bất kỳ của tập hợp đã cho, kết quả thu được cũng là một phần tử của tập hợp ấy. Dễ thấy rằng, phép trừ các số tự nhiên khơng đóng kín do hiệu của hai số tự nhiên có thể khơng là một số tự nhiên. Lấy một ví dụ khác: Xét tập những số tự nhiên lẻ {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, … }. Ta có tổng của hai số lẻ luôn là một số chẵn; vì thế, tập những số lẻ

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

khơng đóng kín với phép cộng. Để kiểm tra tính đóng kín của phép tốn nào đó, ta có thể dùng giản đồ Venn. Ví dụ vừa nêu có giản đồ Venn như sau

<small>Hình 1.10 Giản đồ Venn của tập các số tự nhiên lẻ </small>

Nếu tập đã cho đóng kín với phép tốn, kết quả nhận được cũng nằm trong hình oval. Nếu có bất kỳ một kết quả nào nằm ngồi hình ấy, ta kết luận phép tốn được quan tâm khơng đóng kín.

<b>Ví dụ 13. Kiểm tra tính đóng kín của tập hợp sau với các </b>

phép toán tương ứng.

(i) Tập các số lẻ với phép trừ; (ii) Tập các số lẻ với phép nhân; (iii) Tập các số lẻ với phép chia.

<b>Gợi ý. (iii) Phép chia trên tập hợp các số tự nhiên lẻ khơng </b>

đóng kín. Chẳng hạn, ^𝟐

<small>𝟑</small> khơng phải là số tự nhiên.

Trước khi sang tính chất tiếp theo, ta có phát biểu sau về tính đóng kín của một phép toán trên tập hợp đã biết trước.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Với mỗi cặp gồm hai phần tử bất kỳ của tập hợp đã cho, nếu kết quả nhận được từ việc tác động phép toán lên cặp phần tử cũng là một phần tử của tập hợp thì tập đã cho đóng kín với phép tốn ấy. Nếu ta có thể chỉ ra một ví dụ cụ thể rằng kết quả thu được không phải là một phần tử của tập hợp thì tập đã cho khơng đóng kín với phép tốn đó.

<i>Tính chất có phần tử đơn vị (identity property). Trong muôn </i>

vàn các số tự nhiên, số 0 là một con số đặc biệt. Nó được gọi là

<b>phần tử đơn vị của phép cộng (identity for addition). Khi cộng </b>

bất kỳ con số nào với 0, ta nhận được chính số ấy. Ví dụ, 𝟎 + 𝟓 = 𝟓; 𝟏𝟕 + 𝟎 = 𝟏𝟕; 𝟎 + 𝟎 = 𝟎. Nói tóm lại, với mọi số tự nhiên 𝒃, ta ln có

𝒃 + 𝟎 = 𝒃 = 𝟎 + 𝒃

và 0 là phần tử đơn vị duy nhất của phép cộng.

<i>Tính chất kết hợp (associative property). Khi thực hiện phép </i>

tính tổng ba số tự nhiên bất kỳ, việc ta kết hợp con số ở giữa (hay số thứ hai tính từ trái sang phải) với số tiếp theo hoặc với số trước đó khơng làm thay đổi kết quả thu được. Tính chất như thế được gọi là tính chất kết hợp đối với phép cộng. Tức là,

với mọi bộ ba số tự nhiên 𝒂, 𝒃 và 𝒄 bất kỳ, 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄.

Khi làm tốn nhẩm, đơi lúc chúng ta tách một số thành tổng của hai số khác như ở Ví dụ 14. “Bí quyết” của hành động ấy chính là tính kết hợp nêu trên.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>Ví dụ 14. </b>

<small>Hình 1.11 Tính chất kết hợp của phép cộng các số tự nhiên </small>

<i>Tính chất giao hốn (commutative property). Khi tính tổng </i>

hai số nào đó, các số hạng có thể đổi chỗ cho nhau mà không làm ảnh hưởng đến kết quả. Ta bảo đây là tính chất giao hoán:

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 với mọi số tự nhiên 𝒂, 𝒃.

Khi tính tổng, tính chất giao hoán giúp cho việc kết hợp các cặp số với nhau trở nên dễ dàng hơn, như ở ví dụ sau đây.

<b>Ví dụ 15. Khi cộng các số 26, 37 và 4 với nhau, ta có thể đổi </b>

vị trí của 37 cho 4. Như thế quá trình tính tốn trở nên thuận lợi hơn. Rõ ràng, việc tính tổng 𝟐𝟔 + 𝟒 = 𝟑𝟎 rồi 𝟑𝟎 + 𝟑𝟕 dễ dàng hơn cách tính 𝟐𝟔 + 𝟑𝟕.

𝟐𝟔 + 𝟑𝟕 + 𝟒 = 𝟐𝟔 + 𝟒 + 𝟑𝟕 = 𝟑𝟎 + 𝟑𝟕 = 𝟔𝟕

Chú ý rằng, trong dãy phép tính vừa nêu, vì phép cộng có tính kết hợp (nghĩa là thứ tự thực hiện tính tốn không quan trọng) nên ta không cần viết các cặp dấu ngoặc mà có thể viết trực tiếp là 𝟐𝟔 + 𝟑𝟕 + 𝟒 thay cho 𝟐𝟔 + (𝟑𝟕 + 𝟒) hoặc (𝟐𝟔 + 𝟑𝟕) + 𝟒.

<b>So sánh các số tự nhiên </b>

Đôi khi chúng ta đặt câu hỏi, vì sao lại ba lại bé hơn bảy hay do đâu sáu lại lớn hơn bốn? Ở góc nhìn Tốn học, câu hỏi này chính là một cách diễn đạt khác cho việc ta cùng nhau tìm hiểu

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

về quan hệ¹¹ (hai ngôi) giữa hai số tự nhiên nào đó. Tuy thế, ta vẫn có thể nhìn nhận điều trên thơng qua hình ảnh về thứ tự của hai số đó khi đếm chúng. Ví dụ như ‘3 nhỏ hơn 7’ là vì ta “gọi tên” của 3 trước rồi mới đến 7. Thứ tự của các số tự nhiên được

<i>hình tượng hóa qua tia số (number line). Để nhận được tia số, </i>

trước tiên ta lấy hai điểm bất kỳ trên một đường thẳng cho trước, rồi đánh dấu chúng lần lượt bởi 0 và 1 như hình bên dưới. Đoạn

<b>thẳng như vậy được gọi là đoạn đơn vị (unit segment). Sau đó, </b>

ta chia đường thẳng đã cho thành nhiều phần có độ dài mỗi phần bằng với đoạn đơn vị và đánh dấu tiếp theo về phía bên phải bởi 2, 3, 4, …, 13, 14, v.v… Khi lấy hai số ngẫu nhiên từ tia số, ta nói là số nằm bên trái nhỏ hơn (hay bé hơn) số nằm bên phải.

Khẳng định “𝒎 nhỏ hơn 𝒏” cho hai số tự nhiên 𝒎, 𝒏 đã biết chính là câu trả lời cho yêu cầu so sánh hai số ấy. Câu khẳng định vừa nêu còn được diễn đạt bằng các hình thức khác như

<small>11 Xem thêm về quan hệ hai ngôi ở Chương 4, sách Cơ sở Toán ở Tiểu học 1. </small>

<small>12 Thuật ngữ tương ứng và có cùng ý nghĩa với “nếu và chỉ nếu” là “khi và chỉ khi”. Trong sách này, ta sẽ dùng hai thuật ngữ ấy thay đổi cho nhau. </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<b>Phép trừ </b>

Nếu phép cộng là hình ảnh kết hợp hai tập hợp lại với nhau thì phép trừ lại mang ý nghĩa tách một tập con rời khỏi tập hợp các đối tượng cho trước. Như thế, việc phân cách một tập thành các tập con hay phép trừ là hình ảnh ngược của việc gộp hai tập thành một mà ta cịn gọi là phép cộng. Chính vì mối quan hệ đối

<b>lập này, phép cộng và phép trừ là các phép toán nghịch đảo </b>

(inverse operations). Dựa trên quan hệ ấy, ta có thể định nghĩa phép trừ qua phép toán cộng như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Với mọi số tự nhiên <b>𝒂 và 𝒃 thỏa 𝒂 ≥ 𝒃, hiệu của 𝒂 trừ </b>

𝒃 (difference of 𝒂 minus 𝒃), ký hiệu 𝒂 − 𝒃, là một số tự nhiên 𝓬 sao cho 𝒂 = 𝒃 + 𝓬.

Qua định nghĩa vừa nêu, bạn có thể thấy rằng để tìm hiệu của

<i>𝟏𝟕 − 𝟓, ta sẽ tìm số hạng cịn thiếu (missing addend) 𝓬 sao cho </i>

khi thêm 𝓬 đơn vị vào 5, kết quả nhận được là 17. Nếu bạn để ý thì mỗi lần mua một món đồ gì đó, người bán hàng tạp hóa thường dùng cách này để thối tiền cho bạn. Thay vì trừ đi 83 ngàn đồng từ 100 ngàn để tìm hiệu, họ lại đếm từ 83 đến 100.

Cũng từ định nghĩa trên, ta có ràng buộc 𝒂 phải lớn hơn hoặc bằng 𝒃. Đó là vì bài toán về phép trừ ở bậc Tiểu học luôn yêu cầu tìm hiệu của một số với một số khác nhỏ hơn nó. Trong chương sau, khi chúng ta mở rộng tập những số tự nhiên thành tập các số nguyên với sự xuất hiện của số âm, định nghĩa về phép trừ sẽ khơng cịn điều kiện này nữa.

<b>Mơ hình của phép trừ </b>

Khái niệm về phép trừ thể hiện qua ba hình thức:

<i><b>Lấy bớt đi (take-away). Giả sử Quân có 12 con tem, rồi cho </b></i>

Uyên 7 tem. Vậy Quân còn bao nhiêu tem? Hình sau đây mơ tả hiệu 𝟏𝟐 − 𝟕 qua việc lấy bớt đi 7 phần tử từ nhóm 12 phần tử.

<small>Hình 1.13 Hình thức Lấy bớt đi thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓 </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<i>So sánh (comparison). Giả sử Minh có 12 con tem và Phương </i>

có 7 tem. Hỏi Minh có nhiều hơn Phương bao nhiêu tem? Ở trường hợp này, ta so sánh hai tập hợp với nhau để tìm hiệu. Hình ảnh một tập hợp có nhiều hơn một tập khác 5 tem được mơ tả như sau

<small>Hình 1.14 Hình thức So sánh thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓 </small>

<i>Tìm số hạng còn thiếu. Giả sử Linh chỉ có 7 con tem nhưng </i>

cô lại cần gửi đi 12 lá thư. Biết rằng trên mỗi lá thư gửi đi có dán một con tem. Hỏi Linh phải có thêm bao nhiêu tem? Để giải bài toán, ta có thể đếm từ 7 đến 12 để tìm số hạng còn thiếu. Việc thêm 5 tem vào 7 tem để tạo thành nhóm có 12 tem được biểu diễn qua hình dưới đây.

<small>Hình 1.15 Hình thức Tìm số hạng cịn thiếu thể hiện 𝟏𝟐 − 𝟕 = 𝟓 </small>Thơng qua những bài tốn cụ thể, ta có hai mơ hình giải thích về quy trình tìm hiệu giữa các số tự nhiên: Không cần phải nhớ—không thực hiện phép gộp, và cần phải nhớ—cần

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

thực hiện phép gộp. Ví dụ 16 trình bày quy trình tính hiệu bằng cách gộp nhóm sử dụng hình thức lấy bớt đi.

<b>Ví dụ 16. Tìm </b>𝟓𝟑 − 𝟐𝟗. Trước tiên ta bắt đầu với 5 bó que tính (5 chục) và 3 que lẻ (3 đơn vị). Muốn bớt đi 9 que, ta phải phân rã một bó que để thu được 13 que lẻ. Sau đó, ta lấy đi 2 bó và 9 que, chỉ để lại 2 bó que cùng 4 que lẻ. Trong quy trình, phép gộp được ghi lại qua việc chúng ta gạch 5 đi và viết 4 ở phía trên đó.

<small>Hình 1.16 Hình thức Lấy bớt đi thể hiện 𝟓𝟑 − 𝟐𝟗</small>

<b>Phép nhân </b>

<small>Hình 1.17 Saigon Times Square </small>

Tòa nhà 39 tầng ở hình bên gọi là Saigon Times Square<small>14</small>. Đây là tòa nhà cao thứ ba Sài Gòn và đứng thứ năm trên cả nước ta. Nơi này vào ban đêm thật rực rỡ với bao dải đèn màu lung linh, thu hút sự chú ý của khách bộ hành ở phố Nguyễn Huệ.

<small>14 Xem thêm ở hoan-hao-theo-chuan-quoc-te_15509.html</small>

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Phần tháp phía trước của Saigon Times Square gồm 33 tầng, chia làm 5 cột. Để làm sạch kính, người ta đặt một máy chùi rửa ở đỉnh tòa nhà, một bộ phận của máy sẽ hạ xuống theo chiều dọc và vệ sinh 33 mặt kính trên mỗi cột. Sau khi làm sạch tất cả mặt kính ở một cột, máy sẽ di chuyển sang cột tiếp theo. Như vậy, tổng số mặt kính là tổng của 𝟑𝟑 + 𝟑𝟑 + ⋯ + 𝟑𝟑, trong đó con số 33 được lặp lại năm lần. Tổng này bằng với tích 𝟓 × 𝟑𝟑, tức là 165. Tổng và tích vừa nêu cịn có cách biểu diễn khác nếu ta xét số mặt kính theo mỗi tầng. Có 5 mặt kính ở mỗi tầng và có tất cả 33 tầng. Vì thế, tổng số mặt kính là tổng của 𝟓 + 𝟓 + ⋯ +𝟓, gồm ba mươi ba con số 5. Tổng ấy có cùng giá trị với 𝟑𝟑 × 𝟓 hay là 165. Từ đó, ta thấy rằng, sử dụng phép nhân là cách tính hiệu quả thay cho phép cộng khi gặp bài tốn tìm tổng đặc trưng như trên: Tìm tổng của một số được lặp lại nhiều lần. Trên thực tế, phép nhân được đưa ra nhằm thay thế cho phép cộng ở

<i>trường hợp đặc biệt với nhiều số hạng của tổng có cùng giá trị (several equal addends). Đây chính là lý do vì sao người ta </i>

<b>thường định nghĩa cũng như giải thích phép nhân </b>

(multiplication) các số <b>dưới dạng phép cộng lặp </b>

(repeated addition).

Cho hai số tự nhiên <b>𝒂 và 𝒃 bất kỳ. Tích của 𝒂 và 𝒃 </b>

(product of 𝒂 and 𝒃) là tổng của 𝒂 lần 𝒃, và ta viết 𝒂 × 𝒃 = 𝒃 + 𝒃 + ⋯ + 𝒃⏟

<small>𝒂 𝐥ầ𝐧</small>

.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Có nhiều cách để ký hiệu phép nhân như 𝒂 ∗ 𝒃, 𝒂𝒃, 𝒂 ∙ 𝒃 hay 𝒂. 𝒃, và 𝒂 × 𝒃. Ở tài liệu này, ký hiệu × tương ứng với dấu nhân. Trong một số trường hợp cụ thể, khi không bị nhầm lẫn, ta sẽ dùng cách viết 𝒂𝒃.

<i>Để minh họa phép nhân các số, ta có thể dùng những dãy (có) </i>

<i>hình chữ nhật (rectangular array), chẳng hạn như các hàng và </i>

cột của mặt kính như ở phần đầu mục này. Hình 1.18 dưới đây nêu lên mối quan hệ gần gũi giữa việc tìm tích bằng phép cộng lặp với việc tìm tích ấy dùng những dãy trên. Nếu 1.18-(a) minh họa cho phép tính 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 + 𝟕 bằng cách nhóm bốn dãy với nhau, mỗi dãy gồm bảy ô vuông nhỏ ứng với bảy đơn vị thì 1.18-(b) ghép các dãy này thành một mặt 𝟒 × 𝟕 có hình chữ nhật.

<small>Hình 1.18 Minh họa phép nhân các số dùng các dãy hình chữ nhật </small>

Một cách khác thường gặp, dùng để minh họa cho phép nhân

<i>là sơ đồ cây (tree diagram). Ở cách này, ta dùng phép đếm để </i>

giải một số bài toán nhân đặc trưng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>Ví dụ 17. Từ một quyển catalog quần jeans nam, người ta </b>

thấy các chất liệu cotton, thun và denim<small>15</small>. Bên cạnh đó, quyển này cịn liệt kê một số kiểu phổ biến là ống rộng, ống thẳng, ống loe và lưng xệ<small>16</small>. Hỏi có tất cả bao nhiêu mẫu quần jeans?

<b>Giải. Ta giải bài toán bằng cách dùng sơ đồ cây. Sơ đồ gồm </b>

ba nhánh tương ứng với ba loại chất liệu vải. Mỗi nhánh ấy lại chia thành bốn nhánh nhỏ ứng với các kiểu quần. Như vậy, sơ đồ có 𝟑 × 𝟒 = 𝟏𝟐 điểm đầu mút. Mỗi đầu mút là một trong mười hai mẫu quần jeans cần tìm.

<small>Hình 1.19 Minh họa bài tốn tìm mẫu quần jeans dùng Sơ đồ cây</small>

<b>Mơ hình của phép nhân </b>

Trong đời sống, có nhiều người thành thạo khi làm tính nhân và có thể đưa ra ngay kết quả khi nhận được yêu cầu. Thế nhưng

<small>15 Denim là chất liệu để may quần jeans, được dệt từ một sợi trắng và một sợi màu trong khi chất liệu thông thường được dệt bằng hai sợi cùng màu. Xem thêm ở </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>họ lại khơng nắm vững quy trình tìm tích. Sử dụng mơ hình mặt </b>

(area model) trong phép nhân không những giúp chúng ta hiểu định nghĩa phép nhân hơn, làm sáng tỏ quy trình tính mà còn củng cố các quy tắc cần thực hiện khi làm toán. Ta sẽ dùng một hệ các mặt (xem hình 1.20): Vng (flat), dài (long) và đơn (unit) để mơ tả những ví dụ bên dưới. Mỗi mặt đơn ứng với một đơn vị. Mười mặt đơn tương ứng với một mặt dài (một dãy hình nhật gồm mười ô nhỏ). Mười mặt dài ứng với một mặt vng.

<small>Hình 1.20 Mặt vng, mặt dài và mặt đơn</small>

<small>Hình 1.21 Tìm tích của 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 dùng mơ hình mặt</small>

Hình 1.21 diễn giải u cầu tìm tích của 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 bằng mơ hình mặt. Trước hết, ta biểu diễn con số 145 như ở 1.21-(a),

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

rồi ta gấp ba lần số mặt ấy lên và nhận được: Ba mặt vuông, mười hai mặt dài cùng mười lăm mặt đơn [xem 1.21-(b)]. Tiếp đến, ta thực hiện gộp nhóm. Mười mặt đơn gộp thành một mặt dài, còn lại năm mặt đơn. Mười mặt dài tạo thành một mặt vuông, để lại ba mặt dài. Kết quả nhận được sau cùng gồm bốn mặt vuông, ba mặt dài và năm mặt đơn, giống như 1.21-(c).

Mơ hình mặt được dùng để minh họa cho kỹ năng tính tốn

<i>dùng giấy và bút (paper-and-pencil</i><small>17</small>). Xét tích 𝟑 × 𝟏𝟒𝟓 nêu trên. Đầu tiên, ta viết số 5, ứng với năm mặt đơn của 1.21-(c), ở hàng đơn vị. Việc gộp mười mặt đơn thành một mặt dài ở bước tiếp theo được ghi nhận lại qua hình ảnh của số 1 nhỏ ở hàng chục (xem bên dưới). Sau đó, ta ghi số 3 ở hàng chục, con số này chính là ba mặt dài. Tương tự, ta cũng có số 1 nhỏ ở hàng trăm ứng với việc nhóm mười mặt dài thành một mặt vng và cuối cùng, viết số 4 trên cùng hàng ấy.

Mặt vuông Mặt dài Mặt đơn

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Mơ hình mặt cịn giúp ta dễ dàng biểu diễn phép nhân các số với 10. Cứ mười mặt đơn tạo thành một mặt dài, mười mặt dài được một mặt vuông và mười mặt vuông cho một mặt dài-vuông (long-flat). Để dễ hình dung hơn, bạn có thể xem một mặt dài-vuông là một hàng có mười mặt vng xếp liền kề nhau.

Bây giờ ta tìm tích của 34 và 10 (xem hình 1.22). Ta bắt đầu với ba mặt dài và bốn mặt đơn. Kết quả thu được gồm 3 mặt vuông, 4 mặt dài và 0 mặt đơn. Điều này đồng nghĩa với việc ta thêm số 0 vào bên phải của một số¹⁸ khi nhân số đó với mười.

<small>Hình 1.22 Biểu diễn tích 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎 bằng mơ hình mặt </small>

Nhược điểm của mơ hình mặt dần thể hiện khi tìm tích của các thừa số lớn. Chẳng hạn, ở phép nhân 18 với 23, số 23 được lặp lại mười tám lần. Ta có thể dùng các dãy hình chữ nhật để thay thế. Ta vẽ một hình chữ nhật có chiều 𝟏𝟖 × 𝟐𝟑 trên giấy kẻ ô ly<small>19</small>. Tổng số ô ly nhỏ của dãy chính là tích cần tính. Như vậy,

<small>18 Số tự nhiên hoặc số nguyên. </small>

<small>19 Bạn nên dùng giấy kẻ 10 ô ly để thuận tiện hơn khi đếm số ô ly. Các học sinh lớp một thường dùng giấy kẻ 5 ô ly để rèn chữ. Khi không nhấn mạnh số ô được chia như 4, 5, 10, người ta gọi chung là “giấy kẻ ô ly” hay “giấy kẻ ly”. </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

kết quả cần tìm là 414. Chú ý rằng, “dãy lớn” (xem Hình 1.23) có thể xem như mười tám “hàng nhỏ” của 23 và điều này thêm một lần nữa thắt chặt quan hệ giữa phép nhân và cộng dồn.

<small>Hình 1.23 Biểu diễn tích 𝟏𝟖 × 𝟐𝟑 bằng dãy hình chữ nhật</small>

<b>Khi nhân các số (dùng giấy và bút), tích nhận được là tích </b>

<b>từng phần (partial product). Mỗi khi nhân những số có hai chữ </b>

số với nhau như 𝟏𝟑 × 𝟏𝟕, ta nhận được bốn tích từng phần. Bốn vùng phân biệt bởi các dòng kẻ đậm đại diện cho các tích ấy. Đơi lúc cần nhấn mạnh, ta vẽ thêm một số mũi tên từ mỗi tích từng phần đến vùng tương ứng trên giấy kẻ ly (Hình 1.24).

<small>Hình 1.24 Tích từng phần</small>

<b>Tính chất của phép nhân các số tự nhiên </b>

Tương tự với phép cộng các số, phép nhân cũng có những tính chất tương ứng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<i>Tính đóng kín. Với mọi số tự nhiên 𝒂 và 𝒃, </i>

𝒂 × 𝒃 là số tự nhiên duy nhất.

<i>Tính chất có phần tử đơn vị. Số 1 giữ vai trò là phần tử đơn vị </i>

của phép nhân vì khi ta nhân nó với một số tự nhiên khác, kết quả nhận được chính là số tự nhiên ấy. Ví dụ như

và 1 là phần tử đơn vị duy nhất của phép nhân.

<i>Tính chất giao hốn. Khi tìm tích các số, ta có thể đổi chỗ hai </i>

con số bất kỳ mà không làm thay đổi tích thu được. Chẳng hạn, 𝟑𝟓𝟕 × 𝟐𝟔 = 𝟐𝟔 × 𝟑𝟓𝟕. Nghĩa là, ta ln có

<i>𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒂 </i>

với mọi số tự nhiên 𝒂 và 𝒃.

<b>Ví dụ 18. Có hai cách biểu diễn một tích bằng cách dùng các </b>

dãy hình chữ nhật. Hình 1.25-(a) tương ứng với tích của 𝟕 × 𝟓, còn 1.25-(b) ứng với tích của 𝟓 × 𝟕. Ta nhận được 1.25-(b) bằng cách xoay 1.25-(a) và như vậy, cả hai hình này có cùng số ơ vng. Vì thế, ta thu được cùng một kết quả.

</div>