ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ SƠ CẤP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN)

0












ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

ðẠI SỐ SƠ CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN)

Năm 2014
1

MỤC LỤC

Chương 1. Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất…………………………
2
1.1. Biểu thức toán học…………………………………………………………………
2
1.2. Các phép biến ñổi hữu tỉ……………………………………………………………
3
1.3. Các phép biến ñổi vô tỉ………………………………………………………………
11

1.4. Các phép biến ñổi mũ và logarit………………………………………………
15

1.5. Các phép biến ñổi lượng giác………………………………………………………

16

Chương 2. Hàm số và ñồ thị ……………………………………………………………… 23

2.1. Khái niệm về hàm số và ñồ thị……………………………………………………….

23

2.2. Khảo sát hàm số……………………………………………………………………
24

2.3. Các phép biến ñổi ñồ thị……………………………………………………………
26

2.4. Khảo sát sơ cấp hàm số bậc nhất và bậc hai…………………………………………
27

2.5. Khảo sát sơ cấp hàm phân thức………………………………………………………

28

2.6. Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit………………………………………………

29

2.7. Khảo sát sơ cấp hàm số lượng giác…………………………………………………
30

Chương 3. Bất ñẳng thức…………………………………………………………………….

34

3.1. ðại cương về bất ñẳng thức………………………………………………………….

34

3.2. Tính chất của bất ñẳng thức………………………………………………………….
34

3.3. Một số bất ñẳng thức thường gặp…………………………………………………….

35

3.4. Chứng minh bất ñẳng thức………………………………………………………… 35

3.5. Các bài toán cực trị hàm số…………………………………………………………
41

Chương 4. Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình…………………………

52

4.1. ðại cương về phương trình, hệ, tuyển phương trình và bất phương trình………… 52

4.2. Phương trình, bất phương trình hữu tỷ một ẩn. Phương pháp khoảng……………….

56

4.3. Phương trình và hệ phương trình hữu tỷ hai ẩn……………………………………
60

4.4. Bất phương trình hữu tỷ hai ẩn. Phương pháp hình học……………………………
64

4.5. Phương trình và bất phương trình vô tỷ……………………………………………
65

4.6. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarít………………………………………

66

4.7. Phương trình và bất phương trình lượng giác………………………………………
67



Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………
83


2

CHƯƠNG 1
Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất
Số tiết: 14 (Lý thuyết: 08 tiết; bài tập, thảo luận: 06 tiết)

A) MỤC TIÊU
Chương này gồm năm phần. Phần ñầu tiên của chương trang bị cho người học hiểu thế nào
là một biểu thức toán học và biết phân loại các biểu thức toán học. Bốn phần tiếp theo rèn luyện
cho người học các kĩ năng biến ñổi một biểu thức. Qua nội dung của chương, trước hết người
học thấy ñược sự phong phú ña dạng, phức tạp của các biểu thức toán học và sự cần thiết phải
biến ñổi một biểu thức toán học nhằm phân loại nó, ñưa nó về dạng ñơn giản hơn, chỉ ra mối liên
hệ của nó với các biểu thức khác. Bên cạnh ñó, người học ñược lần lượt ñược nghiên cứu, thao
tác bốn loại biến ñổi phổ biến tương ứng với bốn loại biểu thức trong chương trình ñại số ở phổ

thông.

B) NỘI DUNG

1.1. Biểu thức toán học
1.1.1. Phép toán ñại số, phép toán siêu việt
a) Phép toán ñại số
Ta hiểu phép toán ñại số cơ bản bao gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia và
phép khai căn. Như vậy phép nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên, phép nâng lên lũy thừa với số
mũ hữu tỉ thực chất cũng có thể coi là những phép toán ñại số.
b) Phép toán siêu việt
Phép toán siêu việt bao gồm các phép lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép toán lấy lôgarit, phép
toán lượng giác và lượng giác ngược.

1.1.2. Các loại biểu thức toán học
Chúng ta có thể hiểu một cách khái quát, biểu thức toán học là một tập hợp chữ và số ñược
gắn với nhau bởi những kí hiệu phép toán.
Có nhiều loại biểu thức toán học, chúng ñược phân chia dựa theo ñặc ñiểm phép toán xuất
hiện trong biểu thức.
+) Biểu thức giải tích: Là cách viết kí hiệu một loạt phép toán cần thực hiện theo một thứ tự nhất
ñịnh trên các số biểu thị bởi các chữ (ñối số), hoặc các chữ số ñể tìm giá trị bằng số của biểu thức
ñã cho.
+) Biểu thức ñại số: Là biểu thức giải tích trong ñó chỉ có các phép toán ñại số.
+) Biểu thức ñại số hữu tỉ: Là biểu thức ñại số trong ñó chỉ có các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
trên những biểu thức chứa ñối số.
+) Biểu thức ñại số vô tỉ: là biểu thức ñại số có chứa phép khai căn trên những biểu thức chứa ñối
số.
Ví dụ 1.1.1. Cho
, ,
A B C

là các tập hợp. Khi ñó
\ ( )
A B C
∪
không là một biểu thức toán học.
3

Ví dụ 1.1.2.
2
1
x y
x
+
−
là một biểu thức ñại số hữu tỉ.
Ví dụ 1.1.3.
2
3
1
xy x x
− + +
là một biểu thức ñại số vô tỉ.

1.2. Các phép biến ñổi hữu tỷ
1.2.1. ða thức trên trường số
Xét vành ña thức
[ ],
A x
ở ñây
A

là trường số thực hoặc trường số phức.
a) Nghiệm của ña thức
Theo Bezout, ta ñã biết rằng dư của phép chia
(
)
f x
cho
(
)

x c
−
là
(
)
.
f c
Từ ñây suy ra
nếu ña thức
(
)
f x
nhận c làm nghiệm khi và chỉ khi
(
)
f x
chia hết cho
(
)
.

x c
−
Giả sử ña thức
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
⋯
có ñầy ñủ
n
nghiệm là
1 2
, , , .
n
x x x
…
Khi ñó ta có công thức
Viéte sau ñây:
1
1 2
2
1 2 2 3 1
0
1 2
.

( 1)
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
a
x x x
a
a
x x x x x x
a
a
x x x
a
−
−
−

+ + + = −



+ + + =






= −


⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯

Ngoài ra ñối với vấn ñề về sự tồn tại nghiệm của các ña thức một biến trên trường số thực hoặc
phức, chúng ta còn có các kết quả sau.
ðịnh lí 1.2.1. Mọi ña thức một biến bậc lẻ trên trường số thực ñều có ít nhất một nghiệm thực.
ðịnh lí 1.2.2. Mọi ña thức một biến bậc dương trên trường số phức ñều có ít nhất một nghiệm
phức.
*) Câu hỏi: Khẳng ñịnh của ðịnh lí 1.2.2 có còn ñúng không khi mở rộng sang ña thức nhiều
biến trên trường số phức?
b) Ứớc chung lớn nhất
Cho hai ña thức
( ), ( ) [ ].
f x g x A x
∈
ða thức
( ) [ ]
d x A x
∈
ñược gọi là một ước chung của
( ), ( )
f x g x

nếu
( ) ( )
f x d x
⋮
và
( ) ( ).
g x d x
⋮
Nế
u
ướ
c chung
( )
d x
chia h
ế
t cho m
ọ
i
ướ
c chung khác
thì nó
ñượ
c g
ọ
i là
ướ
c chung l
ớ
n nh

ấ
t c
ủ
a
( )
f x
và
( )
g x
. Ta
ñ
ã bi
ế
t r
ằ
ng vành
ñ
a th
ứ
c trên m
ộ
t
tr
ườ
ng là m
ộ
t vành chính, do
ñ
ó theo lý thuy
ế

t chia h
ế
t trong vành chính ta có k
ế
t qu
ả
sau.
ðịnh lí 1.2.3. Ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên một trường luôn tồn tại. ðặc
biệt, ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên trường số thực và trường số phức luôn
tồn tại.
Vì vành ña thức một biến trên một trường cũng là một vành Euclid nên ñể tìm ước chung
lớn nhất của hai ña thức, người ta thường áp dụng thuật toán Euclid.
c) ða thức bất khả quy
4

Cho ña thức
( ) [ ]
p x A x
∈
có bậc dương. Ta nói
( )
p x
là bất khả quy trên
A
nếu nó không thể
phân tích thành tích của hai ña thức bậc dương. Nếu trái lại, ta nói
( )
p x
là khả quy hoặc phân
tích ñược trên

.
A

Mệnh ñề 1.2.4. (i) Mọi ña thức bậc nhất ñều bất khả quy.
(ii) ða thức bất khả quy
( )
p x
chỉ có các ước là ña thức bậc 0 và dạng
{
}
( ), \ 0 .
ap x a A∈

(iii) ða thức
( ) [ ]
p x A x
∈
là bất khả quy khi và chỉ khi với mọi ña thức
( ) [ ]
f x A x
∈
thì hoặc
( ) ( ),
f x p x
⋮
hoặ
c
( ( ), ( )) 1.
f x p x
=

(iv) N
ế
u
( ) ( ) ( )
f x g x h x
⋮
mà
( ( ), ( )) 1
f x h x
=
thì
( ) ( ).
g x h x
⋮

(v) N
ế
u
( )
p x
b
ấ
t kh
ả
quy và
( ) ( ) ( )
f x g x p x
⋮
thì

( ) ( )
f x p x
⋮
ho
ặ
c
( ) ( ).
g x p x
⋮

ðịnh lí 1.2.5.
M
ỗ
i
ñ
a th
ứ
c trên m
ộ
t tr
ườ
ng
ñề
u phân tích
ñượ
c thành m
ộ
t tích các
ñ
a th

ứ
c b
ấ
t
kh
ả
quy, h
ơ
n n
ữ
a s
ự
phân tích là duy nh
ấ
t n
ế
u không k
ể

ñế
n th
ứ
t
ự
các nhân t
ử
và các ph
ầ
n t
ử

kh
ả
ngh
ị
ch.

ðịnh lí sau cho ta thấy rõ lớp các ña thức bất khả quy trên các trường số thực và phức.
ðịnh lí 1.2.6. (i) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số phức là các ña thức bậc nhất.
(ii) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số thực là các ña thức bậc nhất và các ña thức bậc
hai với biệt thức âm.
Ví dụ 1.2.7. Chứng minh rằng ña thức
6 5 2
( ) 5 4 7
f x x x x
= + − −
có ít nhất hai nghiệm thực phân
biệt (hướng dẫn:
(0) 7 0, lim ( ) .
x
f f x
→±∞
= − < = +∞
ðến ñây sử dụng kiến thức về hàm liên tục). Hãy
khái quát hóa bài toán.
Ví dụ 1.2.8. Phân tích ña thức
2 3 3
(1 ) 8
x x
− +

thành nhân tử bất khả quy trên trường số thực.

1.2.2. ða thức với hệ số hữu tỉ
Việc nghiên cứu ña thức với hệ số hữu tỉ là rất cần thiết, về mặt ñại số trước hết nó là cơ sở
ñể chúng ta tiếp cận với một lớp số quan trọng là số ñại số, tiếp ñó nó còn liên quan ñến bài toán
giải phương trình bằng căn thức. Về mặt hình học, nó là bước ñệm quan trọng giúp người học
tiếp cận với vấn ñề dựng một ñại lượng bằng thước kẻ và compa.
Ta ñã biết rằng mỗi ña thức trên một trường ñều phân tích ñược thành tích các ña thức bất
khả quy. Do ñó ña thức bất khả quy ñóng vai trò ñặc biệt quan trọng khi nghiên cứu về ña thức
giống như vai trò của tập số nguyên tố trong số học. Người ta ñã cố gắng ñưa ra nhiều dấu hiệu
ñể một ña thức là bất khả quy, dưới ñây là một trong những dấu hiệu hay ñược áp dụng.
ðịnh lí 1.2.9 (Eisenstein). Cho
1
1 1 0
( ) [ ] ( *, 0).
n n
n n n
f x a x a x a x a x n a
−
−
= + + + + ∈ ∈ ≠
⋯ ℤ ℕ
Nếu
tồn tại số nguyên
p
sao cho
p
không là ước của
n
a

nhưng là ước của tất cả các số hạng còn lại
và
2
p
không là ước của số hạng tự do
0
a
thì
( )
f x
là bất khả quy.
ðịnh lí 1.2.10 (Osada). Cho
1
1 1
( ) [ ]
n n
n
f x x a x a x p x
−
−
= + + + ± ∈
⋯ ℤ
với
p
là một số nguyên tố.
Khi ñó nếu
1 1
1
n
p a a

−
> + + +
⋯
thì
( )
f x
là bất khả quy.
5

Ví dụ 1.2.11. Cho
p
là một số nguyên tố lẻ. Khi ñó ña thức
1 2
( ) [ ]
p p
f x x x x p x
− −
= + + + ± ∈
⋯ ℤ

là bất khả quy.
ðịnh lí 1.2.12 (Polya). Cho
( ) [ ], deg ( ) 0.
f x x f x n
∈ = >
ℤ
ðặt
1
.
2

n
m
+
 
=
 
 
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i
n
s
ố

nguyên phân bi
ệ
t
1
, ,
n
d d
…
không là nghi
ệ

m c
ủ
a
( )
f x
sao cho
!
( ) ( 1, , ).
2
i
m
m
f d i n
< = … Khi
ñ
ó
( )
f x
là b
ấ
t kh
ả
quy.
Ví dụ 1.2.13. ða thức
( ) ( 1)( 2) ( 100) 1
f x x x x
= − − − +
⋯
là bất khả quy.
ðể phân tích một ña thức thành các nhân tử bất khả quy, trong nhiều trường hợp người ta

thường xem xét nghiệm của ña thức ñó. Bằng cách quy ñồng các phân số, người ta luôn ñưa
ñược bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số hữu tỉ về bài toán tìm nghiệm của một ña
thức với hệ số nguyên.
ðịnh lí 1.2.14. Cho ña thức
1
1 1 0 0
( ) [ ] ( *, 0).
n n
n n n
f x a x a x a x a x n a a
−
−
= + + + + ∈ ∈ ≠
⋯ ℤ ℕ
Nếu
phân số tối giản
p
q
là nghiệm của
( )
f x
thì
p
là ước của
0
,
a q
là ước của
.
n

a

Hệ quả 1.2.15. (i) Mọi nghiệm nguyên nếu có của ña thức với hệ số nguyên phải là ước của số
hạng tự do.
(ii) Mọi nghiệm hữu tỉ của ña thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bằng 1 ñều là nghiệm
nguyên.
ðịnh lí 1.2.16. Cho ña thức
1
1 1 0 0
( ) [ ] ( *, 0).
n n
n n n
f x a x a x a x a x n a a
−
−
= + + + + ∈ ∈ ≠
⋯ ℤ ℕ
Nếu
{
}
\ 1
α
∈ ±
ℤ
là nghiệm của
( )
f x
thì
(1) (1)
, .

1 1
f f
α α
∈
− +
ℤ

Ví dụ 1.2.17. Các ña thức sau là bất khả quy trên
:
ℚ

(i)
4 3 2
8 12 6 2.
x x x x
− + − +

(ii)
5 3
12 12 12.
x x x
− + −

(iii)
4 3 2
2 1 ( : 1)
x x x HD y x
− + + = −

1.2.3. Những phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử
Có nhiều phương pháp ñể thực hiện việc phân tích một ña thức thành các nhân tử bất khả
quy. Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng việc phân chia các phương pháp chỉ mang tính tương ñối và
mỗi phương pháp chỉ áp dụng cho những dạng ña thức phù hợp. Do ñó trong các bài toán cụ thể
cần biết vận dụng phối hợp tất cả các phương pháp.
a) Phương pháp dùng nghiệm phức
b) Phương pháp chia liên tiếp
c) Phương pháp ñặt nhân tử chung
d) Phương pháp thêm bớt, nhóm các số hạng
e) Phương pháp ñặt ẩn phụ
f) Phương pháp dùng hằng ñẳng thức
6

g) Phương pháp ñề xuất bình phương ñủ
f) Phương pháp dùng ña thức ñối xứng

1.2.4. Các phép biến ñổi ña thức
ðịnh lí 1.2.18 (Lagrange). Cho
( )
f x
là ña thức bậc
n
trên trường A và
0 1
, , ,
n
x x x A
∈
…
là

1
n
+
phần tử phân biệt. ðặt
{ }
0
( ) ( ), \ 0 .
n
i
i
g x a x x a A
=
= − ∈
∏
Khi
ñ
ó ta có:
(i)
0
, 0
( ) ( ) .
n
n
k
i
i
k i k
i k
x x
f x f x

x x
=
≠ =
−
=
−
∑
∏

(ii)
0
( )
( )
( ) .
'( )
n
i
i
i i
f x
g x
f x
g x x x
=
=
−
∑


ðịnh lí 1.2.19 (Taylor).

Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c
n
trên tr
ườ
ng A và
.
a A
∈
Khi
ñ
ó ta có:
( )
2
'( ) ''( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
1! 2! !
n
n
f x f x f x
f x f a x a x a x a
n

= + − + − + + −⋯


ðịnh lí 1.2.20 (Newton).
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c
0
n
>
trên tr
ườ
ng A và
1
, , .
n
A
α α
∈
…
Khi
ñ
ó

t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t
0 1 2
, , , ,
n
A
λ λ λ λ
∈
…

ñể
:
0 1 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).
n n
f x x x x x x
λ λ α λ α α λ α α
= + − + − − + + − −
⋯ ⋯


Chú ý 1.2.21.
Các kh
ẳng ñịnh trong ba ñịnh lí trên vẫn ñúng khi thay trường số thực hoặc trường
số phức bởi một trường bất kì có ñặc số 0.

1.2.5. ða thức nhiều biến - ða thức ñối xứng
a) ða thức nhiều biến
ðịnh nghĩa 1.2.22. Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị. Khi
1
n
=
, ta ñịnh nghĩa vành ña
thức
1
[ ]
A x
của biến
1

x
trên
.
A
ðặt
1 1 1
[ ],
A A x A
=
là vành giao hoán, có ñơn vị. Vì thế lại ñịnh
nghĩa ñược vành
[
]
2 1 2
A A x

=
của biến
2

x
trên A
1
ta kí hiệu
[
]
2 1 2
,
A A x x
=
và gọi là vành ña
thức của hai ẩn x
1
, x
2
trên A, cứ tiếp tục như vậy, giả sử ta ñã ñịnh nghĩa ñược vành ña thức
[
]
1 2 1
, , ,
n
A x x x
−
…
của
n 1

−
ẩn
1 2 1
, , ,
n
x x x
−
…
trên A. ðặt
[
]
1 1 1
, , .
n n
A A x x
− −
= …
Khi ñó A
n-1

là vành giao hoán, có ñơn vị. Do ñó ta ñịnh nghĩa vành
[
]
1

n n n
A A x
−
=
kí hiệu là

[
]
1 2
, , ., ,
n
A x x x…
gọi là vành ña thức của n biến
1 2
, , ,
n
x x x
…
trên A.
Một phần tử của A
n
ñược gọi là một ña thức của n biến
1 2
, , ,
n
x x x
…
lấy hệ tử trong vành A, kí
hiệu là
1 2
( , , , )
n
f x x x
…
.
ðịnh lí 1.2.23. ða thức

1 2
( , , ) 0
n
f x x x
=
nếu và chỉ nếu tất cả các hệ tử của nó ñều bằng 0.
Hệ quả 1.2.24. Cho hai ña thức của
[
]
1 2
, , , :
n
A x x x…

7

1 2 31 32 3 1 2
11 12 21 22
1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2
( , , )
n n n m m mn
n n n n m n
f x x c x x x c x x x c x x x c x x x
α
α α α α α α αα α α α
= + + + +
… ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

1 2 31 32 3 1 2
11 12 21 22

1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2
( , , ) .
n n n m m mn
n n n n m n
g x x d x x x d x x x d x x x d x x x
α
α α α α α α αα α α α
= + + + +
… ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Khi ñó
1 1
( , , ) ( , , )
n n
f x x g x x
=
… …
nếu và chỉ nếu
( 1, , ).
i i
c d i m
= = …

ðịnh nghĩa 1.2.25. Giả sử
[
]
1 2 1
( , , , ) , ,
n n
f x x x A x x

∈
… …
là một ña thức khác ña thức 0.
1 2 31 32 3 1 2
11 12 21 22
1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2
( , , )
n n n m m mn
n n n n m n
f x x c x x x c x x x c x x x c x x x
α
α α α α α α αα α α α
= + + + +
… ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Với các
1 2 1 2 1 2
, , , , , ( , , , ) ( , , , ): , 1, .
i i i in i i in j j jn
c A i j j m
α α α α α α α α α
∈ ∈ ≠ ≠ =… ℕ … …

+ Bậc của ña thức
1
( , , )
n
f x x
…
ñối với biến x

i
là số mũ cao nhất mà x
i
có ñược trong các hạng
tử của ña thức.
+ Bậc của hạng tử
1 2
1 2
i i in
i n
c x x x
α α α
⋯
là tổng các số mũ
1 2
i i in
α α α
+ + +
⋯
của các biến.
+ Bậc của ña thức (ñối với tất cả các biến) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của ña
thức ñó. Kí hiệu deg(f).
Cho
[
]
1 2
, , .,
n
A x x x
…

là vành ña thức n biến x
1
, x
2
, , x
n
trên A. Cho ña thức
( )
( ) ( )
( )
, ,
i
i i
i
f a X a A
= ∈
∑

trong
ñ
ó
1 2
( )
1 2
.
n
i
i i
i
n

X x x x
=
⋯
M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng
1 2
( )
( ) ( ) 1 2
n
i
i i
i
i i n
a X a x x x
=
⋯

ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t

ñơ
n th
ứ
c b
ậ
c
1 2

n
i i i
+ + +
⋯
c
ủ
a
[
]
1 2
, , ., .
n
A x x x
…

Chú ý 1.2.26.
(i) N
ế
u trong
ñ
a th
ứ

c
1
( , , )
n
f x x
…

ẩ
n x
i
không có m
ặ
t thì b
ậ
c c
ủ
a
1
( , , )
n
f x x
…

ñố
i
v
ớ
i nó là 0.
(ii) N
ế

u các h
ạ
ng t
ử
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c có cùng b
ậ
c k thì
1
( , , )
n
f x x
…
g
ọ
i là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c
ñẳ
ng c
ấ

p b
ậ
c k
(m
ộ
t d
ạ
ng b
ậ
c k).
ðặ
c bi
ệ
t m
ộ
t d
ạ
ng b
ậ
c nh
ấ
t g
ọ
i là d
ạ
ng tuy
ế
n tính, m
ộ
t d

ạ
ng b
ậ
c hai g
ọ
i là
d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng, m
ộ
t d
ạ
ng b
ậ
c ba g
ọ
i là d
ạ
ng l
ậ
p ph
ươ
ng.
(iii) B
ậ
c c
ủ
a

ñ
a th
ứ
c 0 quy
ướ
c là
−∞
.
ðịnh lí 1.2.27. Mọi ña thức
1 2
[ , , , ]
n
f A x x x
∈
có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng
của các ñơn thức không ñồng dạng.
ðịnh lí 1.2.28. Giả sử
1
( , , )
n
f x x
…
là một ña thức với hạng tử cao nhất là
1 2
1 2
n
n
cx x x
α
α α

⋯
và
1
( , , )
n
g x x
…
là một ña thức với hạng tử cao nhất là
1 2
1 2
n
n
dx x x
β
β β
⋯
và giả sử
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
α α α β β β
>
… …
. Khi ñó hạng tử cao nhất của ña thức

f g
+
là
1 2
1 2

n
n
cx x x
α
α α
⋯
.
ðịnh lí 1.2.29. Giả sử
1
( , , )
n
f x x
…
,
1
( , , )
n
g x x
…
là hai ña thức khác 0 của vành
1 2
[ , , , ]
n
A x x x

có các hạng tử cao nhất theo thứ tự là
1
11 12
1 1 2
n

n
c x x x
α
α α
⋯
,
1
11 12
1 1 2
n
n
d x x x
β
β β
⋯
. Nếu
1 1
0
c d
≠
thì hạng tử
cao nhất của tích

fg
là
1 1
11 11 12 12
1 1 1 2
n n
n

c d x x x
α β
α β α β
++ +
⋯
.
Hệ quả 1.2.30. Nếu A là một miền nguyên thì
[
]
1 2
, , ,
n
A x x x
…
cũng là một miền nguyên.
ðịnh lí 1.2.31. Nếu A là một miền nguyên và
[
]
1 1 1
( , , ), ( , , ) , ,
n n n
f x x g x x A x x
∈
… … …
thì
deg( ) deg( ) deg( ).
fg f g
= +

8

b) ða thức ñối xứng
Khái niệm ña thức ñối xứng không chỉ ñóng vai trò quan trọng trong ñại số hiện ñại mà còn
mang nhiều ứng dụng trong giải các bài toán ñại số sơ cấp.
ðịnh nghĩa 1.2.32. Giả sử A là vành giao hoán có ñơn vị,
[
]
1 1
( , , ) , ,
n n
f x x A x x
∈
… …
.
Ta nói
1
( , , )
n
f x x
…
là một ña thức ñối xứng của n biến nếu với mọi phép thế
1 2 3
(1) (2) (3) ( )
n
n
τ
τ τ τ τ
 
=

 
 
⋯
⋯

ta luôn có
1 (1) ( )
( , , ) ( , , )
n n
f x x f x x
τ τ
=
… …
, ở ñây
(1) ( )
( , , )
n
f x x
τ τ
…
ñược suy ra từ
1
( , , )
n
f x x
…

bằng cách thay thế x
1
bởi

(1)
x
τ
, x
2
bởi
(2)
x
τ
, …, x
n
bởi
( )
n
x
τ

ðịnh lí 1.2.33. Bộ phận M các ña thức ñối xứng của vành
[
]
1
, ,
n
A x x
…
là một vành con của
vành
[
]
1

, ,
n
A x x
…
.

Các ña thức ñối xứng cơ bản

1 1 2
1
n
n i
i
x x x x
σ
=
= + + + =
∑
⋯


2 1 2 1 3 1
n n i j
i j
x x x x x x x x
σ
−
<
= + + + =
∑

⋯


3 1 2 3 1 2 4 2 1
n n n i j k
i j k
x x x x x x x x x x x x
σ
− −
< <
= + + + =
∑
⋯

… ……

1 2 1
1 2 1
1 1 2 3 1 1 2 2 2 1

n
n
n n n n n n i i i
i i i
x x x x x x x x x x x x x x
σ
−
−
− − − −
< < <

= + + + =
∑
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯


1 2 1
n n n
x x x x
σ
−
=
⋯

ðịnh lí 1.2.34 (ðịnh lý cơ bản về ña thức ñối xứng).
M
ọ
i
ñ
a th
ứ
c
ñố
i x
ứ
ng khác
ñ
a th
ứ
c 0,
[

]
1 1
( , , ) , ,
n n
f x x A x x
∈
… …

ñề
u bi
ể
u di
ễ
n
ñượ
c duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c
1
( , , )

n
h
σ σ
…

c
ủ
a các các
ñ
a th
ứ
c
ñố
i x
ứ
ng c
ơ
b
ả
n v
ớ
i các h
ệ
t
ử
trong A.

Ứng dụng lý thuyết ña thức ñối xứng vào ñại số sơ cấp

ða thức ñối xứng ñóng vai trò quan trọng trong ñại số sơ cấp, cụ thể là có thể ứng dụng nó

ñể giải một số bài toán thuộc các chủ ñiểm sau:
+) Phân tích ña thức thành nhân tử
+) Chứng minh hằng ñẳng thức
+) Chứng minh bất ñẳng thức
+) Giải các bài toán về phương trình bậc hai
+) Tìm nghiệm nguyên của các phương trình ñối xứng
+) Giải các hệ phương trình
+) Trục căn thức ở mẫu

9

1.2.6. Các phép biến ñổi phân thức
a) Nhắc lại về xây dựng trường phân thức hữu tỉ
Cho
K
là một trường, ta ñã biết rằng vành ña thức
1
[ , , ]
n
A x x
= …
K
là một miền nguyên. ðặt
{
}
* \ 0 .
A A=
Xét quan hệ tương ñương trên
*
A A

×
như sau:
1 1 2 2
( , ),( , ) *
f g f g A A
∈ ×
ñược gọi
là tương ñương nếu
1 2 2 1
f g f g
=
. Kí hiệu lớp tương ñương ñại diện bởi
( , ) *
f g A A
∈ ×
là
f
g
hay
1
1
( , , )
.
( , , )
n
n
f x x
g x x
…
…

Khi
ñ
ó, t
ậ
p th
ươ
ng g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng theo quan h
ệ
t
ươ
ng
ñươ
ng
ñ
ã
cho là m
ộ
t tr

ườ
ng v
ớ
i hai phép toán:
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
, . .
f f f g f g f f f f
g g g g g g g g
+
+ = =
Ta g
ọ
i tr
ườ
ng này
là tr
ường phân thức hay trường phân thức hữu tỉ của
n
biến
1
, ,
n
x x
…
trên
K
kí hiệu
1
( , , ).

n
x x
…
K
Như vậy ta có
1
1 1 1 1 1
1
( , , )
( , , ) | ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) 0 .
( , , )
n
n n n n n
n
f x x
x x f x x g x x x x g x x
g x x
 
…
… = … … ∈ … … ≠
 
…
 
K  K

Mỗi phần tử
1
1
1
( , , )

( , , )
( , , )
n
n
n
f x x
x x
g x x
…
∈ …
…
K
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t phân th
ứ
c trên tr
ườ
ng
;
K

1
( , , )
n
f x x
…

ñượ
c g
ọ
i là t
ử
th
ứ
c và
1
( , , )
n
g x x
…

ñượ
c g
ọ
i là m
ẫ
u th
ứ
c c
ủ
a phân th
ứ
c
ñ
ã cho.
b) Phân thức tối giản- Rút gọn phân thức

ðịnh nghĩa 1.2.35. Phân thức
1
1
1
( , , )
( , , )
( , , )
n
n
n
f x x
x x
g x x
…
∈ …
…
K
ñượ
c g
ọ
i là
tối giản nếu

(
)
1 1
( , , ), ( , , ) 1.
n n
UCLN f x x g x x
… … =

ðịnh nghĩa 1.2.36. Phân thức một biến
( )
( )
( )
f x
x
g x
∈ K
ñược gọi là thực sự nếu
deg ( ) deg ( ).
f x g x
<

ðịnh nghĩa 1.2.37. Rút gọn một phân thức là việc ñưa một phân thức ñã cho về dạng tối giản.
Ví dụ 1.2.38. Cho phân thức
2
2
3 2
.
5 4
x x
x x
− +
− +
Phân thức này chưa ñược rút gọn vì nó chưa ñược biểu
diễn ở dạng tối giản. Ta có
2 2
3 2 ( 1)( 2), 5 4 ( 1)( 4)
x x x x x x x x

− + = − − − + = − −
và ước chung
lớn nhất của hai ña thức này là
1.
x
−
Giản ước cả tử và mẫu cho
1
x
−
ta ñược
2
2
3 2 2
5 4 4
x x x
x x x
− + −
=
− + −

là phân thức ñã ñược rút gọn về dạng tối giản.

Chú ý 1.2.39. Nhờ thực hiện phép chia ña thức, chúng ta luôn ñưa ñược một phân thức về dạng
phân thức thực sự. Thật vậy, giả sử
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ).
f x g x q x r x r x r x g x
= + = ∨ <
Khi
ñó

( ) ( )
( ) .
( ) ( )
f x r x
q x
g x g x
= +


10

c) Biểu diễn phân thức dưới dạng tổng của những phân thức ñơn giản
Các phân thức hữu tỉ thực sự dạng:
(I)
A
x a
−
; (II)
;
( )
k
A
x a
−
(III)
2
;
Ax B
x px q
+

+ +
(IV)
2
Ax
( )
k
B
x px q
+
+ +

2
( 4 0)
p q
∆ = − <

ñược gọi là các phân thức ñơn giản nhất loại I, II, III, IV.
ðối với nhiều bài toán người ta thường ứng dụng việc phân tích một phân thức dưới dạng
tổng của những phân thức ñơn giản ñể giải, chẳng hạn như: bài toán tính tổng, bài toán chứng
minh bất ñẳng thức, tìm ñạo hàm cấp cao, tìm nguyên hàm của hàm phân thức ðiều này cho
thấy các phân thức ñơn giản ñóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về phân thức.
ðịnh lí 1.2.40. Cho một phân thức hữu tỉ tối giản thực sự
( )
.
( )
F x
f x
Giả sử
1 1
( ) ( ) ( ), ( ) 0.

k
f x x a f x f a
= − ≠

Khi ñó:
(i)
1
1
1
1
( )
( )
, 0,deg ( ) deg ( ) 1.
( ) ( ) ( ) ( )
k k
F x
F x A
A F x f x
f x x a x a f x
−
= + ≠ < −
− −

(ii)
11
1
1
1
( )
( )

, 0,deg ( ) deg ( ) .
( ) ( ) ( ) ( )
k k
k k
k k
A F xA
F x A
AA A F x f x k
f x x a x a x a f x
−
−
= + + + + ≠ < −
− − −
⋯ ⋯


Trong tr
ườ
ng h
ợ
p m
ẫ
u th
ứ
c không có nghi
ệ
m th
ự
c,
ñị

nh lí sau là c
ơ
s
ở
giúp chúng ta phân
tích m
ộ
t phân th
ứ
c thành t
ổ
ng các phân th
ứ
c
ñơ
n gi
ả
n.
ðịnh lí 1.2.41. Cho phân thức hữu tỉ tối giản thực sự
( )
.
( )
F x
f x
Giả sử
2
1
( ) ( ) ( ),
m
f x x px q f x

= + +

trong ñó
1
( )
f x
không chia hết cho ña thức
2
.
x px q
+ +
Khi ñó:
1
1
2 2 1
1
( )
( )
, deg ( ) deg ( ) 2.
( ) ( ) ( ) ( )
m m
F x
F x Mx N
F x f x
f x x px q x px q f x
−
+
= + < −
+ + + +

T
ừ ðịnh lí 3.2.6 và ðịnh lí 3.2.7, chúng ta có kết quả dưới ñây về phân tích một phân thức
thành tổng các phân thức ñơn giản.
ðịnh lí 1.2.42. Cho một phân thức hữu tỉ tối giản thực sự
( )
.
( )
F x
f x
Giả sử
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
k t m n
f x x a x b x px q x rx s
= − − + + + +
⋯ ⋯

với
2 2
4 0, , 4 0.
p q r s
− < − <
…
Khi ñó:

1
1 1 1
1 1
( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
k k
A
A B BF x A B
f x x a x a x a x b x b x b
−
−
− −
= + + + + + + + + +
− − − − − −
ℓ
ℓ ℓ
⋯ ⋯ ⋯


1 1
1 1
2 2 1 2
( ) ( )
m m
m m
M x N
M x NMx N
x px q x px q x px q
− −
−
+
+
+

+ + + + +
+ + + + + +
⋯ ⋯


1 1
1 1
2 2 1 2
.
( ) ( )
n n
n m
P x Q
P x QPx Q
x rx s x rx s x rx s
− −
−
+
+
+
+ + +
+ + + + + +
⋯


11

1.3. Các phép biến ñổi vô tỉ
Khái niệm căn thức ñóng vai trò ñặc biệt quan trọng trong lý thuyết các phương trình ñại số.
Biểu thức chứa căn thức ñối với ñối số còn ñược biết ñến với tên gọi biểu thức ñại số vô tỉ và

nhìn chung khá phức tạp. Phần này sẽ trình bày các khái niệm liên quan ñến căn thức và giới
thiệu một số phép biến ñổi vô tỉ.
1.3.1. Căn số của các số thực
ðể chứng minh sự rồn tại của căn số số học của một số thực, ta cần sử dụng bổ ñề quen thuộc
sau ñây.
Bổ ñề (Cantor): Cho một dãy ñoạn thắt dần:
1 1 2 2
[ ; ] [ ; ] [ ; ]
n n
x y x y x y
⊃ ⊃ ⊃ ⊃
⋯ ⋯
và
lim 0.
n n
n
x y
→∞
− =
Khi ñó
1
[ ; ]
n n
n
x y
∞
=
∩
g
ồ

m duy nh
ấ
t m
ộ
t
ñ
i
ể
m:
{
}
{
}
1
[ ; ] lim lim .
n n n n
n n
n
x y x y
∞
→∞ →∞
=
= =
∩

ðịnh lí 1.3.1.
Cho s
ố
nguyên d
ươ

ng
n
và s
ố
th
ự
c không âm
.
A
Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i s
ố
th
ự
c không âm
x
duy nh
ấ
t sao cho
.
n
x A
=

Chứng minh:
Xét dãy
0,1 , 2 , , ,
n n n
k
… …
Khi
ñó tồn tại một số tự nhiên
p
sao cho
( 1) .
n n
p A p≤ < +

Ta chia ñoạn
[ ; 1]
p p
+
thành 10 phần bằng nhau và giả sử
1 1
1 1
1
, ,0 9.
10 10
n n
q q
p A p q q
+
   
+ ≤ < + ∈ ≤ ≤

   
   
ℕ

Lại chia tiếp ñoạn
1 1
1
;
10 10
q q
p p
+
 
+ +
 
 
thành 10 ph
ầ
n b
ằ
ng nhau Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này ta s
ẽ

thu
ñượ
c m

ộ
t dãy
ñ
o
ạ
n th
ắ
t
[ ; ],
m m
x x
− +
trong
ñ
ó
1 2 1 2
, ; , ( 1).
m m m m
x p q q q x p q q q
− +
= = +
… …
Kí hi
ệ
u
x
là
ñ
i
ể

m (gi
ớ
i h
ạ
n) chung c
ủ
a dãy
ñ
o
ạ
n này, ta
ñượ
c
.
n
x A
=


ðịnh nghĩa 1.3.2. Cho số nguyên dương
2
n
≥
và số thực không âm
.
A
Khi ñó số thực không
âm
x
duy nhất sao cho

n
x A
=
ñược gọi là căn số số học bậc
n
của
.
A
Kí hiệu
.
n
x A
=


Ví dụ 1.3.3.
3
4
4 2, 27 3, 16 2.
= = =


ðịnh nghĩa 1.3.4. Cho số nguyên dương
2
n
≥
và số thực
.
A
Căn số bậc

n
của
A
là số thực
x

(nếu có) sao cho
.
n
x A
=


Chú ý 1.3.5. (i) Căn bậc lẻ của một số thực luôn tồn tại và duy nhất.
(ii) Căn bậc tùy ý của 0 bằng 0.
(iii) Căn bậc chẵn của một số thực dương gồm hai giá trị ñối nhau.
(iv) Căn bậc của một số thực âm không tồn tại.
(v) Với mọi số thực không âm
,
a
ta có
.
n n
a a
=

(vi) Với mọi số thực
,
a
ta có

2 1 2 1
.
n n
a a
+ +
=

12

(vii) Với mọi số thực
,
a
ta có
2 2
.
n n
a a
=
(viii) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có:
.
n n
n n
a b a b a b

= ⇔ = ⇔ =

(ix) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có:
.
n n
n n
a b a b a b
< ⇔ < ⇔ <

(x) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c b
ấ
t kì và
n
là s
ố
t

ự
nhiên l
ẻ
, ta có:
.
n n
n n
a b a b a b
= ⇔ = ⇔ =

(xi) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c b
ấ
t kì và
n
là s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
, ta có:
.
n n

n n
a b a b a b
< ⇔ < ⇔ <

*) Câu hỏi: Hai khẳng ñịnh cuối cùng trong Chú ý 1.3.5 còn ñúng không khi
n
là số chẵn?

1.3.2. Các tính chất của phép khai căn
Sau ñây ta sẽ xét căn số của các số thực không âm, còn các trường hợp riêng sẽ ñược ghi
chú. Thay cho căn số ta sẽ nói căn khi chú ý ñến giá trị, còn nói căn thức khi chú ý ñến các phép
biến ñổi căn.
ðịnh lí 1.3.6. (i) Với mọi số thực không âm
1 2
, , ,
k
a a a
…
, ta có
1 2 1 2
.
n n
n n
k k
a a a a a a
=⋯ ⋯

(ii) Với mọi số thực
1 2
, , ,

k
a a a
…
, ta có
2 1 2 12 1 2 1
1 2 1 2
.
n nn n
k k
a a a a a a
+ ++ +
=⋯ ⋯

(iii) Với mọi số thực không âm
,
a
với mọi số thực dương
,
b
ta có
.
n
n
n
a a
b
b
=
(iv) Với mọi số thực
, ,

a b
ta có
2 1
2 1
2 1
.
n
n
n
a a
b
b
+
+
+
=
(v) Với mọi số thực không âm
a
, ta có
( , *).
nk
k
n
a a n k= ∈
ℕ

(vi) Với mọi số thực không âm
a
, ta có
( , *).

n
k nk
a a n k= ∈
ℕ


Hệ quả 1.3.7. (i) Với mọi số thực không âm
a
, ta có
(
)
( , *).
k
n
k
n
a a n k= ∈
ℕ

(ii) Với mọi số thực không âm
, ,
a b
ta có
( *).
n n
n
a b a b n= ∈
ℕ

(iii) Với mọi số thực

a
, ta có
(
)
2 1
2 1
( , *).
k
n
k
n
a a n k
+
+
= ∈
ℕ

(iv) Với mọi số thực
, ,
a b
ta có
2 1
2 1
2 1
( *).
n
n
n
a b a b n
+

+
+
= ∈
ℕ

(v) Với mọi số thực
a
và mọi số thực không âm
,
b
ta có
2
2
2
( *).
n
n
n
a b a b n= ∈
ℕ


Cho các căn thức
1 2
1 2
, , , .
k
n n n
k
a a a

…
Giả sử số nguyên dương n là bội số chung của các số
nguyên dương
1 2
, , ,
k
n n n
…
. ðặt
1 2
1 2
, , , .
k
k
n n n
d d d
n n n
= = =…
Khi
ñ
ó
1 2
1 2
1 1 2 2
, , , .
k
k
n
d n
n n n

n n
n
k k
a a a a a a
= = =…

Nh
ư
v
ậ
y chúng ta
ñ
ã
ñư
a các c
ă
n th
ứ
c
ñ
ã cho v
ề
các c
ă
n th
ứ
c cùng b
ậ
c mà v
ẫ

n gi
ữ
nguyên giá tr
ị

c
ủ
a chúng. Vi
ệ
c làm này
ñặ
c bi
ệ
t có ích khi mu
ố
n so sánh hai c
ă
n th
ứ
c có b
ậ
c khác nhau.

13

1.3.3. Một số phép biến ñổi vô tỉ thường gặp
D
ự
a theo các tính ch
ấ

t
ñ
ã bi
ế
t v
ề
c
ă
n th
ứ
c, d
ướ
i
ñ
ây s
ẽ
ch
ỉ
ra m
ộ
t s
ố
phép bi
ế
n
ñổ
i vô t
ỉ

th

ườ
ng g
ặ
p nh
ấ
t.
ðể
vi
ệ
c trình bày
ñượ
c thu
ậ
n l
ợ
i, chúng ta s
ẽ
ch
ỉ
xét
ñế
n các c
ă
n s
ố
s
ố
h
ọ
c

Và do
ñ
ó các ch
ữ
n
ằ
m d
ướ
i d
ấ
u c
ă
n
ñề
u bi
ể
u th
ị
các s
ố
th
ự
c không âm ho
ặ
c các bi
ể
u th
ứ
c v
ớ

i
giá tr
ị
không âm. Tuy nhiên, ng
ườ
i h
ọ
c hoàn toàn có th
ể
thêm nh
ữ
ng gi
ả
thi
ế
t khi mu
ố
n m
ở
r
ộ
ng
nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả

ñ

ã trình bày.

a) Phép giản lược căn thức của tích
Gi
ả
s
ử
ta có bi
ể
u th
ứ
c
, , , , ; , , , , , , , ; , , , -1.
k
m n p
X Y Z m qk u n rk v p sk w q r s u v w u v w k
= + = + … = + … … ∈ … ≤
⋯ ℕ

Khi
ñ
ó
w
.
k k
m n p q r s u v
X Y Z X Y Z X Y Z
=
⋯ ⋯ ⋯

b)

Phép giản lược căn thức của thương
Gi
ả
s
ử
ta có bi
ể
u th
ứ
c
, 0, , 0.
m n
k
p q
X Y
Z T
Z T
≠ … ≠
⋯
⋯

Nhân c
ả
t
ử
và m
ẫ

u c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c trong c
ă
n v
ớ
i
k p k p
Z T
− −
⋯
ta
ñượ
c
1
.
m n m n k p k q
k
m n k p k q
k k
p q k k
X Y X Y Z T
X Y Z T
Z T Z T Z T
− −
− −

= =
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯


c) Nâng một căn thức lên lũy thừa
(
)
.
pn k
n n
pn k p k
n
X X X X
+
+
= =


d) Luật phân phối
1 2 1 2
( ) .
n n n n
k k
a X a X a X a a a X
+ + + = + + +
⋯ ⋯

Phép bi

ế
n
ñổ
i này còn
ñượ
c g
ọ
i là phép rút g
ọ
n các c
ă
n th
ứ
c
ñồ
ng d
ạ
ng.

e) Nhân, chia các căn thức có chỉ số bậc khác nhau
ðể
th
ự
c hi
ệ
n vi
ệ
c này, tr
ướ
c h

ế
t chúng ta c
ầ
n quy
ñồ
ng ch
ỉ
s
ố
c
ă
n th
ứ
c b
ằ
ng cách l
ấ
y b
ộ
i s
ố

chung c
ủ
a các ch
ỉ
s
ố

ñ

ang xét.
.
mn mn mn
n m n m
m n
X Y X Y X Y
= =


( 1)
1
.
mn
n n
m
mn
n m n
mn
m
n
mn
m
X X X
X Y
Y Y
Y
Y
−
= = =

f) ða thức của một căn thức
T
ừ
các phép bi
ế
n
ñổ
i
ñ
ã bi
ế
t, không m
ấ
y khó kh
ă
n ta hoàn toàn có th
ể

ñư
a m
ọ
i
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
m
ộ

t c
ă
n b
ậ
c n v
ề
d
ạ
ng m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c không quá
1
n
−
c
ủ
a cùng c
ă
n th
ứ
c
ñ
ó. Th
ậ

t v
ậ
y, n
ế
u cho
bi
ể
u th
ứ
c
2 1
0 1 2 1
( )
n n m
n n m
f x a a x a x a x a x a x
+
+
= + + + + + + +
⋯ ⋯

14

thì b
ằ
ng cách thay
x
b
ở
i

n
X
ta
ñượ
c

2 2
0 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n
n n
n n n n
f X a a X a X a a X X a a X X
+ +
= + + + + + + + + + +
⋯ ⋯ ⋯ ⋯


1
1 2 1
( ) .
n
n
n n
a a X X
−
− −
+ + +
⋯

g) Công thức biến ñổi căn bậc hai “phức tạp”
2 2
.
2 2
A A B A A B
A B
+ − − −
± = ±


1.3.4. Nhân tử liên hợp

Cho S là m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c vô t
ỉ
. Ta g
ọ
i nhân t
ử
liên h
ợ
p c
ủ
a S là bi

ể
u th
ứ
c M, không
ñồ
ng nh
ấ
t
b
ằ
ng không, sao cho tích SM là m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c h
ữ
u t
ỉ
(không ch
ứ
a c
ă
n th
ứ
c n
ữ
a) ho
ặ

c gi
ả
m b
ớ
t
m
ộ
t t
ầ
ng c
ă
n th
ứ
c. Khi
ñ
ó rõ ràng S c
ũ
ng là liên h
ợ
p c
ủ
a M. C
ầ
n l
ư
u ý r
ằ
ng nhân t
ử
liên h

ợ
p nhìn
chung không duy nh
ấ
t, nh
ư
ng trong th
ự
c hành làm toán chúng ta nên c
ố
g
ắ
ng tìm nhân t
ử

ñơ
n
gi
ả
n nh
ấ
t. Sau
ñ
ây ta s
ẽ
minh h
ọ
a vi
ệ
c tìm nhân t

ử
liên h
ợ
p trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p bi
ể
u th
ứ
c vô
t
ỉ
có d
ạ
ng
ñặ
c bi
ệ
t, th
ườ
ng g
ặ
p.

a) Trường hợp
, , , , , , , ,
n
p q r
S X Y Z p q r p q r n
= … ∈ … <
⋯ ℕ

Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
n
n p n q n r
M X Y Z
− − −
=
⋯
vì
.
SM XY Z
=
⋯


b) Trường hợp
n n

S X Y
= −

Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
1 2 3 2 1
n n n n
n n n n
M X X Y X Y Y
− − − −
= + + + +
⋯
vì
.
SM X Y
= −


c) Trường hợp
n n
S X Y
= +
(
2
n

=
hoặc

n
l
ẻ)
Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
1 2 3 2 1 1
( 1)
n n n n
n n n n n
M X X Y X Y X
− − − − −
= − + − + −
⋯
vì
.
SM X Y
= +


d) Trường hợp
1 2 1 2
( ) ( ) , ( ), ( )

S A X A X X A X A X
= +
là các ña thức của
X

Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
1 2
( ) ( )
M A X A X X
= −
vì
[
]
[
]
2 2
1 2
( ) ( ) .
SM A X A X X
= −


Trong tr
ườ

ng h
ợ
p t
ổ
ng quát
( , , , )
S f X Y Z
=
…
v
ớ
i
( , , , )
f x y z
…
là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a các
ñố
i s
ố

, , , .
x y z

…
Ta th
ự
c hi
ệ
n cách làm trên m
ộ
t cách liên ti
ế
p
ñố
i v
ớ
i t
ừ
ng lo
ạ
i c
ă
n th
ứ
c.
Ng
ườ
i ta th
ườ
ng áp d
ụ
ng vi
ệ

c nhân m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n v
ớ
i liên h
ợ
p
ñể
kh
ử
c
ă
n th
ứ
c
ở

m
ẫ
u c
ủ
a m

ộ
t phân th
ứ
c. Cho
1
1 2
2
, ,
S
S S S
S
=
là các bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n. Gi
ả
s
ử

2
M
là m
ộ
t bi

ể
u
th
ứ
c liên h
ợ
p c
ủ
a
2
.
S
Khi
ñ
ó
1 1 2
2 2 2
S S M
S
S S M
= =
là phân th
ứ
c không ch
ứ
a c
ă
n th
ứ
c

ở
m
ẫ
u th
ứ
c.

15

1.4. Các phép biến ñổi mũ và logarit
1.4.1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là m
ộ
t s
ố
th
ự
c d
ươ
ng và m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ

, *.
m

r n
n
= ∈
ℕ
Ta
ñị
nh ngh
ĩ
a
.
n
r m
a a
=
T
ừ

các tính ch
ấ
t
ñ
ã bi
ế
t c
ủ
a c
ă
n th
ứ
c, chúng ta d

ễ
dàng ki
ể
m tra
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a này không ph
ụ

thu
ộ
c vào bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a s
ố
h
ữ
u t
ỉ

.
r
T

ươ
ng t
ự
nh
ư
l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
nguyên, l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố

m
ũ
h
ữ
u t
ỉ

có các tính ch
ấ
t sau:

(i)
1 2 1 2
.
r r r r
a a a
+
=

(ii)
1
1 2
2
.
r
r r
r
a
a
a
−
=

(iii)
( ) .
r r r
ab a b

=

(iv)
.
r
r
r
a a
b b
 
=
 
 

(v)
1
.
r
r
a
a
−
=

(vi) Nếu
1 2
1,
a r r
> <
thì

1 2
.
r r
a a
<

(vii) Nếu
1 2
0 1,
a r r
< < <
thì
1 2
.
r r
a a
>


1.4.2. Lũy thừa với số mũ thực
Bổ ñề 1.4.1. Cho
0
a
>
và
( )
n
r
là một dãy số hữu tỉ hội tụ. Khi ñó
( )

n
r
a
hội tụ và hơn nữa nếu
( ')
n
r
cũng là một dãy số hữu tỉ hội tụ,
lim lim '
n n
n n
r r
→∞ →∞
=
thì
'
lim lim .
n n
r r
n n
a a
→∞ →∞
=
ðịnh nghĩa 1.4.2.
Cho
0
a
>
và
( )

n
r
là m
ột dãy số hữu tỉ hội tụ và
lim .
n
n
r x
→∞
=
Khi ñó ta gọi
lim
n
r
n
a
→∞

là
lũy thừa cơ số
a
với số mũ

x.
Kí hi
ệ
u

lim .
n

r
x
n
a a
→∞
=
T
ừ
các tính ch
ấ
t c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
h
ữ
u t
ỉ
và tính b
ả
o t
ồ

n các phép toán
ñạ
i s
ố
c
ủ
a gi
ớ
i
h
ạ
n, ta có các tính ch
ấ
t sau
ñố
i v
ớ
i l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
th
ự
c:

(i)
1 2 1 2
.
x x x x
a a a
+
=

(ii)
1
1 2
2
.
x
x x
x
a
a
a
−
=

(iii)
( ) .
x x x
ab a b
=

(iv)
.

x
x
x
a a
b b
 
=
 
 

(v)
1
.
x
x
a
a
−
=

(vi) N
ế
u
1 2
1,
a x x
> <
thì
1 2
.

x x
a a
<

(vii) N
ế
u
1 2
0 1,
a x x
< < <
thì
1 2
.
x x
a a
>


16

1.4.3.

Các phép biến ñổi logarit
Cho
a
là một số thực dương khác 1 và x là một số thực dương. Ta kí hiệu
log
a
y x

=
là số
thực thỏa mãn
.
y
x a
=
Từ các tính chất của hàm mũ, ta có các tính chất sau ñây của hàm logarit.

(i)
1 2 1 2
log ( ) log ( ) log ( ).
a a a
x x x x
= +

(ii)
1
1 2
2
log log ( ) log ( ).
a a a
x
x x
x
 
= −
 
 

(iii)
log ( ) log ( ).
a a
x x
α
α
=

(iv)
log
.
a
x
a x
=

(v)
log ( ) .
x
a
a x
=

(vi)
log ( )
log ( ) .
log
b
a
b

x
x
a
=

(vii)
1
log .
log
a
b
b
a
=

(viii)
1
log ( ) log ( ).
a
a
x x
α
α
=
(ix)
log ( ) log ( )
.
b b
x a
a x=

1.5. Các phép biến ñổi lượng giác

Nhìn chung các phép bi
ến ñổi lượng giác rất phong phú và ña dạng. Tùy vào ñặc ñiểm của
mỗi biểu thức cụ thể mà ta ñưa ra biến ñổi phù hợp. Dưới ñây xin trình bày lại một số công thức
biến ñổi cơ bản.
1.5.1. Công thức cộng cung
(i)
sin( ) sin cos sin cos .
α β α β β α
+ = +

(ii)
sin( ) sin cos sin cos .
α β α β β α
− = −

(iii)
cos( ) cos cos sin sin .
α β α β α β
− = +

(iv)
cos( ) cos cos sin sin .
α β α β α β
+ = −

(v)

tg tg
tg( ) .
1 tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−

(vi)
tg tg
tg( ) .
1 tg tg
α β
α β
α β
−
− =
+


1.5.2. Công thức cung nhân ñôi
(i)
2
2tg
sin2 2sin cos .
1 tg
α
α α α

α
= =
+

(ii)
2
2 2 2 2
2
1 tg
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin .
1 tg
α
α α α α α
α
−
= − = − = − =
+

17

(iii)
2
2tg
tg2 .
1 tg
α
α
α
=
−

1.5.3. Công thức cung nhân ba
(i)
3
sin3 3sin 4sin .
α α α
= −

(ii)
3
cos3 4cos 3cos .
α α α
= −

(iii)
3
2
3tg tg
tg3 .
1 3tg
α α
α
α
−
=
−

1.5.4. Công thức biến tổng thành tích

(i)

cos cos 2cos cos .
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =

(ii)
cos cos 2sin sin .
2 2
α β α β
α β
+ −
− = −

(iii)
sin sin 2sin cos .
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =

(iv)
sin sin 2cos sin .
2 2
α β α β
α β
+ −
− =

(v)
sin( )
tg tg .
cos cos
α β
α β
α β
+
+ =

(vi)
sin( )
tg tg .
cos cos
α β
α β
α β
−
− =

(vii)
sin( )
cotg cotg .
sin sin
α β
α β
α β
+
+ =

(viii)
sin( )
cotg cotg .
sin sin
α β
α β
α β
−
− =

1.5.5. Công thức biến tích thành tổng

(i)
2cos cos cos( ) cos( ).
α β α β α β
= + + −

(ii)
2sin cos sin( ) sin( ).
α β α β α β
= + + −

(iii)
2sin sin cos( ) cos( ).
α β α β α β
= − − +


C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:

[2] Phan Huy Kh
ả
i (1995),
Toán nâng cao cho học sinh lớp 11, Nhà Xuất bản Giáo dục.
[5] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà Xuất bản
ðại học Sư phạm.
[7] Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn (2001), Giải toán
Lượng giác, Nhà Xuất bản Giáo dục.
[12] Dương Quốc Việt, ðàm Văn Nhỉ (2008), Cơ sở Lí thuyết số và ða thức, Nhà xuất bản ðại
học Sư phạm.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
18

Nội dung thảo luận
1) Hãy trình bày các phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử. Nêu các ví dụ minh họa và
xem xét việc mở rộng các phương pháp trên các trường bất kì.
2) Hãy trình bày ứng dụng của ña thức ñối xứng trong ñại số sơ cấp.
3) Hãy trình bày ý nghĩa hình học của ña thức ñối xứng.

Bài tập
I. Các phép biến ñổi hữu tỉ
1) Chứng minh rằng
( 1)( 2)( 3)( 4) 1
x x x x
+ + + + +
có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của
một tam thức bậc 2.

2) Tìm
, ,
m n a
sao cho
3
( 1)( 2)( ).
x mx n x x x a
+ + = − − −

3) Tìm ña thức
( )
f x
biết
2
( ) ( 1) .
f x f x x
− − =

4) Tìm ñiều kiện ñể
3 2
( )
f x ax bx cx d
= + + +
là lập phương của một nhị thức bậc nhất.
5) Tìm ñiều kiện ñể
3
( )
f x x px q
= + +
chia hết cho

2
( ) 1.
g x x mx
= + −

6) Tìm UCLN
( )
d x
của hai ña thức
( ), ( )
f x g x
và tìm các ña thức
( ), ( )
u x v x
thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
u x f x v x g x d x
+ =
với
4 3 2 4 3 2
( ) 2 4 2, ( ) 2 2.
f x x x x x g x x x x x
= + − − − = + − − −

7) Tìm
UCLN ( 1, 1).
m n
x x
− −

8) Tìm các ña thức với hệ số thực có bậc bé nhất với các nghiệm:
a) nghiệm kép là 1, các nghiệm ñơn là
2,3,1 ;
i
+

b) nghiệm bội ba là
2 3 .
i
−

9) Chứng tỏ các ña thức sau là bất khả quy trên
:
ℚ

a)
4 3 2
8 12 6 2;
x x x x
− + − +

b)
5 3
12 36 12;
x x x− + −

c)
4 3
2 1.
x x x

− + +

10) Phân tích ña thức sau thành nhân tử:
a)
4 2 2 2
1 ( 1)
x x x x
+ + + − +
trên
;
ℝ

b)
2 2
( 8 7)( 8 15) 15
x x x x
+ + + + +
trên
;
ℚ

c)
4 3 2
2 7 2 13 6
x x x x
+ − − +
trên
;
ℝ

d)
2
2 2
n n
x x
− +
trên
;
ℝ

e)
2
1
n n
x x
+ +
trên
;
ℝ

f)
4 4
x y
+
trên
, ;
ℝ ℂ

g)
2 2

x xy y
+ +
trên
, ;
ℝ ℂ

11) Biểu diễn các phân thức sau thành các phân thức ñơn giản:
a)
4 2
5
2 3
;
( 1)
x x
x
− +
+

b)
2
;
( 1)( 1)
x
x x
+ −

19

c)
3 2

2 2
2 3 4
.
( 2)
x x x
x x
− − −
−

12)
Tìm
ñ
a th
ứ
c
( )
f x

bi
ế
t

( )
f x

chia cho

1, 3
x x
− −

ñề
u có d
ư
là 2 và
( )
f x

chia cho

2
4 3
x x
− +

ñượ
c th
ươ
ng là
1
x
+

và còn d
ư
.
13)
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng trong vành
[ ]
x
ℚ
m
ọ
i
ñ
a th
ứ
c nh
ậ
n làm nghi
ệ
m
ñề
u chia h
ế
t cho
2
3.
x
−

14)
Cho
ñ
a th
ứ

c
( )
f x

v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên
.
p
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
(0), (1)
f f
là các s
ố
l
ẻ
thì
( )
f x

không có nghi
ệ
m nguyên.
15)
Tìm các s
ố

, ,
x y z

th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
.
x y z x y z
a b c a b c
+ +
= + +
+ +

16)
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 1 1 1 1 .
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z z x
     
− − − − − −
   
+ + + = − − −
     
   
+ + + + + +
   
     

17) Rút gọn biểu thức
2 2 2 2 1 2 2 2 2 1.
A x x x x
= + + + − + − +


18) Rút gọn biểu thức

4 1 1
2
n
a
A a a a

+ +
= + + + +⋯


(
1
n
≥
).
19)
Tính t
ổ
ng
1 1 1 1
.
2 1 3 2 4 3 1
S
n n
= + + + +
+ + + + −
⋯

20)
Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c

2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
M
a
a a a
  
+ − − + −
= + −
  
  
−
− +
  

21)
Xét bi
ể
u th
ứ
c
2
( 2) 4 8 32 2
: 1 .
2 4 2 8 2
x x x
P
x x x x x x

 
+ +
 
= + − −
 
 
 
+ + − − +
 
 

a) Rút g
ọ
n
P.
b) Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
P
khi
4 2 3.
x
= −
c) tính giá tr
ị
c
ủ
a

x

ñể

9.
P
=

22)
Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2 1
1
b x
A
x x
−
=
− −
khi
1

2
a b
x
b a
 
= +
 
 
 
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a)
0, 0.
a b
> >

b)
0, 0.
a b
< <

23)
Tìm ph
ầ
n nguyên c
ủ
a s

ố

3
1
4
3 4 1
2 .
2 3
n
n
n
S
n
+
+
= + + + +⋯

24)
Tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c
ở
m
ẫ
u c
ủ

a bi
ể
u th
ứ
c
3 3 3
1
.
a b c
+ +

20

25)
Tìm m
ộ
t nhân t
ử
liên h
ợ
p c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3
1 2 4.
S = + +

26)
Tính
a)
5 3 29 12 5 .
A = − − −
b)
3 1 21 6 12 .
B = − + −
c)
1 1 1
.
1 2 2 3 2004 2005
+ + +
+ + +
⋯

d)
2 3 3 5
.
2 3 3 5
− +
−
+ −

27)
Cho hàm s
ố

4

( ) .
4 2
x
x
f x
=
+
Tính t
ổ
ng

1 2 1992
.
1993 1993 1993
S f f f
     
= + + +
     
     
⋯

28)
Cho
12 24
log 18 ,log 54 .
α β
= =
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
5( ) 1.
αβ α β
+ − =

29)
Cho
4 8
log 75 ,log 45 .
a b
= =
Tính
3
25
log 135
theo
, .
a b

30)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

2
log 3
là s

ố
vô t
ỉ
.
31)
Bi
ế
t r
ằ
ng
log ,log ,log
k m n
x x x
theo th
ứ
t
ự
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
( )
log
2
.
k
m
n nk
=

32)
Tìm s
ố
ch
ữ
s
ố
c
ủ
a s
ố

100
2
(bi
ế
t
lg 2 0,3010
=

…
).
33)
Cho là a, b, c ba c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác vuông, trong
ñ
ó c là c
ạ
nh huy
ề
n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
log log 2log log .
b c c b b c c b
a a a a
+ − + −
+ =

34)
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng t
ừ
các
ñẳ
ng th
ứ
c
( ) ( ) ( )
,
lg lg lg
x y z x y x z y z x y z
x y z
+ − + − + −
= =
ta suy ra
.
y x y z z x
x y z y x z
= =

35)
Cho
, 0, 0.
a b c a b
+ = > >
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
2 2 2
3 3 3
.
a b c
+ >

36)
Cho a, b, c là ba s
ố
d
ươ
ng phân bi
ệ
t khác 1. Cho
0, 1.
N N
> ≠
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
c

ầ
n và
ñủ

ñể
a, b, c theo th
ứ
t
ự
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân là
log log log
.
log log log
a a b
b b c
N N N
N N N
−
=
−

37)

Cho
1 1
1 lg 1 lg
10 , 10 .
x y
y z
− −
= = Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
1 lg
10 .
z
x
−
=

38)

ðơ
n gi
ả
n bi
ể
u th
ứ
c

2 3 4 1992
log 3.log 4.log 5 log 1993.
P
=
⋯

39)
Không dùng b
ả
ng s
ố
và máy tính, so sánh hai s
ố
3 16
log 16, log 729.
A B
= =

40)
Ch
ứ
ng minh các
ñẳ
ng th
ứ
c sau
a)
2 2
2
2

3
cotg cotg
2 2
8cos cos ;
3
2
1 cotg
2
a a
a
a
a
−
=
+

c)
tg cos tg cos
.
1 cotg cos 1 cotg cos
n
n n
n n
α α α α
α α α α
 
+ +
=
 
+ +

 

b)
8 8
1 7 35
sin cos cos8 cos4 .
64 16 64
x x x x+ = + +





21

41) ðơ
n gi
ả
n bi
ể
u th
ứ
c
2
sin 2 sin 5 sin3
.
1 cos 2sin 2
a a a
A
a a

+ −
=
+ −

42)
Ch
ứ
ng minh bi
ể
u th
ứ
c:
2 2
cos ( ) sin ( ) 2cos( )sin( )sin( )
B x a x b x a x b a b
= − + − − − − −

ñộ
c l
ậ
p
ñố
i v
ớ
i x.
43)
Cho
2
os (0 ).
x c a a

π
= ≤ ≤
Tính bi
ể
u th
ứ
c

1 2 (1 )
.
2 1
x x
y
x
+ −
=
−

44)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng , n
ế
u:

sin( ) cos( )
m a b a b
+ = −

v
ớ
i
, 1
a b k m
π
− ≠ ≠ ±
thì
1 1
1 sin 2 1 sin 2
A
m a m b
= +
− −

không ph
ụ
thu
ộ
c
, .
a b

45)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

a)
tg20 tg40 3tg20 tg40 3;
o o o o
+ + =

b)
2 3 1
cos cos cos .
7 7 7 2
π π π
− + =

46) ðơ
n gi
ả
n bi
ể
u th
ứ
c
a)
tg3 tg17 tg23 tg37 tg43 tg57 tg63 tg77 tg83 ;
o o o o o o o o o
A =

b)
2 3 4 5 6 7
cos cos cos cos cos cos cos ;
15 15 15 15 15 15 15

B
π π π π π π π
=

c)
2 4 6 8
cos cos cos cos .
5 5 5 5
C
π π π π
= + + +

47
)
ðặ
t

3 3 1 3
2
sin 3sin 3 sin .
3 3 3
n
n
n
a a a
S
−
= + + +⋯

a)

Rút g
ọ
n

;
n
S

b) Tính
lim .
n
n
S
→∞

48)
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

2
tg tg2 tg2 2tg .
x x x x
= −

b) Áp d
ụ

ng k
ế
t qu
ả
này, hãy rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c
2 2 1 2
2 1
tg tg 2tg tg 2 tg tg .
2 2 2 2 2
n
n
n n
S
α α α α α
α
−
−
= + + +⋯

c) Tính
lim .
n
n
S

→∞

49)
Cho
2
cos cos cos .
2 2 2
n
n
x x x
P = ⋯

a) Rút g
ọ
n
.
n
P

b) Tính
lim .
n
n
P
→∞

50)
Cho
sin( 2 ) 2sin .
α β α

+ =
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
tg( ) 3tg
α β β
+ =
v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
tg( ),tg
α β β
+

có ngh
ĩ
a.
51)
Cho
0 , ,a b c
π
< <
và

tg , tg , tg
2 2 2
a b c

là ba nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình

3 2
0.
x px x q
+ + + =

Ch
ứ
ng minh

tg tg tg tg tg tg .
a b c a b c
+ + =

52)
Cho

2 , .
α β α β γ π

= + + =

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

2
sin (sin sin ) sin .
β β γ α
+ =

22

53)
Cho
0 ,
2
π
α β
< <
và
2 2
3sin 2sin 1
.
3sin 2 2sin 2 0
α β
α β


+ =

− =

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 .
2
π
α β
+ =

54)
Tính các bi
ể
u th
ứ
c
a)
0 0 0 0
sin 5 sin15 sin 25 sin35 sin85 ;
o
P =
⋯

c)
cos10 cos50 cos70 .

o o o
R =

b)
tg9 tg63 tg81 tg27 ;
o o o o
Q = − + −





23


CHƯƠNG 2
Hàm số và ñồ thị
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

A) MỤC TIÊU
Chương này củng cố và hệ thống lại cho người các kiến thức về hàm số và ñồ thị của hàm
số, bao gồm: phân loại hàm số; khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp và vẽ ñồ thị của
hàm số; các phép biến ñổi ñồ thị. Các dạng bài tập giúp người học rèn luyện thành thạo các kĩ
năng giải và khai thác các bài toán về hàm số và ñồ thị trong chương trình toán phổ thông. Qua
nội dung của chương, người học thấy rõ hơn về mối quan hệ hàm giữa các ñại lượng, ưu ñiểm
nổi bật cùng mối quan hệ mật thiết giữa phương pháp ñại số và phương pháp ñồ thị trong quá
trình giải các bài toán.

B) NỘI DUNG

2.1. Khái niệm về hàm số và ñồ thị
Phần này trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số và ñồ thị của hàm số. ðể phù hợp với
mục tiêu học phần, chúng tôi chỉ tập trung vào hàm số một biến số.
2.1.1. Quan hệ
ðịnh nghĩa 2.1.1. Cho
,
X Y
là hai tập hợp. Một quan hệ hai ngôi từ
X
ñến
Y
là bộ phận
S
của
tích ðềcác
.
X Y
×
Phần tử
x X
∈
ñược gọi là có quan hệ
S
với
y Y
∈
nếu
( , ) .
x y S
∈

Ta diễn tả
ñiều này bởi kí hiệu
.
xSy

Chú ý 2.1.2.
(i) Khái niệm quan hệ hai ngôi từ
X
ñến
Y
có quan hệ mật thiết với khái niệm tương ứng
từ
X
ñến
.
Y
Mỗi quan hệ hai ngôi xác ñịnh ñồ thị của một tương ứng nào ñó.
(ii) Trong trường hợp mỗi phần tử
x X
∈
luôn có quan hệ
S
với ñúng một phần tử
y Y
∈
thì
quan hệ hai ngôi từ
X
ñến
Y

xác ñịnh ñồ thị của một ánh xạ từ
X
ñến
.
Y


2.1.2. Hàm, hàm số
ðịnh nghĩa 2.1.3. Cho
,
X Y
là hai tập hợp. Một hàm từ
X
ñến
Y
là quy tắc
f
cho ứng với mỗi
phần tử
x X
∈
với một phần tử duy nhất
.
y Y
∈
Khi ñó ta nói
y
là ảnh của
x
và kí hiệu

( );
y f x
=

x
là một tạo ảnh của
y
và kí hiệu
1
( );
x f y
−
∈

X
ñược gọi là tập nguồn hay tập xác
ñịnh hoặc miền xác ñịnh;
Y
ñược gọi là tập ñích; tập các ảnh của tất cả các phần tử
x X
∈
ñược
gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm
.
f


Kí hiệu hàm ñã cho bởi
:
f X Y

→


( )
x y f x
=
֏

ðịnh nghĩa 2.1.4. Hàm
f
như trên ñược gọi là một hàm số thực
n
biến nếu
n
X ⊆
ℝ
và
.
Y
⊆
ℝ

24

ðể ñơn giản, trong suốt tài liệu này, mỗi khi nhắc ñến khái niệm hàm số nếu không nói gì
thêm thì ta hiểu ñó là hàm số thực một biến.
Chú ý 2.1.5.
(i) Tại bậc học phổ thông, chúng ta chỉ giới hạn khảo sát một số dạng hàm số một biến
thực.
(ii) ðối với hàm hàm số một biến, khi nó là song ánh, ta gọi ánh xạ ngược của nó là hàm số

ngược của hàm số ñã cho.
(iii) Ngoài kí hiệu hàm như ñã biết, ñể ñơn giản người ta thường viết hàm số
:
f X Y
→
dưới
dạng
( ) ( ).
y f x x X
= ∈


2.1.3. ðồ thị
ðể xác ñịnh một hàm ñiều kiện cần và ñủ là biết ñược ảnh của mỗi phần tử thuộc tập xác
ñịnh. ðiều này ñồng nghĩa với việc xác ñịnh ñược ñồ thị của hàm.
ðịnh nghĩa 2.1.6. Cho hàm
: .
f X Y
→
Ta gọi tập
{
}
( , ( )) |
x f x x X
∈
là ñồ thị của
.
f

ðối với hàm số một biến số, ñể tăng tính trực quan người ta thường cố gắng minh họa ñồ thị

của hàm trên mặt phẳng tọa ñộ. ðây cũng chính là một yêu cầu của bài toán khảo sát hàm số tại
bậc học phổ thông.
Chú ý 2.1.7. ðồ thị của hàm số ñã cho và hàm số ngược của nó ñối xứng với nhau qua ñường
phân giác thứ nhất (ñường thẳng
y x
=
).

2.2. Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp
Việc khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp căn cứ chủ yếu vào các phép toán số học và
ñặc thù của mỗi hàm số, hoàn toàn không có một phương pháp chung ñể áp dụng cho tất cả các
hàm như dùng ñạo hàm ñối với phương pháp giải tích. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, từ
cách làm sơ cấp này ta có thể thu ñược những cách giải ñộc ñáo hơn, gọn hơn góp phần làm tăng
thêm kĩ năng vận dụng các kiến thức sơ cấp trong giải toán của người học.

2.2.1. Tập xác ñịnh
Trong phần này, ta hiểu rằng hàm số ñược cho dưới dạng biểu thức
( )
y f x
=
, không phải
ñược viết dưới dạng ánh xạ. Tập xác ñịnh của hàm số ñối với bài toán khảo sát ñược hiểu là tập
tất cả các giá trị của ñối số
x
sao cho biểu thức
( )
f x
có nghĩa.
ðể tìm miền xác ñịnh của hàm số sơ cấp ta dựa vào các quy tắc sau:
(i) Mẫu thức của các phân thức phải khác 0.

(ii) Các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc chẵn phải không âm.
(iii) Các biểu thức cần nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ phải dương.
(iv) Các biểu thức trong dấu lôgarit phải dương.
(v) Cần chú ý rằng
0
0
không xác ñịnh.
(vi) Miền xác ñịnh của một hàm số là giao của các miền xác ñịnh của các hàm số thành phần.