giới hạn đạo hàm riêng các ứng dụng của bài toán cực trị và tích phân suy rộng

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

Giới hạn - Đạo hàm riêng

Các ứng dụng của bài tốn cực trị và tích phân suy rộng

Sinh viên thực hiện : - Tạ Duy Anh ( Nhóm trưởng )

Ngơ Thị Anh Lưu Hồng AnhĐỗ Tuấn anhNguyễn Xn ÁnhBùi Văn Hồ BắcTrần Kim AnhTrần Tuấn AnhPhùng Đức Anh

Tên lớp : DHKTPM 03 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Quỳnh

Hà Nội , ngày 31 tháng 1 năm 2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm, tổng điểm đánh giácủa các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân

STT Họ tên Nhiệm vụ Thái Độ Đánh giá

(100) ^{Quy đổi về HSCN}

1 Đỗ Tuấn Anh2 Lưu Hồng Anh3 Ngơ Thị Anh4 Phùng Đức Anh5 Tạ Duy Anh6 Trần Thị Kim Anh7 Trần Tuấn Anh8 Nguyễn Xuân Ánh9 Bùi Văn Hồ Bắc

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Mục lục

I. Phần mở

II. Phần nội dung báo

cáo………..…3 . Giới hạn và đạo hàm riêng §1

………..4 1.1. Các định nghĩa và một số giới hạn cơ bản ………

1.2. Đạo hàm riêng

……… 1.2.1. Định nghĩa …………..…………..…………..…………..…………..………...

1.2.2. Đạo hàm riêng cấp cao

. Ứng dụng của tích phân suy rộng và bài tốn cực trị ………9§22.1. Tích phân suy

rộng………92.1.1. Định

nghĩa……… 2.1.2. Ứng dụng

………...2.2. Bài toán cực trị

………12 2.2.1. Định

nghĩa……….. 2.2.2. Ứng dụng

………...Phần kết luận

. Kết luận về giới hạn và đạo hàm riêng §1………..

<small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

§2. Kết luận về ứng dụng của tích phân suy rộng……… §3. Kết luận về ứng dụng của bài toán cực trị………Tài liệu tham khảo

I . Phần mở đầu

Qua các khái niệm về giới hạn và đạo hàm riêng được đề cập dưới đâychúng ta cũng sẽ đi sâu hơn về một số Bài tập minh họa để có thể hiểu rõhơn bản chất của vấn đề .

Để thấy bản chất của hiện tượng cũng như mở rộng khả năng đi vào cuộcsống của toán học , chúng ta cần nghiên cứu giải tích trong phạm vi cực trịvà tích phân suy rộng .

Chúng ta sẽ thấy rất nhiều Bài tập , bài tập liên quan đến thực tiễn cho thấymảng ứng dụng vô tiền khoáng hậu của lý thuyết , đảm bảo sự trường tồncủa toán học .

Báo cáo này sẽ cho chúng ta rõ hơn về những ứng dụng thực tế của cực trịvà tích phân suy rộng .

II . Nội dung báo cáo 1.Giới hạn và đạo hàm riêng

Đặt vấn đề :

Giới hạn và đạo hàm riêng là một trong những phần kiến thức quan trọng tâm vàquan trọng trong môn giải tích, là tiền đề cho những nền tảng kiến thức về hàm sốtrong giải tích.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Định nghĩa 2. Ta gọi giới hạn là giới hạn phải của tại và giới hạn là giới hạn trái của tại .

* Giới hạn tại vô cực

Trong định nghĩa giới hạn, nếu là hoặc ta có giới hạn của tại vơ cực, kí hiệu là:

Vậy hay hàm số có giới hạn.Bài 3: Tính giới hạn sau: Hướng dẫn:

<small>5</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Ta thấy khi thì giới hạn trên cũng có dạng . Áp dụng quy tắc Hopital, Ta có: (tới đây vẫn có dạng nên áp dụng tiếp)

(tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)Vậy

Bài 4. Tìm giới hạn

Giới hạn có dạng , áp dụng quy tắc Hopital ta có:

Vậy =1

1.2, Đạo hàm riêng 1.2.1, Định nghĩa

Cho hàm số xác định trong miền Cho biến số một giá trị không đổi , nếu hàm số một biến có đạo hàm tại điểm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến của hàm tại điểm và kí hiệu là: hoặc

1.2.2. Đạo hàm riêng cấp cao

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Định nghĩa: Cho hàm số hai biến số , có các đạo hàm riêng cấp một là .Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này nếu tồn tại được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số . Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa và ký hiệu như sau:*Bài tập củng cố:

Bài 3: Cho hàm số xác định bởi phương trình: . Tính: Ta có:

_Đạo hàm cả 2 vế theo : _Đạo hàm cả 2 vế theo y :

Khi đó tại Suy ra

Tích phân là một trong những nội dung chính được giảng dạy trong học phần Giải tích của sinh viên trường Đại học Cơng nghiệp Hà Nội. Tích phân bao gồm tích phân đơn, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt đều là nội dung khó tiếp cận và ít gây được hứng thú với sinh viên. Tuy nhiên, để tính được chiều dài đường cong, tính diện tích của một đa giác phức tạp, tính thể tích vật thể phi tiêu

<small>7</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

chuẩn,… một cách chính xác tuyệt đối, chúng ta chỉ có thể sử dụng một cơng cụ duy nhất đó chính là phép tính tích phân.

Trong bài báo cáo này, nhóm xin trình bày một số ứng dụng của tích phân để các bạn sinh viên có thể vận dụng vào ngành học của mình, đồng thời, giúp các bạn thấy được vai trò, ý nghĩa quan trọng của tích phân trong đời sống thực tiễn.2.1 Tích phân suy rộng

2.1.1. Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 và loại 2a, Tích phân suy rộng loại 1

Cho hàm số xác định trên khả tích trên với mọi . Nếu tồn tại thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại một của trên và kí hiệu là , viết:

Nếu giới hạn trên tồn tại ta nói tích phân hội tụ

Nếu giới hạn bằng hoặc không tồn tại ta nói tích phân phân kỳTương tự với các định nghĩa

b, Tích phân suy rộng loại 2

Cho hàm số xác định trên đoạn , không bị chặn trên đoạn này nhưng khả tích trên mọi đoạn , với . Nếu giới hạn

tồn tại thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng loại hai của hàm trên, ký hiệu là và viết

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ.Nếu giới hạn trên bằng hoặc khơng tồn tại ta nói tíchTương tự với trường hợp khơng bị chặn tại thì ta định nghĩa

Trường hợp khơng bị chặn tại thì ta định nghĩa

2.1.2. Ứng dụng của tích phân suy rộng.

a, Ứng dụng của tích phân suy rộng trong bài tốn tính diện tích hình khơng giới hạn các cận.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

VD1: Tính diện tích phần được in đậm trong hình tạo bởi đường cong y=lnx và 2 trục tọađộ

Phương trình tương giao giữa đường cong với trục hồnh là và . Hình phẳng được giới hạn (hình 2.13) là một tam giác cong, 2 cạnh góc vng nằm trên các trục tọa độ, cạnh cong thuộc đồ thị .

Theo cơng thức tích phân từng phần ta có

VD2:Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi , trục hồnh.

<small>9</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

b, Ứng dụng của tích phân suy rộng trong bài tốn xét hội tụ và phân kì:VD1: Xét sự hội tụ của tích phân .

Lời giải

Với mọi số thực , ta có:

Do đó:

Vậy tích phân hội tụ và

VD2:Chứng minh rằng tích phân suy rộng hội tụ, sau đó tính giá trị của chúng.Giải. Ta có .

Tích phân là tích phân xác định thông thường nên hội tụ. Dễ dàng thấy rằng hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy tích phân đã cho hội tụ.

2.2. Bài toán cực trịĐặt vấn đề

Cực trị hàm nhiều biến là một trong những phần kiến thức trọng tâm và quan trọngtrong mơn học giải tích hàm nhiều biến, những ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến cũng vô cùng được chú tâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau.

Khi giải quyết những bài toán về kinh tế, người ta thường gặp các bài toán dạng xác định trị số tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) của một chỉ tiêu nào đó trong nhữngđiều kiện nhất định (chẳng hạn như: năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phíbé nhất ...). Trong tốn học, đó cũng chính là dạng bài tốn tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm f (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong khơng gian.

Các bài tốn về cực trị hàm nhiều biến rất đa dạng và phong phú. Trong phần trìnhbày này, nhóm muốn giới thiệu đến thầy và các bạn một số ứng dụng thông dụng nhất của cực trị của hàm nhiều biến số trong bài toán kinh tế, qua đó để mọi người thấy được một phần mạch ứng dụng của toán học cao cấp vào lĩnh vực kinh tế.2.2.1 Định nghĩa

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

* Điều kiện cần của cực trị;

Nếu hàm số có cực trị tại và tại điểm này nếu tồn tại các đạo hàm riêng (hữu hạn)thì các đạo hàm riêng này phải bằng không.

*Điều kiện đủŽ của cực trị

Giả sử là một điểm dừng của hàm số , hàm có các đạo hàm riêng cấp 2 tại lân cậncủa điểm

Ta đặt: Khi đó:

Nếu thì hàm số đạt cực trị tại . Đó là điểm cực tiểu nếu , là điểm cực đại nếu .Nếu thì hàm số khơng đạt cực trị tại

Nếu thì hàm số có thể đạt cực trị tại , cũng có thể khơng đạt cực trị tại cịn gọi là điểm nghi ngờ).

b, Cực trị có điều kiệnĐịnh nghĩa 2.

Tìm cực trị của hàm số trong đó bị ràng buộc bởi diều kiện (gọi là cực trị có điều kiện).

Trong bài tốn trên điều kiện giải được , bài tốn cực trị có điều kiện của hàm hai biến trở thành bài toán cực trị của hàm một biến quen thuộc. Tuy nhiên trong nhiều trường hợpta không thể rút ra từ

Phương pháp nhân tử Lagrange- Tìm cực trị của hàm số với điều kiện - Lập hàm số Lagrange

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

2.1.1. Bài tốn tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất. Giả sử một doanh nghiệp độc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là

Hàm tổng chi phi Trong đó :

: Lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp : Giá bán cuia hàng hóa

C : Chi phí cua doanh nghiệp

: Sản lượng sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại

Bài tốn trở thành tìm để hàm đạt cực đại

Ví dụ : Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với Hàm chi phí

Giải : Gọi là mức sản lượng cần tìmĐể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Lợi nhuận

Bài tốn trở thành tìm để hàm đạt cực đại

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Tại điểm nghi ngờ

đạt cực tiểu tại (Đây khơng phải mức sản lượng cần tìm) Tại điểm nghi ngờ đạt cực đại tại

Vậy đề có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng 2.1.2. Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế tối đa

Gia sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng trên là và hàm tổng chi phi

Hãy xác định mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất.

Phương pháp giải

Gọi t là mức thuế định trên một đơn vi sản phẩm và là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Hãy xác định mức thuế định trên một đơn vì sản phẩm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhất.

Giải: Gọi là mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm và là mức sản lượng doanh nghiệp

<small>13</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

sản xuất để lợ nhuận của doanh nghiệp đạt cực đạiĐể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp

Chi phí

Tồng thuế doanh nghiệp phải nộp

Lợi nhuận

Trước hết tìm để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại

Vì nên là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đạiKhi đó

Nên tổng thuế sẽ đạt cực đại tại

Vậy chinh là mức thuế cần tìm để thu được của doanh nghiệp nhiều thuế nhấtKhi đó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng

2.1.3. Bài toán xác định mức thuế hàng nhập khẩu

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là

Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phi nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một đơn vị hàng là . Hãy tính mức thuế nhập khẩu định trên một đơn vị hàng nhập khẩu để tổng thuế nhập khẩu thu được là lớn nhất.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Giải: Gọi là mức thuế định trên một đơn vị hàng nhập khẩu và là lượng hàng cần phải nhập khẩu

Để tiêu thu hết hàng nhập khẩu thì

Doanh thu

Chi phí

<small>15</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Tồng thuế nhập khẩu phải nộp

Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội địa về một mặt hàng là:

Gia sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng đơn giá trên thị trường quốc tế trừ chi phi xuất khẩu (chưa kể thuế) 10 một đơn vị hàng là

Hãy tính mức thuế xuất khẩu định trên một đơn vị hàng xuất khẩu để tổng thuế xuất khẩu thu được là lởn nhất

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Tổng thuế nhập khẩu phải nộp:Lợi nhuận

nên đạt lợi nhuận cực đại tại mức giá Khi đó tổng thuế

2.1.5. Bài tốn tìm kích thước lơ hàng tối ưu

Giả sử là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, là chi phí lưu kho một đơn vị hàng trong một năm, là chi phi cho một chuyến đặt hàng, cịn là kíchthước của mỗi chuyến đặt hàng (kích thước của mỗi hàng). Ta xem là những hằng số, còn là biến số. Khi đó tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số bao gồm hai loại chi phí: Chi phí lưu kho và chi phí các chuyến hàng.

<small>17</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chi phí lưu kho: . .

Chi phí cho các chuyến hàng:

Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là , cộng thêm mỗi cái. Cửa hàng nên đặt bao nhiêu lần trong mồi năm và mỗi lần đặt bao nhiều cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.

Giải: Ta có

Gọi là số ti vi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó

Khi đó số lượng tivi gửi trong kho trung bình mỗi năm là . Do đó chi phi lưu kho mỗi năm là

Số lần đặt hàng mỗi năm là Do đó chi phi đặt hàng mỗi năm là Vậy chi phí của cưa hàng là Vì nên

với nên

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm là

Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì mỗi năm cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi nămvà mỗi lần đặt 100 cái ti vi.

Kết luận: Như vậy, nhiều bài toán kinh tế được đưa về tìm cực trị của hàm một biến . Ta gọi là đơn giá, hàm sản lượng , hàm doanh thu , hàm chi phí , hàm lợi nhuận . Trong kinhtế ta thường gặp các bài tốn sau:

Tìm để sản lượng đạt tối đaTìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đaTìm Q để chi phí đạt tối thiểu

KẾT LUẬN1. Kết luận về giới hạn và đạo hàm riêng

Từ những kiến thức căn bản về giới hạn và đạo hàm riêng của hàm số ta đã có thể ứngdụng để giải các bài tốn về tìm giới hạn cố định, vơ định căn bản cũng như tính được cácloại đạo hàm riêng cấp1, 2 cơ bản, từ đó nhóm muốn định hình và củng cố các kiến thức nền để thuận tiện cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

2. Kết luận ứng dụng của tích phân hàm nhiều biến

Qua một số ví dụ trên ta nhận thấy, tích phân có nhiều ứng dụng gần gũi trong cuộc sống. Chúng ta có thể áp dụng tích phân để tính chiều dài, diện tích, thể tích các vật thể phức tạp. Thơng qua các ví dụ trên, nhóm muốn kích thích trí tị mị, ham học hỏi của sinh viên đối với khái niệm tích phân và các nội dung khác của học phần giải tích. Tốn học, tích phân không hề xa lạ, không phải học chỉ để biết mà học để áp dụng vào công việc và cuộc sống hàng ngày.

3. Kết luận ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến

Với các kiến thức toán học về cực trị hàm hai biến số ta đã có thể giải được các bài tốn cực trị thơng thường và một số bài tốn tìm lợi nhuận, phương thức cho lãi cao nhất, thấp nhất (bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất) trong các bài tốn kinh tế. Nó khơng chỉ hữu ích cho việc rèn luyện tư duy mà sinh viên cịn có thể vận dụng trực tiếp cho các ngành nghề sau này, đặc biệt đối với sinh viên ngành kinh tế, quản trị thì cịn giúp các bạn có thể học tốt hơn các mơn chun ngành như môn Kinh tế học quản lý. Các kiến thức này còn giúp các bạn nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề của cuộc sống đặt ra nhằm hồn thiện hơn cho việc hình thành nhân cách sau này để trở thành một cơng dân có ích cho xã hội.

<small>19</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán học cao cấp tập 1, Nhà xuất bản giáo dục.

2. Nguyễn Hữu Thành, Phạm Mai Dung (2015), Giáo trình tốn ứng dụng, Trường Đại học Cơng nghiệp Dệt May Hà Nội.

3. Nguyễn Thành Nhân, Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến, tài liệu dành cho sinh viên Khoa Toán – Tin học, 2022.

4. Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp và một số ứng dụng trong kinh doanh, NXB ĐHQG TP.HCM, 2009.

*Chú thích nguồn của các tài liệu điện tử.

- Tài liệu: tìm giới hạn hàm số dạng vơ định vo-dinh-bang-quy-tac-lhopital/)

( Tài liệu giải tích ( Tài liệu về tích phân suy co-loi-giai-1902010.html)

rộng( Bài tập mẫu về tích phân suy rộng và bài toán cực trị

khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong báo cáo thuộc Dashbroad học phần giải tích DHCNHN (