tài liệu ôn logic ĐGNL đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Chuyên Tai Ligu DGNL - Luyén Thị Đánh Gia Nang Luc

LY THUYET

HE THONG LY THUYET LOGIC

I. Logic ménh dé
1. Khai niém ménh dé
1.1. Dinh nghia
- Ménh dé là một câu khẳng định (nghĩa là một câu tuyên bố một sự việc) đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
- Mệnh đề có thể là một câu, nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Những câu cảm
thán, mệnh lệnh, câu hỏi thường không diễn đạt một mệnh đề, vì nội dung khơng chuyển tải
được tính đúng hay sai một thực tế. Tuy nhiên những câu hỏi tu từ thì lại diễn đạt một mệnh đề.
- _ Thông thường mệnh đề thường được kí hiệu: p, q, r, s...
- _ Chân trị của mệnh đề: Khi mệnh đề p đúng ta nói p có chân trị đúng, ngược lại ta nói p
có chân trị sai. Tính đúng hay sai của mệnh đề được ký hiệu là Ð (hoặc 1) hay S (hoặc 0).
Ví dụ 1: Tất cả các câu khai báo sau đây đều là mệnh đề.
1. Washington, D.C., la thi d6 cua Hop chung quoc Hoa Ky.
2. Toronto la thu dé cua Canada.
3.1+1=2.

4.2+2=3.
—> Mệnh đề 1 và 3 là đúng, ngược lại mệnh đề 2 và 4 là sai.

Ví dụ 2: Các câu dưới đây khơng phải là mệnh đề
1. Mấy giờ rôi?
2. Đọc kỹ phần này.
3.x+1=2.
4.X+V=z.

> Cau 1 và câu 2 khơng phải là mệnh đề vì chúng khơng phải là câu khẳng định mà là câu
hỏi và câu mệnh lệnh. Câu 3 và câu 4 khơng phải là mệnh đề vì khơng đúng cũng không sai.
(Lưu ý rằng mỗi câu 3 và 4 có thể được biến thành một mệnh đề nếu chúng ta gán giá
trị cho các biến).
1.2. Phân loại mệnh đề
- - Mệnh đê gôm 2 loại:

/>
Chuyén Tai Liéu DGNL - Luyén Thị Đánh Gia Nang Luc

+ Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết bằng các
liên từ (và, hay, nếu...thì, tương đương...) hoặc trạng từ “khơng”.

Ví dụ: 1. Nếu trời mưa thì tơi sẽ nghỉ học.

2. 3 là số lẻ và là số nguyên tố.

+ Mệnh đề sơ cấp (mệnh đề đơn): là mệnh đề không thể xây dựng từ các mệnh đê khác
thông qua liên từ hoặc trạng từ “khơng”.

Ví dụ: 1. 5 là số ngun tố.

2. Tơi là người Việt Nam.

2. Các phép tốn logic

2.1. Phép phủ định

- _ Cho mệnh đê p. Mệnh đề “Không phải p” gọi là mệnh đề phủ định của p.

Kí hiệu: ¬p hay p (đọc là “khơng” p hay “phủ định của” p).

Ví dụ: 1. p: “Tơi là hoa hậu” 2 ¬ø: “Tơi khơng là hoa hau”

2.p: “3+4=7” ¬p: “3+ 4z 7"

Bảng chân trị:

P =p ¬(¬P)

Đ S Đ

S D S

2.2. Phép kéo theo

- _ Cho p và q là hai mệnh đề. Mệnh đề p kéo theo mệnh đê q là một mệnh đề.

- Kí hiệu: p > q.

- __ Ví dụ: 1. “Nếu hơm nay trời mưa thì mặt đường sẽ ướt”

2. “Nếu 1+1=2 thì 2+3=5”.

- _ Một số cách đọc: Nếu như p thì q; Nếu mà p thì q; Nếu qủa p thì q; Giả dụ p thì q; Giá như
p thì q; Giá mà p thì q; Hễ p thì q; Hễ mà p thì q; Hễ cứ p thì q; Nhược bằng p thì q; (mà) p thì q;
Da p la q; p thi q; p là q; p thành thử q; p cho nên q; p, nên chỉ q; q, nếu như p; q, nếu qủa p; q trừ
phi khơng p; Khi có p thì có q; Có q khi có p; Vì có p nên có q; Có q vì có p; Do có p mà có q; Nhờ
có p nên có q; Có q nhờ có p; Đã p thì q...

- Bang chan tri:

p q pq

5 S D

S D D

D S S

D D D

/>
Chuyên Tai Ligu DGNL - Luyén Thị Đánh Gia Nang Luc

2.3. Phép tương đương
- _ Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p tương đương q là một mệnh đề.
- Kí hiệu: p © q.
- __ Ví dụ: 1. Để a. b > 0, điều kiện cần và đủ là hai số a và b đều dương.
2. Đậu đại học Bách Khoa là điều kiện cần và đủ để tôi là sinh viên Bách Khoa.
- _ Một số cách đọc: p là điều kiện cần và đủ để có q; q là điêu kiện cân và đủ để có p; Có p

khi và chỉ khi có q; Có q khi và chi khi có p; Có p nếu và chỉ nếu có q; Có q nếu và chỉ nếu có p; p
tương đương g; điều kiện cần và đủ để có p là q...

- Bang chan tri:

p q pq

S S D

S D S

D S 5

D D D

2.4. Phép hội

- _ Cho hai mệnh đề q và p. Hội của hai mệnh đề p, q là một mệnh đề, đọc là “p và q”.

- Kí hiệu: p A q (hoặc p.q).

- __ Ví dụ: 1. “Tác giả của Truyện Kiều là Nguyễn Du và tác giả của Bài thơ về tiểu đội xe khơng
kính là Phạm Tiến Duật.

2. “Tơi khơng những chơi với bạn Minh mà tơi cịn chơi với bạn Hà”

- _ Một số cách đọc: Trong ngôn ngữ tự nhiên phép hội được diễn đạt bởi một số từ như: p
đồng thời q; p nhưng g; khơng những p mà cịn q; p song q; p vẫn q; p cũng q; p còn g; p cùng
q...; thậm chí chỉ bằng dấu phẩy.

- - Lưu ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nhưng lại khơng có nghĩa của mệnh đề hội.
Ví dụ: “Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên”.

- Bang chan tri:

P q pAq
D D D

D S S

S D S

S S S

2.5. Phép tuyén
2.5.1. Phép tuyển không loại trừ

- _ Cho hai mệnh đề p và q. Tuyển của hai mệnh đề là một mệnh đề, đọc là “p hoặc q”. Phép
tuyển loại trừ “p hoặc q” dé chi p hoặc q và có thể cả p lẫn q.

/>
Chuyén Tai Liéu DGNL - Luyén Thị Đánh Gia Nang Luc

- Kihiéu: p V q.

- Ví dụ: 1. “Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2+1=3”

2. “Tơi là học sinh hoặc Lan là sinh viênˆ

- _ Một số cách đọc: p hay g; p hay là q; p hoặc q...; cũng có thể là dấu phẩy.

- Bang chan tri:

p q pVq
Đ Đ Đ

Đ S Đ

S Đ Đ

S S S

2.5.2. Phép tuyén loại trừ
- _ Cho hai mệnh đề p và q. Tuyến của hai mệnh đề là một mệnh đề, đọc là “hoặc p hoặc d”.

Phép tuyển loại trừ “p hoặc q” dé chi p hoặc q nhưng khơng thể có cả p lẫn q.
- Kí hiệu: p + q.
- Ví dụ: 1. “Hoặc tháng 12 có 31 ngày hoặc 2+1=3”
2. “Hoặc tôi là học sinh hoặc Lan là sinh viên”
- Bang chan tri:

p
D
D
S
S
nA! Ol n| OW] 2
nm! | OO] nm] +

2.6. Độ ưu tiên của các phép toán
- _ Tương tự với các phép toán số học, để tránh dùng nhiều dấu ngoặc trong các biểu thức

logic, ta đưa ra một thứ tự ưu tiên trong việc tính tốn. Ta có 5 phép tốn logic được xếp theo
độ ưu tiên (các toán tử được liệt kê trên cùng dịng có cùng độ ưu tiên).

¬

A,V

7,2

3. Cac quy luat logic
- Ph nh ca ph nh: ơơứ â ỉ.
- Luật giao hoán:ø Aq @qAp
pVq - Lut kthp: (ứVgq)VrôâpV(qVr)

(Aq)Ar©spA(qAr').

/>
Chuyên Tài Liệu ĐƠNL/ - Luyện Thị Đánh Giá Năng Lực

- Luật phân phối:pV(qgAr)©(pVgq)A(pVr)

pA(qVr) (pAq)V(AT).

- Luật lũy đẳng:p Ap ©›p

pVpep.

- Luật trung hòa: ø VŨ © ?

pA1cp.

- Luật về phần tử bù: p A ¬p < 0

p V ơp â 1.

- Lut thống trị:pA0 © 0

pV1©Cl1.

- Luadt hap thu:p V (pAq) @ p

pA(pvq) ep.

- Luat vé phộp kộo theo: (p > q) â (ơp V q) © (¬q > ¬p).

- Quy tắc De Morgan: ¬(Ø A g) â ơp V ơq

ơ( Vq) â ơp A ơdq.

II. Logic vi tw

1. Khái niệm về vị từ

- _ Một vị từ là một khẳng định P(x,y,...) trong đó có chứa biến x, y,... lấy giá trị trong những
tập hợp A, B cho trước, sao cho:

+ Bản thân P(x„y,...) không phải là mệnh đề

+ Nếu thau x,y,... bằng những giá trị cụ thể của tập hợp A, B cho trước ta sẽ được một mệnh
đề P(x,y,...), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,...) được gọi là các biến tự do của vị từ.

- _ Ví dụ: Câu “n la chan” la mét vị từ. Nhưng khi cho n là một số cụ thé 1a chan hay lẻ ta
được một mệnh đề.

+ n=2 > mệnh đề đúng vì 2 là số chẵn.

+ n=3 > mệnh đề sai vì 3 là số lẻ.

2. Biến, hằng của tập hợp

- _ Khi chúng ta xét một tập hợp S nào đó, chẳng hạn tập hợp các số tự nhiên, tập hợp những
người thích ăn bánh, tập hợp những người làm nghề dạy học.... Khi ta gọi chung chung một phần
tử nào đó của S, phần tử đó sẽ hiểu là một biến. Nếu gọi cụ thể một phân tử của S thì phần tử đó
được hiểu là một hằng.

- __ Ví dụ: Gọi S là tập hợp những nhà thơ (người làm thơ) của Việt Nam. Xét một người nào
đó thuộc §, thì “người nào đó” là một biến. Thông thường chúng ta hay ký hiệu bằng chữ x,y,z,...

3. Mệnh đề tôn tại

- _ Cho hàm mệnh đề P(z),x € S. Ta lập mệnh đề sau đây: “Tôn tại x thuộc S, P(x)” (Hay P(x)
đúng với một x nào đó thuộc S). Mệnh đề này gọi là mệnh đê tôn tại.

- Kyhiéu: 4x € S, P(x).

/>
Chuyên Tai Ligu DGNL - Luyén Thị Đánh Gia Nang Luc

- Vi{du: Xét lai ham mệnh đề ở trên: S 1a tap hop nhitng ngwoi Viét Nam, va P(x) = xlanha
thơ. Mệnh đề tôn tại được thành lập từ hàm mệnh đề này là: “Tôn tai x thuộc tập S những người
Việt Nam, x là nhà thơ” (Tôn tại người Việt Nam là nhà thơ) > Đây là mệnh đề đúng vì ở Việt
Nam có nhà thơ Tố Hữu,... tức là có tồn tại người Việt Nam là nhà thơ.
4. Mệnh đề với mọi (mệnh đề phổ biến)

- Cho hàm ménh dé P(x),x € S. Ta lap mệnh đề sau đây: “Với mọi x thuộc S, P(x)” (Hay

P(x) đúng với mọi x thuộc S). Ménh dé nay goi la ménh dé ton tai.

- Ky hiéu: Vx € S, P(x).

- __ Ví dụ: Xét lại hàm mệnh dé 6 trén: S la tap hop nhirng ngwoi Viét Nam, va P(x)= x la nha
thơ. Mệnh đề với mọi được thành lập từ hàm mệnh đê này là: “Với mọi x thuộc tập S những
người Việt Nam, x là nhà thơ” (Mọi người Việt Nam đều là nhà thơ). Đây là mệnh đề sai vì
khơng phải mọi người Việt Nam đều là nhà thơ.

5. Bảng phi nhớ mệnh đề tôn tại và mệnh đề với mọi

Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai

Vx € S, P(x). P(x) đúng với mọi x thuộc S | P(x) sai với một x nào đó
thuộcS

dx€S,P(z). P(x) đúng với một x nao dé | P(x) sai với mọi x thuộc S
thuộcS

3x, AP (x) Mệnh dé Vx € S,P(x)lasai |Ménh dé Vx €S,P(x) la
dung

Vx, aP(x) Mệnh đề 3x € S,P(x) là sai |Mệnh dé 43x e€S,P(x) la
đúng

/>