Luận văn thạc sĩ Toán học: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.31 MB, 57 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<small>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</small>

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<small>ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN</small>

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HÀ TIEN NGOAN

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Mục lục

1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình

parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

2.3.3 Sơ đồ hiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Mo dau

Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài

tốn biên của phương trình vật lý-tốn. Một số ít trường hợp có thể tìm được

ngay nghiệm của bài tốn. Cịn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm củabài tốn là hết sức khó khăn. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương

Với đề tài "Phương pháp sai phan giải gần đúng bài toán biên-giá trịban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trìnhbày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương

trình parabolie tuyến tính cấp hai về một bài tốn đại số gồm nhiều phương

trình đại số tuyến tính. Bài tốn đại số này có phương pháp giải và có thể tìm

được nghiệm gần đúng cho bài tốn ban đầu.

Luận văn chủ yếu trình bày các kết qua đã được đưa ra ở các chương III, VIcủa [9]. Ngoai phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia

<small>thành hai chương:</small>

Chương 1: Bài tốn biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương

trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản

về một số không gian: Lo(Q), Wy°(Qr), Wz”(Qr) và đạo hàm suy rộng. Day là

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trịban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolie tuyến tính cấp hai tổng qt.

Bài tốn này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong IW2'°(Qz). Ngoài các kết quả

của [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6].

Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá

trị ban đầu

Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các

chúng. Xét hai sự thay thé cho đạo hàm du/d¢ là: uz và uz. Sự thay thé thứ nhất

cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ haicho ta sơ đồ hiện. Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm

của các sơ đồ sai phân. Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm

và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ an thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơđồ an thứ nhất. Các kết quả này dựa vào |9].

<small>Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của</small>

PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều

thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt q trìnhlàm luận văn. Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình.

<small>Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phong Sau Dai Học, Khoa Toán </small>

-Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nộilời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục

<small>đào tạo của Nhà trường.</small>

<small>Hà Nội, tháng 12 năm 2012</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Chương 1

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ

nhất đối với phương trình parabolic

tuyến tính cấp hai tổng qt

1.1 Khơng gian Ws" (Qr) va W;"(Qr)

1.1.1 Khong gian L;(©)

Định nghĩa 1.1.1. [9| Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một khơng

gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phúc) nếu:

1. E là một khơng gian tuyến tính uới phép nhân uới các số thực (hoặc phúc);

2. Với moi phần tử u € E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử va

kí hiệu là ||u||) thỏa man các tiên đề sau:

(a) ||u|| > 0, ||u|| = 0 chỉ uới phần tử không;

(b) ||u + ol] < |lul| + ||o||, bat dang thức tam giác;(c) JAwl| < [Al ell.

<small>Ta dua vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách p(u, v) giữa</small>

hai phần tử u và được xác định bởi p(u, v) = ||u — ||.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Định nghĩa 1.1.2. [9] Day {un} các phần tử của E gọi là hội tụ tới u € E (hay,hội tụ mạnh trong E) nếu |\un — u|| > 0 khi n > co, tà kí hiệu là un > tu.

Định nghĩa 1.1.3. [9] Tap ' C được gọi là trù mat khắp nơi trong E nếu

bat ki phần tử nào của E cũng là giới han theo chuẩn E của các phan tử của E’.

Nếu chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì được gọi là tách

<small>Định nghĩa 1.1.4. [9] Day {ua}—¡ goi là hội tụ (hay day Cauchy, day cơ ban)</small>

nếu ||lup — wạ|| + 0 khả p,q > ov.

Định nghĩa 1.1.5. [9] Nếu moi dãy Cauchy {u„}? có giới hạn là phần tửu € EB

<small>thà E gọi là không gian đủ (trong trường hợp nay |\un — u|| > 0 khi n > oo).</small>

Một khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là khơng gian Banach,

<small>ta kí hiệu là B. Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật.</small>

Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các khơng gian

<small>Banach: khơng gian Hilbert, ta kí hiệu là H.</small>

Định nghĩa 1.1.6. [6] Khơng gian tuyến tính X xác định trên trường số thựcđược gọi là không gian tiền Hilbert nếu vdi mọi u,v € X xác định một số gọi làtích hướng của u va v) thỏa man các tiên đề sau:

4. (u,u) > 0, (u,u) = 0 chỉ uới phần tử không u = 0.

Dinh nghĩa 1.1.7. [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.

Chuẩn của phan tử u, kí hiệu ||u|| được xác định bởi: |u|] = \/(u, u).

Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

đầy đủ và trù mật. Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dung không gian B và

Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất dang thức Cauchy, Bunhiacopski,Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy):

I(a,9)| < l|a||- Tell.

Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H,

chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu.

Định nghĩa 1.1.8. [9| Day {un} gọi là hội tụ yếu đến phan tử u trong H nếu

Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của uy bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tu

yêu của {u„} đến wu, ta chỉ cần chứng minh (uy, — u,v) > 0 khi n > oo trên tập

V nào đó trù mật khắp nơi trong H. Một dãy {u„} không thé hội tụ yếu đếnhai phần tử của H. Nếu {uy} hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ

yếu đến u. Điều ngược lại không đúng. Tuy vậy, nếu {u„} hội tụ yêu đến u vàIIøal| —> |u|] thi {¿„} hội tụ mạnh đến ø.

Định lý 1.1.1. |9] Nếu fun} hội tụ yếu đến u trong H, thà

llu„l|< lim lua||< lim ||ua||,

uới vé phải của bat đẳng thúc là hữu hạn.

<small>Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đốivới sự hội tụ yếu</small>

Định nghĩa 1.1.9. |9} Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền

compact (hay tiền compact trong B) nếu moi day uô han các phan tử của M cóchúa một day con hội tụ. Nếu giới hạn của tat cả các day con thuộc vé M, thi

<small>M được gọt là compact.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Định lý 1.1.2. |9] Tập M của H là tiền compact yếu khi va chỉ khi nó bị chặn.

Định nghĩa 1.1.10. [9] Tập tat cả các ham thực, đo được u(x) xác định trênmiễn Q của khơng gian Euclidean R" uới một tích phân hữu han:

lei = ( | (Par) |

trong đó p> 1 là một số cô định bat ki, hành thành một khơng gian Banach tách

được va có chuẩn được xác định như trên. Khong gian nay thường được gọi là

<small>Một phần tử của L,(Q) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu,</small>

mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên © (nghĩa là, những hàm số

trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên ©). Tuy nhiên, để ngắn gon, chúng ta

sẽ nói về các phan tử của ”„(O) như các hàm xác định nghĩa trên 9.

Ta có thể lẫy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong U„(9):

e tp Cđ(â) cỏc hm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào 9.

<small>Không gian L¿(9) là một khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng:</small>

Chúng ta đề cập đến một số các bất dang thức sẽ sử dụng thường xuyên.

e Bất đẳng thức Cauchy:

đ¡j&¡1]j| S › ig 6485 › aig THN »

<small>với bất kì dang bậc hai khơng âm a¡;&;£; với aj; = aj; và các số thực tùy ý:</small>

Ế1,....Ến; TH; ‹ - - ›

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Tìn-e bất đăng thức Cauchy với Tìn-e:

b| < =|a|Ÿ + „—|b|?

ad) < 5m9 + Le

Từ các bất dang thức ham chúng ta có các bất dang thức cu thể trong L¿(©)

([ + ode) ợ < (/ đá) + (/ đu

Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác

cho các phan tử của Lp(Q):

lu + oll, S lelle,@ + lle! „„(o) (p21).

với một phần tử v € H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u).

Định nghĩa 1.1.11. [9] Nếu đẳng thúc: A(Aui + tua) = ÀA(u1) + wA(ug) thỏa

mãn trên D(A) thà ta nói A là tuyến tính (uới giả thiết D(A) là một tập tuyến

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Định nghĩa 1.1.12. {9| Tốn tử A từ D(A) ào Y C H gọi là liên tục nếu

Dinh nghĩa 1.1.13. [9] Nếu ton tại mot hằng số c sao cho, vdi moi u € D(A):

Aull <ellull,

<small>thi A là một toán tử bi chặn trong D(A).</small>

Định nghĩa 1.1.14. [6] Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu: vdi moi u,v € H,

Dinh nghĩa 1.1.15. {9| Toán tử A được gọi là hoan tồn liên tục nếu nó biếntập bi chặn bat kỳ thành một tập tiền compact.

Với hai hàm số u(x) va v(x) tùy ý, khả vi vô han trong miền 2 trong R” và

v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v € Ở%(O)), bằng cách tích phân

từng phần k lần ta có:

[le — a + ( 1)Ftly vu =| a0

Dinh nghĩa 1.1.16. [4,9] Cho Q la một miền trong không gian R". Một hamSỐ 0ð, ..„ € Li(Q) được gợi là dao ham suy rộng cap k của u(x) € Ly4(Q) nếu:

[ Ce axkn ; ( Dt dz = 0,

Kí hiệu hàm wz,,..4,, là Ø#u/Øz†'...Øz}", hoặc DẺu. Cách kí hiệu thứ nhất sé

khơng gây ra sự hiểu lầm vì nếu wu € Ch(Q) thì øạ,..¿„ = Øu/Øz†'...Øz‡. Rõ

ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm

riêng liên tục của dạng Ou/dr"... xk.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Nếu ham u(x) có đạo hàm thơng thường liên tục cấp k thì nó có đạo hamsuy rộng cấp k.

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy ham u(x) có khơng q một đạo

hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể khơng có đạo hàm theo

<small>thơng thường.</small>

Tính chất 1.1.1. [4] Mot ham có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Q thì nó

cũng có dao hàm suy rộng cấp k trong miền QC 9.

Tính chất 1.1.2. [4] Nếu uy vd ug có dao hàm suy rộng trong Q thà cpu, + caua

<small>có đạo ham suy rộng trong Q va:</small>

OF (cyuy + cua) c Oruy Le Ø ua

0x? Lee 9z" Oak . .ÔzƑ" xk " dake

Tính chất 1.1.3. [4| Nếu v là một dao ham suy rộng cấp 1 của u va w là một

đạo hàm suy rộng cấp k của 0 thà œ là một dao ham suy rộng cấp l+ k của u.

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy 0*/0z†" " Oarkn độc lập với thứ

tự lay đạo ham.

Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiênkhông phải là bảo tồn tất cả, chăng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k

không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k.

Dinh lý 1.1.3. [4] Giả sử © là một miền trong khơng gian R", OQ! là một miễncon của Q sao cho khoảng cách giữa ©' va AQ bằng d >0. Khi đó, uới 0 <h < d

(DF u)p(x) = Dun (a).

Chứng minh. Gia sử 0(z) € C%(R") là một hàm không âm sao cho:

0(z) = 0(—z), 0(z) = 0 nếu |z| > 1 và fp, O(x) = 1. Ví dụ:

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

với hằng số c thích hợp.

Do 0< b < đ và z Ee, hàm 0(z — y)/h € C®%(O) đối với x € 0, nên sử dụng

<small>định nghĩa đạo hàm suy rộng ta được:</small>

D#up(x) = DỆh—" i 6 É 7 ?) u(y)dy,

ah" [ (1) Moko (—“) wy)dy,

=hn | 0 (* i ˆ) Diyuly)dy = (D'u)n (2).

Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn có ích và

đơn giản cho sự tồn tại các đạo hàm suy rộng của một hàm u(z).

Định lý 1.1.4. [8] Cho f(x) là một ham khả tổng trên Q. Nếu u(x) có thể xấp

zi bằng một day hàm u„(), (s = 1,2,...) kha vi liên tục cấp k,

lim In — w)udz =0, Vu(z) € C%(Q).

Nếu |lusllz,@) Đồ l|0Fu:/0x7"... dk» < e thà hàm u có đạo hàm suy rộng

0Fu/0x1"... 0x" va ||u||y ay va ||O*u/dap ... Ôi"

Kết quả nay van đúng uới ham u;(z) € Lp(Q) va có dao ham suy rộng cùng

Chứng minh định lý có thể tim thấy ở [8}.

1.1.3 Khong gian I⁄}°(Q@;) và W2°(Qr)

Gia sử © là một miền trong R” và 7 là một hằng số dương. Kí hiệu:

Qr = 9 x (0,7) ={(z,f):+zc9,£c (0,7)} và gọi là trụ với chiều cao 7, đáy

<small>Q, mặt xung qunah Sp = Ø9 x (0,7).</small>

Định nghĩa 1.1.17. (9| W2”(Qr) là không gian bao gồm tat cả các ham u(x,t) €

La(Qr) sao cho ton tai tat cả các dao hàm suy rộng Ou/Ox;,i = 1,2,...,n trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>Với tích vơ hướng được xác định như sau:</small>

Nghĩa la, u(x,t) € W5°(Qr) khí va chỉ khí tồn tại một day {ug(z,t))E¡ C

CTM(Qr), ug(œ,£) = 0 khi (x,t) € QỀ = {(œ,t) € Qr: dist {(x,t), Sp} < ð}, 6 là số

đương đủ bé, va uy > u trong Wz”(Qr) kh¿ k > oo.

Không gian Wz“(Qr) là một không gian con riêng của Wz(Qr), hiển nhiên

cơng thức tích phân từng phần,

| tu ndnH = = f UV, dxdt,

cũng đúng cho hàm trơn v bất ki và với bất kì hàm trơn u nào triệt tiêu gan

Sr. Với điều kiện đóng theo chuẩn của Wz”(Qr) thì cơng thức này vẫn đúng vớiøc W2 (@r) và u e W2 (Qr). Nếu cả u và v triệt tiêu không triệt tiêu trên Sy

thì cơng thức trên khơng đúng với trường hợp tổng qt nên nó khơng đúng với

W2 (Qr). Do đó u(x,t) € W2 (Qr) triệt tiêu trên Sp là định nghĩa tốt.Không gian Wy°(Qr) cũng là một không gian Hilbert

Kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một bổ đề nổi tiếng có thể được sửdụng để tiên nghiệm giới hạn cho các nghiệm của các phương trình khơng ổn

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

uới c(t) là các ham khả tong, không âm trên [0,T]. Khi đó:

y(t) < exp i ainar}. áo tÍ c2(£) exp LÍ ai) «|

< exp{ | ainar}. J0 / ear .

Chứng minh. Ta nhân £ aut) } < ey(t)y(t) + co(t) với exp {- J cị(T jar}, viet két qua

di y exp (- | e0: | < c9(t) exp (- | a(r)tr) .

Lay tích phân từ 0 đến ¿, từ bất đẳng thức thu được ta suy ra bất dang thức

<small>cần chứng minh.</small>

Nếu e¡(f) = c¡ = const > 0 và c(-) là một ham khơng giảm theo ¿ thì từ hai

bất dang thức trên, ta có các bất đẳng thức sau:

y(t) < e"[ery(0) + ea(0)],

y(t) < e%*y(0) + cy 1ea(Q[e°#ứ — 1].

1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban

đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic

tuyến tính cấp hai tổng quát

<small>1.2.1 Phương trình parabolicXét phương trình:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Định nghĩa 1.2.1. [4] Phương trình (1.1.1) được gọi là parabolic tại điểm z0 nếu

trong hệ tọa độ mới yy = aij(#j—#7) (=1,---,m+1), uới aij (2 agian; = Ar(z)ổj.,

Chia (1.1.2) cho bn4i(x°), ta được một phương trình có dạng:

Uy ya + So n(2°) yey, + » by (x°)uy, +bu= f. (1.1.3)

Định nghĩa 1.2.3. [9] Phương trinh (1.1.1) gọi là parabolic trên một miền nào

<small>đó nêu nó là parabolic tại moi điểm của miền nay.</small>

Nếu các hệ số của M là các hàm số trơn và nếu (1.1.1) là parabolic trên một

miền, thì trong một lân cận (nói chung, một lân cận nhỏ) của một điểm bất kìcủa miền ta có thể rút gọn bằng sự thay đổi các biến không suy biến để có dạng:

Uys — » bi; (2) Uyey, “Dhl r)Uy, + bu = f, (1.1.4)

với dang S77’, b¡;&€; xác định đương.

Biến yn41 có vai trị đặc biệt. Trong các bài tốn vật lý, biến này có vai trị

một điểm trong không gian và gọi tắt là biến không gian.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Để thuận tiện, ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabolie có dạng:

Bằng việc tính đạo hàm các hàm ajj,a; va ƒ;, (1.1.5) có thể được biến đổi về

<small>một phương trình của dạng (1.1.4), và ngược lại, bằng việc tính dao ham bj; ,</small>

(1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5).

<small>Ta có các bài tốn cơ bản cho phương trình (1.1.5) :</small>

<small>(1) Bài tốn Cauchy: Tìm một hàm u(x,t) thỏa mãn (1.1.5) với x € R" và</small>

+> 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0

<small>aN % = ajjUz, cos(n, Xị)|s„ = x(s, f),</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

hoặc điều kiện biên thứ ba:

ou = x(s,t)

Ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị ban đầu trong một miền bi

chặn 9. Bài tốn thứ hai và thứ ba có thể được xét một cách tương tự. Để thuậntiện ta giả thiết Q bị chặn. Dé dàng để bỏ giả thiết này, các kết quả cho các

miền bị chặn và không bị chặn tương tự nhau. Ta cũng sẽ sử dụng quy ước nếu

trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau ta hiểu đó là tổng: ví dụ khi viết a;z;ta hiểu đó là $7, = 1 4z.

1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứnhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

<small>và với điều kiện đều của parabolic</small>

ve? < aij(œ,t)&¡&j < HE, v, là các hằng số dương . (1.2.5)

Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng bài tốn này có một nghiệm suy rộng trong

Wz°(Qr), sau đó ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm như vậy thực sự là thuộc WJ}"(Qr) va

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng. Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra được địnhlý duy nhất cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong lớp các nghiệm suy rộng trong

Dinh nghĩa 1.2.4. [4| Ta kí hiệu Vo(Qr) là khơng gian bao gồm các ham u €

W2 °(Qr) uới chuẩn năng lượng:

lular = ess sup ||u(,)|ly„(@) + |[tz|[r;(Q„) -

Dinh nghĩa 1.2.5. [9] Khong gian con V2(Qr) của Vạ(Q+) gồm các phan tử của

W2”(Qr) có chuẩn |+ |g, hữu han.

Định nghĩa 1.2.6. [4| Không gian Wÿ“(Qr) là một không gian con khác của

Va(Qr), chứa tat cả các phan tử u € Vo(Qr) liên tục mạnh theo t trong chuẩn

Nghĩa là ||u(,£ + At) — 0,0) [r„(oy + 0 khứ At — 0, đều trên đoạn [0, TỊ.

Vy'"(Qr) là giao của V2 “(Q@r) và IWz'°(Qr).

<small>Định nghĩa 1.2.7. [9] Ta gọi phương trình có dang:</small>

" Dac +f (ajjUx; Ue, + ajUug, + bjUg,u 4 au”) dxdt

là phương trình cân bằng năng lượng cho bài tốn (1.2.1)-(1.2.2)

Phương trình này có thể thu được bằng cách tích phân từng phần đẳng thức:

4u - udzd†t = | (J + se) udadt (1.2.7)

Kí hiệu Lo1(Qr) là không gian được trang bị chuẩn:

Iel,ue› = f ụ Iu(+,£)|2dz)!/2dt.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Dinh lý 1.2.1. [4] Giá sử các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, va giả

sử hàm u € Wÿ”(Qz) thỏa mãn phương trinh cân bằng năng lượng (1.2.6). Khi

đó, ta có bat đẳng thức năng lượng sau:

lula. < e) [ll+(:9)llr,¿@ị + 2 |[Ƒ|u; (ọ + 2lfutọø |

-Chứng minh. Tit các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) và phương trình cân bằng năng

< 3 lla(-.0)|Ï7,(oy + 5 lluzll„vọ,) + — llell„to) + "|0 Ï,(o,)

+ ||f |; ›(Q.) max IM(°;7)Í[r„(o + IHIDNGS lltz | r,„(ọ,) - (1.2.8)

||u(.,Ð)|r;(e)-Nhóm các số hạng giống nhau, sau đó nhân cả hai về với 2 và thay elle.)

bằng ty?(t), va |lu(-,0){I7,Âay bi ứ(đ) llw(-;0)|lz(e):

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

thc li sau đó làm trội về phải theo cách sau:

lula. = y(t) + lluzllz„¿oy < +o?) g(t)

<small>Chia nhỏ đoạn [0,7] thành những đoạn con Ay = [0,t1/2], Ao = [H/2,],..., An,</small>

có độ dài không vượt quá /2. Với mỗi đoạn này, ta có bất đẳng thức dạng

(1.2.13). Nếu đưa |lu(,2)|[y„¿oy < |ulo, vào tính tốn, ta nhận được bất đẳng

<small>thức năng lượng</small>

lula, < c(t) [lle(-.0)llz„(ey + 2l /| „vo + 2 fllr,vọ,y| = OKO, (1.2.14)

đúng với bất kì ¢ € [0,7]. Hàm số c(t) được xác định theo t và các hằng số v, uw

<small>trong (1.2.3) và (1.2.5).</small>

<small>Định nghĩa 1.2.8. [9| Một nghiệm suy rộng u(z,t) của bài toán (1.2.1)-(1.2.2</small>

trong W2 °(Q+) (hoặc trong W¿'“(Qr)) là một phan tử của W¿ “(Qr) thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Rõ ràng tập các nghiệm như vậy là tuyến tính.

Kí hiệu Wyo (Qr) là không gian bao gồm tat cả các phan tử của W3""(Qr)

<small>triệt tiêu với t = 7 (u(x,T) = 0).</small>

Giả sử {¿x(z)}C W3"(Q) là một hệ trực chuẩn trong L2(M) sao cho bao đóngcủa bao tuyến tính của hệ này trong W3"(Q) trùng với ⁄2"(0). Kí hiệu:

My = {keo :dy € W2(0,7), dẹ(T) = |

Ta có bổ đề sau:

đó tập hợp M = U-; My trù mật trong không gian W2 (9z).

Chứng minh. Ta xây dựng dãy {y%(x)} trực chuẩn trong W2"(Q) từ dãy ¿;¿(z)

bằng phương pháp trực giao hóa Gram-Smith. Kí hiệu:

Ta sẽ chứng minh M* trù mat trong W2 (Qr).

Thật vậy, lấy ham u(x,t) € Wy’ (Qr) bất kì. Ta biểu diễn u(x,t) dưới dạng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Khi đó: Gp < ||u — Sp|lty»¿ey + ||Sp — Sp và S* € Ms. Ta có:lo

lu — Sglllyy-(oy < 2(0llDe + Spl? WH") < 4 |u|? WHA),

€l”-|lu;-°¿e <e, tức là Số —> u trong Wz"°(Qr) khi p > co.

<small>Tương tự, ta có 0S) /dt + Øu/Øt trong Lo(Qr) khi p — oo.</small>

Như vậy, AM” trù mật trong W2 (Q7). Từ đó suy ra M trù mật trong không

gian tp (Qr).

Định lý 1.2.2. |9] Nếu các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, thi bài tốn

(1.2.1)-(1.2.2) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong W2(Qr).

Chứng minh. Dé chứng minh khả năng giải được của (1.2.1)-(1.2.2) trong Wz'”(Q@r)ta lấy một hệ cơ bản {¿z(z)} trong wy(Q) và để thuận tiện ta giả sử chúng là

trực chuẩn trong h¿(9).

Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ wŸ(z,f) có dang wŸ(z,£) = 3, eX (typ (2) từ hệ

lập nên bởi các mối liên hệ:

(tu, gi) + (0igug, + aiuTM, gin.) + (bing, + au, 1)

= (f, yi) — (fi, Yin; ), [=1,--- LN, (1.2.16)

và các điều kiện ban dau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

trên (0,7). Do vây, từ kết quả của hệ phương trình vi phân thường tuyến tínhta thay (1.2.16) và (1.2.17) xác định duy nhất ham cj‘ (¢) liên tục tuyệt đối trên

Í0, 7]. Ta có Ÿ bị chặn mà không phụ thuộc vào N.

Thật vậy, nhân mỗi phương trình của (1.2.16) với c(t) thích hợp, cộng

chúng lại từ 1 đến N, sau đó lấy tích phân theo ¿ từ 0 tới t < 7; kết quả ta

được (1.2.6) với u = uw. Nhu đã thấy trước đó, từ (1.2.6) suy ra (1.2.14) với

F(t) =2l|ll: ọ, + 2Ilfllog, + |I+Y(.0)s ø- MàIr*(.0)||¿„ < lllls.o, do vậy ta

có bất đẳng thức:

lu an < ei, (1.2.18)

<small>với c¡ là một hằng số khơng phụ thuộc vào N.</small>

Từ (1.2.18), có thể chọn một dãy con {u%*} (k = 1,2,...) từ dãy {uŸ}

(N =1,2,...) hội tụ yếu trong Lo(Qr) tới một phan tử u e Wy°(Qr). Phần tử

<small>u(a,t) này là nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1)-(1.2.2).</small>

Thật vậy, nhân (1.2.16) với một hàm liên tục tuyệt đối tùy ý d)(t) với dd)/dt €

La(0,7), d(T) = 0, lay tong các phương trình thu được từ 1 đến N, sau đó lay

tích phân kết quả từ 0 đến 7. Tích phân từng phần số hạng đầu tiên theo t, ta

nhận được dang thức:

MS,8)= [wo |:=o tt [ (ƒ® — ƒ#¡®;)dzdt, (1.2.19)

có dang (1.2.15) trong đó ® = 37, di(t)yi(2).

Kí hiệu My là tập các ham ® với d)(t) có tính chất như đã nói ở trên. Theo

bổ đề trên —¡ Mp trù mật trong không gian W39 (Q7).

Với € M, cơ định trong (1.2.19), ta có thể lấy giới han của dãy con {¿** Ì đã

chọn như trên, từ M„¿ > p. Kết quả ta nhận được (1.2.15) cho u, với = ® € M,.

Vì Ur M, trù mat trong không gian W39 (Q7); nên (1.2.15) đúng với mọine W39 (Q7); nghĩa là, u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trong W;°(Qr

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Định lý 1.2.3. [9] Nếu các giả thiết (1.2.3) va (1.2.5) được thỏa mãn, thi bat

ki nghiệm suy rộng nào của (1.2.1), (1.2.2) trong Wz”(Qr) cũng là nghiệm suyrộng trong Wj"(Qr) va là duy nhất trong W¿°(Q7).

Chứng minh. Ta xét nghiệm suy rộng của (1.2.1), (1.2.2) trong W¿'“(Qz) như là

<small>một nghiệm suy rộng trong La(Qr) của bài toán:</small>

<small>Theo các định lý 2.2 (trang113) va 2.3 (trang 115) chương HI của [9], thì</small>

u(x,t) là nghiệm suy rộng của bài tốn trên trong Wÿ”(Qr), do vậy nó thuộc

Vi°(Qr). Do đó, u(x,t) thỏa mãn

với moi t € [0,7] và mối quan hệ này có thể viết lại dưới dang (1.2.6).

Đồng thời u(x,t) cũng thỏa mãn

| n0 DhG0= fentosoy+ Ệ Củ + uendeh

-| (fn — fine, )dedt.

Va dang thức nay cũng được viết dưới dang:

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

trong đó 7 là một phan tử bất kì của Wy°(Qr) và t là một số bất kì trong [0, 7].Ta có mọi nghiệm suy rộng trong W2 (Qr) của (1.2.1)-(1.2.2) cũng là nghiệmsuy rộng của (1.2.1)-(1.2.2) trong W;'”(Q;), vì mỗi nghiệm của (1.2.1)-(1.2.2)được xác định như một phần tử của V,°(Qr) thỏa mãn đẳng thức (1.2.20) và

<small>phương trình năng lượng (1.2.6).</small>

Ta sẽ thấy rằng (1.2.1)-(1.2.2) khơng thể có hai nghiệm khác nhau trong

Thật vậy, nếu bài tốn có hai nghiệm wu! và wu” như vậy thì sai phân của chúng:

u=u'—u” cũng là một nghiệm suy rộng của (1.2.1) - (1.2.2) trong Wy(Qr)

tương ứng với các điều kiện ban đầu là không và một số hạng tự do là khơng. Từ

<small>những gì chứng minh, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài toán nay trong</small>

W'“(Qz). Suy ra, (1.2.6) có về phải là 0 nên đúng với u. Từ đó (1.2.14) với về

phải là 0 nên (1.2.14) cũng đúng. Do đó, u(z,t) = 0 chứng tổ rang u! = uv".

<small>Từ những lập luận liên quan đến hai nghiệm suy rộng bat ky u’ va u” của</small>

(1.2.1)-(1.2.2) trong V,°(Qr), với ƒ, fi và y phân biệt. Ta suy ra toán tử B gan

{ƒ:/;w} một nghiệm suy rộng trong Wj“(Qr) là tuyến tính, và phương trình

<small>cân bằng năng lượng (1.2.6) là một hệ quả của (1.2.20) với giả thiết các hệ số</small>

của M, các hàm số ƒ, ƒ; và y như đã nói 6 Dinh lý 1.2.1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Chương 2

Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng

bài toán biên-giá trị ban đầu

2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân

Trong chương này, các đạo hàm riêng của hàm số u(x) xác định trên miền Q(ln được giả thiết là bị chặn) được kí hiệu là Øu/Øz;¡.

Chia nhỏ không gian Euclid R” của biến x = (zt,...,z„) bởi các mặt phẳng

rj = kihi, hi > 0i=1,...,n trong đó k¿ là số ngun thành các hình hộp (hay các

ơ) cơ bản W(kh) có tọa độ xác định bởi bất dang thức: kjhy < z¡ < (ky + 1)h¿, i=

<small>Định nghĩa 2.1.1. [2| Các đỉnh của các ô @(yụị được got là mút lưới. hi gọi là</small>

bước lưới tại điểm 2;.

Định nghĩa 2.1.2. [2| Các ham số xác định tại các nút lưới (chính xác hơn,

trên tồn bộ các điểm-miền xác định của các hàm số nay) được gọi là các ham

Dé đơn giản, ta sẽ bỏ qua chỉ số h khi khơng có sự nhầm lẫn.

</div>

Luận văn thạc sĩ Toán học: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HÀ TIEN NGOAN

Mục lục

1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình

parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5

Mo dau

tốn biên của phương trình vật lý-tốn. Một số ít trường hợp có thể tìm được

Với đề tài "Phương pháp sai phan giải gần đúng bài toán biên-giá trịban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trìnhbày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương

trình đại số tuyến tính. Bài tốn đại số này có phương pháp giải và có thể tìm

Chương 1: Bài tốn biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương

trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

về một số không gian: Lo(Q), Wy°(Qr), Wz”(Qr) và đạo hàm suy rộng. Day là

các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trịban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolie tuyến tính cấp hai tổng qt.

Bài tốn này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong IW2'°(Qz). Ngoài các kết quả

Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá

trị ban đầu

Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các

cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ haicho ta sơ đồ hiện. Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm

và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ an thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơđồ an thứ nhất. Các kết quả này dựa vào |9].

Chương 1

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ

nhất đối với phương trình parabolic

tuyến tính cấp hai tổng qt

1.1 Khơng gian Ws" (Qr) va W;"(Qr)

gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phúc) nếu:

2. Với moi phần tử u € E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử va

(b) ||u + ol] < |lul| + ||o||, bat dang thức tam giác;(c) JAwl| < [Al ell.

bat ki phần tử nào của E cũng là giới han theo chuẩn E của các phan tử của E’.

Một khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là khơng gian Banach,

Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các khơng gian

Chuẩn của phan tử u, kí hiệu ||u|| được xác định bởi: |u|] = \/(u, u).

Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất dang thức Cauchy, Bunhiacopski,Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy):

I(a,9)| < l|a||- Tell.

Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H,

Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của uy bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tu

V nào đó trù mật khắp nơi trong H. Một dãy {u„} không thé hội tụ yếu đếnhai phần tử của H. Nếu {uy} hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ

llu„l|< lim lua||< lim ||ua||,

uới vé phải của bat đẳng thúc là hữu hạn.

lei = ( | (Par) |

được va có chuẩn được xác định như trên. Khong gian nay thường được gọi là

trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên ©). Tuy nhiên, để ngắn gon, chúng ta

Ta có thể lẫy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong U„(9):

Chúng ta đề cập đến một số các bất dang thức sẽ sử dụng thường xuyên.

đ¡j&¡1]j| S › ig 6485 › aig THN »

ad) < 5m9 + Le

Từ các bất dang thức ham chúng ta có các bất dang thức cu thể trong L¿(©)

([ + ode) ợ < (/ đá) + (/ đu

Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác

lu + oll, S lelle,@ + lle! „„(o) (p21).

Định nghĩa 1.1.11. [9] Nếu đẳng thúc: A(Aui + tua) = ÀA(u1) + wA(ug) thỏa

Aull <ellull,

v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v € Ở%(O)), bằng cách tích phân

[le — a + ( 1)Ftly vu =| a0

[ Ce axkn ; ( Dt dz = 0,

Kí hiệu hàm wz,,..4,, là Ø#u/Øz†'...Øz}", hoặc DẺu. Cách kí hiệu thứ nhất sé

khơng gây ra sự hiểu lầm vì nếu wu € Ch(Q) thì øạ,..¿„ = Ø*u/Øz†'...Øz‡*. Rõ

ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm

riêng liên tục của dạng O*u/dr*"... xk.

hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể khơng có đạo hàm theo

Tính chất 1.1.1. [4] Mot ham có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Q thì nó

Tính chất 1.1.2. [4] Nếu uy vd ug có dao hàm suy rộng trong Q thà cpu, + caua

0x? Lee 9z" Oak . .ÔzƑ" xk " dake

Tính chất 1.1.3. [4| Nếu v là một dao ham suy rộng cấp 1 của u va w là một

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy 0*/0z†" " Oarkn độc lập với thứ

Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiênkhông phải là bảo tồn tất cả, chăng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k

khơng gây ra sự hiểu lầm vì nếu wu € Ch(Q) thì øạ,..¿„ = Øu/Øz†'...Øz‡. Rõ

riêng liên tục của dạng Ou/dr"... xk.