vấn đề duy nhất của hàm phân hình với hữu hạn cực điểm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (934.65 KB, 44 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ CÔNG DŨNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNHVỚI HỮU HẠN CỰC ĐIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Nguyên, năm 2021

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemVan de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diem

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ QUANG NINH

Thái Nguyên, năm 2021

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn trực tiếp của TS. Lê Quang Ninh. Tơi khơng sao chép từ bất kìcơng trình nào khác.

Các tài liệu trong luận văn là trung thực, tôi kế thừa và phát huy cácthành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành.

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2021Người viết luận văn

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của đề tài, chúng tơi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS. Lê Quang Ninh người thày tận tình hướng dẫntơi trong suốt q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành đề tài này.

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại họcThái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phịng Đào tạo, Ban chủ nhiệmkhoa Tốn cùng tập thể các thầy cô giáo trong khoa, đặc biệt là Bộ mơnGiải tích và Tốn ứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Luận văn chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tơi rất mongnhận được sự góp ý của thầy, cơ và các bạn để luận văn được hồn thiệnhơn.

Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn có thể cónhững thiếu sót, rất mong được các thầy, cơ và các bạn góp ý để luận vănđược hồn thiện hơn.

Chúng tơi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Đỗ Công Dũng

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

Trang bìa phụ . . . .i

Lời cam đoan . . . .ii

Lời cảm ơn . . . .iii

2.1. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình với hàm sai phân . . . .17

2.2. Tính duy nhất và tuần hồn của các hàm phân hình chia sẻ một phầncó trọng số các giá trị . . . .23

Kết luận . . . .38

Tài liệu tham khảo . . . .39

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Mở đầu

Mối quan hệ giữa hai hàm phân hìnhfvàgđã được nghiên cứu bởiR.Nevanlinna từ năm 1925 bởi việc sử dụng lý thuyết phân bố giá trị chocác hàm phân hình. Kết quả nổi tiếng theo hướng này là Định lý năm điểmvà Định lý bốn điểm của R.Nevanlinna nói rằng nếu hai hàm phân hìnhkhác hằngfvàgchia sẻ năm giá trị phân biệt khơng tính bội (IM) thì

f (z) ≡ g(z)và nếu hai hàm phân hình khác hằngfvàgchia sẻ bốn giá trịphân biệt tính cả bội (CM) thìf = T og, trong đóTlà một ánh xạ Mobius.Sau đó, có rất nhiều kết quả về vấn đề duy nhất của hàm phân hình chiasẻ các giá trị hoặc các tập.

Các vấn đề về mối quan hệ giữa hàmfvà đạo hàm cấpkcủa nó đãđược quan tâm nghiên cứu từ năm 1976. Một kết quả tốt được biết đến làkết quả của L. A. Rubel và C. C. Yang năm 1977 nói rằng: nếu hai hàmnguyênfvàf

0

chia sẻ hai giá trịCMthìf = f

0

tức làf = ce

z

.Một vấnđề thú vị theo hướng này là nghiên cứu tính chất giữafvàgkhi một trongchúng là hàm đặc biệt. Ví dụ như vào năm 1989, G. Brosch trong luận ántiến sĩ của mình đã chứng minh rằng nếu một hàm phân hình khác hằngg

và một hàm phân hình tuần hồnfvới chu kỳckhác khơng chia sẻ ba giátrịCMthìglà một hàm phân hình với chu kỳc.

Từ năm 2006, hướng nghiên cứu về mối quan hệ giữa hàmf (z)và hàmsai phânf (z + c)vớic ∈C\{0}hoặc tính chất củafvàgkhiflà hàmtuần hồn được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu.

Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về các vấn đề này, chúng tôi đã lựachọn đề tài: "Vấn đề duy nhất của hàm phân hình với hữu hạn cựcđiểm".

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Đề tài trình bày một số định lý duy nhất của hàm phân hình chia sẻmột phần các giá trị với hàm sai phân. Đó là các kết của của K.S Charak([2]), Weichuan Lin ([5], [6]) và các cộng sự.

Đề tài gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệutham khảo.

Chương 1: Để phục vụ việc trình bày các kết quả chính ở chương 2,chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và một số kết quả về: hàmphân hình, các hàm Nevanlinna, hàm nhỏ, hàm phân hình có siêu bậc nhỏhơn một.

Chương 2: Trình bày một số kết quả của K.S Charak, R.J. Korhonen,Gaurav Kumar ([2]) về hàm phân hình và hàm sai phân chia sẻ một phầncác giá trị. Sau đó trình bày một số kết quả của Weichuan Lin và các cộngsự ([5], [6]) về hàm phân hình và hàm sai phân chia sẻ một phần các giá trịcó trọng số.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021Người viết luận văn

Đỗ Công Dũng

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

log

+

|f (re

iϕ

)|dϕ,

được gọi là hàm xấp xỉ của hàmf.

Ta ký hiệun(r, f )là số cực điểm kể cả bội ,n(r, f )là số cực điểm phânbiệt củaftrongD

r

.Với một số nguyên dươngk,Ký hiệun

k

(r, f )là số cựcđiểm bội chặn bởikcủa hàmf(tức là cực điểm bộil > kchỉ được tínhk

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

được gọi là hàm đếm không kể bội.Trong đón(0, f ) = lim

là số khơng điểm kể cả bội,n

là số không điểmkhông kể bội củaf.

− n

tdt + n

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

N (r, 0; f ) = N

r,1f − a

− n

0,1f − a

− n

0,1f − a

= m

r,1f − a

+ N

r,1f − a

Định lý 1.1.5. (Công thức Poisson-Jensen) [4] Giả sửf (z) 6≡ 0là mộthàm phân hình trong đĩa đóngD

R

.Giả sửa

1

, . . . , a

p

là các không điểm kểcả bội củaftrongD

R

; b

1

, . . . , b

p

là các cực điểm kể cả bội củaftrongD

R

.

Khi đó với mỗiz ∈ D

R

khơng phải là khơng điểm hay cực điểm củafta có

log |f (z)| =12π

R

2

− a

i

zR(z − a

i

)

R

2

− b

j

zR(z − b

j

)

≤K(α, δ, c)r

δ

T (α(r + |c|, f )) + log

+

1|f (0)|

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

f (re

iξ

+ c)f (re

iξ

)> 1

log |f (se

iθ

)|Re

(se

iθ

− re

iϕ

− c)(se

iθ

− re

iϕ

)

(1.3)

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

S

2

(r) =X

1 +cre

iϕ

− q

k

1 −c

1 − δ.

α + 1α − 1.

m(s, f ) + m

T (s, f ) + log

+

1|f (0)|

Thếs =α + 1

2(r + |c|)ta cóS

2

(r) ≤4

n(s, f ) + n(s,1f)

≤16α(α − 1)δ

T (α(r + |c|), f ) + log

+

1|f (0)|

δ(1 − δ).αα − 1.

T (α(r + |c|), f ) + log

+

1|f (0)|

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Áp dụng (1.3), (1.5), (1.6) ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.1.7. (Định lý cơ bản thứ nhất) [4] Chof 6≡ 0là một hàm phânhình khác hằng trên đĩa đóngD(R) = {z ∈C: |z| ≤ r}.Khi đó ta có

r,1f − a

= T (r, f ) + O(1),

trong đóO(1)là đại lượng bị chặn.

Định lý 1.1.8. (Định lý cơ bản thứ hai) [4] Choflà hàm phân hình kháchằng trên C vàa

1

, a

2

, . . . , a

q

là các số phức phân biệt. Khi đó ta có bấtđẳng thức

+ 2N (r, f ) − N (r, f

0

), S(r, f ) = O(T (r, f )).

Chú ý rằng,N

1

(r, f ) ≥ 0vàN (r, f ) ≤ T (r, f ). Do đó ta có kết quả sau.Định lý 1.1.9. Choflà hàm phân hình khác hằng trên C vàa

1

, a

2

, . . . , a

q

là các điểm phân biệt trong C∪ {∞}. Khi đó

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

δ(a, f ) = lim inf

r,1f − a

− N

r,1f − a

µ(f ) = lim inf

log T (r, f )log r,

ρ

2

(f ) = lim sup

log log T (r, f )log r.

ρ(f ), µ(f )vàρ

2

(f )lần lượt được gọi là bậc, bậc dưới và siêu bậc của hàmphân hìnhf.

Bổ đề 1.1.13. [7] Giả sửhlà hàm nguyên khác hằng vàf (z) = e

h(z)

,khiđó

ρ

2

(f ) = ρ(h).

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Bổ đề 1.1.14. [7] Nếuflà hàm phân hình tuần hồn khác hằng thìρ(f ) ≥1, µ(f ) ≥ 1.

Bổ đề 1.1.15. [7] Chofvàglà hai hàm phân hình khác hằng. Nếuρ(f ) <µ(g), thìT (r, f ) = o(T (r, g))khir → ∞.

Bổ đề 1.1.16. [3] Choflà hàm phân hình khác hằng vàc ∈C. Nếufcó

ρ(f )hữu hạn thì

r,f (z + η)f (z)

= o

T (r, f )r

1−ρ2−ε

với mọirnằm ngồi tập hợp có độ đo logarithmic hữu hạn.

Chứng minh. Nếufcó khơng điểm hoặc cực điểm, khi đó ta có được kếtquả của định lí bằng cách xét hàmw(z) = z

k

f (z, )vớik ∈Z sao chow(0) 6= 0, ∞.Do đó, đây là điều kiện đủ để chỉ cần xét đến trường hợp

T (α(r + |c|), f ) = T

r + |c| +φ(r + |c|)ξ(T (r + |c|, f ))

≤ CT (r + |c|, f ),(1.10)

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

với mọirnằm ngoài tậpE = E(f, ε).

log R≤ρ

vớir → ∞sao chor /∈ E.

Nếufcó bậc hữu hạn vàς < 1,khi đó chọnφ(r) = r, ξ(x) = (log x)

1+3ε

= o

T (r + |c|, f )r

1−ς−ε

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

T (r + s) = T (r) + o

T (r)r

1−ς−ε

δ

1 +nr

δn

log(1 +sr

n

)

t

= ∞Vì vậy dãy{r

n

}

n∈Z+

có mộtdãy con{r

nj

}

j∈Z+

sao chor

nj

≤ n

1+εj

,mọij ∈Z

+

.Lặp lại (1.17) theo dãy

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

mọij ∈Z

+

nên

lim sup

log log T (r)log r

log T (r

0

) + n

j η

n(1+ε)δj

log

1 +ηn

(1+ε)δj

(1 + ε) log n

j

≥ lim sup

[1 − (1 + ε)δ] log n

j

(1 + ε) log n

j

mâu thuẫn với giả thiết (1.14) khi1 − δ > ς.Suy ra độ đo logarit củaF

η

định nghĩa theo(1.16) phải là hữu hạn vàT (r + s) = T (r) + O

T (r)r

δ

Họ các hàm nhỏ củafkí hiệu bởiS(f )và bS(f ) = S(f ) ∪ \{∞}.

442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM442412067:58:27 PM7:58:27 PM

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Bổ đề 1.2.2. [7] Choflà hàm phân hình. Nếu

g =af + bcf + d,

vớia, b, c, d ∈ S(f )vàad − bc 6= 0thì

T (r, g) = T (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.2.3. [1] Choflà hàm phân hình khác hằng,a

j

∈ ˆS(f ) , j =1, 2, . . . , q(q ≥ 3). Khi đó với mỗi số thực dươngε, ta có

trong đór /∈ E, E ⊂ [0, +∞)và thỏa mãnZ

d log log r < ∞.

Định lý 1.2.4. [8] Nếuflà một hàm phân hình trong mặt phẳng phức và

a

1

, a

2

, a

3

là ba hàm nhỏ phân biệt củafthì ta có

f := f (z + c) − f (z) 6≡ 0. Choq ≥ 2vàa

1

(z), . . . , a

q

(z)là các hàmnhỏ củaftuần hoàn với chu kỳc. Khi đó

αf − a

k

,

Trong đó,α

k

∈ S(f )là các hàm tuần hồn với chu kỳc. Ta có

r,∆

c

fP (f )

= m

r,∆

c

fP (f )

≤ m

+ S(r, f ).(1.18)Từ Định lý cơ bản thứ nhất, công thức (1.18) suy ra

T (r, ∆

c

f ) = m

+ N

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Chương 2

Tính duy nhất của hàmphân hình với hữu hạncực điểm

2.1. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình vớihàm sai phân

Choflà một hàm phân hình trong mặt phẳng phức C, a ∈ S(f )hoặc

Định nghĩa 2.1.1. Hàm phân hìnhfđược gọi là chia sẻ hàm nhỏa CM

(IM) với hàm phân hìnhgnếuE(a, f ) = E(a, g)(E(a, f ) = E(a, g)).Định nghĩa 2.1.2. Hàm phân hìnhfchia sẻa ∈S(f )btừng phần với hàmphân hìnhgnếuE(a, f ) ⊆ E(a, g).

44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM44Wednesday, June 12, 20247:58:27 PM7:58:27 PM

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

</div>

vấn đề duy nhất của hàm phân hình với hữu hạn cực điểm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ CÔNG DŨNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNHVỚI HỮU HẠN CỰC ĐIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Nguyên, năm 2021

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ QUANG NINH

Thái Nguyên, năm 2021

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn trực tiếp của TS. Lê Quang Ninh. Tơi khơng sao chép từ bất kìcơng trình nào khác.

Các tài liệu trong luận văn là trung thực, tôi kế thừa và phát huy cácthành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành.

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2021Người viết luận văn

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của đề tài, chúng tơi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS. Lê Quang Ninh người thày tận tình hướng dẫntơi trong suốt q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành đề tài này.

Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn có thể cónhững thiếu sót, rất mong được các thầy, cơ và các bạn góp ý để luận vănđược hồn thiện hơn.

Chúng tơi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Đỗ Công Dũng

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

Mục lục

Trang bìa phụ . . . .i

Lời cam đoan . . . .ii

Lời cảm ơn . . . .iii

2.1. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình với hàm sai phân . . . .17

2.2. Tính duy nhất và tuần hồn của các hàm phân hình chia sẻ một phầncó trọng số các giá trị . . . .23

Kết luận . . . .38

Tài liệu tham khảo . . . .39

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

Mở đầu

Các vấn đề về mối quan hệ giữa hàmfvà đạo hàm cấpkcủa nó đãđược quan tâm nghiên cứu từ năm 1976. Một kết quả tốt được biết đến làkết quả của L. A. Rubel và C. C. Yang năm 1977 nói rằng: nếu hai hàmnguyênfvàf

chia sẻ hai giá trịCMthìf = f

tức làf = ce

.Một vấnđề thú vị theo hướng này là nghiên cứu tính chất giữafvàgkhi một trongchúng là hàm đặc biệt. Ví dụ như vào năm 1989, G. Brosch trong luận ántiến sĩ của mình đã chứng minh rằng nếu một hàm phân hình khác hằngg

và một hàm phân hình tuần hồnfvới chu kỳckhác khơng chia sẻ ba giátrịCMthìglà một hàm phân hình với chu kỳc.

Từ năm 2006, hướng nghiên cứu về mối quan hệ giữa hàmf (z)và hàmsai phânf (z + c)vớic ∈<sub>C</sub>\{0}hoặc tính chất củafvàgkhiflà hàmtuần hồn được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu.

Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về các vấn đề này, chúng tôi đã lựachọn đề tài: "Vấn đề duy nhất của hàm phân hình với hữu hạn cựcđiểm".

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

Đề tài trình bày một số định lý duy nhất của hàm phân hình chia sẻmột phần các giá trị với hàm sai phân. Đó là các kết của của K.S Charak([2]), Weichuan Lin ([5], [6]) và các cộng sự.

Đề tài gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệutham khảo.

Chương 1: Để phục vụ việc trình bày các kết quả chính ở chương 2,chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và một số kết quả về: hàmphân hình, các hàm Nevanlinna, hàm nhỏ, hàm phân hình có siêu bậc nhỏhơn một.

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021Người viết luận văn

Đỗ Công Dũng

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

log

|f (re

)|dϕ,

được gọi là hàm xấp xỉ của hàmf.

Ta ký hiệun(r, f )là số cực điểm kể cả bội ,n(r, f )là số cực điểm phânbiệt củaftrongD

.Với một số nguyên dươngk,Ký hiệun

(r, f )là số cựcđiểm bội chặn bởikcủa hàmf(tức là cực điểm bộil > kchỉ được tínhk

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

được gọi là hàm đếm không kể bội.Trong đón(0, f ) = lim

là số khơng điểm kể cả bội,n

là số không điểmkhông kể bội củaf.

− n

t<sup>dt + n</sup>

44Van de duy nhat cua ham phan hinh voi huu han cuc diemWednesday, June 12, 2024

N (r, 0; f ) = N

r,<sup>1</sup>f − a

− n

0,<sup>1</sup>f − a

0,<sup>1</sup>f − a

− n

0,<sup>1</sup>f − a

0,<sup>1</sup>f − a

= m

r,<sup>1</sup>f − a

+ N

r,<sup>1</sup>f − a

Định lý 1.1.5. (Công thức Poisson-Jensen) [4] Giả sửf (z) 6≡ 0là mộthàm phân hình trong đĩa đóngD

.Giả sửa

, . . . , a

là các không điểm kểcả bội củaftrongD

; b

, . . . , b